Die Interpolationsformel von Lagrange

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1 Die Interpolationsformel von Lagrange Zentrale Aussage: Zu beliebigen n + Stützpunkten (x i,f i ), i =,...,n mit paarweise verschiedenen Stützstellen x i x j, für i j, gibt es genau ein Polynom π n P n mit π n (x i ) = f i, i =,...,n. Es gilt mit den Interpolationspolynomen π n = n f i L i i= L i := k i x x k x i x k, i =,...,n. Polynominterpolation (interpol2)

2 Die Interpolationsformel von Lagrange, Beispiel Gegeben seien für n = 2 : i 2 x i 3 f i 3 2 Als Interpolationspolynome ergeben sich L = (x )(x 3) ( )( 3), L = (x )(x 3) ( )( 3), L 2 = (x )(x ) (3 )(3 ), und damit π 2 = L +3 L +2 L 2 = 6 ( 5x2 +7x+6) P -4 L 3L -5 2L 2 Stuetzstellen Polynominterpolation (interpol3) 2

3 Die Interpolationsformel von Lagrange Beispiel: Exponentialfunktion Gegeben seien für n = 2 : i 2 x i f i e e e Als Interpolationspolynome ergeben sich L = und damit (x )(x ) ( )( ), L = (x + )(x ) ( + )( ), L 2 = (x + )(x ) ( + )( ), π 2 = e L +e L +e L 2 = e 2 (x2 x) (x 2 )+e 2 (x2 +x) ( = 2e + e ) ( e x ) x+ 2e = (cosh() )x 2 +sinh()x+ Polynominterpolation (interpol3a) 3

4 Die Interpolationsformel von Lagrange Beispiel: Exponentialfunktion 4 L 3 2 L L 2 Stützpunkte Π e x e *L e *L e *L 2 Stützstellen 2 2 Polynominterpolation (interpol4a) 4

5 Interpolationsfehler Die Stützwerte f i stammen oft von einer stetigen Funktion f, d.h. f i = f(x i ), i =,...,n. Gilt {x i : i =,...,n} [a,b], so lässt sich der Fehler f π n in der Maximumsnorm abschätzen als Hierbei ist f [a,b] := f L ([a,b]) := max x [a,b] f f π n [a,b] ω n+ [a,b] f (n+) [a,b]. (n+)! n ω n+ := (x x i ). Der Ausdruck ω n+ [a,b] hängt alleine von der Wahl der Stützstellen ab. i= Polynominterpolation (interpol) 5

6 Das Polynom ω n+ Äquidistante Stützstellen, n = 2 5 x Frage: Gibt es eine Knotenverteilung, so dass ω n+ [a,b] minimal wird? Polynominterpolation (interpol2) 6

7 Tschebyscheff Interpolation Für n N bezeichne T n das Tschebyscheffpolynom, T n := cos(narccosx), x [,]. Es gilt die 3-Term Rekursion T =, T = x, T n = 2xT n T n 2, n 2, = T n P n Nullstellen von T n sind die Tschebyscheffpunkte x (n+) i = cos ( ) 2i+ 2n+2 π, i =,...,n. Polynominterpolation (interpol3) 7

8 n = 3 Tschebyscheffpunkte n = n = 8 n=7 2 Polynominterpolation (interpol4) 8

9 Das Polynom ω n+ Tschebyscheffknoten, n = 2 5 x 7 ω 22,äqui [,] ω 22,cheb [,] z.b. n = 4 ω 4,äqui [,] ω 4,cheb [,] allgemein ω n+,cheb [,] = 2 n Polynominterpolation (interpol5) 9

10 Das Polynom ω n+ ω n+ ;[,] für verschiedene Stützstellen 2 ω ;[,] äquidistant nur in [,] nur in [,.5] [.5,] Anzahl Stützstellen...+ einige in [,5,.5] Tschebyscheff Polynominterpolation (interpol5a)

11 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte 3 n = 9, Lagrange Polynom L L 9,äquidistant [,] =. 3, L 9,Tschebyscheff [,] =. Polynominterpolation (interpol7)

12 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte f = /(+25x 2 ) n = 4 n = 6 n = Tschebyscheffpunkte: Konvergenz n = n = 2 n = Äquidistante Punkte: Randoszillationen Polynominterpolation (interpol8) 2

13 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte Interpolationsfehler, f = /(+25x 2 ) n =, aequidistant.5.5 n = 2, aequidistant n = 3, aequidistant n =, Tschebyscheff n = 2, Tschebyscheff 2 x 3 2 n = 3, Tschebyscheff Polynominterpolation (interpol9) 3

