Kapitel 3. Interpolation und Approximation I. Inhalt: 3.1 Polynominterpolation 3.2 Extrapolation zum Limes 3.3 Gauß-Approximation
|
|
- Sarah Kopp
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 3. Interpolation und Approximation I Inhalt: 3.1 Polynominterpolation 3.2 Extrapolation zum Limes 3.3 Gauß-Approximation Numerische Mathematik I 86
2 Allgemeine Problemstellung I. Gegeben ist eine Messreihe von Daten (x j,y j ), j = 0,...,n. Man bestimme eine einfache Funktion u : [a,b] R mit Interpolation: u(x j ) = y j für j = 0,...,n (siehe Abschnitte 3.1, 7.1, 7.2) Approximation: u(x j ) y j für j = 0,...,n (siehe Abschnitte 6.1, 7.3) II. Gegeben ist eine Funktion f : [a,b] R. Man bestimme eine einfache Funktion u : [a,b] R, Interpolation: die zu gegebenen Argumenten x j, j = 0,...,n, die Funktionswerte u(x j ) = f(x j ) besitzt (siehe Abschnitte 3.1, 7.1, 7.2) Approximation: für die f u möglichst klein ist, wobei. eine Norm auf C[a,b] ist. (siehe Abschnitte 3.3, 7.3) Als einfach bezeichnet man z.b. Polynome, rationale Funktionen oder trigonometrische Polynome. Numerische Mathematik I 87
3 Matlab/Octave: Interpolation von 4 Messwerten durch ein kubisches Polynom x=[0,1,2,3]; y=[1,-1,1,-1]; % oder y=cos(pi*x) c=polyfit(x,y,3); % kubisches Interpolationspolynom xx=linspace(0,3,101); plot(x,y, o ); hold on plot(xx,polyval(c,xx)); Approximation der Bevölkerungszahl der USA : load census; % laedt cdate und pop c=polyfit(cdate,pop,2); % quadratisches Ausgleichspolynom xx=linspace(1790,1990,101); plot(cdate,pop, o ); hold on plot(xx,polyval(c,xx)); Numerische Mathematik I 88
4 Polynominterpolation Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad n 3.1 Polynominterpolation Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad n Für n N 0 ist P n = {p : R R p(x) = a 0 +a 1 x + +a n x n, a j R} der Vektorraum der Polynome mit Grad(p) n. Es gilt dim(p n ) = n+1, und die Monome e j : R R mit e j (x) = x j, j = 0,...,n, sind eine Basis von P n. Bemerkung: Mit Polynomen kann man auf einem kompakten Intervall jede stetige Funktion beliebig genau annähern: Satz von Weierstrass Es sei I ein kompaktes Intervall und f C(I). Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein Polynom p (mit Grad(p) abhängig von ε), so dass f p := max f(x) p(x) < ε. x I Numerische Mathematik I 89
5 Polynominterpolation Erinnerung: Horner-Schema Erinnerung: Horner-Schema Zur Berechnung von p(x) = a 0 +a 1 x + +a n x n = a 0 +x (a 1 +x (a 2 + +x (a n 1 +xa n ) )) verwendet man das Horner-Schema aus Kapitel 1: Eingabe: a (0) k = a k, k = 0,...,n, und Stelle ξ Setze a (1) n = a (0) n. Berechne für k = n 1,...,0 Ergebnis: p(ξ) = a (1) 0 a (1) k = a (0) k +ξa (1) k+1. Rechenaufwand: n Multiplikationen/Additionen Numerische Mathematik I 90
6 Polynominterpolation Erinnerung: vollständiges Horner-Schema Erinnerung: vollständiges Horner-Schema Zur Berechnung der Taylor-Entwicklung von p(x) = a 0 +a 1 x + +a n x n = b 0 +b 1 (x ξ)+ b n (x ξ) n an der Stelle ξ verwendet man das vollständige Horner-Schema von Übungsblatt 1: Eingabe: a (0) k = a k für k = 0,...,n, und Stelle ξ Für j = 0,...,n 1, setze a n (j+1) = a n (j), berechne für k = n 1,...,j Ergebnis: b j = a (j) j a (j+1) k = a (j) k +ξa (j+1) k+1. Rechenaufwand: n(n + 1)/2 Multiplikationen/Additionen Numerische Mathematik I 91
7 Polynominterpolation Definition: Interpolationspolynom Definition: Interpolationspolynom Gegeben seien Punkte (x j,y j ) R 2, j = 0,...,n, mit paarweise verschiedenen x j R. Die Zahlen x j heißen die Stützstellen (oder Knoten) der Lagrange-Interpolation. Die Zahlen y j heißen die Daten (oder Knotenwerte). Ein Polynom p P n mit p(x j ) = y j für alle j = 0,...,n heißt Interpolationspolynom Hauptsatz: Die Lagrange-Interpolationsaufgabe ist eindeutig lösbar. D.h. zu paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und beliebigen Daten y j R existiert genau ein Polynom p P n mit p(x j ) = y j für alle j = 0,...,n. Numerische Mathematik I 92
8 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Monombasis 4 Varianten zur Darstellung/Berechnung des Interpolationspolynoms p P n liefern jeweils unterschiedliche Beweise von Satz Das Interpolationspolynom in der Monombasis Zu paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und beliebigen Daten y j R ist das Interpolationspolynom gegeben durch p(x) = n k=0 a kx k, wobei der Koeffizientenvektor (a 0,a 1,...,a n ) T R n+1 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems 1 x 0 x0 2 x0 n y 0 1 x 1 x1 2 x n 1 M a = y, M =., y = y 1. 1 x n x 2 n x n n y n ist. Die Matrix M ist regulär und hat die Vandermonde-Determinante detm = (x j x i ). 0 i<j n Numerische Mathematik I 93
9 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Monombasis Beweis: Der Determinanten-Multiplikationssatz ergibt 1 1 x 0 x0 2 x n 0 1 x x 1 x1 2 x n 1. det M = det x x n xn 2 xn n 1 }{{} x 1 x 0 x 1 (x 1 x 0 ) x n 1 1 (x 1 x 0 ) =. 1 x n x 0 x n(x n x 0 ) xn n 1 (x n x 0 ) x 1 x 0 x 1 (x 1 x 0 ) x n 1 1 (x 1 x 0 ) n = det = (x j x 0 ) det M,. j=1 0 x n x 0 x n(x n x 0 ) xn n 1 (x n x 0 ) wobei M die Vandermonde-Matrix zu den Knoten x1,...,x n ist. Das Herausziehen des Produktes erfolgt mit der Linearität von deta bezüglich jeder Zeile von A. Die Aussage des Satzes folgt per Induktion. Numerische Mathematik I 94
10 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Lagrange-Basis Das Interpolationspolynom in der Lagrange-Basis Zu n+1 paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, definieren wir die Lagrange-Grundpolynome L n,k (x) = n j=0 j k x x j x k x j P n, k = 0,...,n. Die Lagrange-Grundpolynome {L n,k : k = 0,...,n} bilden eine Basis von P n. Es gilt L n,k (x j ) = { 1, j = k 0, j k Das Interpolationspolynom zu den Stützstellen x j, j = 0,...,n, und Daten y j R ist n p(x) = y k L n,k (x). k=0 Numerische Mathematik I 95
