Numerische Mathematik - Aufgaben Serie 1

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1 Serie. Gesucht sei die Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS) Ax = b mit ( ) ( ) A = und b = Um einfach festzustellen, ob ein Vektor x Lösung des Systems ist, prüft man, ob der Restvektor (Residuum) r = Ax b einen Nullvektor liefert. Nehmen wir also zwei Kandidaten für die Lösung und zwar x = (.34,.87) T, ˆx = (.999,.) T, und berechnen dafür das Residuum. Es gilt entsprechend r = (., ) T, ˆr = (.343,.57) T. Kann man in jedem Fall auf Grund der Güte des Fehlers sich für den besseren Kandidaten entscheiden? Berechnen Sie die exakte Lösung und deuten Sie die erhaltenen Residua durch gewisse Eigenschaften der Koeffizientenmatrix, z. B. mittels Determinante, inverser Matrix, Schnittpunkt zweier Geraden und Ähnliches.. Die eindeutige Lösung des LGS Ax = b mit der rechten Seite b R und der regulären Matrix A = (a ij ) R, der Form x + 6y = 8, x + 6.y = 8., ist x = (, ) T. (a) Man interpretiere die Lösung als Schnittpunkt von Geraden und stelle die Situation grafisch dar. (b) Die inverse Matrix ist ( A = Es gilt bei exakter Arithmetik x = A b. Was ist zu beachten, wenn die Matrix nur mit maximal 6 gültigen Mantissenstellen (z. B. Taschenrechnergenauigkeit) dargestellt werden könnte? Ab- bzw. Aufrunden der Nachkommastelle des Matrixelements a, = 3.5 liefert die Matrizen à = ( 3 3 ). Berechne damit die entsprechenden Vektoren à b und vergleiche diese mit x. ).

2 3. Gegeben sind die LGS () x + () x x 3 + x x x 3 x 4 x x x 3 x 4 x 3 x 3 x 33 x 34 x 4 x 4 x 43 x 44 (3) x + x + x 4 = x + x x 3 + x 4 = x + x + 3x 3 x 4 = 4 x x x 3 + x 4 = = x 4 = Überführen Sie die LGS in die Matrix- bzw. Matrix-Vektor-Schreibweise. Wodurch unterscheidet sich das LGS () von den übrigen? Bestimmen Sie für die LGS () und (3) die erweiterte Matrix (A b). 4. Lösen Sie das LGS Ax = b mit A = , b = mittels des Gaußschen Eliminationsverfahrens ohne Pivotstrategie und geben Sie den Wert der Koeffizientendeterminante an. 5. Lösen Sie durch Zeilenumformungen das LGS (nicht notierte Elemente sind Nullen) x x 4 6 x x 4 =. 4 x 5 6. Bestimmen Sie die LU-Faktorisierung (LU-Zerlegung, LR-Zerlegung) von A = (a) Wie lassen sich alle nötigen Informationen über L und U in einer einzigen (3 3)-Matrix speichern?, (b) Lösen Sie mit Hilfe der LU-Faktorisierung von A das LGS Ax = b mit b = (3, 7, 3) T. (c) Bestimmen Sie A.,

