Inhalt Kapitel IV: Interpolation

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1 Inhalt Kapitel IV: Interpolation IV Interpolation IV. Polynom-Interpolation IV. Spline-Interpolation Kapitel IV (InhaltIV) Die Interpolationsformel von Lagrange Zentrale Aussage: Zu beliebigen n + Stützpunkten (x i,f i ), i =,...,n mit paarweise verschiedenen Stützstellen x i x j, für i j, gibt es genau ein Polynom π n P n mit π n (x i ) = f i, i =,...,n. Es gilt mit den Interpolationspolynomen π n = n f i L i i= L i := k i x x k x i x k, i =,...,n. Kapitel IV (interpol)

2 Die Interpolationsformel von Lagrange, Beispiel Gegeben seien für n = : i x i 3 f i 3 Als Interpolationspolynome ergeben sich L = (x )(x 3) ( )( 3), L = (x )(x 3) ( )( 3), L = (x )(x ) (3 )(3 ), und damit π = L +3 L + L = 6 ( 5x +7x+6) P -4 L 3L -5 L Stuetzstellen Kapitel IV (interpol3) 3 Gegeben seien für n = : Die Interpolationsformel von Lagrange Als Interpolationspolynome ergeben sich (x )(x ) L = ( )( ), L = und damit Beispiel: Exponentialfunktion i x i f i e e e π = e L +e L +e L (x + )(x ) ( + )( ), L (x + )(x ) = ( + )( ), = e (x x) (x )+e (x +x) ( = e + e ) ( e x + ) x+ e = (cosh() )x +sinh()x+ Kapitel IV (interpol3a) 4

3 Die Interpolationsformel von Lagrange Beispiel: Exponentialfunktion 3 4 L L L Stützpunkte 8 Π 6 4 e x e *L e *L e *L Stützstellen Kapitel IV (interpol4a) 5 Interpolationsfehler Die Stützwerte f i stammen oft von einer stetigen Funktion f, d.h. f i = f(x i ), i =,...,n. Gilt {x i : i =,...,n} [a,b], so lässt sich der Fehler f π n in der Maximumsnorm abschätzen als Hierbei ist f [a,b] := f L ([a,b]) := max x [a,b] f f π n [a,b] ω n+ [a,b] f (n+) [a,b]. (n+)! n ω n+ := (x x i ). Der Ausdruck ω n+ [a,b] hängt alleine von der Wahl der Stützstellen ab. i= Kapitel IV (interpol) 6

4 Das Polynom ω n+ Äquidistante Stützstellen, n = 5 x Frage: Gibt es eine Knotenverteilung, so dass ω n+ [a,b] minimal wird? Kapitel IV (interpol) 7 Das Polynom ω n+ Äquidistant, weitere Stützstellen, Tschebyscheff, n = x x x x Die sog. Tschebyscheffpunkte liefern ein optimales ω n+ [a,b]. Kapitel IV (interpola) 8

5 Tschebyscheff Interpolation Für n N bezeichne T n das Tschebyscheffpolynom, T n := cos(narccosx), x [,]. Es gilt die 3-Term Rekursion T =, T = x, T n = xt n T n, n, = T n P n Nullstellen von T n sind die Tschebyscheffpunkte x (n+) i ( ) i+ = cos n+ π, i =,...,n. Kapitel IV (interpol3) 9 Tschebyscheffpolynome T T T T 3 T 4 T 5 Kapitel IV (interpol6)

6 n = 3 Tschebyscheffpunkte n = n = 8 n=7 Kapitel IV (interpol4) Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte n = 9, Lagrange Polynom L L 9,äquidistant [,] =. 3, L 9,Tschebyscheff [,] =. Kapitel IV (interpol7)

7 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte f = /(+5x ) n = 4 n = 6 n = n = n =.5.5 n = 4 Tschebyscheffpunkte: Konvergenz Äquidistante Punkte: Randoszillationen Kapitel IV (interpol8) 3 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte Interpolationsfehler, f = /(+5x ) n =, aequidistant.5.5 n =, aequidistant n = 3, aequidistant n =, Tschebyscheff n =, Tschebyscheff x 3 n = 3, Tschebyscheff Kapitel IV (interpol9) 4

8 Interpolationsfehler und Lebesgue Konstanten Λ n Definiton Lebesgue Konstante Λ n : Λ n := max x [,] n L i i= Interpolationsfehler: f Π n f [,] CΛ n ω(f, n ) Hierbei bezeichnen L i die Lagrange-Interpolationspolynome, und ω(f, n ) den Stetigkeitsmodul von f. Dieser ist definiert als ω(f, δ) := sup f f(y) x y <δ mit ω(f, n ) L n falls f Lipschitz-stetig hinsichtlich der Konstanten L ist. Kapitel IV (interpolc) 5 Verhalten der Lebesgue-Konstanten für steigende Polynomordnung Äquidistant vs. Tschebyscheff Lebesgue Konstante äquidistant Tschebyscheff 5 3 Anzahl Stützstellen.5 Lebesgue Konstante.4.3 Tschebyscheff (/π)*log(n+)+ 3 Anzahl Stützstellen Λ n wächst logarithmisch für Tschebyscheffpunkte: Λ n π ln(n+)+, Λ n wächst exponentiell für äquidistante Punkte: Λ n Ce n/. Kapitel IV (interpol5b) 6

