m B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden Lineare Operatoren in Hilberträumen Teill Grundlagen Mathematische Leitfaden

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1 Mathematische Leitfaden Herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. mutt. G. Köthe, Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, Universität-Gesamthochschule Paderborn und Prof. Dr. G. Trautmann, Universität Kaiserslautern Lineare Operatoren in Hilberträumen Teill Grundlagen Von Prof. Dr. rer. nat. Joachim Weidmann Universität Frankfurt am Main m B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden

2 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich I. Auflage Dezember 2000 Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2000 Der Verlag Teubner ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart ISBN-13: e-isbn-13: : /

3 Für Manuela und Lukas

4 Vorwort Seit Erscheinen meines Buches "Lineare Operatoren in Hilberträumen" [38] im Jahre 1976 und dessen englischer Übersetzung [39] im Jahre 1980 haben mich viele freundliche Stellungnahmen erreicht. Häufig wurde aber auch bedauert, daß die Anwendungen auf Differentialoperatoren der Quantenmechanik und auf die Streutheorie aus Gründen des Umfangs nur sehr unbefriedigend behandelt werden konnten. Dieser Mangel soll jetzt behoben werden. Dazu ist allerdings die Verteilung des Stoffes auf zwei Bände nötig geworden. Ich bin Herrn Dr. P. Spuhler vom Teubner-Verlag sehr dankbar dafür, daß er diesen Plan von Anfang an unterstützte. Der vorliegende erste Teil soll die Grundlagen der Theorie darstellen; Anwendungen treten hier nur in Form von illustrativen Beispielen auf. Dabei hat es sich als nützlich erwiesen, sich nicht von Anfang an auf Hilberträume zu beschränken, sondern, soweit dies die Darstellung nicht zu sehr belastet, auch allgemeinere normierte oder Banachräume zu betrachten. Dieser erste Band sollte deshalb eine für Mathematiker und Physiker nützliche Einführung in die Grundlagen der Funktionalanalysis und der Hilbertraumtheorie bieten, die auch zum Selbststudium geeignet ist. Als Voraussetzung zur Lektüre sollte dabei der Stoff der üblichen Anfängervorlesungen für Mathematiker oder Physiker und einige Kenntnisse aus der Funktionentheorie und der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen genügen. Eine für diese Zwecke geeignete vollständige Einführung in die Lebesguesche Integration wird in Anhang A gegeben. Der geplante zweite Teil wird dann Anwendungen auf die gewöhnlichen und partiellen Differentialoperatoren der Quantenmechanik einschließlich einer Einführung in die Streutheorie enthalten. Insbesondere soll - wie von vielen Freunden längst angemahnt - die Spektraltheorie der Sturm-Liouville Operatoren (und verwandter Operatoren) vollständig dargestellt werden. Im Zentrum dieses ersten Teils steht der Spektralsatz und der Spektraldarstellungssatz für (im allgemeinen unbeschränkte) selbstadjungierte Operatoren und der zugehörige Funktionalkalkül (Kapitel 8). Zuvor werden in Kapitel 1 normierte Räume, Banachräume, Prähilberträume und Hilberträume

5 Vorwort 5 eingeführt und ihre grundlegenden topologischen und geometrischen Eigenschaften untersucht. In Kapitel 2 werden beschränkte und unbeschränkte lineare Funktionale und Operatoren in diesen Räumen studiert; der Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit steht hier im Zentrum; neben dem konjugierten bzw. adjungierten Operator sind die starke :und schwache Konvergenz zentrale und für die weiteren Untersuchungen wesentliche Begriffe. Eine eingehende Behandlung kompakter Operatoren schließt sich in Kapitel 3 an. Abgeschlossene Operatoren und die allgemeine Spektraltheorie dieser Operatoren finden sich in Kapitel 4 und 5. Neben den zahlreichen Beispielen im Text und in den Übungsaufgaben werden in Kapitel 6 einige zentrale Klassen linearer Operatoren ausführlich beschrieben, während in Kapitel 7 die Verbindung zur Quantenmechanik hergestellt wird; hier wird insbesondere deutlich, warum im folgenden selbstadjungierte Operatoren eine so wichtige Rolle spielen. Die zentralen Teile des Buches sind die Kapitel 8 bis 10, in (lenen die Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren, die Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren und die von Neumannsehe Fortsetzungst'heorie symmetrischer Operatoren ausführlich behandelt werden. Schließlkh findet sich in Kapitel 10 eine breite Darstellung der Theorie der Fouriertransformation und der partiellen Differentialoperatoren in L 2 (lr m ) mit konstanten Koeffizienten. Ich danke all denen, die zum Gelingen dieses Buches beigetragen haben: Zunächst den Hörern meiner Vorlesungen zu diesen Themen, die mich zum Teil durch hartnäckiges Nachfragen dazu gezwungen haben, Beweisschritte noch klarer herauszuarbeiten und durch Beispiele zu motivieren. Frau J. Habash hat mit bewundernswerter Geduld nicht nur ein schwer lesbares Manuskript, sondern auch meine nicht endenden Korrekturen in den Computer übertragen. Die Herren S. Schanbacher und D. Lenz haben den gesamten Text gründlich gelesen und durch Ihre Korrekttirenund Nachfragen zu vielen Verbesserungen beigetragen. Schließlich danke ich Herrn Dr. P. Spuhler für die Ermutigung zu diesem Buch und die Geduld, mit der er die Fertigstellung abgewartet hat. Frankfurt am Main, im September 2000 Joachim' :Weidmann