3 7. Gegeben sind die Matrizen A = , M = und N = (a) Bestimmen Sie die Lösung des LGS Ax = b mit der rechten Seite b = (3, 7, 3) T durch die Berechnung einer oberen Dreiecksmatrix U und einer unteren Dreiecksmatrix L, so dass A = LU gilt. (b) Bestimmen Sie die Inversen M und N. 8. Gegeben sind das LGS Ax = b mit einer regulären tridiagonalen Matrix A = 3 4 und b = (a) Bestimmen Sie seine Lösung x mittels des Gaußschen Algorithmus und geben Sie die Faktorisierung der Matrix A = LU an. Begründen Sie, warum sich dabei die tridiagonale Bandstruktur von A auf die Dreiecksmatrizen L und U überträgt. (b) Wie groß ist der Wert der Determinante det(a)? 9. Gegeben ist ein LGS Ax = d mit der tridiagonalen Koeffizientenmatrix b c... d a b c... d a 3 b 3 c 3... d 3 A = , d =..... a n b n c n... a n b n.. d n d n (a) Überführen Sie A durch Eliminationen von a, a 3,..., a n in eine obere Dreiecksgestalt, und geben Sie das Verfahren zur Lösung des LGS komplett an. (b) Ermitteln Sie die Zahl der benötigten Rechenoperationen, und geben Sie die Komplexität des Verfahrens an. (c) Vermeiden Sie durch Zeilenvertauschungen Division durch Null. (d) Notieren Sie das Verfahren in einer Programmiersprache. (e) Ermitteln Sie die Zeitkomplexität des Verfahrens und vergleichen Sie diese mit dem Gaußschen Algorithmus für eine vollbesetzte Koeffizientenmatrix.. Man löse das komplexe LGS Ax = b, A(n, n), n = 3, mit + i + i A = + i 3i 5 + 4i, b = + i 5i 8 + i und der exakten Lösung x = ( + i, 9 3i, + i) T durch Überführung in ein reelles LGS der Dimension n und Anwendung des Gaußschen Algorithmus. Man vergleiche den Aufwand der Verfahren im Komplexen und Reellen.. 3

4 Serie. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x +x +x 4 = x +x x 3 +x 4 = x +x +3x 3 x 4 = 4 3x x x 3 +x 4 = 3 mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren bei Spaltenpivotisierung und Zeilenvertauschung. Ist Pivotisierung erforderlich? Geben Sie Permutationsvektor und -matrix der Zeilenvertauschung an.. Wandeln Sie mittels Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung das LGS x 5 x 4 x 3 = 5 x 4 4 in ein gestaffeltes System um. Bestimmen Sie die Dreiecksmatrizen L und U der LU-Faktorisierung. Wie unterscheiden sich LU und A? 3. Lösen Sie die LGS Ax = b mit () A = () A = , b =, b = 4 4, , mit Hilfe des Cholesky-Verfahrens. Ist A positiv definit? Wie berechnet man aus der Cholesky-Faktorisierung det(a)? 4. Die Matrix A = ist symmetrisch und positiv definit (Begründung). Schreiben Sie ein Programm (a) zur Cholesky-Faktorisierung, (b) zur Lösung des LGS Ax = b. Bestimmen Sie hiermit A. (c) Bestimmen Sie die LU-Faktorisierung von A. Wie kann man daraus die Cholesky-Faktorisierung ableiten. 4

5 5. Finden Sie zu den folgenden symmetrischen Matrizen die Cholesky-Faktorisierung A = LL T. () 4 A = 3, () 7 A =, (3) 5 A =. (4) 4 4 A = 4. 4 Überprüfen sie in jedem Fall, ob A = LL T gilt. Überträgt sich die Bandgestalt von A auf die Dreiecksmatrix? Welche der Matrizen sind positiv definit? Was passiert, wenn durch die Wurzeloperation imaginäre Zahlen auftreten? 6. Gegeben sei die symmetrische parameterabhängige Koeffizientenmatrix 3 c A = 5, c R. c 7 (a) Geben Sie die Cholesky-Faktorisierung als Codefragment oder Struktogramm an. (b) Berechnen Sie die Cholesky-Faktorisierung A = LL T. Für welche Parameterwerte c ist die Faktorisierung möglich, d. h. wann ist die Matrix L reell und regulär? (c) Berechnen Sie die Determinante det(a). (d) Lösen Sie das System Ax = b mit b = (,, ) T für c = mittels Gauss- Elimination. Geben Sie dabei die LU-Faktorisierung an. (e) Ist für symmetrische positiv definite Matrizen eine Pivotisierung im Gaußschen Eliminationsverfahren erforderlich? 7. Ist A symmetrisch und positiv definit, und A = LL T die Cholesky-Faktorisierung, so folgt l kj < a kk, j, k =,,..., n. Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus für den Algorithmus? 5