14 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte f = x 3/2 n = 4 n = 6 n = n =.2 n = 2 n = Polynominterpolation (interpol2) 4

15 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte f = x n = n = n = 8 n = 6 n = 2 n = Polynominterpolation (interpol2a) 5

16 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte Interpolationsfehler, f = x n =, aequidistant n = 2, aequidistant 5 5 x 4 n = 3, aequidistant n =, Tschebyscheff n = 2, Tschebyscheff n = 3, Tschebyscheff Polynominterpolation (interpol2b) 6

17 Interpolationsfehler und Lebesgue Konstanten Λ n Definiton Lebesgue Konstante Λ n : Λ n := max x [,] n L i i= Interpolationsfehler: f Π n f [,] CΛ n ω(f, n ) Hierbei bezeichnen L i die Lagrange-Interpolationspolynome, und ω(f, n ) den Stetigkeitsmodul von f. Dieser ist definiert als ω(f, δ) := sup f f(y) x y <δ mit ω(f, n ) L n falls f Lipschitz-stetig hinsichtlich der Konstanten L ist. Polynominterpolation (interpol2c) 7

18 Verhalten der Lebesgue-Konstanten für steigende Polynomordnung Äquidistant vs. Tschebyscheff Lebesgue Konstante äquidistant Tschebyscheff Anzahl Stützstellen.5 Lebesgue Konstante.4.3 Tschebyscheff (2/π)*log(n+)+ 2 3 Anzahl Stützstellen Λ n wächst logarithmisch für Tschebyscheffpunkte: Λ n 2 π ln(n+)+, Λ n wächst exponentiell für äquidistante Punkte: Λ n Ce n/2. Polynominterpolation (interpol5b) 8

19 Konvergenzverhalten für Tschebyscheffpunkte Interpolationsfehler f Π n [,] Fehler (logarithmisch) 5 /(+25x 2 ) x 3/2 x /2 5 5 Anzahl Stützstellen Interpolationsfehler hängt vom Stetigkeitsmodul ω(f, n ) des Interpolanden ab. Polynominterpolation (interpol2d) 9

20 Konvergenzverhalten für Tschebyscheffpunkte Interpolationspolynom für f = / ln x/2.5 Gerade Anzahl Stützstellen ln x/2 Π 5.5 Ungerade Anzahl Stützstellen ln x/2 Π Polynominterpolation (interpol2g) 2

21 Äquidistante Punkte vs. Tschebyscheffpunkte Interpolationsfehler, f = x 3/2 n =, aequidistant..5 5 n = 2, aequidistant 3 2 n = 3, aequidistant x n =, Tschebyscheff 3 2 x 3 2 n = 2, Tschebyscheff x 3 2 n = 3, Tschebyscheff Polynominterpolation (interpol2) 2

22 Weierstrassfunktion für Tschebyscheffpunkte w = k= ak cos(2πb k x) mit a = /2 und b = 3 2 Weierstrassfunktion w π 4 Fehler (logarithmisch) Anzahl Stützstellen Weierstrassfunktion nirgends differenzierbar. Interpolation für pathologische Funktionen nicht konvergent. Polynominterpolation (interpol2e) 22

23 Baryzentrische Lagrange Interpolation Ziel: Weitere Methode vom Aufwand relativ gering, aber numerisch stabil. Berechne das Lagrangesche Interpolationspolynom π n zu der Funktion f : [a,b] R zu den Stützstellen x j, j =,,...,n. Definiere die baryzentrischen Gewichte durch ω j := n k=;k j (x j x k ), j =,,...,n. Dann kann das Lagrangesche Interpolationspolynom durch π n := n j= n j= ω j x x j f(x j ) ω j x x j dargestellt werden. Polynominterpolation (interpol83) 23

24 Berechnung der baryzentrischen Gewichte Baryzentrische Gewichte für äquidistante Stützstellen. Seien [a,b] und x j = a+jh für j =,,...,n gegeben. Dann gilt ω j = ( ) j ( n j ). Baryzentrische Gewichte für Tschebyscheffpunkte. Seien x j = cos((2j+)π/(2n+ 2)) gegeben. Dann gilt der Ausdruck ( ) ω j = ( ) j 2j + sin 2n+2 π. Vorteil der baryzentrischen Interpolation. Die Berechnung der Gewichte benötigt O(n 2 )-Operationen, aber sie hängen von den Werten f(x j ) nicht ab. Wenn die Gewichte bekannt sind, geht die Berechnung des Interpolationspolynoms mit O(n)-Operationen. Polynominterpolation (interpol84) 24