11 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: (i) Mit dem Ansatz p(x) = n k=0 c kl n,k (x) ergeben die Interpolationsbedingungen das lineare Gleichungssystem A c = y, A = ( L n,k (x j ) ) j,k=0,...,n = I, dessen Lösung c = y sofort abzulesen ist. (ii) Kurz-Schreibweise für die Lagrange-Grundpolynome: mit Hilfe des Knotenpolynoms ist L n,k (x) = w(x) = n (x x j ) P n+1 j=0 w(x) (x x k )w (x k ), k = 0,...,n. (iii) Der Nachteil der Lagrange-Darstellung des Interpolationspolynoms p P n ist, dass bei Hinzunahme eines weiteren Stützpunktes (x n+1,y n+1 ) oder bei der Änderung eines Stützpunktes (x j,y j ) die Basisfunktionen L n,k sich völlig ändern. Deshalb ist diese Darstellung des Interpolationspolynoms für die meisten praktischen Zwecke zu aufwändig. Numerische Mathematik I 96
12 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Newton-Basis Das Interpolationspolynom in der Newton-Basis Zu n+1 paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, definieren wir die Newton-Grundpolynome k 1 N 0 (x) = 1; N k (x) = (x x j ) P k, k = 1,...,n. j=0 Die Newton-Grundpolynome {N k : k = 0,...,n} bilden eine Basis von P n. Es gilt N k (x j ) = 0 für k > j. Das Interpolationspolynom zu den Stützstellen x j, j = 0,...,n, und Daten y j R ist n p(x) = y[x 0,...,x k ]N k (x), k=0 wobei y[x 0,...,x k ] die k-te dividierte Differenz zu den Punkten (x j,y j ), j = 0,...,n, bezeichnet. Numerische Mathematik I 97
13 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: (i) Mit dem Ansatz p(x) = n k=0 c kn k (x) ergeben die Interpolationsbedingungen das lineare Gleichungssystem A c = y, A = ( N k (x j ) ) j,k=0,...,n ; die Matrix A ist eine untere Dreiecksmatrix, das Auflösen kann also durch Vorwärtseinsetzen erfolgen. Die dividierten Differenzen bilden einen numerisch stabileren Algorithmus zur Lösung. (ii) In der Newton-Darstellung ist die Teilsumme p 0,m (x) = m y[x 0,...,x k ]N k (x) P m, 0 m n, k=0 das Interpolationspolynom zu den Daten (x 0,y 0 ),...,(x m,y m). Deshalb kann auch ein weiterer Punkt (x n+1,y n+1 ) leicht hinzugenommen werden: das neue Interpolationspolynom p 0,n+1 ergibt sich als p 0,n+1 (x) = p 0,n (x)+y[x 0,...,x n+1 ]N n+1 (x). (iii) Die dividierte Differenz y[x 0,...,x n] ist der Höchstkoeffizient des Interpolationspolynoms in der Monom-Darstellung: p(x) = a a n 1 x n 1 +a nx n mit a n = y[x 0,...,x n]. Numerische Mathematik I 98
14 Polynominterpolation Definition: dividierte Differenzen Definition: dividierte Differenzen Zu n+1 paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und Daten y j sind die dividierten Differenzen rekursiv definiert durch Ordnung k = 0: Ordnung 1 k n: y[x j ] = y j, j = 0,...,n, y[x j,...,x j+k ] = y[x j+1,...,x j+k ] y[x j,...,x j+k 1 ], j = 0,...,n k. x j+k x j Berechnungs-Schema: x n x 0 x 2 x 0 x 1 x 0 x 0 y 0 y[x 0,x 1 ] y[x 0,x 1,x 2 ] y[x 0,...,x n] x 3 x 1 x 2 x 1 x 1 y 1 y[x 1,x 2 ] y[x 1,x 2,x 3 ].... x n x n 1 x n 1 y n 1 y[x n 1,x n] x n y n Numerische Mathematik I 99
15 Polynominterpolation Lemma (zur Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms): Lemma (zur Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms): Es seien n+1 paarweise verschiedene Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und Daten y j R gegeben. Mit p j,j+k P k, 0 k n, 0 j n k bezeichnen wir das Interpolationspolynom zu den Punkten. Dann gilt (x j,y j ),...,(x j+k,y j+k ) p j,j+k (x) = y[x j ]+y[x j,x j+1 ](x x j )+ + y[x j,...,x j+k ](x x j ) (x x j+k 1 ). Numerische Mathematik I 100
16 Polynominterpolation Lemma (zur Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms): Beweis: Induktion nach k: Für k = 0 und 0 j n ist p j,j (x) = y j = y[x j ] das konstante Interpolationspolynom zum Punkt (x j, y j ). Sei k 1 und 0 j n k. Nach Induktionsannahme interpoliert p j,j+k 1 (x) = y[x j ] + + y[x j,..., x j+k 1 ](x x j ) (x x j+k 2 ) P k 1 die Punkte (x j, y j ),...,(x j+k 1, y j+k 1 ), und ebenso interpoliert p j+1,j+k (x) = y[x j+1 ] + + y[x j+1,...,x j+k ](x x j+1 ) (x x j+k 1 ) P k 1 die Punkte (x j+1,y j+1 ),..., (x j+k,y j+k ). Deshalb interpoliert q(x) = (x x j )p j+1,j+k (x) + (x j+k x)p j,j+k 1 (x) x j+k x j die Punkte (x j, y j ),...,(x j+k,y j+k ), ist also das gesuchte Interpolationspolynom p j,j+k. Der Höchstkoeffizient von q (also der Vorfaktor von x k ) berechnet sich aus den Höchstkoeffizienten von p j,j+k 1 und p j+1,j+k, a := HK(q) = y[x j+1,..., x j+k ] y[x j,..., x j+k 1 ] x j+k x j = y[x j,...,x j+k ]. Andererseits gilt (durch Hinzunahme des Punktes (x j+k,y j+k ) zu p j,j+k 1, siehe Bemerkung (ii)) q(x) = p j,j+k (x) = p j,j+k 1 (x) + a(x x j ) (x x j+k 1 ). Damit hat p j,j+k die behauptete Form. Numerische Mathematik I 101
17 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: (i) Die dividierte Differenz y[x 0,...,x n ] ist der Höchstkoeffizient des Interpolationspolynoms p P n zu den Punkten (x 0,y 0 ),...,(x n,y n ). (ii) Die dividierte Differenz y[x 0,...,x n ] ist invariant gegenüber einer Index-Permutation in der Aufzählung der Punkte (x 0,y 0 ),...,(x n,y n ). Insbesondere brauchen die Stützstellen x j nicht sortiert vorzuliegen. (iii) Bei Hinzunahme eines Punktes (x n+1,y n+1 ) wird das Schema der dividierten Differenzen unten um eine Diagonale ergänzt. Numerische Mathematik I 102
18 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Neville-Aitken-Form Zur Auswertung des Interpolationspolynoms an einer Stelle ξ R eignet sich die Rekursion im Beweis von Lemma Das Interpolationspolynom in der Neville-Aitken-Form Zu n+1 paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und Daten y j berechnet man den Wert p(ξ) = p 0,n (ξ) des Interpolationspolynoms rekursiv gemäß k = 0: p j,j (ξ) = y j für j = 0,...,n, 1 k n: p j,j+k (ξ) = p j,j+k 1 (ξ)+(ξ x j ) p j+1,j+k(ξ) p j,j+k 1 (ξ) x j+k x j für j = 0,...,n k. Schema: x 0 y 0 p 0,1 (ξ) p 0,2 (ξ) p 0,3 (ξ)... p 0,n 1 (ξ) p 0,n (ξ) x 1 y 1 p 1,2 (ξ) p 1,3 (ξ) p 1,4 (ξ)... p 1,n (ξ) x 2 y 2 p 2,3 (ξ) p 2,4 (ξ) p 2,5 (ξ) x n 1 y n 1 p n 1,n (ξ) x n y n.. Numerische Mathematik I 103