6 Serie 3. Bestimmen Sie die Normen x, x, x für die folgenden Vektoren x R n. (a) x = (.,,.75,.74) T, (b) x = (,,..., ) T, (c) x = (,,...,,,,..., ) T, (d) x = ( 5, 3, 8 ) T.. Man weise die Normeigenschaften nach für x = (x, x,..., x n ) R n. (a) x = max x i, i=()n n (b) x = x i. i= 3. Man zeige die Ungleichungen n x x x n x x R n. 4. Man beweise. (a) Die durch x induzierte Matrixnorm ist die Spaltensummennorm A = max j=()n n a ij. i= (b) Die durch x induzierte Matrixnorm ist die Zeilensummennorm A = max i=()n n a ij. j= 5. Bestimmen Sie die Matrixnormen A, A, A F der folgenden Matrizen. () A = diag(a, a,..., a n ), a i, i =,,..., n, () 3 A = , 8 5 (3) (4) A = A = ,. Berechnen Sie die Normen auch mit einem Computeralgebrasystem. Wie verhält es sich mit der Norm der dazu inversen Matrizen. 6

7 6. Gesucht ist die Lösung des LGS Ax = b mit 3 8 A = 8, b = (a) Man forme das System in eine iterierfähige Gestalt um. (b) Man bestimme seine Lösung mittels des Jacobi-Verfahrens (Gesamtschrittverfahren, GSV) bis auf drei Dezimalstellen genau. (c) Man begründe anhand der vorgestellten Kriterien die Konvergenz von GSV und Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschrittverfahren, ESV) in diesem Fall. (d) Man gebe eine Abschätzung für den Fehler e (m) = x (m) x der m-ten Näherung x (m) an. (e) Man bestimme mit einem Programm die Lösung mit Hilfe des GSV und des ESV. Was lässt sich bezüglich der Konvergenzgeschwindigkeit aussagen? 7. Gegeben ist das LGS Ax = b mit der regulären Matrix 4 A = 3 4 und b =. (a) Bestimmen Sie seine Lösung x mittels des Gaußschen Algorithmus. Wie groß ist der Wert der Determinante det(a)? (b) Notieren Sie für Ax = b (A = A L + D + A R = D N = D E F, D = diag(a)) das GSV in Matrixform und komponentenweise und führe die ersten zwei Iterationen mit dem GSV aus. Startvektor sei x () = (,, ) T. Ist das GSV konvergent? (c) Berechnen Sie Zeilensummennorm und 3 Eigenwerte der Iterationsmatrix J = I D A und schließen Sie daraus auf das Konvergenzverhalten des GSV. 8. Gegeben ist das LGS Ax = b mit regulärer Koeffizientenmatrix 3 5 A = und b = (a) Notieren Sie das ESV für Ax = b (A = A L + D + A R, D = diag(a)) in Matrixschreibweise als auch komponentenweise. (b) Geben Sie eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz des ESV an. Ist diese hier erfüllt? (c) Kann eine geeignete Zeilenvertauschung durchführt werden, so dass dann das ESV konvergent ist. 7

8 9. Die Lösung des LGS Ax = b mit der symmetrischen regulären tridiagonalen Matrix A = 4 und b = ist x = (,,, ) T. (a) Man notiere das GSV für das LGS Ax = b. (b) Man zeige, dass das Zeilensummen- wie auch das Spaltensummen-Kriterium für die Konvergenzbetrachtung keine Aussage ermöglichen. Man weise die Konvergenz des GSV mittels der Eigenwerte λ i, i =,, 3, 4, der Iterationsmatrix nach. (c) Man führe die ersten drei Iterationen mit dem GSV aus. Startvektor sei x () = (,,, ) T. (d) Die a-priori-abschätzung für den absoluten Fehler der Näherung x (m) lautet x (m) x λm λ x() x (), wobei x () = Startvektor und λ < Norm der Iterationsmatrix sind. Man nutze diese, um die Anzahl m der Iterationen zu ermitteln für die Erreichung der Toleranz ε = 3 ( euklidische Norm). Hilfe: lg(3) =.477, lg(4) =.6, lg(5) =.699. Lösen Sie das LGS x x +x 3 = 6 x +x x 3 +3x 4 = 5 x x +x 3 x 4 = 3x x 3 +8x 4 = 5 mit dem GSV und ESV. Berechnen Sie für das GSV die Iterationsmatrix. Begründen Sie, warum dies für die Ausführung der Iterationen im ESV nicht sinnvoll ist.. Beweisen Sie, dass das ESV für jeden Startvektor x () konvergiert, falls für die Koeffizientenmatrix A = (a ij ) die Ungleichungen n a ij n < bzw. a ij < a ii i =,,..., n, gelten. a ii i= i j i= i j. Gegeben sei das LGS Ax = b mit 3 A = 3, b = 3 3. (a) Man verwende das GSV und ESV zu seiner Lösung. Die Startnäherung sei x () = (,, ) T. Man diskutiere das Konvergenzverhalten der IV. (b) Man führe mehrere Schritte der SOR-Iteration aus. Man verwende die Relaxationsparameter ω =.6 und ω =.4 und vergleiche die Konvergenzrate mit der des ESV. 8

