der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1

2 A.Kolmogoroff Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Reprint Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1973

3 AMS Subject Classif"ications (1970): 60-02, 60-03, 60A05 ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk isi urheberrechdich geschüt:tl. Die dadurch begründeten Re~hle. insbesondere die der Übersetzung. des Nachdrucks. der Entnahme von Abbildungen. der Funksendung. der Wiedergabe auf fowmecnanischeol uder 2hnlichem Wege und der Speicherung in Datcn"erarbeitungsanlagen bleiben. auch bei nur auszugsweiser Verwendung. "urbehalten Bei Ve"'iclfahigungen für gewerbliche Zwecke ist gemäß 504 U rhg eine Vergütung an den Verlag zu zahlen. deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren Ist Library of Cungress Calalog Card Number 32'2033~

4 ERGEBNISSE DER MATHEMATIK UND IHRER GRENZGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON DER SCHRIFTLEITUNG DES "ZENTRALBLATT FQR MATHEMATIK" ZWEITER BAND GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEITScr RECHNUNG VON A. KOLMOGOROFF BERLIN VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1933

5 Vorwort. Zweck des vorliegenden Heftes ist eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der leitende Gedanke des Verfassers war dabei, die Grundbegriffe der-wahrscheinlichkeitsrechnung, welche noch unhlngst für ganz eigenartig galten, natürlicherweise in die Reihe der allgemeinen Begriffsbildungen der modemen Mathematik einzuotl:inen. Vor der Entstehung der LEBEsGuEschen Maß- und Integrationstheorie war diese Aufgabe ziemlich hoffnungslos. Nach den LEBEsGuEschen Untersuchungen lag die Analogie zwischen dem Maße einer Menge und der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sowie zwischen dem Integral einer Funktion und der mathematischen Erwartung einer zufälligen Größe auf der Hand. Diese Analogie ließ sich auch weiter fortführen: so sind z. B. mehrere Eigenschaften der unabhängigen zufälligen Größen den entsprechenden Eigenschaften der orthogonalen Funktionen völlig analog. Um, ausgehend von dieser Analogie, die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu begründen, hätte man noch die Maßund Integrationstheorie von den geometrischen Elementen, welche bei LEBESGUE noch hervoitreten, zu befreien. Diese Befreiung wurde von FRtcHET vollzogen. Der diesen allgemeinen Gesichtspunkten entsprechende Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung war in den betreffenden mathematischen Kreisen seit einiger Zeit geläufig; es fehlte jedoch eine vollständige und von überflüssigen Komplikationen freie Darstellung des ganzen Systems (es befindet sich allerdings ein Buch von FRtcHET (Literaturverzeichnis'[2]) in Vorbereitung). Ich möchte hier noch auf diejenigen Punkte der weiteren Darstellung hinweisen, welche außerhalb des erwähnten, den Kennern vertrauten Ideenkreises liegen. Diese Punkte sind die folgenden: Wahrscheinlichkeitsverteilungen in unendlich-dimensionalen Räumen (drittes Kap., 4), Differentiation und Integration der mathematischen Erwartungen nach einem Parameter (viertes Kap., 5), vor allem aber die Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen (fünftes Kap.). Es sei dabei hervorgehoben, daß diese neuen Fragestellungen notwendigerweise aus einigen ganz konkreten physikalischen Fragestellungen entstanden sind1 1 Vgl. z. B. die in der Fußnote 1 auf der S. 41 zitierte Arbeit von Herrn LKONTO WITSCH und dem Verfasser sowie M. LKONTOWITSCH: Zur Statistik der kontinuierlichen Systeme und des zeitlichen Verlaufes der physikalischen Vorgänge. Phys. Z. Sowjetunion Bd.3 (1933) S

6 IV Vorwort. [198 Das sechste Kapitel enthält eine Übersicht (ohne Beweise) einiger Resultate von Herrn KHINTCHINE und dem Verfasser über die Anwendbarkeitsgrenzen des gewöhnlichen und des starken Gesetzes der großen Zahlen. In dem Literaturverzeichnis sind einige neuere Arbeiten angegeben, welche vom Standpunkte der Grundlagenkagen von Interesse sein dürften. Herrn A. KHINTCHINE, der das ganze Manuskript sorgfältig durchgelesen und dabei mehrere Verbesserungen vorgeschlagen hat, danke ich an dieser Stelle herzlich. Klj asma bei Moskau, Ostern A. KOLMOGOROFF.

7 Inhaltsverzeichnis. Seite I. Die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 1. Axiome Das Verhältnis zur Erfahrungswelt Terminologische Vorbemerkungen.' Unmittelbare Folgerungen aus den Axiomen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, der Satz von BA YES S. Unabhängigkeit...' Bedingte Wahrscheinlichkeiten als zufällige Größen, MARKoFFSChe Ketten Unendliche Wahrscheinlichkeitsfelder Das Stetigkeitsaxiom. ' BORELsche Wahrscheinlichkeitsfelder Beispiele unendlicher Wahrscheinlichkeitsfelder. 17 III. Zufällige Größen Wahrscheinlichkeitsfunktionen Definition der zufälligen Größen, Verteilungsfunktionen Mehrdimensionale Verteilungsfunktionen Wahrscheinlichkeiten in unendlichdimensionalen Räumen 24 S. Äquivalente zufällige Größen, verschiedene Arten der Konvergenz 30 IV. Mathematische Erwartungen Abstrakte LEBESGUESche Integrale Absolute und bedingte mathematische Erwartungen Die TCHEBycHEFFsche Ungleichung Einige Konvergenzkriterien Differentiation und Integration der mathematischen Erwartungen nach einem Parameter 39 V. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen Bedingte Wahrscheinlichkeiten Erklärung eines BORELschen Paradoxons 44 ]. Bedingte Wahrscheinlichkeiten in bezug auf eine zufällige Größe Bedingte mathematische Erwartungen 46 VI. Unabhängigkeit. Gesetz der groben Zahlen Unabhängigkeit Unabhängige zufällige Größen Gesetz der großen Zahlen Bemerkungen zum Begriff der mathematischen Erwartung Starkes Gesetz der großen Zahlen, Konvergenz von Reihen 58 Anhang: Null- oder EinS-Gesetz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung 60 Literaturverzeichnis 61