19 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Neville-Aitken-Form Erweiterte Problemstellung: Gegeben sei eine Funktion f C n+1 [a,b]. Zu paarweise verschiedenen Stützstellen x j [a,b] werden die Daten y j = f(x j ) dem Graphen von f entnommen. conv(x 0,...,x n ) bezeichnet das kleinste Intervall, das alle x j, j = 0,...,n, enthält, also die konvexe Hülle der Menge {x 0,...,x n }). Vergleich von f(x) = log 10 (x) auf [a,b] = [1,10] (schwarz) und dem quadratischen Interpolationspolynom zu den Stützstellen x j = 1,5,10 (cyan) Numerische Mathematik I 104
20 Polynominterpolation Satz: Interpolationsfehler Satz: Interpolationsfehler Es seien f : [a,b] R und paarweise verschiedene Stützstellen x 0,...,x n [a,b] gegeben. p P n sei das Interpolationspolynom zu den Punkten (x j,f(x j )), j = 0,...,n. Weiter sei x [a,b]. Dann ist der Interpolationsfehler f(x) p(x) gegeben in Newton-Form n f(x) p(x) = f[x 0,...,x n,x] (x x j ), j=0 mit der dividierten Differenz zu den Punkten (x 0,f(x 0 )),...,(x n,f(x n )),(x,f(x)), bzw. in Lagrange-Form f(x) p(x) = f (n+1) (ξ x ) (n+1)! n (x x j ), mit einem ξ x conv(x 0,...,x n,x), falls f C n+1 [a,b] gilt. j=0 Numerische Mathematik I 105
21 Polynominterpolation Folgerung: Die dividierte Differenz f[x 0,...,x n ] zu den Punkten (x 0,f(x 0 )),...,(x n,f(x n )) besitzt zwei interessante Darstellungen Folgerung: Es seien n N 0, f C n [a,b] und x j [a,b], j = 0,...,n, (paarweise verschiedene) Stützstellen. a) Es existiert ξ conv(x 0,...,x n ) mit f[x 0,...,x n ] = f (n) (ξ). n! b) Für n 1 gilt f[x 0,...,x n ] = 1 t tn 1 f (n) (x 0 +t 1 (x 1 x 0 )+...+t n (x n x n 1 ))dt n dt 2 dt 1. Numerische Mathematik I 106
22 Polynominterpolation Folgerung: Beachte: 1 t1 tn 1 dt n dt 2 dt 1 = vol(standard-simplex im R n ) = 1/n! Im Beweis von b) führt man die innere Integration aus: 1 t1 tn 1 (x n x n 1 ) f (n) (x 0 +t 1 (x 1 x 0 )+...+t n(x n x n 1 ))dt n dt 2 dt 1 = t1 tn 2 ( f (n 1) (x 0 +t 1 (x 1 x 0 )+...+t n 1 (x n x n 2 )) ) f (n 1) (x 0 +t 1 (x 1 x 0 )+...+t n 1 (x n 1 x n 2 )) dt n 1 dt 2 dt 1 = f[x 0,x 1,...,x n 2,x n] f[x 0,x 1,...,x n 2,x n 1 ] = f[x 0,x 1,...,x n 2,x n] f[x n 1,x 0,x 1,...,x n 2 ] nach Ind.-Annahme Vertauschung der Stützstellen Numerische Mathematik I 107
23 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: Die Definition der dividierten Differenz von f C n [a,b] für zusammenfallende Knoten geschieht mittels sogenannter Konfluenz : für zusammenfallende Knoten x 0 = x 1 ist f(x 0 +h) f(x 0 ) f[x 0,x 0 ] = lim f[x 0,x 0 +h] = lim = f (x 0 ). h 0 h 0 h Die Integraldarstellung bleibt in diesem Fall gültig, 1 1 f[x 0,x 0 ] = f (x 0 ) = f (x 0 +t(x 0 x 0 ))dt = f (x 0 )dt. 0 0 Bei mehrfacher Wiederholung der Stützstelle x j = = x j+k ist f[x j,...,x j ] = f (k) (x j ) 1 = }{{} j! 0 (k+1) mal t1 0 tk 1 f (k) (x j )dt k dt 2 dt 1. 0 Sind die Stützstellen x 0 x 1 x n angeordnet, so werden im Schema die nicht-existierenden Quotienten (Teilen durch Null) durch die entsprechenden Ableitungsterme ersetzt. Dadurch bleibt die rekursive Berechnung von f[x 0,...,x n] gültig, auch wenn Stützstellen zusammenfallen. Numerische Mathematik I 108
24 Polynominterpolation Hermite-Interpolation Für mehrfache Stützstellen stellt sich eine modifizierte Interpolationsaufgabe Hermite-Interpolation Es seien x 0,...,x m R paarweise verschieden, µ 0,...,µ m N 0 und Daten y (k) j, j = 0,...,m, k = 0,...,µ j gegeben. Weiter sei n = Ein Polynom p P n mit m (1+µ j ) 1. j=0 p (k) (x j ) = y (k) j für alle j = 0,...,m, k = 0,...,µ j, heißt Hermite-Interpolationspolynom. Numerische Mathematik I 109
25 Polynominterpolation Satz zur Hermite-Interpolation Satz zur Hermite-Interpolation Die Hermite-Interpolationsaufgabe ist eindeutig lösbar. Mit dem erweiterten Knotenvektor (ξ 0,ξ 1,...,ξ n ) = (x 0,...,x }{{} 0,...,x m,...,x m ) }{{} µ 0+1 fach µ m+1 fach und der Definition dividierter Differenzen mit mehrfachen Knoten ist das Interpolationspolynom gegeben in der Newton-Form p(x) = n y[ξ 0,...,ξ k ](x ξ 0 ) (x ξ k 1 ). k=0 Numerische Mathematik I 110
26 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: Die Darstellungen des Interpolationsfehlers für Daten y (k) j = f (k) (x j ), j = 0,...,m, k = 0,...,µ j, bleiben exakt wie in Satz erhalten. Numerische Mathematik I 111
27 Polynominterpolation Diskussion: Interpolationsfehler bei f mit beschränkten Ableitungen Diskussion: Interpolationsfehler bei f mit beschränkten Ableitungen Mit max x [a,b] f (n+1) (x) =: M n+1 gilt f(x) p 0,n (x) M n+1 (n +1)! n x x j. Für äquidistante Knoten x j = a+jh, j = 0,...,n, h = (b a)/n, ist weiterhin n j=0 x x j n!h n+1, also insgesamt j=0 f(x) p 0,n (x) M n+1 n+1 ( ) b a n+1. Falls ( ) M n+1 b a n+1 = o(1) für n n+1 n gilt, so konvergiert die Folge (p 0,n ) n 0 der Interpolationspolynome gleichmäßig gegen f. Ist die Folge (M n) n 0 sogar beschränkt (z.b. für f(x) = e x auf [a,b]), so ist die Konvergenz sehr schnell: ( (b a) n+1) f(x) p 0,n (x) = O n n+2 für n. n Numerische Mathematik I 112
28 Polynominterpolation Diskussion: Interpolationsfehler bei f mit wachsenden Ableitungen Diskussion: Interpolationsfehler bei f mit wachsenden Ableitungen Ein klassisches Beispiel von Runge ist die Funktion f : [ 5,5] R, f(x) = 1 1+x 2. Interpolation mit äquidistanten Knoten x j = 5+jh, j = 0,...,n, h = 10/n, führt schon für n = 10 zu unbrauchbarem Interpolationspolynom. Tatsächlich divergiert die Folge der Interpolationspolynome (p 0,n ) n Runge Beispiel mit n=4 2 Runge Beispiel mit n= Numerische Mathematik I 113
29 Extrapolation zum Limes Beispiel (vgl in der Einleitung): 3.2 Extrapolation zum Limes Beispiel (vgl in der Einleitung): Berechne: a 0 = lim h 0 f(h) für f(x) = tanx x x 3. Numerische Rechnung (doppelt genau) ergibt für h j = 10 (j+1) Ergebnisse Mit der Taylor-Reihe ergibt sich mit j = 0,1,2 die , , tanx = x x x x7 + f(x) = x x4 + ; insbesondere ist f gerade, besitzt also eine Entwicklung mit geraden Potenzen von x. Daher ist es sinnvoll, a 0 anzunähern durch den Wert p 0,1 (0) des linearen Interpolationspolynoms zu den Punkten (h0 2,f(h 0)), (h1 2,f(h 1)), also nach dem Neville-Schema 1 p 0,1 (0) = f(h 1 )+ (h 0 /h 1 ) 2 1 (f(h 1) f(h 0 )) = Numerische Mathematik I 114