9 Serie 4. Ermitteln Sie graphisch sämtliche reellen Lösungen der Gleichung e x + x =. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die kleinste positive Lösung x mit einer absoluten Genauigkeit von 4.. Ermitteln Sie die Anzahl der reellen Lösungen folgender Gleichungen, und geben Sie Intervalle für diese Lösungen an: (a) x 4 = x (b) x = e x + ln(x) (c) x = ln(x) (d) sin(x) = e x (e) e x x. = (f) e x = x. 3. Gegeben sei die skalare reelle Gleichung f(x) = x 4 x =. (a) Bestimmen Sie grafisch näherungsweise alle reellen Nullstellen. (b) Notieren und skizzieren Sie das Konvergenzverhalten des Newton-Verfahrens für die Bestimmung der positiven Nullstelle mit dem Startwert x =. (c) Führen Sie das Halbierungsverfahren (Verfahren der sukzessiven Einschachtelung, Bisektion) aus mit dem Startintervall [,]. Wie viele Schritte braucht man zur Erreichung von drei zusätzlichen genauen Mantissenstellen? 4. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung e x = x mit dem allgemeinen Iterationsverfahren (AIV) dem Sekantenverfahren (Regula falsi) bis auf eine Genauigkeit von ε = 6. (a) Überprüfen Sie für das AIV die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes, und geben Sie eine Iterationszahl n bis zum Erreichen der geforderten Genauigkeit an. (b) Geben Sie beim AIV unter Nutzung der exakten Lösung x eine a-priori- und eine a-posteriori-schätzung für den Fehler der. Näherung x an. (c) Erläutern Sie anhand der ermittelten wahren Fehler die lineare Konvergenz des Verfahrens. (d) Lösen Sie die Gleichung e x = x mit derselben Startnäherung x mit der Genauigkeit ε = 6 mittels Newton-Verfahren (Newtonsche Näherungsverfahren, NV) bzw. Regula falsi. Vergleichen Sie den analytischen und arithmetischen Aufwand der Verfahren. 5. Gegeben sind die parameterabhängige Nullstellengleichung f(x) = bzw. ihre Fixpunktgleichung x = g(x) mit einer Funktion g(x) aus der Klasse der sogenannten Einmaximumfunktionen : g (x) = ax, a > g (x) = a sin(x), a >, f (x) = g (x) x g 3 (x) = e ax, a > (a) Stellen Sie alle 3 Fixpunktsituationen grafisch dar und heben Sie den jeweiligen positiven Fixpunkt hervor. 9

