Arbeitsbuch Mathematik. für Ingenieure

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1 v. Finckenstein / lehn / Schellhaas /Wegmann Arbeitsbuch Mathematik. für Ingenieure Band I Analysis Von Prof. Dr. rer. nat. Helmut Schellhaas Technische Universität Darmstadt Et; B. G. Teubner Stuttgart Leipzig. Wiesbaden 2000

2 Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein Geboren 1933 in SemlowlV orpommern. Von 1952 bis 1959 Tätigkeit in der landwirtschaftlichen Praxis. Von 1959 bis 1965 Studium der Mathematik und Physik an der Universität Göttingen Diplom in Mathematik, 1966 Promotion. Von 1967 bis 1974 wiss. Mitarbeiter am Max-Planck-Institut flir Plasmaphysik in Garching bei München. Seit 1974 Professor fijr Mathematik an der Technischen Universität Dannstadt. Prof. Or. rer. nat. Jürgen Lehn Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitäten Freiburg und Karlsruhe. Wiss. Assistent an den Universitäten Karlsruhe und Regensburg Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978 Habilitation in Karlsruhe Professor fijr Mathematik an der Universität Marburg, seit 1979 an der Technischen Universität Dannstadt. Prof. Or. rer. nat. Helmut Scheil haas Geboren 1936 in Zwingenberg/Bergstra/3e. Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Universität Dannstadt. Wiss. Mitarbeiter und wiss. Assistent an der Technischen Universität Dannstadt und der Universität Mainz Diplom in Mathematik, 1966 Promotion, 1971 Habilitation in Dannstadt. Seit 1972 Professor fijr Mathematik an der Technischen Universität Dannstadt. Prof. Or. rer. nat. Helmut Wegmann Geboren 1938 in Wonns. Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Mainz und Tübingen. Wiss. Assistent an den Universitäten Mainz und Stuttgart Staatsexamen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969 Habilitation in Stuttgart. Seit 1970 Professor fijr Mathematik an der Technischen Universität Dannstadt. ISBN DOI / Auflage 2000 ISBN (ebook) Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titelsatz fur diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich. Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner Stuttgart Leipzig. Wiesbaden 2000 Der Verlag Teubner ist ein Untemehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschlief.\lich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders mr Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Konzeption und Layout des Einbands: Peter Pfitz, Stuttgart

3 Vorwort Das Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure richtet sich an Studierende der ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen an Universitäten. Die Stoffauswahl ist an den Bedürfnissen der Grundausbildung in Mathematik orientiert, wie sie üblicherweise in einer viersemestrigen Vorlesungsreihe erfolgt. Der erste Band behandelt die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer reelier Veränderlicher. Lineare Algebra, Funktionentheorie, gewöhnliche und partielie Differentialgleichungen, Laplace-Transformation, numerische Mathematik und Stochastik sind der Inhalt des zweiten Bandes. Das Arbeitsbuch ist so gestaltet, dass zunächst die Fakten, also Definitionen, Sätze usw. dargestellt werden. Diese werden auch drucktechnisch durch Kästen hervorgehoben. Die Fakten werden sodann durch zahlreiche Bemerkungen und Ergänzungen aufbereitet und erläutert. Das Verständnis wird gefórdert durch ei ne grobe Zahl von Beispielen, die überwiegend vollständig durchgerechnet werden. Am Ende eines jeden Kapitels finden sich Tests und Übungsaufgaben. Die Tests dienen dem Leser zur Überprüfung seines Verständnisses für Definitionen und Aussagen. Sie sind als Multiple-Choice-Aufgaben formuliert. Anhand der Übungsaufgaben kann sich der Leser mit dem Stoff auseinandersetzen. Die Lösungen zu den Tests und Übungsaufgaben finden sich in Kurzform am Ende des Buches. Beweise zu mathematischen Sätzen sind in der Regel im Arbeitsbuch nicht enthalten. SolI te es als Textbuch für ei ne Vorlesung benutzt werden, so wären diese Beweise (teilweise) in der Vorlesung zu ergänzen. Beweistechniken werden vielfach auch sichtbar an den durchgerechneten Beispielen. Das Buch entstand aus einem Vorlesungsskriptum zu den Grundvorlesungen für Studierende der Elektrotechnik, des Wirtschaftsingenieurwesens Fachrichtung Elektrotechnik und der Sportinformatik. Die freundliche Aufnahme des Skriptums durch die Studierenden wie auch durch Kollegen, die es mehrfach ihren Veranstaltungen zugrundelegten, ermunterten die Autoren, das Skriptum aufzuarbeiten und als Arbeitsbuch mit dem geschilderten Konzept zu publizieren. Bei Stoffauswahl und Stoffabfolge sind Bedürfnisse berücksichtigt, die von den ingenieurwissenschaftlichen Fächern kommen. Dies bewirkt gelegentlich, von bewährten, innermathematisch bedingten Vorgehen abzuweichen. Beispielsweise müssen die Studierenden im Fach Grundlagen der Elektrotechnik frühzeitig mit

