Numerische Mathematik

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Elsa Schneider
vor 7 Jahren
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1 Numerische Mathematik SS 999 Augabe 6 Punkte Das Integral I ln d soll numerisch bis au eine Genauigkeit von mindestens - approimiert werden. a Wie groß muss die Anzahl N der Teilintervalle sein damit mit der zusammengesetzten Trapezregel diese Genauigkeit erreicht wird? b Wie groß muss N bei der zusammengesetzten Simpsonregel sein um diese Genauigkeit zu erreichen? c Überprüen Sie mit einem der beiden Verahren dem von Ihnen ermittelten Wert N ob der Näherungswert um höchstens - vom eakten Wert I ln -.7 abweicht. Augabe 6 Punkte Die Matri A besitzt die LR-Zerlegung A LR mit. L R Die Kondition cond A der Matri A beträgt.. Es wird das lineare Gleichungssystem A b betrachtet. Die eakte Lösung * ür die rechte Seite b - -7 T ist * - - T. Nun wird das Gleichungssystem mit der gestörten rechten Seite b T gelöst. a Schätzen sie den relativen Fehler bezüglich der Lösung von A b zur Lösung * von A* b ab. b Ermitteln Sie den tatsächlichen relativen Fehler von bezüglich *. Berechnen Sie die dazu benötigte Lösung von A b mit Hile der LR-Faktorisierung von A. Augabe Die Funktion sin + π + π π π soll au dem angegebenen Intervall interpoliert werden. Als Stützstellen sollen die Punkte π π π verwendet werden.

2 a Bestimmen Sie ein Interpolationspolynom p vom Grad. b Interpolieren Sie mit linearen Splines. Geben Sie die Gleichung des linearen Splines s ür jedes Teilintervall an. c Schätzen Sie den Interpolationsehler -p ab. d Schätzen Sie den globalen Interpolationsehler - s ab. e Berechnen Sie ür / π einen Näherungswert sowohl mit p als auch mit s. Bestimmen Sie jeweils den tatsächlichen Fehler vergleichen Sie diesen mit Ihrer Abschätzung aus c bzw. d. Augabe 6 Punkte Gegeben ist ein nichtlineares Gleichungssystem F mit 7 ln e F Ermitteln Sie ausgehend vom Startvektor.. T mit dem Newtonverahren eine Näherung. Ist tatsächlich eine bessere Näherung als? Zusatzaugabe -pius Punkte Bestimmen Sie die nächste Iterierte. Verbessert sich die Näherung? Augabe 6 Punkte Die Messpunkte i y i i sollen mit Hile der Methode der kleinsten Fehlerquadrate durch eine Gerade approimiert werden. i - - ½ ½ y i Die Matri A des zugehörigen linearen Ausgleichsproblems besitzt die QR- Faktorisierung A QR mit R Q a Bestimmen Sie mit. Hile der QR-Faktorisierung die Lösung * des Ausgleichsproblems. Geben Sie die Gleichung der Ausgleichsgeraden an! b Wie groß ist die Euklidische Norm des Deektes bezüglich *?

3 Klausur SS6. A b gegen Zur Lösung Gesamt- Einzelschrittverahren Startvektor jeweils ;;;;; T a Bestimmung der Iterierten GSV ESV. b Spektralnormen der Iterationsmatrizen P GSV 9 P ESV 866. Nach welcher Anzahl von Iterationsschritten hat sich bei den Verahren der jeweilige Anangsehler * - au das mindestens ε-ache mit ε - reduziert? c Eakte Lösung * von A b ist * 8;;;;; T cond A. Seite b wird gestört b b um die restlichen b um 6. Lösung ür gestörte GLS A b mit 8;6;;;67;8. Stimmt die Lösung? 9P. Um Amplitude A Phasenwinkel Φ einer Schwingung t A sint + Φ zu bestimmen sind an Zeitpunkten t K die Auslenkungen K beobachtet worden: t K π/ π/ π/ K Kein lineares Ausgleichsproblem. Anwendung des Ansatzes ür t eines Ansatztheorems ür sinα + β Einührung neuer Unbekannter c : A cos Φ ; c : A sin Φ. Lösen des linearen Ausgleichsproblems ür c c daraus ermitteln der Amplitude des Phasenwinkels. Wie groß ist die approimative Auslenkung bei t π/6. 6P. a Wird an Stützstellen durch Polynom interpoliert

4 kleinstmöglicher Grad. Wie groß ist der Interpolationsehler bei? b Bestimme die reellen Zahlen α β so dass α + β; { + 6; ein kubischer Spline au dem Intervall [;] bezüglich der Knoten ist. 6P. Anangswertproblem ür Funktion yt y y ; t y ; y ; y Berechne die Näherung ür y y' y'' sowohl mit eplizitem Euler- wie auch mit ineplizitem Eulerverahren jeweils mit Schrittweite n. 8P