25 Das Schema von Aitken und Neville Das gesuchte Polynom π n soll an einem Punkt x ausgewertet werden. Für k + paarweise verschiedene Indizes {i,...,i k } {,...,n} bezeichne P i...i k P k das Interpolationspolynom durch (x i,f i ),...,(x ik,f ik ). Es gilt: P i = f i, i =,...,n, P i...i k = (x x i )P i...i k (x x ik )P i...i k x ik x i. k = 2 Neville Schema für n = 2: x f = P P x f = P P 2 P 2 f 2 = P 2 x 2 Polynominterpolation (interpol5) 25

26 Das Schema von Aitken und Neville, Beispiel Gegeben seien für n = 2 : i 2 x i 3 f i 3 2 Neville Schema für die Berechnung von π 2 (2) = P 2 (2): x = P (2) = k = 2 P (2) = (2 ) 3 (2 ) = 5 x = P (2) = 3 P 2 (2) = (2 ) 2 (2 3) 3 3 = 5/2 x 2 = 3 P 2 (2) = 2 P 2 (2) = (2 ) 5/2 (2 3) 5 3 = /3 Polynominterpolation (interpol6) 26

27 Das Schema von Aitken und Neville Einfache Erweiterung um zusätzliche Punkte zusätzliches Wertepaar (x 3,f 3 ) := (4,3), berechne π 3 (2) = P 23 (2): k = 2 3 x = P (2) = P (2) = 5 x = P (2) = 3 P 2 (2) = /3 P 2 (2) = 5/2 P 23 (2) = 8/3 x 2 = 3 P 2 (2) = 2 P 23 (2) = 2 P 23 (2) = x 3 = 4 P 3 (2) = 3 Polynominterpolation (interpol7) 27

28 Die Newtonsche Interpolationsformel Idee: Darstellung des gesuchten Polynoms π n als π n = c +c (x x )+c 2 (x x )(x x )+...+c n (x x ) (x x n ) = n i= (x x k ). c i i k= Bestimmung der Koeffizienten c i, i =,...,n durch f = π n (x ) = c f = π n (x ) = c +c (x x ). n f n = π n (x n ) = c +c (x n x )+...+c n (x n x k ) k= Polynominterpolation (interpol8) 28

29 Newtonsche dividierte Differenzen Beobachtung: P i...i k P i...i k P k mit Nullstellen x i,...,x ik, mit f i...i k werde der führende Koeffizient bezeichnet. Es gilt f...i = c i, i =,...,n, und die Rekursionsformel f i...i k = f i...i k f i...i k x ik x i. k = 2 Differenzen Schema für n = 2: x f f x f f 2 f 2 x 2 f 2 Polynominterpolation (interpol9) 29

30 Newtonsche dividierte Differenzen, Beispiel Gegeben seien für n = 2 : i 2 x i 3 f i 3 2 Differenzen Schema: k = 2 x = f = x = f = 3 x 2 = 3 f 2 = 2 f = 3 = 2 f 2 = = /2 f 2 = /2 2 3 = 5/6 Auswertung mit dem Horner Schema: π 3 = f +(x x )[f +(x x )f 2 ] Polynominterpolation (interpol) 3

31 Vergleich Interpolationsfehler, f = /(+25x 2 ) Aitken Neville π 4 Div. Diff. und Horner π 4 Baryzentrische Darstellung π 4.8 f.8 f.8 f Aitken Neville π f x 4 Div. Diff. und Horner π f Baryzentrische Darstellung π f.5.5 Polynominterpolation (interpol72) 3

32 MinMax-Polynom vs. Tschebyscheff vs. äquidistant f = x, x [,2], n = Interpolationspolynom π Fehler π x 3 2 x MinMax Polynom Tschebyscheff äquidistant 2 MinMax Polynom Tschebyscheff äquidistant 2 2 Polynominterpolation (interpol46) 32

33 MinMax-Polynom vs. Tschebyscheff vs. äquidistant f = cos(x 2 ), x [,], n = Interpolationspolynom π 2 cos(x 2 ) MinMax Polynom Tschebyscheff äquidistant Fehler π 2 cos(x 2 ) MinMax Polynom Tschebyscheff äquidistant.5.5 Polynominterpolation (interpol47) 33

34 MinMax-Polynom vs. Tschebyscheff vs. äquidistant f = cos(x 2 ), x [,], n = Interpolationspolynom π 3 cos(x 2 ) MinMax Polynom Tschebyscheff äquidistant Fehler π 3 cos(x 2 ) MinMax Polynom Tschebyscheff äquidistant.5.5 Polynominterpolation (interpol48) 34