Das Gradientenverfahren
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- Thomas Neumann
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1 Das Gradientenverfahren - Proseminar: Algorithmen der Nichtlinearen Optimierung - David Beisel December 10, 2012 David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
2 Gliederung 0 Einführung 1 Allgemeines Abstiegsverfahren 2 Schrittweitenberechnung 3 Das Gradientenverfahren David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
3 Einführung Einführung Bisher: Ableitungsfreie Verfahren Auch hier: Unresigniertes Optimierungsproblem: (PU) min x R n f (x) Unterschied: Zielfunktion f : R n R muss wenigstens stetig differenzierbar sein Ziel: Unter Verwendung von Ableitungen berechnen wir eine lokale Lösung von (PU) Ableitungsbasierte Verfahren Heute: Das Gradientenverfahren David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
4 Einführung Einführung Was ist ein Gradient? Ein Gradient ist ein mathematischer Operator bzw. Differentialoperator Der Gradient ordnet einem Skalarfeld ein Gradientenfeld (Vektorfeld) zu, das die Änderungsrate und Richtung der größten Änderung es Skalarfeldes angibt Der Gradient wird mit dem sogenannten Nabla-Operator gebildet David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
5 Einführung Einführung Grundidee des Gradientenverfahrens Das Gradientenverfahren wird auch Verfahren des steilsten Abstiegs genannt Von einem Startwert bzw. Näherungswert schreitet man in Richtung des negativen Gradienten fort, bis keine numerische Verbesserung mehr erzielt wird Es wird der negative Gradient verwendet, weil der Gradient die Richtung des größten Anstiegs angibt, wir aber die Richtung des steilsten Abstiegs von dem Näherungswert aus verwenden wollen David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
6 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren 1.1. Standardvoraussetzung Mit einem gegebenen Punkt x (0) R n (dies ist bei Verfahren der Startpunkt) ist die Niveaumenge N 0 := N (f, f (x (0) )) = {x R n f (x) f (x (0) )} kompakt. Die Zielfunktion f ist auf einer konvexen, offenen Obermenge D 0 von N 0 stetig differenzierbar. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
7 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren 1.2. Optimalitätsbedingung Sei (PU) weiterhin min x R n f (x) In jeder lokalen Lösung x von (PU) ist die notwendige Optimalitätsbedingung f ( x) = f ( x) T = 0 n (1.2.1) erfüllt d.h. x ist stationärer Punkt von f. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
8 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren 1.2. Optimalitätsbedingung Sei (PU) weiterhin min x R n f (x) In jeder lokalen Lösung x von (PU) ist die notwendige Optimalitätsbedingung f ( x) = f ( x) T = 0 n (1.2.1) erfüllt d.h. x ist stationärer Punkt von f. Um eine lokale Lösung von (PU) zu berechnen, löst man die Gleichung (1.2.1) um einen stationären Punkt zu erhalten. Dies ist nur bei einfachen Fällen analytisch möglich Man benötigt ein numerisches Verfahren. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
9 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren Bemerkung: Bei konvexen Zielfunktionen entspricht ein stationärer Punkt einem globalen Minimalpunkt. In der Praxis wird sich in den meisten Fällen schon mit einem lokalen Minimalpunkt zufrieden gegeben Es wird schon als Erfolg gewertet überhaupt einen lokalen Minimalpunkt zu finden. Auch durch einen lokalen Minimalpunkt wird bei der Problemstellung eine Verbesserung erzielt David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
10 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren 1.3. Lemma Die Funktion f : R n R sei differenzierbar in x. Weiter sei d R n mit f (x) T d < 0 (1.3.1) Dann gibt es ein σ > 0 mit f (x + σd) < f (x) für alle σ ]0, σ[. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
11 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren 1.3. Lemma Die Funktion f : R n R sei differenzierbar in x. Weiter sei d R n mit f (x) T d < 0 (1.3.1) Dann gibt es ein σ > 0 mit f (x + σd) < f (x) für alle σ ]0, σ[. Bemerkung: Die Bedingung ist im Zusammenhang mit Optimierungsverfahren die Standardbedingung für Abstiegsrichtungen David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
12 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren 1.4. Definition Ist f : R n R differenzierbar in x, dann heißt der Vektor d R n Abstiegsrichtung von f in Punkt x, wenn f (x) T d < 0 ist. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
