Mathematik - Antwortblatt Klausur

Transkript

1 Mathematik - Antwortblatt Klausur Aufgabe: 0 Punkte a) Allgemein heißt eine Funktion f (x) stetig an der Stelle x 0, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind (2 Punkte): f (x 0 )=lim h 0 f (x 0 + h) = lim h 0 f (x 0 h) Eine Funktion heißt stetig, wenn ( Punkt):... sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist. b) Überprüfung von f (x) an der Stelle x 0 =auf Stetigkeit! Funktionswert an der Stelle x 0 =( Punkt): f () = rechtsseitiger Grenzwert (2 Punkte): limf ( + h) = lim h 0 h 0 2p 5(+h) = linksseitiger Grenzwert (2 Punkte): lim h 0 f ( h) =lim h 0 (a +ln( h)) = a Die Funktion f (x) ist an der Stelle x 0 =für folgende Parameterwerte von a stetig (2 Punkte): a =.

2 2 Aufgabe: 5 Punkte a) Allgemeine Formel zur Berechnung der Inversen der Matrix A lautet ( Punkt): A = (ad bc) Ã d c b a! b) Inverse von X lautet (2 Punkte): X = 6(x 2 ) Ã x ! c) Begründung ( Punkt): Die Determinante 6(x 2 ) muss 6= 0sein, damit der Nenner definiert ist. Einschränkung für die Parameterwahl von Parameter x ( Punkt): x 6= ±. 2

3 3 Aufgabe: 30 Punkte a) Die Lagrangefunktion lautet (3 Punkte): L = A +4K {z } λ A K {z T }. Kosten Nebenbedingung Bedingungen erster Ordnung (6 Punkte): L () = 0.5λ A K =0 λ =2 A A K bzw. =0.5λ A K L (2) =4 0.5λ A K K =0 λ =8 A K bzw. 4=0.5λ A K L (3) = A K + T =0 λ Alternative Rechenwege: ) = 2) 2 A K =8 A K A =4K oder () KA 0,5 (2) 4 0.5λ AK 0,5 4 A A =4K K oder A eingesetzt in (3) ergibt den kostenminimalen Faktoreinsatz in Abhängigkeit vom zu produzierenden Endprodukt T : Hier: K in (3): T = A K = 4K K =2K Kostenminimaler Faktoreinsatz lautet (6 Punkte): A =2T und K = T 2. b) Die Produktionselastizität des Faktors Arbeit und Kapital ist wie folgt definiert (2 Punkte): ε T,A = T A A T ε T,K = T K K T Die Produktionselastizität des Faktors Arbeit (2 Punkte): T = A K T/ A = K 2 A ε T,A = K 2 A A A K = 2 Die Produktionselastizität des Faktors Kapital (2 Punkte): T = A K T/ K = A 2 K ε T,K = T K K T = A 2 K K A K = 2 3

4 c) Die Kostenfunktion im Minimum lautet (2 Punkte): C = A +4K =4T Die Veränderung der Kosten im Minimum lautet (3 Punkte): C T =4 d) Der Lagrange-Parameter bedeutet ökonomisch (4 Punkte): Der Lagrange-Parameter λ im Kostenminimum entspricht den Grenzkosten. 4

5 4 Aufgabe: 5 Punkte a) Bitte übertragen Sie die Spieler, Strategien und Auszahlungen in den Spielbaum! (5 Punkte) Zeitpunkt t 0 : A Auszahlungen Summe Spieler: A B sparen aufteilen Teilspiel t : B sparen aufteilen t 2 : A aufteilen b) Eine Teilspiel ist wie folgt definiert (3 Punkte): Ein Teilspiel ist ein Spiel, das in einem einzelnen Entscheidungsknoten des Spielbaums beginnt und alle Knoten, die diesem Knoten nachfolgen enthält. Ein Beispiel für ein Teilspiel ist in den Spielbaum von a) eingetragen (2 Punkte). Beachte: A trifft int 2 keine Entscheidung! c) Entscheidung: Spieler B wählt in t (2 Punkte): aufteilen Spieler A wählt in t 0 (2 Punkte): aufteilen Teilspielperfektes Gleichgewicht ( Punkt): A in t 0 aufteilen 5

