Differentialgleichungen

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1 Differentialgleichungen Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen Von Dr. phil. Dr. h. c. mult. Lothar Collatz em. o. Professor an der Universität Hamburg 7., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 190 Figuren, 82 Aufgaben und Lösungen und zahlreichen Beispielen B. G.Teubner Stuttgart 1990

2 Inhalt Einteilung der Differentialgleichungen 1. Bezeichnungen Physikalisehe Beispiele für Differentialgleichungen 14 I Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 1 Richtungsfeld und einfachste integrierbare Typen 3. Lösungskurven im Richtungsfeld Trennung der Veränderlichen Ähnlichkeitsdifferentialgleichung Einfache, auf die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung zurückführbare Fälle 21 2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung 7. Homogene und inhomogene Gleichung, triviale Lösung Lösung der homogenen Gleichung Lösung der inhomogenen Gleichung 23 3 Bernoullische Differentialgleichung 10. Zurückführung auf eine lineare Differentialgleichung Die Riccatische Differentialgleichung 26 4 Der integrierende Faktor 12. Exakte Differentialgleichung Der integrierende Faktor 28 5 Vorbereitungen zur Existenz- und Eindeutigkeitsfrage 14. Ein- und mehrdeutige Richtungsfelder Nichteindeutigkeit der Lösung Die Lipschitz-Bedingung, schärfere und schwächere Form Das Verfahren der schrittweisen Näherungen 32 6 Der allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssatz 18. Der Existenzsatz Der Eindeutigkeitsbeweis System von Differentialgleichungen und eine Differentialgleichung w-ter Ordnung Einige Grundbegriffe der Funktionalanalysis Banachscher Fixpunktsatz und der Existenzsatz bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 47 7 Singuläre Linienelemente 23. Reguläre und singuläre Linienelemente. Definitionen und Beispiele Isolierte singuläre Punkte Zur Theorie der isolierten singulären Punkte Die Clairautsche und d'alembertsche Differentialgleichung 56

3 8 Inhalt 8 Schwingungen 27. Schwingungen bei einem Freiheitsgrad, Phasenkurven Beispiele von Schwingungen und Phasenkurven Periodische Schwingungen autonomer ungedämpfter Systeme mit einem Freiheitsgrad 65 9 Vermischte Aufgaben und Lösungen 30. Aufgaben Lösungen 72 II Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung 1 Einige Typen nichtlinearer Differentialgleichungen 1. Die abhängige Veränderliche y kommt nicht explizit vor Die Gleichung?/" =f(y) und das Energieintegral Die allgemeine Differentialgleichung, in der x nicht explizit auftritt 75 V' 4. Die Differentialgleichung enthält nur die Verhältnisse Grundlegende Sätze über lineare Differentialgleichungen 5. Bezeichnungen Der Überlagerungssatz Reduktion der Ordnung einer linearen Differentialgleichung 79 3 Fundamentalsysteme einer linearen Differentialgleichung 8. Lineare Abhängigkeit von Funktionen Die Wronskische Determinante für lineare * Unabhängigkeit von Funktionen Allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung 84 4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 11. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung Mehrfache Nullstellen der charakteristischen Gleichung Stabilitätskriterium ' Die Gleichung für erzwungene Schwingungen Lösung der homogenen Schwingungsgleichung 94 5 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 16. Das Verfahren der Variation der Konstanten Die Faustregel" Einführung einer komplexen Differentialgleichung Der Resonanzfall Die Eulersche Differentialgleichung 20. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung Beispiele..... e Systeme linearer Differentialgleichungen 22. Beispiel: Schwingungen eines Kraftfahrzeugs (Kopplungsarten) Fundamentalsystem von Lösungen Lösung des inhomogenen Systems mit Hilfe der Variation der Konstanten 109

4 Inhalt Matrix A konstant, charakterische Zahlen der Matrix Die drei Hauptklassen in der Theorie der quadratischen Matrizen Anwendung auf die Schwingungslehre Beispiel eines physikalischen Systems mit nicht normalisierbarer Matrix Transformation normaler und normalisierbarer Matrizen auf Diagonalgestalt Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten 30. Technische Beispiele für Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten Periodische Lösungen des homogenen Systems Stabilität Periodische Lösungen beim inhomogenen System Beispiel für die Stabilitätstheorie Laplace-Transformation 35. Definition der Laplace-Transformation Differentiation und Integration der Originalelemente Laplace-Transformation bei Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen Abklingvorgänge und periodische Lösungen Faltungssatz und Integralgleichungen 1. Art Umkehrtransformation und Tabelle 138 III Rand-, insbesondere Eigenwertaufgaben 1. Anfangs wertaufgaben und Randwertaufgaben Beispiele linearer Randwertaufgaben 2. Ein Träger. Mehrere Felder der Differentialgleichung Die Anzahl der Lösungen bei linearen Randwertaufgaben Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben 4. Differentialgleichung der Kettenlinie Die Differentialgleichung y" = y Abzählbar unendlich viele Lösungen der Randwertaufgabe bei y" = -y Die Alternative bei linearen Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen 7. Halbhomogene und vollhomogene Randwertaufgaben Die allgemeine Alternative Lösung von Randwertaufgaben mit Hilfe der Greenschen Funktion 9. Einfachste Beispiele Greenscher Funktionen Die Greensche Funktion als Einflußfunktion Allgemeine Definition der Greenschen Funktion Die Lösungsformel für die Randwertaufgabe Beispiele von Eigenwertaufgaben 13. Die vollhomogene Randwertaufgabe Die nichtlineare Randwertaufgabe 164

