DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

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1 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN LÖSUNGSMETHODEN UND LÖSUNGEN VON DR. E.KAMKE EHEMALS 0. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT TÜBINGEN I. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9. AUFLAGE. UNVERÄNDERTER NACHDRUCK DER 8., DURCHGESEHENEN AUFLAGE. MIT 60 FIGUREN B. G. TEUBNER STUTTGART 1977

2 Inhaltsverzeichnis. Erklärung der Zeichen und Abkürzungen XVII A. Allgemeine Lösungsmethoden. 1. Differentialgleichungen erster Ordnung. i. Explizite Differentialgleichungen y' =f{x, y); allgemeiner Teil i-l Bezeichnungen und Veranschaulichung der Differentialgleichung Existenz und eindeutige Bestimmtheit der Lösungen 2 2. Explizite Differentialgleichungen y' = f{x,y); Lösungsverfahren i Erste Orientierung und Methode der Polygonzüge Das Iterationsverfahren von Pieard-Lindelöf Ansetzen einer Potenzreihe Allgemeinere Reihenentwicklungen Reihenentwicklung nach einem Parameter Beziehung zu partiellen Differentialgleichungen 9 2'7 Abschätzungssätze Verhalten von Lösungen für große x Weitere Losungsmethoden Implizite Differentialgleichungen F(y', y, x) = Über Lösungen und Lösungsmethoden Reguläre und singulare Linienelemente: Diskriminantenkurve und singulare Lösungen Lösungsverfahren für besondere Typen von Differentialgleichungen Differentialgleichungen mit getrennten Variabein y' = f(x): y" = g(y); y'=/(*)»(y) iß 4-2 yf =f(ax+ by + c) Lineare Differentialgleichungen?/+/(*) V f/uo Asymptotisches Verhalten der Lösungen linearer Differentialgleichungen Bernoullische Differentialgleichungen y' \ J(x) y-\- g{x) y* = Homogene und verwandte Differentialgleichungen 19 (a)y'=/( ) 19 (b)wj,',j!) = o 19 (e) y'=/( a, + t y ~ M l 19 J J \*x + ßy + yf W*' = -J + K*>/(- ) 20 «>['fö+**fö]*-'$ + '*--, *tö 20

3 VIII Inhaltsverzeichnis. 4-7 Gleichgradige Differentialgleichungen Spezielle Riccatische Differentialgleichungen y' + a y* = b x" >9 Allgemeine Riccatische Differentialgleichungen y / =/(*)y* +?(*)y+a(*) Abelsche Differentialgleichungen erster Art y' = f'( x ) V' 24 r Abelsche Differentialgleichungen zweiter Art 26 (a) [y +g(z)] y' = j t (x)y* +.f l (x) y + /,(*) 26 (b) UM*) y+&>(*)]»' =/.(*) y* +/i(*) y +/o<*) 27 (o) [&(*) y + <?,(*)] y 7 = /,(*) y g(a;, y) + A(x, y) y' = 0 als exakte Differentialgleichung y' =f(x, y); g(x,y) + h(x, y) y' = 0; Eulerscher Multiplikator; integrierender Faktor F(y\ y, x) = 0, Integration durch Differentiation" (a) y = ö(x,y'); (b) * = G(y, y') (a) G(y', s) = 0; (b)g{y',y) = (a) y = g(y'); (b) z = </(/) Clairautsche Differentialgleichungen 31 (a) y = xy' + g(y') 31 (b) F(y - x y' y') = D'Alembertsche Differentialgleichungen y = xf(y') g(y') F(x, xy' y, y') 0; Legendresche Transformation Systeme von allgemeinen expliziten Differentialgleichungen tf v = / (x, y lt..., y n ) (r ss 1,..., n). 5. Allgemeiner Teil Bezeichnungen und Veranschaulichung der Differentialgleichung Existenz und eindeutige Bestimmtheit der Losungen Existenzsatz von Caratheodory Charakteristische Funktionen. Abhängigkeit der Losungen von den- Anfangswerten und von Parametern Stabilitätsfragen Lösungsverfahren Erste Orientierung und Methode der Polygonzüge Das Iterationdverfahren von Picard-Lindelöf Ansetzen einer Potenzreihe oder allgemeinerer Reihenentwicklungen Beziehung zu partiellen Differentialgleichungen 39 6*5 Reduktion des Systems bei Kenntnis von Gleichungen zwischen den Lösungen 39 6*6 Reduktion des Systems durch Differentiation und Elimination Abschätzungssätze Weitere Lösungsmethoden Dynamische Systeme Allgemeine dynamische Systeme 42

