Formeln und Fakten im Grundkurs Mathematik

Transkript

1 Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Klaus Vetters Formeln und Fakten im Grundkurs Mathematik

2 Klaus Vetters Formeln und Fakten im Grundkurs Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 4., neu bearbeitete und erweiterte Auflage Im Teubner Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

3 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird herausgegeben von: Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth, Prof. Dr. Christian Großmann, Prof. Dr. Horst Kadner, Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Manfred Schneider, Prof. Dr. Günter Zeidler. Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes: Prof. Dr. Karl Manteuffel Autor: Dr. Klaus Vetters Technische Universität Dresden 1. Auflage Auflage , neu bearbeitete und erweiterte Auflage Juli 2004 Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 2004 Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart. Leipzig' Wisbaden Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN DOI / ISBN (ebook)

4 Vorwort Jeder Lernende und auch jeder Anwender der Mathematik wird gern auf eine Formelsammlung oder auf einen Wissensspeicher zurückgreifen, um Fakten zu überprüfen, wenn das Gedächtnis überfordert ist, oder um neue Informationen zu erhaben. Der vorliegende Band enthält neben grundlegenden mathematischen Formem auch verbal beschriebenes WISSen, nämlich zentrale Definitionen und Sätze ausgewählter mathematischer Fachgebiete. Zielgruppe sind vor allem Studierende an Universitäten und Fachhochschulen, die mit der Mathematik konfrontiert sind. Deshalb wurde der Inhalt dieses Bandes der Reihe ''Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler" streng auf die Anforderungen des Grundstudiums in ingenieurwissenschaftlichen Studiengängen ausgerichtet. In Verbindung mit dem Besuch von Vorlesungen und Seminaren, der Arbeit mit Lehrbüchern und der Nutzung mathematischer Software wird diese Sammlung von Grundwissen der Höheren Mathematik sowohl dem Lernenden als auch dem Ingenieur in der Praxis hilfreich sein. Bei der Arbeit am Manuskript haben mich viele Mathematiker beraten. Mein Dank gih zuerst den Herausgebern der Reihe, von denen ich konstruktive Hinweise erhiek, insbesondere Herrn Prof eh. Großmann und Herrn Prof K Manteuffel Die thematische Breite - von der Analysis über die Geometrie und Lineare Algebra bis zur Optimierung, Stochastik und Numerik - war nur durch die kritische Beteiligung zahlreicher Fachkollegen dieser Gebiete zu bewältigen. Dafiir danke ich besonders meiner Kollegin Frau Dr. R. Storm und meinen Kollegen Henn Dr. W.-D. K1ix und Herrn Dr. H. Schönheinz. Für die kritische Durchsicht bin ich den Herren Prof H.-G. Roos und Prof W. Schirotzek sowie Henn J. Weiß vom Teubner-Verlag mit Dank verbunden. Dresden, im Juni 1996 Klaus Vetters In dieser vierten, neu bearbeiteten Auflage wurden inhakliche Verbesserungen und Ergänzungen vorgenommen, insbesondere wurde ein Abschnitt über Integrakransformationen eingefiigt. Für die dazu von Studenten und Kollegen ergangenen vielen freundlichen Hinweise bedanke ich mich sehr herzlich. Für besonders ausfiihrliche Bemerkungen danke ich meiner Kollegin Frau Mag. H. Pfeifer. Dresden, im Mai 2004 Klaus Vetters vetters@math.tu-dresden.de

5 Inhalt Bezeichnungen, Konstanten, elementare Gesetze 9 Relationen Mengen... '" Zahlen..., 16 Natürliche, ganze, rationale, reelle Zahlen Kotnplexe Zahlen Kombinatorik Permutationen Variationen Kombinationen Koordinatensysteme Ebene Koordinatensysteme Räumliche Koordinatensysteme Verschiebung des Koordinatensystems Drehung des Koordinatensystems Geometrie Ebene Geometrie Analytische Geometrie der Ebene Räumliche Geometrie Analytische Geometrie des Raumes Abbildungen, reelle Funktionen Begriffe bei reellen Funktionen Spezielle Grenzwerte Regel von de l'hospital Elementare Funktionen Spezielle Funktionen Lineare Algebra Determinanten Vektoren Vektomormen Matrizen Lineare Gleichungssysteme Eigenwertaufgaben bei Matrizen Folgen Zahlenfolgen Funktionenfolgen Differentialrechnung für Funktionen mit einer Variablen Differentiationsregeln Ableitungen elementarer Funktionen Mittelwertsätze Taylorentwicklung Näherungsformeln

6 Inhalt 7 Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen Unbestimmtes Integral..., 58 Bestimmtes Integral Tabelle unbestimmter Integrale Tabelle bestimmter Integrale Uneigentliche Integrale Parameterintegrale Linienintegrale 1. Art Linienelemente Anwendungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Begriffe Zurückfiihrung auf Systeme 1. Ordnung Differentialgleichungen 1. Ordnung Differentialgleichungen 2. Ordnung Lineare Differentialgleichungen Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Reihen...,..., Endliche Reihen Unendliche Reihen Konvergenzkriterien Funktionenreihen Potenzreihen Analytische Funktionen, Taylorreihe Fourierreihen Integraltransformationen Laplace-Transfonnation Fourier-Transfonnation Funktionen mit mehreren Variablen n Punktmengen des Raumes IR Funktionen im IR n Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen Partielle Ableitungen Totales Differential Richtungsableitung Taylorformel Tangentialebene Kettenregel FehlelfOltpflanzung Extremwertaufgaben und Optimierung Begriffe Extretna von Funktionen mit einer Variablen Extretna von Funktionen mit mehreren Variablen Extretna mit Gleichungsrestriktionen Nichtlineare Optimierung

7 8 Inhalt Doppelintegrale Berechnung (iterierte Integration) Substitution Oberflächenintegrale 1. Art Flächenelemente Anwendungen Dreifachintegrale Berechnung (iterierte Integration) Substitution Raumelemente Anwendungen Vektoranalysis Vektorfelder Parameterableitungen von Vektoren..., 114 Gradient Divergenz Rotation Differentialoperatoren 2. Ordnung Linienintegrale 2. Art Oberflächenintegrale 2. Art Integralsätze Partielle Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Stochastik Zufiillige Ereignisse Wahrscheinlichkeit Verteilungsfunktion und Dichte Erwartungswert und Streuung Spezielle diskrete Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen Funktionen von Zufallsgrößen Zweidimensionale Zufallsgrößen Korrelation und Regression Punktschätzungen Konfidenzintelvalle Signifikanztests Statistische Tabellen Numerische Methoden Lineare Gleichungssysteme Matrizen-Eigenwerte Nichtlineare Gleichungen Approximationsprobleme Numerische Differentiation Numerische Integration Numerik fii.r Anfangswertaufgaben Sachregister