5 Numerische Mathematik SS 7 Augabe : a Man bestimme ein Polynom p vom Grad das mit der Funktion an den Stellen 8 7 übereinstimmt. Vergleichen sie die Approimation p mit. Vergleichen sie die Abweichung mit der oberen Schranke ür den Fehler der Polynominterpolation. Hinweis: Wenn nur die Stelle von Interesse ist braucht das Knotenpolynom nicht nach oben abgeschätzt zu werden. b Sei p ein Polynom das den Gleichungen p p-8 p- p p p - genügt. Welchen Grad muss p höchstens haben um alle 6 Gleichungen zu erüllen? Was ist der kleinstmögliche Grad von p? Augabe : Beim Zerall eines Gemisches aus radioaktiven Stoen wird die Strahlungsintensität IIt zu verschiedenen Zeiten gemessen: t i It i 6 89 Für die Abhängigkeit der Strahlungsintensität von der Zeit werde das Modell I t t t angenommen. a Formulieren sie das Ausgleichsproblem zur Bestimmung der Parameter. b Lösen sie das Ausgleichsproblem mit Hile der Normalgleichungen geben sie an. c Geben sie die Norm des Residuums an. Augabe : Zur Approimation des Integrals einer Funktion im beschränkten reellen Intervall [ab] sei die Quadraturormel b a d ba a b gegeben. a Handelt es sich um eine interplatorische Quadraturormel? Wie lautet der Eaktheitsgrad? b Zeigen sie dass jede au [ab] stetige di. Funktion die Fehlerabschätzung b a d ba a b h z gilt. Hierbei bezeichnet z eine obere Schranke ür ' ' au [ab] h ba. c Wie lautet die zu gehörende zusammengesetzte Quadraturormel bei Teilintervallen? Leiten sie mit Hile von eine obere Schranke ür den Fehler der zusammengesetzten Quadraturormel in Abhängigkeit von h her. d Bestimmen sie eine Approimation ür das Integral log d mit Hile der zusammengesetzten Regel aus c ür Teilintervalle. Bestätigt sich die Abschätzung aus c?

6 Augabe : Für das lineare Gleichungssystem Ab mit 98 A[ 97 ] ; B 7 sei die Näherung ;998 T berechnet werden. Ferner sei die Konditionszahl cond A bezüglich der Spaltensummennorm cond A bekannt. Geben sie eine Abschätzung des relativen Fehlers A b A b an. Augabe : Gesucht sei der Fipunkt Stern der Funktion :R R : [ ] wobei. a Zeigen sie dass ür beliebige Vektoren y R die Beziehung y A y y gilt mit y y A y. y y Hinweis: Schreiben sie die Dierenz y au verwenden sie die Identität a b a b ab. b Die Funktion bildet die Menge D :[ R : ] in sich ab. Zeigen sie: ür alle y D gilt darüber hinaus y L y mit L. Hinweis: Verwenden sie die Aussage aus a schätzen sie A y ab unter Ausnutzung der Tatsache dass y beide in D liegen. c Welche Schlussolgerung gestattet der Banach'sche Fipunktsatz aus den Aussagen aus a b? d Wählen sie einen geeigneten Startpunkt ür die Fipunktiteration mit geben sie eine obere Schranke ür die Anzahl der Iterationsschritte die erorderlich sind um Stern m 8 sicherzustellen.

7 Klausur SS8. a Gegeben sind die Matrizen: A R ;B R Berechne die LR-Zerlegung von A bestimme anschließend mittels LR-Zerlegung die Lösung der Matrigleichung A B. b Gegeben sind die Matri A der Vektor b 98 A 6 ;b Die eakte Lösung des GLS A b sei mit * gekennzeichnet. Für die Konditionszahl von A gilt cond A. In der Prais sind allerdings die Systemmatri die rechte Seite gestört so dass nur ein System A ~ b ~ gelöst werden kann. Die Lösung des gestörten GLS sei ~. Über die Störung von A b ist bekannt dass jede Komponente von A um maimal - jede Komponente von b um maimal - gestört ist.. Um die Federkonstante einer Feder deren Verhalten durch die Beziehung F k beschrieben wird zu ermitteln sind olgende Angaben gegeben: i i 6 8 F i a Geben sie das zugehörige lineare Ausgleichsproblem an. b Ist die Lösung dieses linearen Ausgleichsproblems eindeutig bestimmt? c Bestimmen sie mit Methoden der Ausgleichsrechnung einen Wert ür k. Berechnen sie außerdem die Norm des Residuums das durch die Lösung des Ausgleichsproblems minimiert wird.. Die Trapezregel zur näherungsweisen Lösung des Anangswertproblems y k y; y y ist durchy j+ y j + h [ j; y j + j+h ; y j+ ]; j... gegeben. Dabei ist j + jh j + h; j... in einer gegebenen Schrittweite h. Berechnen sie mit diesem Verahren Schrittweite h Näherungen ür y y'. Hier bezeichnet y die Lösung des Anangswertproblemsy y ; y ; y.. a Gegeben ist ein nichtlineares Gleichungssystem F mit F + 8. Ermitteln sie ausgehend vom Startvektor T mit dem Newtonverahren eine Näherung. Ist tatsächlich eine bessere Näherung als? b Bestimmen sie ausgehend vom gleichen Startvektor T eine Näherung z mit dem gedämpten Newtonverahren wobei als Dämpungsaktor α8 zu bemessen ist. Ist z tatsächlich eine bessere Näherung als?

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