Anwendungsorientierte Mathematik. Herausgegeben von G. Bohme

Transkript

1 Anwendungsorientierte Mathematik Vorlesungen und Ubungen fur Studierende der Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften Herausgegeben von G. Bohme Band 3

2 GertBohme Analysis Teil2 Integralrechnung, Reihen, Differentialgleichungen Vierte, neubearbeitete und erweiterte Auflage Mit 97 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo 1985

3 Professor GERT BOHME Fachhochschule Furtwangen/Schwarzwald Fachbereich Allgemeine Informatik CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Biihme, Gert: Anwendungsorientierte Mathematik: Vorlesungen u. Obungen liir Studierende d.lngenieur- u. Wirtschaftswiss.lhrsg. von G. Biihme.- Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer Teilw. mit d. Erscheinungsorten Berlin, Heidelberg, New York Bd. 3. Analysis. - Teil 2.lntegralrechnungen, Reihen, Differentialgleichungen. 4., neubearb. u. erw. Auf! ISBN-13: e-isbn-13: : / Das Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Die Vergutungsanspruche des 54 Abs. 2 UrhG werden durch die «Verwertungsgeselischaft Wort», Munchen, wahrgenommen. by Springer-Verlag Berlin, Heidelberg Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buche berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zur Annahme, dab solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. 2068/

4 Vorwort zur vierten Auflage Die anwendungsorientierte Konzeption von Analysis und die damit verbundene Betonung des Exemplarischen hat unter den Benutzern des Buches weitgehend Zustimmung erfahren. Der Verzicht auf ausfuhrliche Beweise zugunsten einer Vielzahl von Beispielen, Aufgaben und LOsungen kommt der Art und Weise, wie Ingenieure oder Wirtschaftswissenschaftler Mathematik lernen und benotigen, optimal entgegen. Deshalb wurde an dieser Grundkonzeption auch bei Teil 2 der Analysis festgehalten. 1m Hinblick auf die zunehmende Bedeutung der harmonischen Analyse im Bereich der Ingenieurwissenschaften wurde das Kapitel tiber Fourier-Reihen neu und wesentlich ausfiihrlicher geschrieben und urn einen Abschnitt tiber das Fourier-Integral erweitert. Dabei wurde besonderer Wert auch auf die komplexe Darstellung der Formeln gelegt. Ferner wurde neu aufgenommen ein Kapitel tiber Laplace Transformationen und deren Anwendung auf die LOsung linearer Differentialgleichungen unter bestimmten Anfangsbedingungen. Das Laplace-Integral und seine Umkehrung wird aus dem Fourier-Integral hergeleitet, die praktische Handhabung bei der Transformation und Rticktransformation erfolgt jedoch mit Hilfe Einer Tafel der wichtigsten Korrespondenzen. Herzlich zu danken habe ich Herrn Professor Dr. Franz Pelz fur die grobztigige Uberlassung von Manuskripten und viele Anregungen zur didaktischen Gestaltung des Lehrstoffes. Herrn Dipl.-Ing. Peter Gembala, der mit viel Aufwand praktische Beispiele fur Fourier- und Laplace-Transformationen bereitgestellt hat, bin ich sehr verbunden. SchlieBlich danke ich dem Springer-Verlag fur die gute Zusammenarbeit. Furtwangen, im November 1984 Gert Bohme