13 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren 1.5. Verfahren (1) Wähle einen Startpunkt x (0) R n und setze k := 0. (2) Ist f (x (k) ) = 0 n, dann stoppe das Verfahren. (3) Berechne eine Abstiegsrichtung d (k), eine Schrittweite σ k > 0 mit f (x (k) + σ k d (k) ) < f (x (k) ) und x (k+1) = x (k) + σ k d (k). (4) Setze k := k + 1 und gehe zu 2. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
14 Allgemeines Abstiegsverfahren 1. Allgemeines Abstiegsverfahren Beispiel Geogebra-Beispiel im 1-Dimensionalen Optimierungsfall: f (x) = 2x 2 x + 3 In diesem Beispiel ist x = 0, 25 Da f (x) eine konvexe Funktion ist, ist x sogar globales Minimum David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
15 Schrittweitenberechnung 2. Schrittweitenberechnung 2.1. Problemstellung Bei einem Abstiegsverfahren sei im Iterationspunkt x (k) eine Abstiegsrichtung d (k) berechnet worden. Wählt man eine hinreichend kleine Schrittweite σ k, so gilt mit x (k+1) = x (k) + σ k d (k) nach Lemma 1.3: f (x (k+1) ) < f (x (k) ), d.h. man erhält eine streng monoton fallende Folge {f (x (k) )}. Dies alleine reicht aber nicht aus, um Konvergenz zu erhalten. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
16 Schrittweitenberechnung 2 Schrittweitenberechnung 2.2. Beispiel Wir betrachten die Funktion f (x) = x 2 mit x (0) = 1. Weiter sei Dann ist d (k) = 1 und σ k = ( 1 2 )k+2 k 0 x (k+1) = x (k) σ k = x (0) k i=0 ( 1 2 )i+2 = ( 1 2 )k+2 David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
17 Schrittweitenberechnung 2 Schrittweitenberechnung 2.2. Beispiel Wir betrachten die Funktion f (x) = x 2 mit x (0) = 1. Weiter sei Dann ist d (k) = 1 und σ k = ( 1 2 )k+2 k 0 x (k+1) = x (k) σ k = x (0) k i=0 ( 1 2 )i+2 = ( 1 2 )k+2 Also gilt x (k+1) < x (k) und daher f (x (k+1) ) < f (x (k) ) für alle k 0, aber x (k) 1 2, d.h., die Folge {x (k) } konvergiert nicht gegen den Minimalpunkt x = 0 von f. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
18 Schrittweitenberechnung 2. Schrittweitenberechnung 2.3. Lösungsansatz Damit die Folge {x (k) } gegen einen stationären Punkt konvergiert muss f (x (k) ) 0 n für k gelten. Diese Bedingung sollte ein vernünftiges Abstiegsverfahren mindestens erfüllen. Benötigen eine Abschätzung wann eine Schrittweite bzw. eine Schrittweitenstrategie gut gewählt ist. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
19 Schrittweitenberechnung 2. Schrittweitenberechnung 2.4. Definition (1) Eine Schrittweitenstrategie σ = σ(x, d) erfüllt das Prinzip des hinreichenden Abstiegs, falls es von x N 0 und der Abstiegsrichtung d unabhänginge Konstanten c 1 > 0 und c 2 > 0 gibt mit und f (x + σd) f (x) + c 1 σ f (x) T d σ c 2 f (x) T d d 2 David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
20 Schrittweitenberechnung 2. Schrittweitenberechnung 2.4. Definition (2) Eine Schrittweitenstrategie σ = σ(x, d) heißt effizient, falls es eine von x N 0 und der Abstiegsrichtung d unabhänginge Konstante c > 0 gibt mit f (x + σd) f (x) c( f (x)t d d ) 2 Eine Schrittweitenfolge {σ k } heißt effizient, falls sie mit einer effizienten Schrittweitenstrategie berechnet wird. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
21 Schrittweitenberechnung 2 Schrittweitenberechnung 2.5. Armijo-Verfahren Seien x N 0 und eine Abstiegsrichtung d R n von f in x gegeben. Weiter seien δ ]0, 1[, c 2 > 0 und 0 < β 1 β 2 < 1 von x und d unabhängige Konstanten. f (x) (1) Wähle eine Startschrittweite σ 0 für die σ 0 c T d 2 gilt. Setze d 2 j := 0. (2) Ist die Bedingung f (x + σ j d) f (x) + δσ j f (x) T d erfüllt, dann setzte σ A := σ j und stoppe das Verfahren. (3) Wähle σ j+1 [β 1 σ j, β 2 σ j ]. (4) Setze j := j + 1 und gehe zu 2. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
22 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.1. Verfahren Wir betrachten wieder das Problem (PU) und benutzen das allgemeine Abstiegsverfahren (1.4) mit der Suchrichtung d (k) = f (x (k) ). (1) Wähle einen Startpunkt x (0) R n und setze k := 0. (2) Ist f (x (k) ) = 0 n, dann stoppe das Verfahren. (3) Berechne eine effiziente Schrittweite σ k und x (k+1) = x (k) σ k f (x (k) ). (4) Setze k := k + 1 und gehe zu 2. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
23 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.2. Satz Die Voraussetzung (1.1) sei erfüllt. Stoppt das Verfahren nicht nach endlich vielen Iterationen, dann konvergiert die Folge {x (k) } gegen eine Nullstelle von f. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
