Differentialgleichungen 1. Ordnung. Einführung, Lösung and Anwendungen

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Sigrid Vogel
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1 Naturwissenschaft Marco Husinsky Differentialgleichungen 1. Ordnung. Einführung, Lösung and Anwendungen Facharbeit (Schule)

3 FACHARBEIT aus dem Fach Mathematik Thema: Differentialgleichungen 1. Ordnung

4 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung Auswahl des Themas Inhalt und Schwerpunktsetzung Allgemeine Bezeichnungen und Besonderheiten Definition und Terminologie Was ist eine Differentialgleichung? Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen Explizite und implizite Differentialgleichungen Homogene und inhomogene Differentialgleichungen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen Was ist die Lösung einer Differentialgleichung? Das Anfangswertproblem Algebraische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen Direkte Integration Separation der Variablen Variation der Variablen Spezielle Differentialgleichungen Bernoulli Differentialgleichung Riccati-Differentialgleichung Näherungsverfahren Das Richtungsfeld Der Euler-Cauchy-Polygonzug Das Runge-Kutta-Verfahren Anwendungen Orthogonale Trajektorie Vom exponentiellen zum logistischen Wachstum Das exponentielle Wachstum Das logistische Wachstum Aufladung und Entladung eines Kondensators Schlussbemerkung Literatur- und Quellenverzeichnis

5 Einführung 1.1 Auswahl des Themas Wie verstanden die Alten das Naturgesetz? Für sie war es eine innere Harmonie, sozusagen statisch und unveränderlich; oder es war ein Idealbild, dem nachzustreben die Natur sich bemühte. Für uns hat ein Gesetz nicht mehr diese Bedeutung; es ist eine unveränderliche Beziehung zwischen der Erscheinung von heute und der von morgen; mit einem Wort: es ist eine Differentialgleichung. Henri Poincaré Der Wert der Wissenschaft Jules Henri Poincaré, einer der bedeutendsten Naturwissenschaftler der Moderne, nimmt mit diesem Zitat schon beinahe die grundlegendste Aussage dieser Facharbeit vorweg. Eine Differentialgleichung - für Poincaré ist sie "eine unveränderliche Beziehung zwischen der Erscheinung von heute und der von morgen" - ermöglicht es, die komplexesten Vorgänge, sei es in der Physik, in der Biologie oder auch in der Wirtschaft, zu erfassen und so genauer zu verstehen. Obwohl das Gebiet der Differentialgleichungen eines der wahrscheinlich wichtigsten und mächtigsten Instrumente der Naturwissenschaften ist, wird ihre Lehre im Lehrplan an bayrischen Schulen kaum berücksichtigt. Aus diesem Grund kam ich zu dem Entschluss, mich tiefer mit dem Thema zu beschäftigen und schlussendlich die hier vorliegende Facharbeit anzufertigen. 1.2 Inhalt und Schwerpunktsetzung Selbstverständlich kann ein Werkzeug, das der Wissenschaft so viele Türen öffnet, in einer Facharbeit nicht vollständig erschlossen werden. Hierfür bräuchte es ein Studium mit mathematischem Schwerpunkt, dennoch bietet diese Facharbeit einen Einstieg in die Tiefen dieser Thematik. Die folgenden Seiten definieren wichtige Begriffe, zeigen erste Lösungsmöglichkeiten und bieten einen kleinen Einblick auf anwendungsorientierte Aufgabestellungen. Die in der Facharbeit besprochenen Modelle werden durch ausgewählte Grafiken, ausführlich durchgerechnete Herleitungen und Beispiele, sowie durch ein selbst geschriebenes Java-Programm vertieft. Um den Anforderungshorizont nicht zu sprengen, wird der Schwerpunkt auf gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung gesetzt. 1.3 Allgemeine Bezeichnungen und Besonderheiten In dieser Facharbeit treten vereinzelt mathematische Bezeichnungen auf, die in der Schulmathematik nicht gelehrt werden

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