4 Inhaltsverzeichnis. XX 7-2 Über den Verlauf der Integralkurven für n = 2 in der Nähe eines stationären Punktes 43 7»3 Kriterien für die Art der stationären Punkte Systeme von linearen Differentialgleichungen. 8. Allgemeine lineare Systeme 47 8-i Allgemeine Vorbemerkungen Existenz- und Eindeutigkeitssät'*. Losungsverfahren 48 8*3 Reduktion des unhomogenen auf das homogene System 49 8*4 Abschätzungssätzc Homogene lineare Systeme 50 9-i Eigenschaften der Losungen. Hauptsysteme von Losungen *2 Existenzsätze und Lösungsverfahren Reduktionsverfahren Adjungierte Systeme von Differentialgleichungen Selbstadjungierte Systeme von Differentialgleichungen Adjungierte Systeme von Difierentialausdrücken; Lagrangesche Identität und Greensche Formel 56 9»7 Grundlösungen Homogene lineare Systeme mit singulären Stellen 57 io-l Einteilung der singulären Stellen 57 io-2 Schwach singulare Stellen Stark singulare Stellen Verhalten der Lösungen für große * Systeme, die von einem Parameter abhängen Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Homogene Systeme Allgemeinere Systeme Allgemeine Differentialgleichungen n-ter Ordnung. 14. Die explizite Differentialgleichung y(") =/(z, y, y' y*" -1 )) Besondere Typen der Differentialgleichung F(x, y, y',..., y<">) = Exakte Differentialgleichungen Gleichgradige Differentialgleichungen In der Differentialgleichung kommt x oder y nicht explizite vor 68 (a) F (y, y\..., y<»>) = 0; (b) F (x. y' y<»>) = Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung. 16. Allgemeine lineare Differentialgleichungen w-ter Ordnung Allgemeine Vorbemerkungen 69 i6-2 Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Lösungsverfahren 69 i6»3 Beseitigung des zweithöchsten Gliedes Reduktion der unhomogenen auf die homogene Differentialgleichung Verhalten der Lösungen für große x 72

5 X Inhaltereneiobnu. 17. Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 72 17*1 Eigenschaften der Losungen und Existenzsätze 72 Reduktion der Differentialgleichung auf eine solche niedrigerer Ordnung Über die Nullstellen der Losungen 74 17*4 ßrundlösungen Adjungierte, selbstadjungierte und.anti-selbstadjungierte Differentialausdrücke Lagrangesche Identität; Dirichletsche und Greensche Formeln Über die Lösungen adjungierter und exakter Differentialgleichungen Homogene lineare Differentialgleichungen mit singulären Stellen Einteilung der singulären Stellen Die Stelle x = ist regulär oder schwach singulär Die Stelle x = 00 ist regulär oder schwach singulär Die Stelle x = ( ist stark singulär Die Stelle x = 00 ist stark singulär 85 i8<6 Differentialgleichungen, deren Koeffizienten Polynome sind Periodische Funktionen als Koeffizienten Doppeltperiodische Funktionen als Koeffizienten Beeile Veränderliche Lösung der allgemeinen und der homogenen linearen Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale Das allgemeine Prinzip Die Laplace-Transformation Die spezielle Laplace-Transformation Mellins Transformation Eulers Transformation Lösung durch Doppelintegrale Verhalten der Lösungen für große x I Polynome als Koeffizienten Allgemeinere Funktionen als Koeffizienten Stetige Funktionen als Koeffizienten Oszillationssätze Genäherte Darstellung der Lösungen von Differentialgleichungen, die von einem Parameter abhängen 102 n-l 2i-i y<">-fi;e* (B - r) /,(s,e)y ( '> = o 102 ai-2 fa*>e) yw = ZfA*)tt' ) + Q*g(*)y = o 104»-o 22. Einige besondere Typen von linearen Differentialgleichungen >i Homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten «2 Unhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Eulers Differentialgleichungen 108 \