24 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.2. Satz Die Voraussetzung (1.1) sei erfüllt. Stoppt das Verfahren nicht nach endlich vielen Iterationen, dann konvergiert die Folge {x (k) } gegen eine Nullstelle von f. Bemerkung: In der Praxis ist die Gleichung f (x (k) ) = 0 n oftmals nicht in endlich vielen Iterationen zu erreichen. Man schränkt die Bedingung in vielen Fällen auf f (x (k) ) ε ein. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
25 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.3. Satz (1) Folgende Voraussetzung sei erfüllt: Sei f : R n R, x (0) R und D N 0 sei nichtleer, offen und konvex. Die Funktion f sei zweimal stetig differenzierbar auf D und mit einer Konstante α 1 > 0 gelte: d T f (x)d α 1 d 2 d R n für alle x D, d.h. f ist gleichmäßig positiv definit auf D. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
26 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.3. Satz (2) Beim Allgemeinen Abstiegsverfahren (1.5) sei die Folge der Suchrichtungen {d (k) } gradientenbezogen, und die Schrittweitenfolge {σ k } sei effizient. Stoppt das Verfahren nicht nach endlich vielen Iterationen, dann konvergiert die berechnete Folge {x (k) } gegen den eindeutig bestimmten, globalen Minimalpunkt x von f. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
27 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.3. Satz (2) Beim Allgemeinen Abstiegsverfahren (1.5) sei die Folge der Suchrichtungen {d (k) } gradientenbezogen, und die Schrittweitenfolge {σ k } sei effizient. Stoppt das Verfahren nicht nach endlich vielen Iterationen, dann konvergiert die berechnete Folge {x (k) } gegen den eindeutig bestimmten, globalen Minimalpunkt x von f. Weiter gibt es eine Konstante L ]0, 1[ mit f (x (k) ) f ( x) L k (f (x (0) ) f ( x)), x (k) x 2 2 α 1 L k (f (x (0) ) f ( x)) für k 0. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
28 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.4. Satz Satz und Beweis an der Tafel David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
29 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.5. Beispiel Betrachten wir die Rosenbrock-Funktion (f (x, y) = (1 x) (y x 2 ) 2 ). Über das Armijoverfahren erhalten wir effiziente Schrittweiten für das Gradientenverfahren. Mit dem Gradientenverfahren erhalten wir als einzigen stationären Punkt x = (1, 1) T. Daher konvergiert die vom Gradientenverfahren berechnete Folge {x (k) } gegen x. David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
30 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren 3.5. Beispiel Betrachten wir die Rosenbrock-Funktion (f (x, y) = (1 x) (y x 2 ) 2 ). Über das Armijoverfahren erhalten wir effiziente Schrittweiten für das Gradientenverfahren. Mit dem Gradientenverfahren erhalten wir als einzigen stationären Punkt x = (1, 1) T. Daher konvergiert die vom Gradientenverfahren berechnete Folge {x (k) } gegen x. Genauer: Wählen wir als Startpunkt ( 1.9, 2) T, stoppt das Gradientenverfahren nach 1280 Iterationen und 4539 Funktions- und Gradientenauswertungen. Die berechnete Lösung ist x = ( , ) T mit f (x) = David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
31 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
32 Das Gradientenverfahren 3. Das Gradientenverfahren David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
33 Das Gradientenverfahren Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
34 Das Gradientenverfahren Hausaufgaben 1) Gegeben sei das Optimierungsproblem (PU1) min x R f (x) mit f (x) = 2x 2 x + 3. Man ermittle mit dem Gradientenverfahren einen lokalen Minimalpunkt. Für die Berechnung der effizienten Schrittweite soll das Armijo-Verfahren verwendet werden, mit β 1 = β 2 = 1 2, δ = 1 2 und c 2 = 1. Der Startpunkt ist x (0) = 1. 2) Gegeben sei das 2-dimensionale Optimierungsproblem (PU2) min x R 2 f (x) mit f (x) = x x 2 2 2x 1 + x Berechne die ersten zwei Iterationen des Gradientenverfahrens mit Startpunkt x (0) = (0, 0). Für die Berechnung der effizienten Schrittweite soll weiterhin das Armijo-Verfahren verwendet werden, diesmal mit β 1 = β 2 = 1 4, δ = 1 4 und c 2 = 1. 3) Man zeige, dass bei beliebiger Startschrittweite nach endlich viele Iterationsschritten im Armijo-Verfahren die Armijo-Bedingung f (x + σ j d) f (x) + δσ j f (x) T d erfüllt ist. Hinweis: Für das Armijo-Verfahren bitte Startschrittweite 1 verwenden! David Beisel Das Gradientenverfahren December 10, / 28
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