Norbert Henze GünterLast. Mathematik für Wirtschaftsingenieure und naturwissenschaftlichtechnische. Band 2

Transkript

1 Norbert Henze GünterLast Mathematik für Wirtschaftsingenieure und naturwissenschaftlichtechnische Studiengänge Band 2

2 Aus dem Programm... Mathematik Stochastik für Einsteiger von Norbert Henze Mathematik für Wirtschaftsingenieure 1 von Norbert Henze und Günter Last Mathematik für Wirtschaftsingenieure 2 von Norbert Henze und Günter Last Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik von Jürgen Tietze Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik von Jürgen Tietze Einführung in die Finanzmathematik von Jürgen Tietze Übungsbuch zur Finanzmathematik von Jürgen Tietze Operations Research von Hans-Jürgen Zimmermann vieweg

3 Norbert Henze Günter Last Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für naturwissenschaftlichtechnische Studiengänge Band 2 Analysis im Rn, Lineare Algebra, Hilberträume, Fourieranalyse, Differentialgleichungen, Stochastik IJ vleweg

4 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. Norbert Henze Prof. Dr. Günter Last Universität Karlsruhe (TH) Institut für Mathematische Stochastik Karlsruhe Auflage November 2004 Alle Rechte vorbehalten ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Fachmedien Wiesbaden 2004 Ursprünglich erschienin bei Friedr. Vieweg & Sohn VerlaglGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch j Petra Rußkamp Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN

5 Vorwort Dieses Buch ist der zweite Teil einer zwei bändigen Einführung in die Höhere Mathematik. Behandelt werden die mehrdimensionale Analysis, das Riemannsche Integral im }Rn, Determinanten und Volumenberechnung, normierte Räume und Hilberträume, Eigenwerte und ihre Anwendungen, das Lebesguesche und das allgemeine Integral, die Fourieranalyse, Differentialgleichungen und die Stochastik. Beide Teile zusammen decken eine viersemestrige mathematische Grundausbildung ab, wie sie etwa den Studierenden der Fachrichtung Wirtschaftsingenieurwesen an der Universität Karlsruhe (TH) vermittelt wird. Das Buch ist aber gleichermaßen für Studierende aller Studiengänge geeignet, für die eine fundierte, systematische und nachhaltige mathematische Ausbildung, sei es in Diplom- oder Bachelor-Studiengängen, integraler Bestandteil des Studiums ist. Dazu gehören viele naturwissenschaftlich-technische Studiengänge (Ingenieurwesen, Physik, Chemie), die Informatik sowie die Wirtschafts- und die Technomathematik. Selbst Studierende der Mathematik sollten das Buch mit Gewinn lesen. Es zeigt sich immer deutlicher, dass die Mathematik eine Schlüsselrolle für die Weiterentwicklung sowohl der N atur- als auch der Ingenieurwissenschaften und der Informatik einnimmt und damit ein entscheidender Motor des wissenschaftlich-technologischen Fortschritts für eine sich im globalen Wettbewerb befindliche Gesellschaft darstellt. Aus diesem Grund steht wie schon in Band 1 auch in diesem Buch nicht nur die Vermittlung reines Faktenwissens im Vordergrund. Derartige, oft nur rezeptartig aufgenommene Kenntnisse tragen nicht weit. Nur mit dem zunehmenden Verständnis der zahlreichen innermathematischen Verbindungen sowie konkreter Anwendungen wird das erworbene mathematische Wissen gefestigt, lebendig und fruchtbar. Den Beweisen der mathematischen Resultate kommt somit eine besondere Bedeutung zu. Erst ein "Begreifen" der in den Beweisführungen zutage tretenden vielfältigen Problemlösungsstrategien erlaubt es, bekannte mathematische Verfahren sinnvoll anzuwenden oder, falls erforderlich, sogar selbständig kreativ modellbildend tätig zu werden. Diesem Credo verpflichtet haben wir keine voneinander getrennten "Schubladen" wie "Analysis" und "Lineare Algebra" aufgemacht, sondern einen integrativen, strukturierten Aufbau mit zum Teil relativ kleinen Modulen gewählt. Dem Leser sei wärmstens empfohlen, aktiv mit zuarbeiten und ab und zu auch einmal Papier und Bleistift zur Hand zu nehmen, um einige Argumentationsketten noch ausführlicher nachzuvollziehen. Obwohl die Darstellung im Vergleich zu rein mathematischen Lehrbüchern weniger spezialisiert und abstrakt ist, werden alle wesentlichen Beweise vollständig