30 Extrapolation zum Limes Beispiel (vgl in der Einleitung): Analog ergibt das lineare Interpolationspolynom zu den Punkten (h 2 1,f(h 1)), (h 2 2,f(h 2)) p 1,2 (0) = f(h 2 )+ 1 (h 1 /h 2 ) 2 1 (f(h 2) f(h 1 )) = Weiterführung zum quadratischen Interpolationspolynom zu den Punkten (h 2 0,f(h 0)), (h 2 1,f(h 1)), (h 2 2,f(h 2)) liefert p 0,2 (0) = p 1,2 (0)+ also keine weitere Verbesserung zum exakten Wert 1/3. 1 (h 0 /h 2 ) 2 1 (p 1,2(0) p 0,1 (0)) = , Numerische Mathematik I 115
31 Extrapolation zum Limes Beispiele: Differenzenquotienten Beispiele: Differenzenquotienten Für eine (r +1)-mal stetig differenzierbare Funktion f : [a,b] R und x 0 [a,b] gilt a(h) := f(x 0 +h) f(x 0 ) h = f (x 0 )+ r j=1 f (j+1) (x 0 ) (j +1)! h j +o(h r ). Für verschiedene Werte h j > 0, j = 0,...,r, stellt man das Neville-Schema zur Berechnung der Interpolationspolynome p j,j+k zu den Punkten (h j,a(h j )),...,(h j+k,a(h j+k )) und für die Auswertung bei ξ = 0 auf. Aus den Näherungswerten werden (bessere) Näherungswerte berechnet: Für 1 k r und 0 j r k setze a j+k,k = p j,j+k (0) = p j+1,j+k (0)+ a j,0 = p j,j (0) = a(h j ) für j = 0,...,r 1 (h j /h j+k ) 1 (p j+1,j+k(0) p j,j+k 1 (0)). Numerische Mathematik I 116
32 Extrapolation zum Limes Beispiele: Differenzenquotienten Wählt man stattdessen den symmetrischen Differenzenquotienten b(h) := f(x 0 +h) f(x 0 h) 2h so werden Interpolationspolynome [r/2] = f (x 0 )+ j=1 f (2j+1) (x 0 ) (2j +1)! h 2j +o(h r ), q j,j+k zu den Punkten (h 2 j,b(h j)),...,(h 2 j+k,b(h j+k)) bei ξ = 0 ausgewertet. Aus den Näherungswerten werden (bessere) Näherungswerte berechnet: b j,0 = q j,j (0) = b(h j ) für j = 0,...,[r/2] Für 1 k [r/2] und 0 j [r/2] k setze b j+k,k = q j,j+k (0) = q j+1,j+k (0)+ 1 (h j /h j+k ) 2 1 (q j+1,j+k(0) q j,j+k 1 (0)). Numerische Mathematik I 117
33 Extrapolation zum Limes Beispiele: Differenzenquotienten Für f(x) = e x an der Stelle x 0 = 0, h j = 2 j für j = 1,...,5: Extrapolation für Differenzenquotienten (q = 1 in Satz 3.2.3) tab=extrapolation_tab( bsp_diffqu_exp,2.^-[1:5],1) tab = Extrapolation für symmetrische Differenzenquotienten (q = 2 in Satz 3.2.3) tab=extrapolation_tab( bsp_symdiffqu_exp,2.^-[1:5],2) tab = Numerische Mathematik I 118
34 Extrapolation zum Limes Satz: Richardson-Extrapolation Satz: Richardson-Extrapolation Die Funktion a : R + R besitze die Entwicklung n+1 a(h) = a 0 + a j h j q +o(h (n+1)q ), h 0. j=1 Hierbei sind q > 0 und a j R, j = 0,...,n+1. Weiter sei (h j ) j N0 eine monoton fallende Folge positiver Zahlen mit Dann erfüllt das Interpolationspolynom 0 < h j+1 h j ρ < 1, j N 0. p j,j+n P n zu den Punkten (h q j,a(h j)),...,(h q j+n,a(h j+n)) die Beziehung a(0) p j,j+n (0) = O(h (n+1)q j ), j. Numerische Mathematik I 119
35 Extrapolation zum Limes Lemma Lemma Die Lagrange-Grundpolynome L n,j zu paarweise verschiedenen Stützstellen x 0,...,x n R erfüllen n x k, für 0 k n, xj k L n,j(x) = j=0 x n+1 w(x), für k = n+1. Beweis: Für x R und 0 k n ist n xj k L n,j(x) = x k, j=0 weil das Monom e k : R R, e k (x) = x k sich selbst interpoliert. Für k = n+1 ergibt die Fehlerdarstellung in der Newton-Form x n+1 n j=0 x n+1 j L n,j (x) = e n+1 [x 0,...,x n,x] w(x), und die dividierte Differenz (n +1)-ter Ordnung von e n+1 ist 1. Numerische Mathematik I 120
36 Extrapolation zum Limes Extrapolations-Tafel: Extrapolations-Tafel: Das Neville-Schema zur Berechnung der a j+k,k := p j,j+k (0) a(0) wird als untere Dreiecksmatrix aufgeschrieben: h 0 a 00 = a(h 0 ) h 1 a 10 = a(h 1 ) a 11 h 2 a 20 = a(h 2 ) a 21 a h j a j0 = a(h j ) a j1 a j2... a j,j 1 a jj mit Hilfe der Rekursion (mit dem entsprechenden q in Satz 3.2.3) j = 0,1,2... : a j0 = a(h j ) k = 1,...,j : a jk = a j,k ( hj k /h j ) q 1 ( aj,k 1 a j 1,k 1 ). Numerische Mathematik I 121
37 Extrapolation zum Limes Bemerkung: Schrittweiten-Folgen und monotone Konvergenz Bemerkung: Schrittweiten-Folgen und monotone Konvergenz (i) Gebräuchliche Schrittweiten-Folgen (h j ) j 0 sind ( ) 1 2 j, j N 0 ( ) 1, n j = 1,2,3,4,6,8,12,...,2 (j+1)/2 j ungerade,3 2 (j 2)/2 j 2 gerade. n j j N 0 ( ) Unzulässig ist die Folge 1 j, da lim j j N j j +1 = ρ = 1. (ii) Nach Satz gilt für die Einträge der k-ten Spalte a jk a(0) = O(h (k+1)q j k ), j, falls die Schrittweiten-Folge (h j ) j 0 die Voraussetzungen des Satzes erfüllt. Noch genauer ist sogar für (unbekanntes!) a k+1 0 k a jk a(0) = ( 1) k a k+1 h q i +o(h (k+1)q j k ), j, i=j k woraus man auf schließlich monotone Konvergenz der Folge (a jk ) j k gegen a(0) schließen kann. Numerische Mathematik I 122
38 Extrapolation zum Limes Bemerkung: Schrittweiten-Folgen und monotone Konvergenz (iii) Führt man zusätzlich die Folge b j,k = 2a j+1,k a j,k, j k, mit, so ergibt sich wegen a j+1,k a(0) a j,k a(0) die Beziehung b j,k a(0) a(0) a j,k, also (heuristisch) eine Einschließung ( Abbruchkriterium!) a j,k a(0) b j,k oder a j,k a(0) b j,k. Numerische Mathematik I 123
39 Extrapolation zum Limes Satz: Konvergenz entlang der Diagonalen Besitzt die Funktion a sogar eine Reihenentwicklung a(h) = a(0)+ a j h qj j=1 (z.b. falls a analytisch ist), so kann auch der Grenzwert lim k a kk entlang der Diagonalen der Extrapolations-Tafel betrachtet werden Satz: Konvergenz entlang der Diagonalen Falls in der Reihenentwicklung unendlich viele a j 0 sind und falls h j+1 h j+1 inf > 0 und sup < 1, j N 0 h j j N 0 h j so konvergiert die Folge (a kk ) k 0 der Diagonalelemente der Extrapolations-Tafel schneller gegen a(0) als die Folge (a j,k0 ) j k0 entlang einer beliebigen Spalte k 0 ; d.h. lim k a kk a(0) a k,k0 a(0) = 0. Numerische Mathematik I 124