4 4 komplexen Zahlen, Eulerscher Formel usw. umgehen können. Dieser Stoff wurde daher vorgezogen. Andere Abweichungen von der üblichen Stoffabfolge werden vorgenommen, um die Studierenden nicht zu überfordern. Beispielsweise wird das Lernen dadurch erleichtert, dass die Gebiete Folgen und Reihen, die erfahrungsgemäb von den Studierenden als schwer empfunden werden, nicht wie üblich unmittelbar nacheinander behandelt werden. Statt dessen werden Aussagen über Grenzwert, Stetigkeit und Differentiation reelier Funktionen dazwischengeschoben. Dadurch wird den Lernenden ei ne "Verschnaufpause" gegönnt. Ich möchte all denen danken, die mich bei der Anfertigung dieses ersten Bandes unterstützt haben. Frau Magdalene Tabbert und Frau Gudrun Schumm haben mit viel Engagement und Sachkenntnis aus meinem Manuskript den vorliegenden 'IEX Text hergestellt. Die aufwendige redaktionelle Schlussarbeit hat Frau Schumm mit viel Einfühlungsvermögen übernommen. Frau Dr. Claudia Werthenbach hat mit Zeichnungen zum besseren Verständnis des Textes beigetragen. Mit grober Sorgfalt und kritischem Urteilsvermögen hat mich Frau Dipl.-Math. SibylIe Strandt beim Lesen der Korrekturen unterstützt. Ihnen allen sage ich meinen herzlichen Dank. SchlieBlich danke ich dem Teubner-Verlag und insbesondere Herrn Dr. Peter Spuh Ier für die gute Zusammenarbeit. Ohne sein geduldiges Verständnis für zwingende Verzögerungen wäre dieser Band nicht zustande gekommen. Darmstadt, im März 2000 Helmut Schellhaas

5 Inhalt Über reelie Zahlen Beweismethoden. Mengen und Abbildungen SpezielIe reelie Funktionen. Komplexe Zahlen Binomische Formel, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeiten Folgen und Konvergenzbegriff Grenzwert und Stetigkeit ree lier Funktionen. Eigenschaften stetiger Funktionen Differentiation Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Reihen Exponentialfunktion und Logarithmus Das Integral Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Einige Integrationstechniken. Uneigentliche Integrale.... Folgen und Reihen von Funktionen Potenzreihen.... Der Satz von Taylor Fourier-Reihen... ReelIe Funktionen mehrerer Veränderlicher Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher Richtungsableitung, Satz von Taylor, Extrema

6 6 Inhalt 25 Implizite Funktionen, Extrema mit Nebenbedingungen Integrale mit Parametern Wege im IR n Wegintegrale Integrale im IR n Vektoranalysis Lösungen