Mathematik für Physiker

Transkript

1 Mathematik für Physiker Band 2 Gewöhnliche und partielle Differentialgleichu ngen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik Von Dr. rer. nat. Helmut Fischer und Prof. Dr. rer. nat. Helmut Kaul Universität Tübingen Mit zahlreichen Figuren, Aufgaben und Beispielen EI3 B. G. Teubner Stuttgart 1998

2 Dr. rer. nato Helmut Fischer Geboren 1936 in Wuppertal. Ab 1955 Studium der Mathematik und Physik U Tübingen bei E. Kamke, H. Wielandt und W. Braunbek. Von 1962 bis 1964 im Rechenzentrum Tübingen, ab 1964 Assistententätigkeit und 1967 Promotion bei H. Wielandt. Seit 1969 Akad. RatiOberrat am Mathematischen Institut U Tübingen. Prof. Dr. rer. nato Helmut Kaul Geboren 1936 in Gleiwitz. Von 1958 bis 1965 Studium der Mathematik und Physik U Göttingen und FU Berlin bei H. Grauert, K. P. Grotemeyer, W. Klingenberg und S. Hildebrandt Promotion U Mainz. Von 1971 bis 1977 Assistententätigkeit und 1976 Habilitation U Bonn, 1977 Wiss. Rat und Professor GHS Duisburg, seit 1978 Professor U Tübingen. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Fischer, Helmut: Mathematik für Physiker: mit zahlreichen Figuren, Aufgaben und Beispielen / von Helmut Fischer und Helmut Kaul. - Stuttgart : Teubner (Teubner-Studienbücher: Mathematik, Physik) Bd. 2. Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik: mit zahlreichen Aufgaben und Beispielen ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb derengen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner, Stuttgart 1998 Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1998 Druck und Binden: Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstraße

3 Vorwort In diesem Band behandeln wir Theorie und elementare Lösungsmethoden für wichtige Grundtypen von Differentialgleichungen der Physik und stellen mathematische Grundlagen für die Quantenmechanik bereit. Angesprochen sind alle, die in der theoretischen Physik strenge mathematische Methoden einsetzen, sei es zur Absicherung des Formalismus oder zur Untersuchung der Konsistenz und Tragweite von Modellen. Die wichtigsten dargestellten Themenbereiche sind: Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, Fourierreihen und Separationsansätze, Charakteristikentheorie für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Lebesgue-Integral und Integration bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsrnaßes, Fouriertransformation, Distributionen, die drei klassischen Grundtypen linearer Differentialgleichungen (Poisson-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung) und lineare Operatoren im Hilbertraum, speziell mit Bezug auf die Quantenmechanik. Für jeden dieser Gegenstände gibt es über die Literatur verstreut gute und detaillierte Darstellungen, die je nach dem thematischen Rahmen, in dem sie stehen, mehr oder weniger leicht zugänglich sind. Wir wollen mit diesem Werk eine Übersicht geben, die nicht nur dem Physiker eine Orientierungshilfe bietet, indem wir wichtige Methoden hervorheben und die leitenden Grundgedanken herausarbeiten, aber die Theorie nicht immer bis in die letzten Details verfolgen. Bei der Organisation dieses Bandes waren folgende Gesichtspunkte zu berücksichtigen: Es sollte ein Leserkreis unterschiedlicher mathematischer Vorbildung angesprochen werden. Die Möglichkeit von Quereinstiegen sollte so gut es geht geboten und erleichtert werden. Daher verbot es sich, die benötigten umfangreichen Hilfsmittel aus der Analysis an den Anfang zu stellen, was zur Folge gehabt hätte, daß die Leser erst nach mehr als 120 Seiten wenig motivierenden Textes zum eigentlichen Thema kommen. Dementsprechend sind wir stufenweise vorgegangen. Die ersten drei Kapitel setzen nur Kenntnisse aus Band 1 voraus und stellen Differentialgleichungsprobleme vor, die sich mit elementaren Methoden behandeln lassen, darunter Fragen der Hamiltonschen Mechanik, die schwingenden Saite, Wärmeleitung im Draht, stationäre Wärmeverteilung in der Kreisscheibe und nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, insbesondere Grundprinzipien der geometrischen Optik. Erst danach wird der für höherdimensionale Differentialgleichungsprobleme benötigte mathematische Apparat in einem eigenen Kapitel bereitgestellt. Da die dort entwickelten Hilfsmittel in den folgenden Kapiteln nicht gleich von Anfang an und auch nicht alle zugleich verwendet werden, empfehlen wir den Lesern, sich diese erst bei Bedarf anzueignen; die benötigten Vorkenntnisse werden jeweils zu Beginn der nachfolgenden Paragraphen gegeben.