6 VI geführt. Abschnitte, deren Darstellung vergleichsweise kompakt und anspruchsvoll ist, wurden wie in Band 1 mit einem * gekennzeichnet. Beim Zitieren von Formeln und Sätzen aus Band 1 wird eine römische I vorangestellt. Satz ist also Satz 7.20 aus Band I, und Formel (7.10) aus Band I wird zu Formel (1.7.10). Analog verfahren wir mit Kapiteln, Abschnitten und Unterabschnitten. Zur Unterstützung des Selbststudiums wurden zahlreiche Beispiele, Abbildungen und Lernzielkontrollen aufgenommen. Für begleitende Übungsaufgaben sowie weitere Informationen und Hilfen steht unter der Webadresse ein Online-Service zum Buch zur Verfügung. Der folgende Graph verdeutlicht die wesentlichen Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Kapiteln bzw. Abschnitten. Um etwa das Kapitel 2 lesen zu können, sind Vorkenntnisse aus den Abschnitten erforderlich. ~ ~ t f ~ Hinweise für Dozentinnen und Dozenten: Auch dieser zweite Band enthält mehr Stoff, als in zwei Semestern in jeweils vierstündigen Vorlesungen behandelt werden kann. Da die Kapitel nicht streng linear aufgebaut sind, gibt es verschiedene Möglichkeiten des Kürzens. Mit lediglich einer Ausnahme (Transformationssatz der mehrdimensionalen Integration) werden alle wichtigen Resultate bewiesen.

7 Kapitel 1 behandelt die mehrdimensionale Analysis. Im Mittelpunkt stehen die Taylorentwicklung und der Satz über implizite Funktionen sowie Anwendungen auf Maximierungsaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen. In Kapitel 2 wird das aus Band 1 vertraute Riemann-Integral in natürlicher Weise auf den mehrdimensionalen Fall übertragen. Die Theorie des Jordanschen Inhalts wird ausführlich dargelegt und kann bei Bedarf gekürzt werden. Ausgehend von (signierten) Volumina werden im dritten Kapitel Determinanten(formen) als multilineare Abbildungen eingeführt. Die bekannten Rechenregeln ergeben sich damit zwangsläufig. (Sie könnten bei Bedarf auch schon in den ersten beiden Semestern eingeführt werden.) Die allgemeine Transformationsformel für Integrale wird nur im Fall linearer Transformationen komplett bewiesen. Dieses Vorgehen liefert aber den Schlüssel zum strengen Beweis des allgemeinen Resultats. Üblicherweise muss man sich in Vorlesungen auf das Vermitteln der (geometrischen) Heuristik und die wichtigen Anwendungen (wie z.b. Polar- und Zylinderkoordinaten) beschränken. Kapitel 4 gibt eine Einführung in die Theorie der (normierten) Vektorräume. Dazu werden zunächst die komplexen Zahlen eingeführt und der Fundamentalsatz der Algebra (analytisch) bewiesen. Zentrale Resultate sind der (im Buch mehrfach verwendete) Banachsche Fixpunktsatz sowie die allgemeinen Fourierreihen. In Kapitel 5 wird dann die lineare Algebra weiter ausgebaut. Im Zentrum stehen Theorie und Anwendungen der Eigenwerte linearer Selbstabbildungen eines (reellen oder komplexen) endlichdimensionalen Vektorraumes. In Kapitel 6 wird zunächst das Lebesguesche Integral in klassischer Weise (Unter- und Obersummen bzgl unendlicher Partitionen) eingeführt und seine wichtigsten Eigenschaften diskutiert. Einige Sätze werden erst im zweiten Abschnitt im Rahmen der allgemeinen Maß.- und Integrationstheorie bewiesen. Gegenstand von Kapitel 7 sind die Fourierreihen periodischer Funktionen sowie die Fourier-Transformation integrierbarer Funktionen. Die Lebesguesche Integrationstheorie gestattet es, alle Resultate vollständig zu beweisen. Sollte nur der Riemannsche Integralbegriff zur Verfügung stehen, können die wichtigsten Ideen der Fourierreihen immer noch vermittelt werden. Die Behandlung der Fourier Transformation geschieht ohne Verwendung funktionalanalytischer Methoden wie etwa Distributionen. Kapitel 8 gibt eine eher knapp gehaltene Einführung in Theorie, Anwendungen und Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Nach der Diskussion allgemeiner Differentialgleichungen sowie dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf werden vor allem lineare Differentialgleichungen behandelt. Im abschließenden Kapitel zur Stochastik stehen zunächst der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit sowie Zufallsvariablen und ihre Verteilungen im Vordergrund. Hierzu muss die in Abschnitt 6.2 entwickelte Maßtheorie zur Verfügung stehen. Das Gesetz der großen Zahlen wird in seiner schwachen Form hergeleitet. vii