40 Gauß-Approximation 3.3 Gauß-Approximation Wir betrachten weiterhin die Approximation von Funktionen f C[a,b] = {f : [a,b] K : f ist stetig}. C[a, b] ist ein K-Vektorraum, seine Dimension ist unendlich. P n (genauer die Einschränkungen der Polynome vom Grad kleiner oder gleich n auf [a,b]) ist ein (n+1)-dimensionaler Teilraum von C[a,b] Die Gaußapproximation ist die Orthogonalprojektion von C[a,b] auf P n bezüglich eines gegebenen Skalarprodukts. Numerische Mathematik I 125
41 Gauß-Approximation Definition: Skalarprodukt Definition: Skalarprodukt Es sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung s : V V K heißt Skalarprodukt auf V, wenn (S1) s(αx +βy,z) = αs(x,z)+βs(y,z) für alle x,y,z V, α,β K; (S2) s(x,y) = s(y,x) für alle x,y V; (S3) (x,x) > 0 für alle x V \{0}. (V, s) heißt Skalarproduktraum oder Prä-Hilbertraum, speziell für K = R auch euklidischer Raum und für K = C unitärer Raum. Schreibweise: x,y = s(x,y) Wichtige Ergänzung: (i) Das Skalarprodukt induziert eine Norm x = x,x, x V. (ii) Es gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung x,y x y, x,y V. Beweis: klar für v = 0 oder w = 0; für v,w 0 setze o.b.d.a. v = w = 1 und betrachte 0 v v,w w,v v,w w = 1 v,w 2. Numerische Mathematik I 126
42 Gauß-Approximation Beispiel: Skalarprodukte auf C[a, b Beispiel: Skalarprodukte auf C[a, b Es seien a,b R, a < b. a) Das Standard-Skalarprodukt auf C[a, b] ist b f,g = f(x)g(x) dx. a (SP1) und (SP2) sind sofort klar, (SP3) folgt aus der Stetigkeit: b f,f = f(x) 2 dx 0 für alle f C[a,b]; a für f 0 existiert ein Intervall U = [x 0 δ,x 0 +δ] [a,b] mit f(x) > 0 für alle x U, also ist b a f(x) 2 dx > 0 für f 0. Die induzierte Norm ist die L 2 -Norm ( b 1/2 f = f(x) dx) 2. a Durch ( b ) 1/2 f g = f(x) g(x) 2 dx a wird die Abweichung von f und g im quadratischen Mittel erfasst. Numerische Mathematik I 127
43 Gauß-Approximation Beispiel: Skalarprodukte auf C[a, b b) Das gewichtete Skalarprodukt auf C[a,b]: Die Funktion w : (a,b) R erfülle b w(x) > 0 für alle x (a,b), w(x)dx <. a w heißt Gewichtsfunktion. Dann ist b f,g w = f(x)g(x) w(x)dx a ein Skalarprodukt auf C[a, b] mit induzierter Norm ( b 1/2 f w = f(x) w(x)dx) 2. a Beispiel: w(x) = 1 auf [ 1,1] ergibt 1 x2 1 dx f,g w = f(x)g(x). 1 1 x 2 Numerische Mathematik I 128
44 Gauß-Approximation Bemerkung und Bezeichnungen: Bemerkung und Bezeichnungen: Es sei V ein Skalarproduktraum. (i) Es gilt die Parallelogramm-Identität x +y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ), x,y V. Aus der Parallelogramm-Identität folgt umgekehrt die Polarisierung für K = R und für K = C x,y = 1 2 ( x +y 2 x 2 y 2 ), x,y = 1 2 ( x +y 2 +i x +iy 2 (1+i)( x 2 + y 2 )). (ii) Der Cosinus des Winkels zwischen x,y V mit x,y 0 ist cos (x,y) = x,y x y. (iii) x,y V sind orthogonal, wenn x,y = 0 gilt. Numerische Mathematik I 129
45 Gauß-Approximation Geometrisches Verständnis der Gauß-Approximation: Geometrisches Verständnis der Gauß-Approximation: Die Gaußapproximation von f C[a, b] durch Polynome vom Grad kleiner oder gleich n berechnet dasjenige p P n mit f p = min q P n f q. Dieser kürzeste Abstand wird genau dann erzielt, wenn die Orthogonalitätsbedingung f p,q = 0 für alle q P n erfüllt ist; d.h. die Differenz f p ist orthogonal zu jedem q P n. Siehe hierzu Satz Anschaulich: Die Gaußapproximation von f C[a, b] ist die Orthogonalprojektion von f auf den Teilraum der Polynome. Numerische Mathematik I 130
46 Gauß-Approximation Satz: Die Orthogonalitätsbedingung Satz: Die Orthogonalitätsbedingung Es sei V ein Skalarproduktraum und S V ein endlichdimensionaler Teilraum. Dann sind äquivalent: (i) p S ist eine beste Approximation von f V; d.h. f p = min f q. q S (ii) Es gilt die Orthogonalitätsbedingung f p,q = 0 für alle q S. Das Element p S ist durch (i) oder (ii) eindeutig bestimmt. Es heißt Orthogonalprojektion von f auf S. Bemerkung: In der Approximationstheorie und der Funktionalanalysis wird gezeigt, dass die Aquivalenz sogar für jeden abgeschlossenen Teilraum (auch mit dim S = ) eines Hilbertraumes gilt. Numerische Mathematik I 131
47 Gauß-Approximation Definition und Satz: Gram-Matrix Die Gram-Matrix dient der allgemeinen Beschreibung der Orthogonalprojektion Definition und Satz: Gram-Matrix Es seien V ein Skalarproduktraum, ψ 1,...,ψ n V. Die Matrix ψ 1,ψ 1 ψ n,ψ 1 M =.. ψ 1,ψ n ψ n,ψ n heißt Gram-Matrix der Elemente ψ 1,...,ψ n. Es gilt: a) M ist hermitesch und positiv-semidefinit. b) M ist genau dann positiv-definit, wenn die Familie (ψ 1,...,ψ n) linear unabhängig ist. c) Sind ψ 1,...,ψ n linear unabhängig und S = Span(ψ 1,...,ψ n), so ist die Orthogonalprojektion von f V auf S gegeben durch p = n c j ψ j, wobei der Vektor c = (c j ) j=1,...,n die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems f,ψ 1 M c =. ist. f,ψ n Numerische Mathematik I 132 j=1
48 Gauß-Approximation Bemerkung: Bemerkung: Es seien ψ 1,...,ψ n V und M die zugehörige Gram-Matrix. (i) M ist genau dann eine Diagonalmatrix, wenn die Elemente ψ 1,...,ψ n paarweise orthogonal sind, und M = I genau dann, wenn die Elemente ψ 1,...,ψ n ein Orthonormalsystem in V bilden. (ii) Gedächtnisstütze: Die Transponierte der Gram-Matrix kann man kurz schreiben als ψ 1, M T = M =. (ψ 1,...,ψ n ). ψ n, Dabei wird die n n-matrix der Einträge ψ j,ψ k gebildet. Diese Vektornotation hilft z.b. beim Basiswechsel. Numerische Mathematik I 133
49 Gauß-Approximation Korollar: Korollar: a) Die Orthogonalprojektion Π S : V S ist eine lineare Abbildung. b) Falls (φ 1,...,φ n ) eine Orthonormalbasis von S ist, so ist die Orthogonalprojektion gegeben durch n Π S (f) = f,φ j φ j, f V. j=1 Numerische Mathematik I 134
50 Gauß-Approximation Beispiele: Beispiele: a) Auf dem R-Vektorraum C[0, 1] ist das Standardskalarprodukt 1 f,g = f(x)g(x)dx 0 definiert. Zur Monom-Basis e k : [0,1] R, e k (x) = x k, k = 0,...,n, von P n gehört die Gram-Matrix ( ) 1 H n+1 =, j +k 1 j,k=1,...,n+1 dies ist die Hilbert-Matrix von Übungsblatt 3. Sie ist sehr schlecht konditioniert. Für die Gauß-Approximation sollte man also eine andere Methode als in Satz verwenden!! ( Koordinaten-Transformation der Legendre-Polynome auf das Intervall [0, 1].) Numerische Mathematik I 135