6 Inhaltsverzeichnis. XI 22-4 Lineare Funktionen als Koeffizienten *5 Polynome als Koeffizienten und als Losungen >6 Pochhammers Differentialgleichung Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 23. Nichtlineare Differentialgleichungen Lösungsverfahren für besondere Typen von nichtlinearen Differentialgleichungen Einige weitere Bemerkungen * Grenzwertsätze Ein Oszillationssatz -r~~ Allgemeine lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Allgemeine Bemerkungen Berechnung der Lösungen, wenn eine Losung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung bekannt ist Abschätzungssätze Homogene lineare Difierentialgleichungen zweiter Ordnung und Systeme von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung Über Reduktionen der Differentialgleichung Weitere Zusammenhänge mit anderen Differentialgleichungen Kettenbruchentwicklungen für Lösungen Allgemeines über die Nullstellen der Lösungen. Trennungssätze Nullstellen und Oszillation der Lösungen in einem endlichen Intervall Verhalten der Lösungen für x > Differentialgleichungen mit singulären Stellen Näherungslösungen, insbesondere asymptotische Losungen; reelle Veränderliche Asymptotische Lösungen; komplexe Veränderliche Genäherte Darstellung der Lösungen von Differentialgleichungen, die von einem Parameter abhängen Lineare Differentialgleichungen dritter und vierter Ordnung. 26. Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung Lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung Numerische, graphische und maschinelle Integrationsverfahren. 28. Numerische Integration: Differentialgleichungen erster Ordnung Verfahren von Runge, Heun und Kutta Kombiniertes Interpolations- und Iterationsverfahren Das Extrapolationsverfahren von Adams Ergänzungen zum Verfahren von Adams Numerische Integration: Differentialgleichungen höherer Ordnung Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 148 Bd. XVIII: K»mke, Differentialgleichungen I. II

7 XII I nhaltsverzeichnis Runge-Kuttasche Formeln für Differentialgleichungen zweiter Ordnung Das Verfahren von Adams-Stürmer für y" = j (x, y, y') Das Verfahren von Adaras-Störmer für y" =f(z, y) Das Verfahren von Blaess Graphische Integration: Differentialgleichungen erster Ordnung F(x, y, y') = 0, Festlegung des Richtungsfeldes Einschaltung über die graphische Integration einer Funktion y =/(*) Erstes Näherungsverfahren zur Lösung von y' = f(x, y) Verfahren der eingeschalteten Halbschritte Verbesserung der Näherungskurve nach C. Bunge 15J> 30-6 Extrapolationsverfahren Verwendung von Nomogrammen nach H. Heinrich Verwendung von Polarkoordinaten Weitere Verfahren Graphische Integration: Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung Systeme von Differentialgleichungen Differentialgleichungen zweiter Ordnung: ein erstes Näherungsverfahren *3 Das Verfahren der wiederholten Integration (Trapez- oder Seilpolygonverfahren) Verwendung von Nomogrammen Integration mittels Krümmungskreisen nach Lord Kelvin Das Linienbildverfahren von Meissner *7 Grammeis Orthopolarenverfahren Graphische Verwendung der Taylorsche'i Entwicklung Das Verfahren von E. Braun Apparate zur Lösung von Differentialgleichungen 179 B. Rand- und Eigenwertaufgaben. 1. Rand- und Eigenweriaufgaben bei einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung. 1. Allgemeines über Randwertaufgaben 182 I-I Bezeichnungen und allgemeine Vorbemerkungen 182 i-2 Bedingungen für die Lösbarkeit der Randwertaufgabe Die adjungierte Randwertaufgabe Selbstadjungierte Randwertaufgaben Die Greensche Funktion 188 i-6 Lösung unhomogener Randwertaufgaben mittels der Greenschen Funktion Verallgemeinerte Greensche Funktionen Rand- und Eigenwertaufgaben bei der Differentialgleichung n Z/rW y w + *g(z)»=/(*); allgemeiner Teil 193 v-0