10 (b) Führen Sie für g (x) die ersten drei Schritte mit dem AIV x n+ = g (x n ) aus, wobei a = 4, x =, und bestimmen Sie x > sowie g (x ). Überprüfen Sie die Genauigkeit der a-posteriori-fehlerabschätzung mit x, x 3. (c) Berechnen Sie mittels NV (mindestens Iterationsschritte) die positive Nullstelle von f (x) =, wobei a = 3. Nehmen Sie dazu einen geeigneten Startwert x und begründen Sie die Wahl. (d) Für welchen Parameterwert a hat das AIV zu g (x) quadratische Konvergenzordnung? Untersuchen Sie die Bedingung g (x ) =. (e) Zeigen Sie grafisch, dass für g 3 (x) das AIV x n+ = g 3 (x n ), n =,,..., x gegeben, für einen beliebigen Startwert x konvergiert, wenn der Parameter a hinreichend klein wird, d. h. < a < a. 6. Berechnen Sie den Kehrwert /a einer gegebenen reellen Zahl a > ohne Benutzung von Divisionen. (a) Notieren Sie dazu das NV für die Nullstellenaufgabe f(x) = x a = (Begründung!). (b) Ermitteln Sie den Konvergenzbereich des NV in Abhängigkeit von a. Welche Startwerte x sind (ohne Divisionen!) zu empfehlen? (c) Bestimmen Sie den Kehrwert von a = mit verschiedenen Startwerten bis auf Taschenrechnergenauigkeit. 7. Gegeben ist das nichtlineare Gleichungssystem x = 4 (x sin(x ) + x ), x = arctan( 4 x +x ) in iterierfähiger Form (Fixpunktform). (a) Notieren Sie das AIV, und veranschaulichen Sie grafisch, dass x () = (.3,.) T eine geeignete Startlösung darstellt. (b) Überprüfen Sie numerisch, ob für x () die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes (Konvergenzkriterien) erfüllt sind. (c) Berechnen Sie die Näherungen x (), x (),..., x (8) mit dem AIV, und geben Sie eine a-posteriori-schätzung des Fehlers x (8) x an. (d) Notieren Sie das NV für das System. 8. Übertragen Sie die bekannten Gesamt- und Einzelschrittverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme auf das nichtlineare Gleichungssystem f (x, x ) = 4x sin(x + x ) =, f (x, x ) = cos(x x ) 3x =. (a) Überführen Sie das Problem in eine iterierfähige Form. (b) Beweisen Sie die Konvergenz des Verfahrens mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes. 9. Bestimmen Sie die komplexwertige Lösung der Gleichung e z = z (z = x + iy) mit der Startnäherung z =. +.i. Untersuchen Sie die Lösungsmenge der Gleichung.

11 Serie 5. In einer Zahlentafel sei die Funktion f(x) = lg(x) für die folgenden Argumente x tabelliert. x f(x) Durch Interpolation ermittle man eine Näherung für den Funktionswert f(.5). Ist lineare Interpolation hier zufriedenstellend?. Gegeben sei eine Referenz mit den Stützstellen {x i } i= = {,, 3} zur Funktion f(x) = x/(x + ). (a) Berechnen Sie das Lagrangesche Interpolationspolynom L (x). (b) Bestimmen Sie seine Normalform. (c) Bestimmen Sie L (), L () mit dem zweizeiligen Horner-Schema. (d) Geben Sie ein Polynom q(x) an mit dem Hauptkoeffizienten a =, das an den Stützstellen x i die Funktionswerte hat. 3. Die Funktion f(x) = ln(x) (x )/x wird an den nicht äquidistanten Stützstellen x =, x =, x = 4, x 3 = 8, x 4 = abgetastet, d. h. ihre Funktionswerte bestimmt. (a) Berechnen Sie das Lagrangesche Interpolationspolynom p 4 (x) zu den Knoten (Punkten, Referenz). (b) Erläutern Sie den Aufwand zur Bestimmung von p 4 ( x), x x i, z. B. von p 4 (.9). (c) Bestimmen Sie an den beiden Stellen x =.9 und x = 5.5 die interpolierten Werte mit dem Schema von Neville. Wie groß sind der tatsächliche Interpolationsfehler und die Fehlerschranke? 4. Geben Sie mittels des Schemas der dividierten Differenzen das Newtonsche Interpolationspolynom höchstens 4. Grades an, das durch folgende Punkte (x i, y i ), i =,,, 3, 4, geht. x i - 3 y i 7 5 (a) Finden Sie mit Hilfe des inversen Horner-Schemas seine Normalform. (b) Geben Sie die Normalform des Polynoms an, das durch Hinzunahme des Punktes x 5 = 4, y 5 = 75 zu obigen Punkten entsteht. (c) Geben Sie das Newtonsche Interpolationspolynom höchstens 6. Grades an, das durch die Punkte (x i, y i ), i =,,, 3, 4, sowie durch x 5 =, y 5 = 65 und x 6 = 4, y 6 = 55 verläuft. 5. Man berechne die Newton-Form des Interpolationspolynoms p(x) durch die Daten (, 5), (, ), (, ), (, 3) mittels des Schemas der dividierten Differenzen (a) p(x) besitzt zwischen und eine Nullstelle. Man bestimme diese Nullstelle mit Handrechnung näherungsweise.