8 viii Der Zentrale Grenzwertsatz wird ohne Verwendung charakteristischer Funktionen mit einer auf Lindeberg zurückgehenden Methode bewiesen. Das Kapitel schließt mit der Herleitung und Diskussion der Black-Scholes-Formel der Finanzmathematik. Danksagung: Wir möchten uns bei allen bedanken, die zur Entstehung dieses Buches beigetragen haben. Die Herren Dr. Martin Folkers und Priv.-Doz. Dr. Manfred Krtscha haben das Projekt von Anfang an mit wohlwollender Kritik und großem Sachverstand begleitet. Herr Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark, Herr Dipl.-Math. Matthias Heveling, Frau Dipl.-Math. Gabriela Grüninger, Herr Dr. Bernhard Klar, Herr Dipl.-Math. Sebastian Müller, Herr Priv.-Doz. Dr. Wolfgang Stummer und Frau Michaela Taßler lasen Teile des Manuskriptes und machten unzählige Verbesserungsvorschläge. Herr Philipp Koziol hat das vollständige Manuskript sehr aufmerksam und mit viel Geduld gelesen und aus studentischer Sicht manch wertvollen Hinweis gegeben. Unser Dank gilt auch Frau Schmickler-Hirzebruch und Frau Rußkamp vom Vieweg Verlag für die bewährte vertrauensvolle Zusammenarbeit. Schließlich möchten wir uns bei unseren Familien bedanken, ohne deren Unterstützung dieses Buch nicht hätte entstehen können. Karlsruhe, im Oktober 2004 Norbert Henze, Günter Last

9 Inhaltsverzeichnis 1 Differentialrechnung im jrn 1.1 Folgen im jrn, Konvergenz Topologische Grundbegriffe Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen. 1.4 Differentiation Taylorpolynome und der Satz von Taylor 1.6 Lokale Extrema Differentiation vektorwertiger Funktionen 1.8 Implizit definierte Funktionen Optimierung unter Nebenbedingungen 2 Integralrechnung im jrn 2.1 Das Riemann-Integral über Rechtecke 2.2 Bereichsintegrale Der Jordan-Inhalt 2.4 Der Satz von Fubini 3 Determinanten 3.1 Determinantenformen 3.2 Lineare Transformation von Integralen 3.3 Der allgemeine Transformationsatz.. 4 Normierte Räume und Hilberträume 4.1 Die komplexen Zahlen Reelle und komplexe Vektorräume 4.3 Normierte Vektorräume 4.4 Metrische Räume. 4.5 Hilberträume

10 x 5 Eigenwerte und Eigenräume 5.1 Matrizen und lineare Abildungen 5.2 Eigenwerte Symmetrische und unitäre Matrizen 6 Das allgemeine Integral 6.1 Das Lebesguesche Integral 6.2 Grundzüge der Maßtheorie* 7 Fourieranalyse 7.1 Fourierreihen Die Fourier-Transformation 8 Differentialgleichungen 8.1 Einführung Wachstums- und Zerfallsprozesse. 8.3 Trennbare Differentialgleichungen. 8.4 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 8.5 Existenz- und Eindeutigkeitssätze Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung. 8.7 Die Laplace-Transformation. 8.8 Numerische Verfahren 9 Stochastik 9.1 Grundlagen Zufallsvariablen und ihre Verteilungen 9.3 Stochastische Unabhängigkeit 9.4 Rechnen mit Dichten Kenngrößen für Verteilungen Die mehrdimensionale Normalverteilung 9.7 Grenzwertsätze Die Black-Scholes-Formel* Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Index Inhaltsverzeichnis