Metamathematische Methoden in der Geom etrie

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1 Hochschultext

2 W. Schwabhäuser W. Szmielew A. Tarski Metamathematische Methoden in der Geom etrie Mit 167 Abbildungen Teil I: Ein axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie von W. Schwabhäuser, W. Szmielew und A Tarski Teil II: Metamathematische Betrachtungen von W. Schwebhäuser Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1983

3 Wolfram Schwabhäuser Institut für Informatik, Universität Stuttgart Azenbergstr. 12, 7000 Stuttgart 1, BRO Wanda Szmielew t zuletzt Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski, Warszawa, Polska Alfred Tarski Oepartment of Mathematics, Berkeley, CA 94720, USA University of California AMS-MOS (1980) Classification Numbers: 03B, 03C, 030, 51A, 51F, 51G,51M ISBN ISBN (ebook) DOI / CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek. SChwabhäuser, Wolfram: Metamathematische Methoden in der Geometrie / W. Schwabhäuser; W. Szmielew; A. Tarski. - Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer, (Hochschultext) Enth.: Teil 1. Ein axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie / von W. Schwabhäuser; W. Szmielew u. A. Tarski. - Teil 2. Metamathematische Betrachtungen / von W. Schwabhäuser ISBN NE: Szmielew, Wanda:; Tarski, Alfred: Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Die Vergütungsansprüche des 54, Abs. 2 UrhG werden durch die "Verwertungsgesellschaft Wort", München, wahrgenommen. by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York /

4 Vorwort Das vorliegende Buch besteht aus zwei Teilen. Teil I enthält einen axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie auf Grund eines Axiomensystems von Tarski, das in einem gewissen Sinne (auch für die absolute Geometrie) gleichwertig ist mit dem Hilbertschen Axiomensystem, aber formalisiert ist in einer Sprache, die für die Betrachtungen in Teil II besonders geeignet ist. Mehrere solche Axiomensysteme wurden schon vor langer Zeit von Tarski veröffentlicht. Hier wird nun die Durchführung eines Aufbaus der Geometrie auf Grund eines solchen Axiomensystems - unter Benutzung von Resultaten von H. N. Gupta - allgemein zugänglich gemacht. Die vorliegende Darstellung wurde vom zuerst genannten Autor allein geschrieben, aber sie beruht zum Teil auf unveröffentlichten Resultaten von Alfred Tarski und Wanda Szmielew; daher gebührt ihnen ein Teil der Autorschaft. Mehr über Entstehung und Inhalt von Teil I sowie über die Geschichte der Tarskischen Axiomensysteme wird in der Einleitung (Abschnitt I.O) gesagt. Teil II enthält metamathematische Untersuchungen und Ergebnisse über verschiedene Geometrien, was vielfac~ auf eine Anwendung von Methoden und Sätzen der mathematischen Logik auf Geometrien hinausläuft (vgl. die Einführung am Anfang des zweiten Teils [ II. 1 1]). In den er'sten beiden Abschnitten werden zunächst die wichtigsten Hilfsmittel aus beiden Gebieten - Logik und Geometrie - zusammengestellt. Die weiteren Abschnitte sind dann der eigentlichen "Metamathematik der Geometrie" gewidmet. Es wurde versucht, über den Entwicklungsstand dieses von Tarski inspirierten Gebiets einen möglichst vollständigen Oberblick zu geben, wenn auch an manchen Stellen nur durch Angabe von Literaturzitaten. Andererseits wurden große Teile ausführlich (mit allen Beweisen) dargestellt, so daß das Buch als Grundlage für Vorlesungen und