12 (b) Man berechne von Hand mit dem Neville-Algorithmus p( ) und p(). 6. Gegeben sei eine Referenz mit den Stützstellen {,, 3} zur Funktion y = f(x) = x/(x + ). (a) Berechnen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom. (b) Bestimmen Sie seine Normalform. (c) Welches Interpolationspolynom erhält man bei Hinzunahme einer weiteren Stützstelle x 3 = 7? 7. Eine (transzendente) Funktion f(x) bildet die Basis für die Referenz einer Interpolationsformel L n auf dem Intervall I. Verringert sich durch die Hinzunahme einer neuen Stützstelle die Abweichung (Fehler) f L n = max f(x) L n(x)? x I Eventuell gebe man ein Gegenbeispiel an. 8. Vergleichen Sie mit Hilfe eines Grafikprogramms das oszillierende Verhalten der Knotenpunktpolynome ω n+ (x) = n (x x i ) i= auf dem Intervall [, ] bei folgender Wahl der Stützstellen x i, i =,,..., n. (a) Äquidistante Stützstellen x i = + i/n, i =,,..., n. (b) Nicht äquidistante Tschebyscheff-Stützstellen x i = cos((i + )π/(n + )), i =,,..., n, (Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms T n+ (x) = cos((n + ) arccos(x)). (c) Nicht äquidistante Stützstellen x i = cos(iπ/n), i =,,..., n, (Extremalstellen von T n (x) = cos(n arccos(x)) in [, ]). 9. Gegeben sei die Referenz (Punktfolge) (x i, y i ) = (, ), (, ), (, ). (a) Für diese Referenz gebe man das Interpolationspolynom p (x) höchstens. Grades an. Ermitteln Sie seine Normalform. (b) Berechnen Sie das quadratische Spline S (x) durch diese Punkte mit der zusätzlichen Bedingung S () =. (c) Stellen Sie einen grafischen Vergleich der Funktionen p (x) und S (x) im Intervall [,] an. An welcher Stelle wird die Abweichung max p (x) S (x) am größten? x [,] (d) Berechnen Sie p () und S (). (e) Berechnen Sie das quadratische Spline S (x) durch diese Punkte mit der zusätzlichen Bedingung S () =. (f) Berechnen Sie zur Referenz das natürliche kubische Spline.

13 (g) Testen Sie zur Spline-Interpolation mit den geannten Beispielen die Maple- Kommandos spline und Spline.. Man berechne die stückweise definierte Funktion a(x ) + b(x ) 3, x (, ], f(x) = c(x ), x [, 3], d(x ) + e(x 3) 3, x [3, ). (a) Man bestimme alle Werte a, b, c, d und e, für welche die Funktion f(x) ein kubischer Spline ist. (b) Berechnen Sie die Parameter von f(x) so, dass sie die Interpolationsbedingungen erfüllt. x 4 f(x) Man konstruiere einen natürlichen kubischen Spline S(x), der die Daten (Referenz) (, ), (, ), (, ) interpoliert. Man teste auch die Zusatzbedingungen S () = S () =.. Interpolieren Sie f(x) = sin(x) im Intervall [, π] mittels einer natürlichen kubischen Splinefunktion S(x) bei folgenden vorgegebenen Stützstellen x i =, π 5, π 5, 3π 5, 4π 5, π und den zugehörigen Funktionswerten f(x i ) = sin(x i ). (a) Ermitteln Sie die Ableitungen S (x i ), i =,,..., 5, und vergleichen Sie mit den exakten Werten f (x i ). (b) Bestimmen Sie das Integral exakten Wert f(x) dx. 3. Die Funktionen (a) f(x) = x, (b) f(x) = x, (c) f(x) = sin(5x) π π S(x) dx und vergleichen Sie dies mit dem sind im Intervall [, ] nach den Legendre-Polynomen P n (x) zu entwickeln. 4. Man bestimme für die Funktion f(x), x, das zweite Polynom bester stetiger Approximation im Mittel im Funktionenraum L, [, ] unter Anwendung des Orthogonalsystems der Legendre-Polynome P n (x). (a) f(x) = x, (b) f(x) = x. 3