5 10 Inhalt 15. Partielle Differentialgleichungen Der Bernoulli-Ansatz für Eigenschwingungen Eigenwertaufgaben und Orthonormalsysteme 17. Selbstadjungierte und volldefinite Eigenwertaufgaben Orthogonalität der Eigenfunktionen Orthonormalsystem ' ' Approximation im Mittel Zum Entwicklungssatz Der Quotienteneirischließungssatz Beziehungen zur Variationsrechnung 23. Einfache Beispiele Die Eulersche Gleichung der Variationsrechnung im einfachsten Falle Freie Randwertaufgaben und Variationsrechnung Verzweigungsprobleme 26. Verzweigungsaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung Nichtlineare Eigenwertaufgaben und Verzweigungsprobleme Beispiel: Verzweigungsdiagramm bei einer Urysohnschen Integralgleichung Vermischte Aufgaben und Lösungen zu Kapitel II und III 29. Aufgaben Lösungen 195 IV Spezielle Differentialgleichungen 1 Kugelfunktionen 1. Lösung der Potentialgleichung Die erzeugende Funktion Kugelfunktionen zweiter Art Eine andere explizite Darstellung der Legendreschen Polynome Orthogonalität Zylinderfunktionen 6. Partielle Schwingungsdifferentialgleichung einer Membran Bernoulli-Ansatz für die Membranschwingungen Die erzeugende Funktion Folgerungen mit Hilfe der erzeugenden Funktion Integraldarstellung Beispiel aus der Astronomie: Die Keplersche Gleichung Bessel-Funktionen zweiter Art Allgemeinere Differentialgleichungen Schwingungsformen der Kreismembran Reihenentwicklung, hypergeometrische Funktion 15. Reihenansatz, determinierende Gleichung Wurzeln der determinierenden Gleichung Beispiel: Hypergeometrische Gleichung Störungsrechnung und singuläre Stellen Beispiel zur Technik der Reihenentwicklung 228

6 V Exkurs in die partiellen Differentialgleichungen Inhalt 11 1 Allgemeine Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und eine nichtlineare Gleichung 1. Einfache lineare partielle Differentialgleichungen Wellengleichung und Potentialgleichung Überschlagen einer Welle bei einer nichtlinearen Differentialgleichung Anfangs- und Randwertaufgaben 4. Die 3 Grundtypen einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung Einfluß- und Fortsetzungsgebiet Lösung der Randwertaufgabe für den Kreisbereich Beispiel: Temperaturverteilung Randmaximumsatz und Monotonie 8. Randmaximumsatz der Potentialtheorie in der Ebene und im dreidimensionalen Raum Stetige Abhängigkeit der Lösung der Randwertaufgabe von den Daten Monotoniesätze, Optimierung und Approximation Numerisches Beispiel: Torsionsproblem Sachgemäßheit und freie Randwertaufgaben 12. Sachgemäße und unsachgemäße Aufgaben Weitere inkorrekt gestellte Aufgaben Beispiele freier Randwertaufgaben Beziehungen zur Variationsrechnung und Methode der finiten Elemente 15. Variationsproblem für die 1. Randwertaufgabe der Potentialtheorie Ritzsches Verfahren Methode der finiten Elemente Beispiel Laplace- und Fourier-Transformation bei partiellen Differentialgleichungen 19. Eine parabolische Gleichung (Wärmeleitungsgleichung) Laplace-Transformation bei der Wellengleichung Reziprozitätsformeln der Fouriertransformation Fourier-Transformation bei der Wärmeleitungsgleichung 271 VI Anhang Einige Näherungsmethoden und weitere Übungsaufgaben 1 Einige Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Vorbemerkungen und einige grobe Näherungsverfahren Angenäherte numerische Integration nach Runge und Kutta Verfahren der zentralen Differenzen Differenzenverfahren 277

7 12 Inhalt 5. Mehrstellenverfahren Ritzsches Verfahren Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen 7. Vermischte Aufgaben zu Kapitel I Lösungen Vermischte Aufgaben zu Kapitel II und III Lösungen Vermischte Aufgaben zu Kapitel IV und V Lösungen Einige biographische Daten 13. Lebenszeiten einiger Mathematiker 309 Einige Lehrbücher über Differentialgleichungen und weiterführende Bücher 311 Sachverzeichnis 313