4 4 Vorwort Einige Brüche im Aufbau waren bei dieser Organisation nicht zu vermeiden. So werden z.b. die das Lebesgue-Integral betreffenden Beweise erst später im Rahmen einer allgemeinen Integrationstheorie nachgeholt, und für die Eigenwerttheorie des Laplace-Operators in 15 wird auf einen Satz aus dem Schlußkapitel vorgegriffen. Die meisten Beweise sind ausgeführt, um die inneren Zusammenhänge der Theorie erkennbar zu machen und um dem Leser die Möglichkeit zu geben, sich einschlägige Argumentations- und Arbeitsweisen anzueignen. Wo Beweise weggelassen werden, haben wir uns bemüht, den Zugang zur Literatur gezielt zu erleichtern. Wir danken den Herren J. Hellmich, J. Hertle, R. Honegger und B. Kümmerer dafür, daß sie uns in vielen Diskussionen zu Fragen der Quantenmechanik beraten haben. Unser ganz besonderer Dank gilt Ralph Hungerbühler für die drucktechnische Ausgestaltung. Ohne seine Sachkenntnis, seinen Einsatz, sein Verständnis und seine Geduld hätte dieser Band nicht entstehen können. Tübingen, Mai 1998 H. Fischer, H. Kaul Zum Gebrauch. Ein Querverweis wie z.b. 2: 6.7 (b) bezieht sich auf 2, Abschnitt 6, Unterabschnitt 6.7, Teil (b). Innerhalb von 2 wird die betreffende Stelle lediglich in der Form 6.7 (b) zitiert. Literaturverweise wie z.b. auf [130] REED, M., SIMON, B.: Methods of Modern Physics I-IV, Band 11, Theorem X.14 erfolgen nach dem Muster [130, 11] X.14 oder.[reed-simon II] X.14. Durch das (Übungsaufgabe) wird der Leser aufgefordert, Rechnungen, Beweisschritte oder Übungsbeispiele selbst auszuführen. Wegweiser. Mit den Grundkenntnissen aus Band 1 direkt zugänglich sind 6 (Fourierreihen, Separationsansätze), 8, 9 (Lebesgue-Integral, Hilberträume), 12 (Fouriertransformation), jeweils die ersten drei Abschnitte von 16 (Wärmeleitungsgleichung) und von 17 (Wellengleichung) sowie 19, 20 (Wahrscheinlichkeit, Maß und Integral). Die Charakteristikenmethode für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in 7 setzt die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen ( 2) voraus. Für das Schlußkapitel über mathematische Grundlagen der Quantenmechanik sind elementare Kenntnisse über das Lebesgue-Integral nützlich und die Theorie der Hilberträume ( 9) unerläßlich; darüber hinaus sind nur wenige, zu Beginn jedes Paragraphen benannte Vorkenntnisse aus dem vorangehenden Text erforderlich.

5 Inhalt Kapitel I Übersicht 1 Beispiele für Differentialgleichungsprobleme 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Was bedeutet "Lösung einer Differentialgleichung "? 4 Die Schrödinger-Gleichung Kapitel II Gewöhnliche Differentialgleichungen 2 Grundlegende Theorie 1 Das allgemeine Anfangswertproblem. 2 Das Anfangswertproblem als Integralgleichung 3 Die Standardvoraussetzung für DG-Systeme. 4 Kontrollierbarkeit und Eindeutigkeit von Lösungen 5 Existenz von Lösungen Zum Definitionsintervall maximaler Lösungen 7 Differenzierbarkeitseigenschaften von Lösungen. 3 Allgemeine lineare Theorie 1 Lineare Systeme Zur Berechnung von eta 3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1 Problemstellung Sturm-Liouville-Form und Fundamentalsysteme... 3 Potenzreihenentwicklungen von Lösungen Reihendarstellung von Lösungen in singulären Randpunkten 5 Einführung in die qualitative Theorie 1 Autonome Systeme Phasenportraits linearer Systeme in der Ebene 3 Die Differentialgleichung x = F(x).. 4 Stabilität von Gleichgewichtspunkten 5 Die direkte Methode von Ljapunow. 6 Die Sätze von Liouville und Poincare-Bendixson

6 6 Inhalt KapitelIII Partielle DG, elementare Lösungsmethoden 6 Separationsansätze und Fourierreihen 1 Die schwingende Saite I. 2 Fourierreihen Die schwingende Saite II 4 Wärmeleitung im Draht. 5 Das stationäre Wärmeleitungsproblem für die Kreisscheibe 7 Die Charakteristikenmethode für DG 1. Ordnung 1 Die quasilineare Differentialgleichung Die allgemeine Differentialgleichung F(x, u, Vu) = 0. 3 Wellenfronten und Lichtstrahlen Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung Kapitel IV Hilfsmittel aus der Analysis 8 Lebesgue-Theorie und LP-Räume 1 Eigenschaften des Lebesgue-Integrals. 2 Die Räume V(O) Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 9 Hilberträume 1 Beispiele für Hilberträume 2 Abgeschlossene Teilräume und orthogonale Projektionen 3 Dichte Teilräume Vollständige Orthonormalsysteme Glättung von Funktionen, Fortsetzung stetiger Funktionen 1 Testfunktionen Faltung mit Testfunktionen Glättung von Funktionen Das Fundamentallemma der Variationsrechnung Fortsetzung stetiger Funktionen, die Räume C k (0) Gaußseher Integralsatz und Greensehe Formeln 1 Untermannigfaltigkeiten des lrn... 2 Integration auf U ntermannigfaltigkeiten 3 Der Gaußsche Integralsatz Die Greenschen Identitäten Der Laplace Operator in krummlinigen Koordinaten