9 Konvergenzverhalten für Tschebyscheffpunkte Interpolationsfehler f Π n [,] Fehler (logarithmisch) 5 /(+5x ) x 3/ x / 5 5 Anzahl Stützstellen Interpolationsfehler hängt vom Stetigkeitsmodul ω(f, n ) des Interpolanden ab. Kapitel IV (interpold) 7 Ziel: Π n (f,y) soll für... Auswertung des Interpolationspolynoms k verschiedene Funktionen f an jeweils m weiteren Stellen y i,i =...m ausgewertet werden. Dazu gibt es folgende Möglichkeiten: Aitken-Neville Newton & Horner baryzentrisch Aufwand O(kmn ) O(kmn+kn ) O(kmn+n ) Stabilität Kapitel IV (interpol78) 8

10 Das Schema von Aitken und Neville Das gesuchte Polynom π n soll an einem Punkt x ausgewertet werden. Für k + paarweise verschiedene Indizes {i,...,i k } {,...,n} bezeichne P i...i k P k das Interpolationspolynom durch (x i,f i ),...,(x ik,f ik ). Es gilt: P i = f i, i =,...,n, P i...i k = (x x i )P i...i k (x x ik )P i...i k x ik x i. k = Neville Schema für n = : x f = P P x f = P P P f = P x Kapitel IV (interpol5) 9 Das Schema von Aitken und Neville, Beispiel Gegeben seien für n = : i x i 3 f i 3 Neville Schema für die Berechnung von π () = P (): x = P () = k = P () = ( ) 3 ( ) = 5 x = P () = 3 P () = ( ) ( 3) 3 3 = 5/ x = 3 P () = P () = ( ) 5/ ( 3) 5 3 = /3 Kapitel IV (interpol6)

11 Das Schema von Aitken und Neville Einfache Erweiterung um zusätzliche Punkte zusätzliches Wertepaar (x 3,f 3 ) := (4,3), berechne π 3 () = P 3 (): k = 3 x = P () = P () = 5 x = P () = 3 P () = /3 P () = 5/ P 3 () = 8/3 x = 3 P () = P 3 () = P 3 () = x 3 = 4 P 3 () = 3 Kapitel IV (interpol7) Die Newtonsche Interpolationsformel Idee: Darstellung des gesuchten Polynoms π n als π n = c +c (x x )+c (x x )(x x )+...+c n (x x ) (x x n ) = n i= (x x k ). c i i k= Bestimmung der Koeffizienten c i, i =,...,n durch f = π n (x ) = c f = π n (x ) = c +c (x x ). n f n = π n (x n ) = c +c (x n x )+...+c n (x n x k ) k= Kapitel IV (interpol8)

12 Newtonsche dividierte Differenzen Beobachtung: P i...i k P i...i k P k mit Nullstellen x i,...,x ik, mit f i...i k werde der führende Koeffizient bezeichnet. Es gilt f...i = c i, i =,...,n, und die Rekursionsformel f i...i k = f i...i k f i...i k x ik x i. k = Differenzen Schema für n = : x f f x f f f x f Kapitel IV (interpol9) 3 Newtonsche dividierte Differenzen, Beispiel Gegeben seien für n = : Differenzen Schema: x = f = x = f = 3 x = 3 f = i x i 3 f i 3 k = f = 3 = f = 3 3 = / Auswertung mit dem Horner Schema: f = / 3 = 5/6 π 3 = f +(x x )[f +(x x )f ] Kapitel IV (interpol) 4

13 Baryzentrische Interpolationsformel Π n = n i=f i L i mit L i := k i x x k x i x k, lässt sich wie folgt umschreiben: i =,...,n. Π n = n i= n i= β i x x i f i mit β β i := i x x i k i (x i x k ), i =,...,n. Kapitel IV (interpol79) 5 Baryzentrische Interpolationsformel Vorteile: Berechnung der β i mit O(n ) Rechenoperationen β i sind unabhängig von den f i eine weitere Stützstelle lässt sich mit einem zusätzlichen Aufwand von O(n) Rechenoperationen aufnehmen stabile Berechnung der Gewichte β i β i sind analytisch bekannt für Tschebyscheff und äquidistante Knoten Kapitel IV (interpol79) 6

14 Horner-Schema Interpolationsfehler, f = /(+5x ).8 Div. Diff. und Horner π 5 f.5 Div. Diff. und Horner π 6 f 6 4 Div. Diff. und Horner π 7 f x 5 Div. Diff. und Horner π 8 x 9 Div. Diff. und Horner π 9 8 x 4 Div. Diff. und Horner π 4 3 f 5 f 6 4 f Kapitel IV (interpol73a) 7 Vergleich Interpolationsfehler, f = /(+5x ) Aitken Neville π 4 Div. Diff. und Horner π 4 Baryzentrische Darstellung π 4.8 f.8 f.8 f Aitken Neville π f x 4 Div. Diff. und Horner π 6 4 f Baryzentrische Darstellung π f Kapitel IV (interpol7) 8