51 Gauß-Approximation Beispiele: b) Auf dem R-Vektorraum C[ 1, 1] ist das gewichtete Skalarprodukt 1 dx f,g w = f(x)g(x) 1 1 x 2 definiert. Die Tschebyscheff-Polynome 1. Art T n P n lauten für x [ 1,1] T n(x) = cos(narccos(x)), n = N 0. Dies sind tatsächlich Polynome vom Grad n: klar ist T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x für x [ 1,1], und aus der trigonometrischen Identität cos((n +1)t)+cos((n 1)t) = 2cos(nt)cost folgt die Rekursion der Tschebyscheff-Polynome T n+1 (x) = 2xT n(x) T n 1 (x), n 1, also für n = 2,3,4,5 T 2 (x) = 2x 2 1, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x 2 +1, T 5 (x) = 16x 5 20x 3 +5x. (Natürlich sind die Polynome auf ganz R (sogar C) mittels der Rekursion definiert.) Für j,k 0 ergibt sich das Skalarprodukt 1 dx π π, für j = k = 0, T j,t k w = T j (x)t k (x) = cos(jt) cos(kt) dt = π/2, für j = k > 0, 1 1 x 2 0 0, für j k. Numerische Mathematik I 136
52 Gauß-Approximation Beispiele: Die zugehörige Gram-Matrix ist eine Diagonalmatrix. Die Gauß-(Tschebyscheff)-Approximation vom Grad n der Funktion f C[ 1,1] ist gegeben durch mit den Koeffizienten c 0 = 1 1 f(x) π 1 dx 1 x 2, p = n c k T k k=0 c k = 2 1 f(x)t k (x) π 1 dx 1 x 2 für k > 0. Numerische Mathematik I 137
53 Gauß-Approximation Verfahren: Gram-Schmidt-Orthogonalisierung Vorteilhaft für die Gauß-Approximation ist die Verwendung von Orthogonalsystemen. Aus der Linearen Algebra ist bekannt (evtl. für Vektoren im K n ): Verfahren: Gram-Schmidt-Orthogonalisierung Es sei V ein Skalarproduktraum und ψ 1,...,ψ n V \{0}. Weiter sei S = Span(ψ 1,...,ψ n ), 1 r = dims n. Der folgende Algorithmus liefert eine Orthonormalbasis φ 1,...,φ r von S (mit Aussortieren linear abhängiger ψ j ): 1. Setze k = 1 und φ 1 = 1 ψ 1 ψ Für j = 2,...,n k τ = ψ j ψ j,φ l φ l. l=1 Falls τ 0 setze k = k +1 und φ k = 1 τ τ. Numerische Mathematik I 138
54 Gauß-Approximation Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, 1 C[ 1, 1] als R-Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt 1 f,g = f(x)g(x)dx 1 besitzt die Monom-Basis e k : [ 1,1] R, e k (x) = x k, für k = 0,1,...,n. Gram-Schmidt-Orthonormalisierung ergibt (verwende L j für die τ im Algorithmus ): und mit dem folgenden Satz Für n = 2,3,4,5 ist L k+1 (x) = x L k (x) L 0 (x) = 1, φ 0 (x) = 1/2, L 1 (x) = x, φ 1 (x) = 3/2 x, k2 4k 2 1 L k 1(x), k = 1,2,... φ k (x) = (2k)! 2k +1 (k!) 2 2 2k+1 L k (x). L 2 (x) = x 2 1 3, L 3(x) = x x, L 4(x) = x x , L 5(x) = x x x. Numerische Mathematik I 139
55 Gauß-Approximation Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, 1 Damit ist die Gauß-(Legendre)-Approximation von f durch Polynome vom Grad n gegeben durch mit den Koeffizienten p = n c k φ k k=0 1 c k = f(x)φ k (x)dx für k = 0,...,n. 1 Numerische Mathematik I 140
56 Gauß-Approximation Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, 1 Die Normalisierungskonstante der φ k berechnet man z.b. mit der sog. Rodriguez-Formel für die Legendre-Polynome: L n(x) = n! d n [ (x 2 (2n)! dx n 1) n]. Beachte: Höchstkoeffizient ist L (n) n (0) = 1 n! (2n)! d 2n [ (x 2 dx 2n 1) n] = 1. }{{} =(2n)! Mit partieller Integration (alle Randterme sind Null) ergibt sich (n!) 2 1 d n [ L n,l n = (x 2 ((2n)!) 2 1 dx n 1) n] dn [ (x 2 dx n 1) n] dx = ( 1) n (n!) 2 1 ((2n)!) 2 (x 2 1) n d 2n [ (x 2 1 dx 2n 1) n] dx }{{} =(2n)! = ( 1) n (n!)2 1 (x 1) n (x +1) n dx (2n)! 1 = (n!)2 (n!) 2 1 (x +1) 2n dx (2n)! (2n)! 1 (n!) 4 2 2n+1 = ((2n)!) 2 2n +1, und daraus die obige Normierung der φ k. Numerische Mathematik I 141
57 Gauß-Approximation Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, 1 Bemerkung: Eine andere Normalisierung, nämlich L n(1) = 1, erzielt man mit der Rekursion Hierbei ist also ist φ k in Für n = 2,3,4,5 ist L 0 (x) = 1, L1 (x) = x, L k+1 (x) = 2k+1 L k+1 k (x) k+1 L k k 1 (x). L k,l k = 2 2k +1, 2k +1 φ k (x) = L k (x). 2 L 2 (x) = 3 2 x2 1 2, L 3(x) = 5 2 x3 3 2 x, L 4(x) = 35 8 x x , L 5(x) = 63 8 x x x. Numerische Mathematik I 142
58 Gauß-Approximation Satz: 3-Term Rekursion der Orthogonalpolynome Satz: 3-Term Rekursion der Orthogonalpolynome Das Skalarprodukt, auf C[ 1, 1] besitze die Symmetrie-Eigenschaft p,xq = xp,q für alle Polynome p,q. Dann führt die Gram-Schmidt-Orthonormalisierung der Monom-Basis {1,x,...,x n } auf die folgenden Polynome p k (mit Höchstkoeffizient 1) und φ k (mit φ k = φ k,φ k = 1): p 0 (x) = 1, p 1 (x) = x β 0, p k+1 (x) = (x β k ) p k (x) γ k p k 1 (x), k = 1,2,..., φ k = 1 p k p k, k = 0,1,2,... mit β k = x p k p k p k 2 für k 0, γ k = p k 2 p k 1 2 für k 1 Achtung: p 2 = p,p mit dem gegebenen Skalarprodukt! Numerische Mathematik I 143
59 Gauß-Approximation Satz: 3-Term Rekursion der Orthogonalpolynome Beweis: p 0 = 1 und p 1 (x) = x x,φ 0 φ 0 = x β 0 sind anhand der Definitionen abzulesen. Für k 1 setze q k+1 (x) = (x β k ) p k (x) γ k p k 1 (x). Dann ergibt die Orthogonalität p k P k 1 q k+1, p k = x p k, p k β k p k 2 γ k p k, p k 1 = 0, }{{} =0 q k+1, p k 1 = x p k, p k 1 β k p k, p k 1 }{{} =0 = p k,x p k 1 p k = 0. }{{} P k 1 Weiterhin ergibt sich für j < k 1 sofort q k+1, p j = 0. γ k p k 1 2 }{{} = p k, p k Wir haben gezeigt, dass q k+1 ein Polynom vom Grad k +1 mit dem Höchstkoeffizienten 1 ist, das orthogonal zu P k ist. Weil das orthogonale Komplement von P k in P k+1 eindimensional ist, folgt also q k+1 = p k+1. Numerische Mathematik I 144
60 Gauß-Approximation Bemerkung: Bemerkung: Bei der Gauß-Approximation bzgl. des Standard-Skalarprodukts wird die Abweichung im quadratischen Mittel minimiert. Dabei wird die Maximalabweichung f p = max x [a,b] f(x) p(x) häufig insbesondere in der Nähe der Intervallenden groß. Deshalb verwendet man bei der Berechnung der besten Gauß-Approximation p gerne das gewichtete Skalarprodukt b dx (f,g) = f(x)g(x), a (x a)(b x) das den Fehler f p am Rand höher gewichtet als in der Mitte des Intervalls [a,b]. Die Orthogonalpolynome zu diesem Skalarprodukt sind die auf das Intervall [a, b] transformierten Tschebyscheff-Polynome 1. Art, siehe Beispiel 3.3.9(b): ( ) 2x a b T n,[a,b] (x) = T n b a mit der Normalisierungskonstanten b T n,[a,b] 2 = a ( ) 2x a b 2 dx T n = b a (x a)(b x) { π(b a) 2, für n = 0, π(b a) 4, für n > 0. Numerische Mathematik I 145