5 Vorwort zur dritten Auflage Mit den Kapiteln Integralrechnung, Unendliche Reihen und Differentialgleichungen wird die Analysis im Rahmen der Anwendungsorientierten Mathematik abgeschlossen. Wie in den ersten beiden Banden, so wird auch mit diesem Buch in erster Linie der Kreis der Ingenieure und Wirtschaftswissenschaftler angesprochen. Beide benotigen eine Darstellung, die den Schwerpunkt auf die methodische Behandlung legt, ohne damit die Theorie ignorieren zu wollen.der Verzicht auf eine systematische Betrachtungsweise ermoglicht es, die fur Anwendungen wesentlichen Verfahren allgemein und exemplarisch so weit zu entwickeln, dab der Leser damit die gewtinschte Sicherheit bekommt. ErfahrungsgemaB sind viele der hier behandelten Themen auch Gegenstand von Prtifungen an Technischen Universitaten und F achhochschulen. Insofern will das Buch zugleich eine Hilfe bei der Vorbereitung entsprechender Examina sein. Gegeniiber der zweiten Auflage wurden zu jedem Teilabschnitt Aufgaben gestellt, die den zuvor gebrachten Stoff tiben und vertiefen sollen. Die im Anhang befindlichen Losungen bringen in der Regel nicht nur das Ergebnis, sondern dessen Herleitung oder doch wenigstens Zwischenergebnisse. Auf diese Weise kann sich der Leser bei komplexeren A ufgaben gegebenenfalls an einem vorgegebenen Losungsweg orientieren. Starkere Betonung als bisher fanden numerische Aufgaben, da deren Behandlung bei dem heute vorhandenen Angebot an elektronischen Taschenrechnern in einem vertretbaren Zeitraum moglich ist. Danken mochte ich an dieser Stelle wieder Herrn Professor Dr. Franz Pelz ftir seine Untersttitzung bei der Erstellung des Aufgabenteils. Herrn Professor Dipl.-Ing. Friedrich Simon verdanke ich wertvolle Hinweise bei physikalisch-technischen Beitragen. Fraulein Jutta Senff und Herrn J.P. Dichter bin ich fur ihre Mitwirkung bei der Uberprtifung der Losungen verbunden. Last not least richtet sich mein Dank an den Springer Verlag fur die ausgezeichnete Zusammenarbeit und die so schnelle Herausgabe dieser A uflage. Furtwangen, im Dezember 1975 Gert Bohme

6 Inhaltsverzeichnis 1. Integralrechnung Das unbestimmte Integral Begriff des unbestimmten Integrals Zwei Integrationsregeln Die Grundintegrale Formale Integrationsmethoden Die Substitutions methode Die Methode der P roduktintegration IntegrationdurchRekursion Integration durch Partialbruchzerlegung Das bestimmte Integral Definition des bestimmten Integrals Der Hauptsatz der Integralrechnung. FHichenbestimmungen Uneigentliche Integrale Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe..., Bestimmung von Bogenlangen Bestimmung von Rauminhalten und Mantelflachen bei Rotationskorpern Bestimmung geometrischer Schwerpunkte Numerische Integration Aufgabenstellung. Ubersicht Aufstellung der Naherungsformeln Eigenschaften der Simpsonschen Forme! Graphische Integration und Differentiation Unendliche Reihen Der Begriff der unendlichen Reihe Geometrische Reihen. 116

7 VIII Inhaltsverzeichnis 2.3 Reihen mit konstanten Gliedern. Konvergenzkriterien Reihen mit lauter positiven Gliedern Alternierende Reihen 2.4 Potenzreihen Begriff der Potenzreihe Potenzreihendarstellung von Funktionen Maclaurin-Reihen und Maclaurin-Polynome Potenzreihenentwicklung durch unbestimmten Ansatz Potenzreihenentwicklung durch Integration Taylor-Reihen Integration durch Potenzreihenentwicklung Elliptische Integrale Fourier-Reihen Bestimmung der Fourier-Koeffizienten Das Fourier-Integral Gewohnliche Differentialgleichungen Allgemeine Begriffsbildungen Differentialgleichungen erster Ordnung ~ 1 Trennung der Verander lichen Homogene Differentialgleichungen Exakte Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Die Bernoullische Differentialgleichung Geometrische Losungsmethode Differentialgleichungen zweiter Ordnung Anfangs- und Randbedingungen Integrable Typen Homogene lineare Differentialgleichungen Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Inhomogene lineare Differentialgleichungen Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Die Methoden der Laplace-Transformation Anhang: LOsungen der Aufgaben Sachverzeichnis

8 Inhaltstibersicht der weiteren Bande: Band 1: Algebra 1. Grundlagen der Algebra 2. Lineare Algebra 3. Algebra komplexer Zahlen 4. Anhang: Losungen der Aufgaben Band 2: Analysis 1. Teil Funktionen - Differentialrechnung 1. Elementare reelle Funktionen 2. Komplexwertige Funktionen 3. Differentialrechnung 4. Anhang: LOsungen der Aufgaben