8 Inhaltsverzeichnis. XIII 2-i Eigenwerte und Eigenfunktionen; die charakteristische Determinante A(X) Die adjungierte Eigenwertaufgabe und die Greensche Resolvente; vollständiges Biorthogonalsystem Genormte Randbedingungen; reguläre Eigenwertaufgaben Die Eigenwerte bei regulären und irregulären Eigenwertaufgaben Der Ansatz zur Entwicklung gegebener Funktionen nach Eigenfunktionen; Entwicklungssätze für reguläre und irreguläre Eigenwertaufgaben Selbstadjungierte normale Eigenwertaufgaben Einschaltung über Fredholmsche Integralgleichungen Beziehung zwischen Randwertaufgaben und Fredholmschen Integralgleichungen Beziehung zwischen Eigenweitaufgaben und Predholmschen Integralgleichungen. Polgerungen für das Eigenwert- und Entwicklungsproblem Einschaltung über Volterrasche Integralgleichungen II Beziehung zwischen Randwertaufgaben und Volterraschen Integralgleichungen Beziehung zwischen Eigenwertaufgaben und Volterraschen Integralgleichungen Beziehung zwischen Eigenwertaufgaben und Variationsrechnung Zusätzliche Bemerkungen hierzu 216 (a) Rayleighs Prinzip 216 (b) Ein zweites Variationsprinzip 217 (c) Ein drittes Variationsprinzip Entwicklungen nach Eigenfunktionen i6 Unabhängige Festlegung der Eigenwerte nach Courant Ein Abschätzungssatz. >> Methoden zur praktischen Lösung von Eigen- und Randwertaufgaben Das Näherungsverfahren von Ritz-Galerkin Das Näherungsverfahren von Grammel Die Lösung unhomogener Randwertaufgaben nach Ritz-Galerkin Das Iterationsverfahren Genäherte Lösung von Rand- und Eigenwertaufgaben mittels Differenzenrechnung Störungsrechnung Weitere Abschätzungen für die Eigenwerte 230 (a) Aufspaltungsformel von Dunkerley-Jeffcott 231 (b) Aufspaltungsformel von Southwell 231 (c) Einschließungssatz von Temple 231 (d) Einschließungssatz von Kryloff-Bogoliubov 232 (e) Abschätzungen mittels der Greenschen Funktion 232 (f) Untere Schranke nach Temple-Bickley 232 (g) Untere Schranke nach Trefftz-Newing 233 (h) Untere Schranken für die höheren Eigenwerte nach Trefftz-Willers Übersicht über die Wege zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen 234 (a) Das zl(a)-verfahren 234 II*

9 XIV Inhaltsverzeichnis. (b) Übergang zu einer Integralgleichung 234 (c) Störungsrechnung 234 (d) Übergang zu einer Differenzengleichung 234 (e) Übergang zu einer Variationsaufgabe 236 (f) Iterationsverfahren 235 (g) Interpolationsverfahren Selbstadjungierte Eigenwertaufgaben bei der Differentialgleichung Zf.i*)^' ) = ^ ta*)^ Formulierung der Aufgabe Vorbemerkungen allgemeiner Art Normale Eigenwertaufgaben Definite Eigenwertaufgaben Entwicklungen nach Eigenfunktionen Rand- und Nebenbedingungen allgemeinerer Art Rand- und Eigenwertaufgaben bei Systemen linearer Differentialgleichungen. 6. Rand- und Eigenwertaufgaben bei Systemen linearer Differentialgleichungen i Bezeichnungen und Lösbarkeitsbedingungen Die adjungierte Randwertaufgabe Die Greensche Matrix Randwertaufgaben, die einen Parameter enthalten; Eigenwertanfgaben Selbstadjungierte Eigenwertaufgaben 26(1 6-6 Ergänzungen Rand- und Eigenwertaufgaben der niedrigeren Ordnungen. 7. Aufgaben erster Ordnung Lineare Aufgaben Nichtlineare Aufgaben Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung i Allgemeine Bemerkungen Die Greensche Funktion Abschätzungen von Lösungen der Randwertaufgabe erster Art Randbedingungen für a; >oo 257 8\5 y" + «! y 9{*)> periodische Lösungen Eine Rand- und Eigenwertaufgabe, die mit der Strömung von Flüssig keiten zusammenhängt Linear»: Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung Überblick über die behandelten Aufgaben (/ y")' -f- (Aj-f- h) y = 0, /=)= 0; selbstadjungierte Aufgabe 260 (a) 0(z)4=O 260 (a,) Sturmsche Eigenwertaufgabe 260 (83) Allgemeine selbstadjungierte Randbedingungen 263