61 Gauß-Approximation Beispiel: Die Gauß-Legendre Approximation (links) zum Standard-Skalarprodukt, und die Gauß-Tschebyscheff Approximation (rechts) zur Gewichtsfunktion w(x) = 1/ 1 x 2 : 1.2 Gauss Legendre Approximation von 1/(1+25*x 2 ) 1.2 Gauss Tschebyscheff Approximation von 1/(1+25*x 2 ) 1 f 1 f n=16 n= n=8 n= n=4 n= Numerische Mathematik I 146
x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
MehrEuklidische und unitäre Vektorräume
Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein
Mehr3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen
KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an
Mehr1 Euklidische und unitäre Vektorräume
1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume
CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
MehrPolynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
MehrKapitel 5 KONVERGENZ
Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz
Mehrcos(kx) sin(nx)dx =?
3.5 Fourierreihen 3.5.1 Vorbemerkungen cos(kx) sin(nx)dx =? cos gerade Funktion x cos(kx) gerade Funktion sin ungerade Funktion x sin(nx) ungerade Funktion x cos(kx) sin(nx) ungerade Funktion Weil [, π]
MehrNumerische Integration und Differentiation
Einführung Grundlagen Bemerkung (Numerische Mathematik) a) Im engeren Sinn: zahlenmäßige Auswertung mathematischer Zusammenhänge z B Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen Numerische
MehrNUMERISCHE MATHEMATIK II 1. (Studiengang Mathematik) Prof. Dr. Hans Babovsky. Institut für Mathematik. Technische Universität Ilmenau WS 2001/2002
NUMERISCHE MATHEMATIK II 1 (Studiengang Mathematik) Prof Dr Hans Babovsky Institut für Mathematik Technische Universität Ilmenau WS 2001/2002 1 Korrekturen, Kommentare und Verbesserungsvorschläge bitte
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr3 Interpolation und Approximation
In dem ersten großen Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, wie eine Reihe von Daten (z.b. aus physikalischen Messungen, experimentelle Beobachtungen, Börse, etc.) durch eine möglichst einfache Funktion
MehrThemen Lagrange-Interpolation Hermite-Interpolation. Splines. Bézier-Kurven. 5 Interpolation. Interpolation Die Lagrangesche Interpolationsaufgabe
5 Themen Lagrange- Bézier-Kurven saufgabe sformel Der sfehler 5.1 saufgabe È n = Raum der reellen Polynome vom Grad n. saufgabe sformel Der sfehler 5.1 saufgabe È n = Raum der reellen Polynome vom Grad
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrProseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt
Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2
MehrDer Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt.
Kapitel 3 Konvexität 3.1 Konvexe Mengen Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt. Definition 3.1 Konvexer Kegel. Eine Menge Ω R n heißt konvexer Kegel, wenn mit x
Mehr9 Vektorräume mit Skalarprodukt
9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden
MehrLösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II
Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin
Mehr5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen
5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich anwenden läßt, wenn sich alle Koeffizienten
MehrOptimale Steuerung, Prof.Dr. L. Blank 1. II Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme
Optimale Steuerung, Prof.Dr. L. Blank 1 II Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme Zuerst: Zusammenstellung einiger Begriffe und Aussagen aus der Funktionalanalysis (FA), um dann etwas über
MehrBeispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt
Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2
MehrKlausur zur Höheren Mathematik IV
Düll Höhere Mathematik IV 8. 1. 1 Klausur zur Höheren Mathematik IV für Fachrichtung: kyb Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 1 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: 1 eigenhändig beschriebene
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Prof Dr Picard, gehalten von Helena Malinowski In vorhergehenden Vorträgen und dazugehörigen
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
MehrKlausur zur Vordiplom-Prüfung
Technische Universität Hamburg-Harburg SS 25 Arbeitsbereich Mathematik Dr. Jens-Peter M. Zemke Klausur zur Vordiplom-Prüfung Numerische Verfahren 22. Juli 25 Sie haben 9 Minuten Zeit zum Bearbeiten der
Mehrf f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.
Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
MehrOrthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen
Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni 2009 1 / 31 5.1 Erinnerung Kapitel
MehrIn diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)
34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)
MehrDie komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.
Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines
Mehr4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau
312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind
MehrKleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA
Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
MehrKapitel 4. Interpolation. 4.1 Allgemeines Normen von Funktionen
Kapitel 4 Interpolation 4 Allgemeines Nähere Funktion/Daten durch einfache Funktionen (eg Polynome) an Brauchbar für: - Integration - Differentiation [zb f(x) sei durch Polynom p(x) approximiert, F(x)
MehrFunktionsgrenzwerte, Stetigkeit
Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn
Mehrist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1).