7 Inhalt 7 12 Die Fouriertransformation 1 Zielsetzung Die Fouriertransformation auf L 1 (lr n).. 3 Die Fouriertransformation auf Y und L 2 4 Anwendungen Schwache Lösungen und Distributionen 1 Schwache Lösungen von Differentialgleichungen 2 Distributionen Konvergenz von Distributionenfolgen 4 Differentiation von Distributionen 5 Grundlösungen Die Fouriertransformation für temperierte Distributionen Kapitel V Die drei Grundtypen linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung 14 Randwertprobleme für den Laplace-Operator 1 Übersicht Eigenschaften des L a p l a c e ~ O. p. e r a t o r s 3 Eindeutigkeit von Lösungen Existenz von Lösungen: P e r r o n ~ M e t h o d e 5 Existenz von Lösungen: Integralgleichungsmethode 6 Existenz von Lösungen: Variationsmethode Eigenwertprobleme für den Laplace-Operator 1 Entwicklung nach Eigenfunktionen des L a p l a c e ~ O p e r a 371 t o r s 2 Geometrische Eigenschaften von Eigenwerten und -funktionen Eigenwerte und Eigenfunktionen auf Kugeln Die Wärmeleitungsgleichung 1 Bezeichnungen, Problemstellungen. 2 Eigenschaften des Wärmeleitungsoperators 3 Das Anfangswertproblem Das A n f a n g s ~ R a n d w e r t p r o b l e m 17 Die Wellengleichung 1 Bezeichnungen, Problemstellungen. 2 Eigenschaften des d ' A l e m b e r t ~ O p e r a t o r s 3 Das Anfangswertproblem Das A n f a n g s ~ R a n d w e r t p r o b l e m

8 8 Inhalt Kapitel VI MatheInatische Grundlagen für die QuantenInechanik 18 MatheInatische Fragen zur QuantenInechanik 1 Ausgangspunkt, Zielsetzung, Wegweiser Beugung und Interferenz von Elektronen Dynamik eines Teilchens unter dem Einfluß eines Potentials Das mathematische Gerüst der Pionier-Quantenmechanik Maß und Wahrscheinlichkeit 1 Diskrete Verteilungen Erwartungswert und Streuung einer diskreten Verteilung 3 Varianz und Streuung einer diskreten Verteilung 4 Verteilungen mit Dichten... 5 u-algebren und Bore1mengen 6 Eigenschaften von Maßen... 7 Konstruktion von Maßen durch Fortsetzung 8 Das Lebesgue-Maß Wahrscheinlichkeitsmaße auf IR Integration bezüglich eines Maßes 1 Das Konzept des j.l-integrals Das j.l-integral für Elementarfunktionen 3 Meßbare Funktionen Das j.l-integral Vertauschbarkeit von Limes und Integral 6 Das j.l-integral für Wahrscheinlichkeitsmaße auf IR. 7 V-Räume und ihre Eigenschaften. 8 Dichte Teilräume und Separabilität SpektruIn und Funktionalkalkül syininetrischer Operatoren 1 Beschränkte Operatoren und Operatornorm Beispiele Die C*-Algebra 2(Yl') Konvergenz von Operatoren Das Spektrum beschränkter Operatoren Analytizität der Resolventen, Folgerungen für das Spektrum Der Funktionalkalkül für symmetrische Operatoren Positive Operatoren und Zerlegung von Operatoren Erweiterung des Funktionalkalküls

9 Inhalt 9 22 Der Spektralsatz für beschränkte symmetrische Operatoren 1 Spektralzerlegung und Spektralsatz Beispiele Diagonalisierung beschränkter symmetrischer Operatoren 4 Spektralzerlegung kompakter symmetrischer Operatoren 5 Anwendung auf Rand-Eigenwertprobleme 6 Der allgemeine Zustands begriff. 23 Unbeschränkte Operatoren 1 Definitionen und Beispiele Abgeschlossene Operatoren Der Abschluß gewöhnlicher Differentialoperatoren 4 Der adjungierte Operator Spektrum und Resolvente Zur praktischen Bestimmung des Spektrums 24 Selbstadjungierte Operatoren 1 Charakterisierung selbstadjungierter Operatoren 2 Wesentlich selbstadjungierte Operatoren Symmetrische Operatoren mit diskretem Spektrum 4 Störung wesentlich selbstadjungierter Operatoren 25 Der Spektralsatz und der Satz von Stone 1 Spektralzerlegung und Funktionalkalkül Ausführung der Beweise Selbstadjungierte Operatoren und unitäre Gruppen 4 Hilbertraumtheorie und Quantenmechanik Namen und Lebensdaten Literaturverzeichnis.... Symbole und Abkürzungen Index