10 Inhaltsverzeichnis. XV (b) g(x) darf das Vorzeichen wechseln; aber die Eigenwertaufgabe ist definit 264 (c) g (x) darf das Vorzeichen wechseln; die Eigenwertaufgabe ist nicht definit y' = F (z, A) 2, z' 0(x, X) y mit selbstadjungierten Randbedingungen 264 (a) Sturnische Bandbedingungen 265 (b) Allgemeine selbstadjungierte Randbedingungen Eigenwertaufgaben und Variationsprinzip 267 9>5 Zur praktischen Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen Eigenwertaufgaben, die nicht selbstadjungiert zu sein brauchen (a) Reguläre und irreguläre Eigenwertaufgaben 270 (b) y' = F (x, X) 2, 2' = ö (x, X) y, Existenz von Eigenwerten (c) Differentialgleichungen, in die der Parameter nicht linear eingeht Andere Nebenbedingungen 272 (a) Polynome als Lösungen 272 (b) Sonstige Nebenbedingungen Eigenwercaufgaben mit mehreren Parametern; Kleins Oszillationssatz Differentialgleichungen mit singulären Stellen in den Randpunkten Unbegrenzte Intervalle Nichtlineare Rand- und Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung 277 io.i Randwertaufgaben für ein endliches Intervall 277 io-2 Randwertaufgaben für ein einseitig begrenztes Intervall 280 ro-3 Eigenwertaufgaben Rand- und Eigenwertaufgaben dritter bis achter Ordnung 282 II-I Lineare Eigenwertaufgaben dritter Ordnung 282 IT-2 Lineare Eigenwertaufgaben vierter Ordnung Lineare Eigenwertaufgaben für Systeme von zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung Nichtlineare Randwertaufgaben vierter Ordnung 287 n -5 Eigenwertaufgaben dritter bis achter Ordnung 287 C. Einzel-Differentialgleichungen. Vorbemerkungen Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen ersten Grades in y' Differentialgleichungen zweiten Grades in y' Differentialgleichungen dritten Grades in?/' Differentialgleichungen allgemeinerer Art 389 z. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung ay" (ax + b)y"-\ i a y"h (x* ± o>) y" H («**+&*+e)y"+ 463

11 XVI Inhaltsverzeichnis (a 3»+...)»" (a«+ )»" P(x) y" + ; -P ein Polynom vom Grad sä Rest Lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung Lineare Difierentialgleichungen vierter Ordnung Lineare Differentialgleichungen fünfter und höherer Ordnung Nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung ," = F(x,y,y') f(x)y" =F(x,y,y') f(x)yy"=f(x,y,y') f(",y)y"=f{x,y,y') Rest Nichtlineare Differentialgleichungen dritter und höherer Ordnung Systeme von linearen Differentialgleichungen Systeme von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten a, x' + b p y' + e, x -\- d v y = f,(t) Systeme von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung, deren Koeffizienten nicnt konstant sind Systeme von zwei Difierentialgleichungen von höherer als erster Ordnung Systeme von mehr als zwei Differentialgleichungen Systeme von nichtlinearen Differentialgleichungen Systeme von zwei Differentialgleichungen Systeme von mehr als zwei Difierentialgleichungen Funktional-Differentialgleichungen 630 Nachträge 637 Register 663