Kapitel 4 Stetige lineare Funktionale 4.1 Der Satz von Hahn - Banach Definition 4.1. Sei X ein linearer normierter Raum über dem Körper K (R oder C). Ein linearer Operator f : X K heißt (reelles oder komplexes)
Mehr2 Euklidische Vektorräume
Sei V ein R Vektorraum. 2 Euklidische Vektorräume Definition: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung σ : V V R, (v, w) σ(v, w) mit folgenden Eigenschaften ( Axiome des Skalarprodukts) (SP1) σ ist bilinear,
Mehr1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:
Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere
MehrFormelsammlung zum Starterstudium Mathematik
Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik Universität des Saarlandes ¼ Version.3 Inhaltsverzeichnis. Potenzgesetze. Vollständige Induktion 3. Betragsgleichungen, Betragsungleichungen 4 4. Folgen und
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien
MehrLineare Ausgleichsprobleme. Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte
Lineare Ausgleichsprobleme Bisher: Lösung linearer GS Ax = b, A R n,n, A regulär, b R n Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte Ax = b mit A R m,n, b R m, m n, rg(a)
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrMitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester
Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester Christian Nawroth, Erstellt mit L A TEX 23. Mai 2002 Inhaltsverzeichnis 1 Vollständige Induktion 2 1.1 Das Prinzip der Vollstandigen Induktion................
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehr1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse
Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese
Mehr2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
MehrÜbungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2016
Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (VE) Sommersemester 6 Prof. Dr. Martin Rumpf Pascal Huber Sascha Tölkes Übungsblatt 8 Abgabe:.6.6 Aufgabe 5 (Elliptisches Randwertproblem auf einem Ring)
MehrHöhere Mathematik für Physiker II
Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei
MehrLösungen zu Übungsblatt 9
Analysis : Camillo de Lellis HS 007 Lösungen zu Übungsblatt 9 Lösung zu Aufgabe 1. Wir müssen einfach das Integral 16 (x + y d(x, y x +y 4 ausrechnen. Dies kann man einfach mittels Polarkoordinaten, da
MehrC orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =
1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition
MehrKonvergenz interpolierender Polynome
Technische Universität Berlin Institut für Mathematik Konvergenz interpolierender Polynome Seminar Differentialgleichungen im Sommersemester 2012 bei Prof. Dr. Etienne Emmrich vorgelegt von David Breiter
MehrSkalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)
Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +
MehrAnalysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
MehrDer CG-Algorithmus (Zusammenfassung)
Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Michael Karow Juli 2008 1 Zweck, Herkunft, Terminologie des CG-Algorithmus Zweck: Numerische Berechnung der Lösung x des linearen Gleichungssystems Ax = b für eine
MehrFolgen und Reihen von Funktionen
Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die
Mehr7.2.1 Zweite partielle Ableitungen
72 72 Höhere Ableitungen 72 Höhere Ableitungen Vektorwertige Funktionen sind genau dann differenzierbar, wenn ihre Koordinatenfunktionen differenzierbar sind Es ist also keine wesentliche Einschränkung,
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester
MehrModellfall. Orthogonalität trigonometrischer Funktionen. Anwendungen: f : (0, L) R gegeben.
Modellfall Anwendungen: Fragen: Digitalisierung / digitale Darstellung von Funktionen, insbesondere für Ton- und Bilddaten Digitale Frequenzfilter Datenkompression: Abspeichern der unteren Frequenzen Lösung
Mehrf(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
MehrThema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen
Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.
Mehr27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen
136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen
MehrÜbungen Ingenieurmathematik
Übungen Ingenieurmathematik 1. Übungsblatt: Komplexe Zahlen Aufgabe 1 Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen: a) z =(3+i)+(5 7i), b) z =(3 i)(5 7i), c) z =( 3+i)( 3+ 3 i),
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 206 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 33 Das Kreuzprodukt Eine Besonderheit im R 3 ist das sogenannte Kreuzprodukt, das zu zwei gegebenen Vektoren
MehrMusterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
Mehr6 Hauptachsentransformation
6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten
MehrÜbungen zur Vorlesung MATHEMATIK II
Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom
Mehr7 Orthogonale und unitäre Matrizen
$Id: orthogonal.tex,v.6 2/7/ 4::3 hk Exp $ $Id: mdiffb.tex,v.3 2/7/ 4::5 hk Exp hk $ 7 Orthogonale und unitäre Matrizen 7.2 Drehungen Wir wollen uns jetzt mit Drehungen im dreidimensionalen Raum beschäftigen.
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung
MehrDie Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel. dt = lim. = lim = Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass
Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel Zuerst wollen wir die Gamma-Funktion definieren, die eine Verallgemeinerung von n! ist. Dazu benötigen wir einige Resultate. Lemma.
MehrInhaltsverzeichnis. 1 Definition: Interpolationsproblem 2 1.1 Problemstellung... 2 1.2 Eigenschaften... 2 1.3 Varianten... 2
Dieser Artikel behandelt einige Interpolationsverfahren. Numerische Verfahren kann man nur mit der dazugehörigen Theorie verstehen und anwenden. Daher sind hier auch Theorie-Anteile und Beweise enthalten.
MehrMathematik 1 für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler) Musterprüfung mit Lösungen
Mathematik für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler Musterprüfung mit Lösungen. Sei T N. (a Unter welchen beiden Voraussetzungen an T garantiert das Induktionsaxiom (nach
MehrLösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof Dr Patrizio Ne Frank Osterbrink Johannes Lankeit 9503 Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8 Übung Hausaufgabe : Beweise den Satz über die Parallelogrammgleichung Sei H
MehrFolgerungen aus dem Auflösungsatz
Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und
Mehrf(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}
9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen
Mehr3.5 Glattheit von Funktionen und asymptotisches Verhalten der Fourierkoeffizienten
Folgerung 3.33 Es sei f : T C in einem Punkt x T Hölder stetig, d.h. es gibt ein C > und ein < α 1 so, dass f(x) f(x ) C x x α für alle x T. Dann gilt lim N S N f(x ) = f(x ). Folgerung 3.34 Es f : T C
MehrLeitfaden a tx t
Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrTaylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen
Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der
MehrTeil 2 LINEARE ALGEBRA II
Teil 2 LINEARE ALGEBRA II 27 Kapitel VII Euklidische und unitäre Vektorräume Wir beschäftigen uns jetzt mit Vektorräumen, die noch eine zusätzliche Struktur tragen Der Winkel zwischen Vektoren im IR 2
Mehr2. Stetige lineare Funktionale
-21-2. Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
Mehr2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit
2. Stetigkeit Differenzierbarkeit 9 2. Stetigkeit Differenzierbarkeit Wir wollen uns nun komplexen Funktionen zuwenden dabei zunächst die ersten in der Analysis betrachteten Eigenschaften untersuchen,
MehrThema 12 Differentialrechnung, Partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Taylor-Formel, Lokale Extrema
Thema 12 Differentialrechnung, Partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Taylor-Formel, Lokale Extrema In diesem Kapitel befassen wir uns mit der Ableitung von Funktionen f : R m R n. Allein die Schreibweise
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
MehrInhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS 1
INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die Parabel 2 1.1 Definition................................ 2 1.2 Bemerkung............................... 3 1.3 Tangenten................................ 3 1.4
MehrElementare Beweismethoden
Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe
MehrSeminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen Geometrie und die Summe von Quadraten Clara Brünn 25. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Geometrie allgemein.................................
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
Mehr