14 Serie 6. Man bestimme näherungsweise die Integrale I = unter Benutzung der sin(x) x dx = bzw. I = π sin(x) dx = (a) Rechteckregel (Links), (b) Mittelpunktregel, (c) Trapezregel, (d) Simpson-Regel, (e) Newton-3/8-Regel, (f) Milne-Regel bei einer Einteilung des Integrationsintervalls in n =,, 4 Teile. Man vergleiche mit dem exakten Wert und berechne den Fehler. Man bestätige auf Grund des gegebenen exakten Werts die Gesetzmäßigkeit der Fehlerentwicklung.. Eine Funktion sei durch die folgende Wertetabelle gegeben. x f(x) Man approximiere das Integral I = f(x) dx durch die Anwendung der zusammengesetzten Trapezregel Approximieren Sie für die Funktion f(x) = e x das Integral I = f(x) dx = zu den Knoten x i = i, i =,, mit Hilfe der (a) zusammengesetzten Trapezregel und (b) Simpson-Regel. 4. Zur näherungsweisen Berechnung des Integrals I(f) = f(x) dx, a < b, betrachten wir folgende Integrationsformeln: b a Rechteckregel (Mitte) R M = (b a)f( a+b), Trapezregel T = (b a)(f(a) + f(b)), Simpson-Regel S = (b a)(f(a) + 4 f(a+b ) + f(b)), 6 zusammengesetzte Trapezregel bei N = i gleichgroßen Teilintervallen auf [a, b] der Länge h = h i = b a N T i = h (f(a) + f(a + h) + f(a + h) f(b)), i =,,.... Durch Linearkombination von Integrationsformeln kann man neue Formeln mit höherer Genauigkeit gewinnen. Zeigen Sie die Beziehungen (a) S = 3 ( R M + T ), (b) S = 3 (R M + T ), (c) S = 3 (4 T T ). 4

15 5. Die Simpson-Regel heißt auch Keplersche Fassregel. Man leite die Näherungsformel V = π h (d + D ) für den Inhalt eines Fasses her, in welche die Höhe h, der Durchmesser D in halber Höhe und der Durchmesser d an den Enden des Fasses eingehen. Für welche Fässer ist die Formel exakt bei beliebiger Höhe (kreisförmige Querschnitte vorausgesetzt). Wie ist die Genauigkeit von V im Vergleich zum Volumen des Fasses, dessen Mantellinie durch eine quadratische Parabel beschrieben wird. 6. Man konstruiere Quadraturformeln für b a f(x) dx, indem man f(x) durch ein Polynom p(x) möglichst niedrigen Grades ersetzt, das die Eigenschaften (a) p(a) = f(a), p ( x) = f ( x), p(b) = f(b), (b) p (a) = f (a), p( x) = f( x), p (b) = f (b), für ein x [a, b] besitzt. Ist eine derartige Konstruktion immer möglich? Welche Ordnung haben die gewonnenen Formeln? Man teste die erhaltenen Formeln an f(x) = (x.5) und f(x) = (x.5) 3 für [a, b] = [, ]. 7. Bestimmen Sie mit dem Romberg-Verfahren I = dx x = ln() = (a) Wie lautet die Berechnungsvorschrift der Werte T mk im Romberg-Tableau? (b) Geben Sie die ersten 4 Zeilen des Romberg-Schemas an. 8. Man berechne mittels Romberg-Verfahren bei N = k Teilintervallen die folgenden Intergrale. (a) I = dx = ln() = x+ auf 4 bzw. 6 Stellen nach dem Komma genau. Die Werte der zusammengesetzten Trapezregel T m, m =,,..., 4, für die. Spalte des Romberg-Tableaus sind (.75, , ,.694 8, ). (b) I = e x dx = e = mit folgender Tabelle von Stützwerten x e x / / / / / /8.7 7/