6 Inhalt 1 Metrische Räume, normierte Räume und Hilberträume Metrische und normierte Räume Vektorräume mit Skalarprodukt (Prähilberträume) Konvergenz und Vollständigkeit LP-Räume Orthogonalität Tensorprodukte von Hilberträumen Übungen Lineare Operatoren und Funktionale Beschränkte Operatoren Stetige lineare Funktionale Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit, starke und schwache Konvergenz Der adjungierte Operator Orthogonale Projektionen, isometrische und unitäre Operatoren Anhang zu Kapitel Der Interpolationssatz von Riesz-Thorin Selbstadjungierte Fortsetzungen hermitescher Operatoren Übungen

7 Inhalt 7 3 Kompakte Operatoren Definition und grundlegende Eigenschaften Entwicklungssätze Hilbert-Schmidt-Operatoren Die Schatten klassen kompakter Operatoren Übungen Abgeschlossene Operatoren Satz vom abgeschlossenen Graphen Halbbeschränkte Operatoren und Formen Normale Operatoren Komplexifizierung und Konjugation Übungen Spektraltheorie abgeschlossener Operatoren Grundbegriffe der Spektraltheorie Das Spektrum selbstadjungierter, symmetrischer und normaler Operatoren Operatoren mit reinem Punktspektrum Spektraltheorie allgemeiner kompakter Operatoren Übungen Klassen linearer Operatoren Multiplikationsoperatoren Matrixoperatoren. Integraloperatoren. Hilbert-Schmidt- und Carlemanoperatoren. Differentialoperatoren in L2 (a, b) Übungen

8 8 Inhalt Quantenmechanik und Hilbertraumtheorie Formalismus der Quantenmechanik Die Evolutionsgruppe und die Selbstadjungiertheit des Schrödingeroperators Übungen Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren Integrale bezüglich einer Spektralschar.... Operatoren als Integrale über Spektralscharen Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren Funktionen selbstadjungierter Operatoren Spektrum und Spektralschar Halbordnung selbstadjungierter Operatoren Übungen.... Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren Störungen selbstadjungierter Operatoren Stabilität des wesentlichen Spektrums.. Norm- und starke Resolventenkonvergenz Übungen Selbstadjungierte Fortsetzungen symmetrischer Operatoren Defektzahlen und Cayleytransformierte Konstruktion selbstadjungierter Fortsetzungen Kriterien für die Gleichheit der Defektzahlen Spektren selbstadjungierter Fortsetzungen symmetrischer Operatoren Übungen

9 Inhalt A A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7 A.8 A.9 A.10 B c Fouriertransformation und Differentialoperatoren Fouriertransformation auf LI (Rm) und S(Rm)... Fouriertransformation in L2(Rm).... Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten Elliptische Differentialoperatoren und Sobolev-Räume Der Operator -ß in L2(Rm). Übungen.... Einiührung in die Lebesguesche Integrationstheorie Prämaße und Nullmengen.... Das Integral für Elementarfunktionen Integrierbare Funktionen Grenzwertsätze.... Meßbare Mengen und Funktionen, Maße Produktmaßej der Satz von Fubini-Tonelli Der Satz von Radon-Nikodym Absolut stetige Funktionen und partielle Integration. Kom plexe Maße Übungen... Die Stieltjessche Umkehrformel und ein Satz von G. Herglotz Der Satz von Stone-Weierstraß Literatur Namen- und Sachverzeichnis

10 Symbolverzeichnis A.2 64 LP(X, J-l) 38 ß(S, z) 359 An(a, b) 246 L~(Rm) 402 l'± = l'±(s) 361 b(o) 12.coo (X, J-l) 38 r(s) 358 B(X, Y), B(X) 70.cP(X, J-l) 39 e(t) 188 C(J<), Cb(O) 12.co(X, J-l) 44 er( ), e~ (.) 279 Ck[a, b] 65 Mp,t, Mt 215 u(t) 188 Coo(Rm) 382 N(X, J-l) 38 ud(t) 305 Cp(X, Y) 148 N(T) 75 ue(t) 305 (C(I<), ) 28 ONB,ONS 51 dirn 67 Py , 160 d(,.) 11 R(T) 68 (-)* 95, 189 dp(,.) 12 R(T, z) 188 *, Faltung 391 D(T) 68 s-lirn 85 (.)' 93 DO 382 sp( ) E( ) 276 S(Rm) F I, FI 380 T 16 Eil 50, 115 F,F 389 Tk 235 e 50 Fo 383 Tk,O 246 Q9 60 G(T) 102 Tk,OO 247 ~ Q TK, TK,O 242 (( 147 Hr,H! 280 Tn,o, Tn 247 ~ 438 K 12 T2n,F 252 I. I für Operatoren 304 J<d(X,c), J«x,c) 15 UE 285 für Multiindices 382 I<d(x,c), I«x,c) 16 Ur J«X, Y), J«X) 131 w-lirn J<+(.,.) 243 W2,n(a, b) 65 (.,.) 17 l.i.rn. 390 W2,s(Rm) 402 (., )(s), (., )s 402 [2 w 20 Wr(O) [2 89 (X,d) 12 ~ 85 [2(A, J-l) 65 (X, 11 11) 14 nr sr ---+, [P = [P(N), [P(Z), vnr vsr (X, T) , [P(A) 38 (X,(, )) 18