5 Seminare geeignet sein dürfte. Auch der zweite Teil enthält eine Reihe von neuen Resultaten, die in der bisherigen Literatur gar nicht oder nur unter stärkeren Voraussetzungen behandelt wurden. Zur Gliederung und zum Inhalt von Teil II vergleiche man das Inhaltsverzeichnis und die Uberblicke am Anfang der einzelnen Abschnitte (bei II.1 als Nr. II.1.2). Ausführliche Register und zahlreiche Verweise innerhalb des Textes sollen das Nachschlagen erleichtern. Für die Verweise innerhalb des Textes wurden die Unterabschnittsnummern verwendet, die auch in den Kopfleisten der einzelnen Seiten innen angegeben sind. Bei Verweisen innerhalb desselben Teils wurde dabei die Nummer dieses Teils (I. bzw. II.) weggelassen. Viele Kollegen, Freunde und Mitarbeiter haben zur Entstehung dieses Buches beigetragen. Die Herren W. Benz, E. Engeler, H. N. Gupta, C. F. Moppert, G. H. Müller, A. Prestel und L. W. Szczerba haben eine frühere (Manuskript-)Fassung angesehen und Anregungen, hilfreiche Kommentare oder Verbesserungsvorschläge gegeben. A. Tarski schickte mir umfangreiche Notizen mit wertvollen Ergänzungen und Ratschlägen, die an verschiedenen Stellen in die endgültige Fassung eingearbeitet oder berücksichtigt wurden; bei der Abfassung dieser Notizen wurde er von St. Givant unterstützt. L. W. Szczerba und A. Prestel gaben ihre freundliche Zustimmung zur Aufnahme von anderweitig noch nicht veröffentlichten Resultaten (vgl. die entsprechenden Hinweise aufs. 393, 400, 414 bzw. 445, 447). Anregende Gespräche über hier behandelte Probleme hatte ich mit vielen Kollegen, die ich nicht alle aufzählen kann. Korrekturhinweise zu der früheren Fassung erhielt ich von den Herren G. Getto, H. Gilg, A. Prestel, H. Seeland und W. Tischhauser. Herr Getto legte außerdem ein ausführliches Register für die frühere Fassung an, auf das ich mich für die jetzige Fassung weitgehend stützen konnte. Die Schreibarbeiten für die frühere Fassung wurden von Frau I. Geisselhart (Teil I) und Frau H. Sonnenschein (Teil II) ausgeführt. Die äußerst mühevollen Schreibmaschinenarbeiten (mit vielen Kugelköpfen) für die gesamte Reinschrift wurden ebenfalls von Frau Sonnenschein übernommen. Die Zeichnungen wurden von Herrn K.. Adler angefertigt. Allen genannten und nicht genannten Personen, die mir geholfen haben, sage ich meinen herzlichen Dank. Außerdem danke ich dem Deutschen Akademischen Austauschdienst (DAAD) für die Finanzierung des auf s. 414 erwähnten Gastaufenthalts sowie dem Springer-Verlag für die stets gute und verständnisvolle Zusammenarbeit. Stuttgart, im Juni 1983 Wolfram Schwabhäuser

6 Inhaltsverzeichnis Teil I: Ein axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie von Wolfram Schwabhäuser, Wanda Szmielew und Alfred Tarski o. Einleitung 3 1. Das Tarskische Axiomensystem, kartesische Räume Folgerungen aus A1 bis AS Einfache Sätze über die Zwischenbeziehung Einfache Sätze über Kongruenz und Zwischenbeziehung Konnexität der Zwischenbeziehung und Streckenvergleich Halbgeraden und Geraden Punktspiegelungen Rechte Winkel Halbebenen und Ebenen, Unterräume Geradenspiegelungen Kongruenz und Größenvergleich von Winkeln, Kongruenzsätze, Orthogonalität für Unterräume Parallelität {im euklidischen Sinne) Die Sätze von Pappus-Pascal und von Desargues Einführung eines angeordneten Körpers Längen von Strecken Koordinaten Teil II: Metamathematische Betrachtungen von Wolfram Schwabhäuser 173' 1. Hilfsmittel aus der mathematischen Logik 2. Übersicht über betrachtete Geometrien.. 3. Entscheidbarkeit, Vollständigkeit, Finitisierbarkeit 4. Definierbarkeitsfragen 5. Modellvollständigkeit

7 VIII 6. Präfixtypen.. 7. Allgemeine affine Geometrie 8. Hinweise auf weitere Ergebnisse Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Namensverzeichnis Sachverzeichnis Genauere Angaben über den Inhalt von Teil II sind enthalten in den Oberblicken am Anfang der einzelnen Abschnitte (bei Abschnitt II.1 als Nr. II.1.2).