6 5 Aufgabe: 20 Punkte a) Übertragen Sie die Payoffs in die Matrix und zeichnen Sie das Abweichungsdiagramm (5 Punkte)! Spieler a b W keiten Spieler 2 c d 4 4 NGG NGG 2 8 p - p W keiten q - q Gleichgewicht(e)inreinenStrategien(2Punkte):(a, c) und (b, d) b) Gleichgewicht(e) in gemischten Strategien: Payoff Spieler (2 Punkte): P =4pq +4p ( q)+0+2( p)( q) =2p 2q +2pq +2 Beste Antwort von Spieler (2 Punkte): P q =2p 2= Payoff Spieler 2 (2 Punkte): 0 p = q beliebig(indiff erent) für 0 p< q =0 P 2 =6pq +6p ( q)+2q ( p)+8( p)( q) =6pq 6q 2p +8 Beste Antwort von Spieler 2 (2 Punkte): + q> p = 3 P 2 =6q 2 p 0 für q = pbeliebig(indifferent) 3 0 q< p =0 3 6

7 Graphische Darstellung der Gleichgewichte in reinen und gemischten Strategien (5 Punkte): NGG in den reinen und gem. Strategien: p = q = 0 NGG: b, d /3 q p (q) NGG in den gem. Strategien q (p) NGG in den reinen und gem. Strategien: p = q = NGG: a, c 0 p 7

8 6 Aufgabe: 8 Punkte a) Die Stammfunktion von h (y) =y y lautet (3 Punkte): H (y) = 3 y3 +2lny b) Funktion umschreiben: f(x) = x e x Z =(x ) e x (x ) e x dx Partielle Integration von f(x) = x e x u (x) = e x u 0 (x) =e x mit Nebenrechnung (2 Punkte): v (x) =(x ) v 0 (x) = Die Stammfunktion Z lautet (3 Punkte): Z F (x) = (x ) e x dx = e x (x ) e x dx F (x) = xe x 8

9 7 Aufgabe: 20 Punkte a) Bedingungen erster Ordnung (2 Punkte): f x =2ax + y +2=0 f y =2by + x +2=0 2ax + y = 2 x +2by = 2 Die Übertragung der Gleichungen in den Gauß-Algorithmus sieht wie folgt aus ( Punkt): x y RS 2a 2 : 2a 2b 2 Zwischenschritte: x y RS 2a a 2b 2 II-I 2a 4ab 0 2a a 2a a 2a 4ab Die letzte Stufe nach Anwendung des Gauß-Algorithmus sieht wie folgt aus (3 Punkte): x y RS 2a 0 a 2( 2a) 4ab Optimale Werte (2 Punkte): x = 2( 2b) y = 2( 2a) 4ab 4ab b) Matrix zweiter Ableitungen (4 Punkte): Ã! Ã! D 2 f f = xx f xy 2a = 2b f yx f yy 9

10 c) Minimum: Allgemeine Vorzeichenbedingungen ( Punkt): Det > 0, f xx > 0 und f yy > 0. Parameterbedingungen für f (x, y) (3 Punkte): f xx > 0 für a>0 f yy > 0 für b>0 Det =4ab > 0 für ab > 4 bzw. a> 4b. Sattelpunkt: Allgemeine Vorzeichenbedingungen ( Punkt): Det < 0. Parameterbedingungen für f (x, y) (3 Punkte): Det =4ab < 0 für ab < bzw. a< 4 4b 0

11 8 Aufgabe: 2 Punkte Die Formel für eindimensionale Funktionen an der Stelle x 0 lautet für: lineare Approximation ( Punkt): ef (x 0 )=f (x 0 )+f x (x 0 )(x x 0 ) quadratische Approximation ( Punkt): e f (x 0 )=f(x 0 )+f x (x 0 )(x x 0 ) + {z } f 2 xx (x 0 )(x x 0 ) 2 f(x 0 ) Umformung der Funktion: f (x) = Die Ableitungen lauten (2 Punkte): f x (x) = 2 x 3 2 f xx (x) = 3 4 x 5 2 q x = x 2 Die Funktionswerte an der Stelle x 0 =lauten (3 Punkte): f () = f x () = f 2 xx () = 3 4 Für f (x) lautet die lineare ApproximationanderStellex 0 =(3 Punkte): ef (x) =f () + f x () (x ) = (x ) 2 ef (x) = (3 x) 2 Für f (x) lautet die quadratische Approximation an der Stelle x 0 = (3 Punkte) e f (x) =f () + f x () (x ) + f 2 xx () (x ) 2 = (3 x)+ 3 (x ) e e f (x) = 8 (3x2 0x +5)