Nichtlineare Funktionalanalysis. Eine Einführung

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1 Michael Růžička Nichtlineare Funktionalanalysis Eine Einführung

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4 Inhaltsverzeichnis Notation IX 1 Fixpunktsätze Der Banachsche Fixpunktsatz Gewöhnliche Differentialgleichungen Die Fixpunktsätze von Brouwer und Schauder Der Satz von Brouwer Kompakte Operatoren Der Satz von Schauder Anwendung auf Differentialgleichungen Integration und Differentiation in Banachräumen Bochner Integrale L p Räume mit Werten in Banachräumen Differentiation von Funktionen mit Werten in Banachräumen Satz über implizite Funktionen Die Theorie monotoner Operatoren Monotone Operatoren Der Satz von Browder und Minty Der Nemyckii Operator Quasilineare elliptische Gleichungen Pseudomonotone Operatoren Der Satz von Brezis Quasilineare elliptische Gleichungen II Die stationären Navier Stokes Gleichungen Evolutionsprobleme Quasilineare parabolische Gleichungen Maximal monotone Operatoren Subdifferentiale Der Satz von Browder Variationsungleichungen

5 XII Inhaltsverzeichnis 4 Der Abbildungsgrad Der Abbildungsgrad von Brouwer Die Konstruktion des Abbildungsgrades von Brouwer Technische Hilfsmittel Erweiterung auf nichtreguläre Punkte und stetige Funktionen Eigenschaften des Abbildungsgrades von Brouwer Der Abbildungsgrad von Leray Schauder Abbildungsgrad für endlich dimensionale Vektorräume Konstruktion des Abbildungsgrades von Leray Schauder Eigenschaften des Abbildungsgrades von Leray Schauder Quasilineare elliptische Gleichungen III A Appendix A.1 Topologische Räume A.2 Metrische Räume A.3 Vektorräume A.4 Banachräume A.5 Hilberträume A.6 Operatoren A.7 Dualität in Banachräumen A.8 Schwache Topologie und schwache Konvergenzen A.9 Konvexität und Glattheitseigenschaften der Norm A.1 Wichtige Sätze aus der linearen Funktionalanalysis A.11 Lebesgue Maß und Lebesgue Integral A.12 Funktionenräume A.12.1 Räume stetiger Funktionen A.12.2 Lebesgue Räume L p () A.12.3 Sobolev Räume W k,p () Literaturverzeichnis Index

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7 3 Die Theorie monotoner Operatoren In diesem Kapitel wollen wir folgendes elementare Resultat verallgemeinern: Die Funktion F : R R erfülle folgende Bedingungen: (a) F ist monoton wachsend, (b) F ist stetig, (c) F ist koerziv, d.h. F (u) ± falls u ±. Dann besitzt die Gleichung für alle b R eine Lösung u R. F (u) = b Falls F strikt monoton ist, so ist die Lösung u eindeutig bestimmt. Dieser klassische Existenzsatz folgt aus dem Mittelwertsatz für stetige Funktionen. Die Theorie monotoner Operatoren, die dieses Resultat auf Gleichungen der Form Au = b (.1) in einem reflexiven Banachraum X verallgemeinert, beruht auf einigen grundlegenden Prinzipien und Tricks, die wir kurz veranschaulichen wollen. Da man sich hierbei leicht in technischen Details verlieren kann, gehen wir vorerst nicht auf diese ein. Angenommen (a) der Operator A: X X ist monoton auf dem separablen, reflexiblen Banachraum X, d.h. für alle u, v X gilt: Au Av, u v X, (b) A ist hemistetig, d.h. die Abbildung t A(u + tv), w X ist stetig im Intervall [, 1], für alle u, v, w X,

8 58 3 Die Theorie monotoner Operatoren (c) A ist koerziv, d.h. Au, u X lim =, u X u X dann besagt der Hauptsatz über monotone Operatoren, dass A surjektiv ist, d.h. b X u X : Au = b. Der Beweis dieses Resultats besteht im wesentlichen aus folgenden Schritten: 1. Galerkin Approximation : Da X separabel ist, gibt es eine Basis (w i ) i N von X, d.h. für X n := span{w 1,..., w n } gilt: X = X n. n=1 Wir approximieren (.1) durch Probleme in den endlich dimensionalen Räumen X n, auf welche der Satz von Brouwer anwendbar ist, der die Existenz einer Lösung u n für jedes dieser Probleme sichert. 2. Apriori Abschätzung : Wir zeigen dann, dass die Folge der Lösungen (u n ) beschränkt ist. Dies geschieht auf Grundlage folgenden Arguments: Wenn A : X X koerziv ist, dann existiert ein R >, so dass für alle u mit u X > R gilt: Au, u X (1 + b X ) u X. Daraus folgt Au, u X b, u X (1 + b X ) u X b X u X u X R. Wenn u X, mit u X > R, eine Lösung von Au = b ist, dann gilt aufgrund dieser Rechnung R >. Dies ist aber ein Widerspruch. Daher erhalten wir, dass jede Lösung u X von Au = b der apriori Abschätzung u X R genügt. 3. Schwache Konvergenz : Da X ein reflexiver Banachraum ist, folgt aus dem Satz von Eberlein Šmuljan (cf. Satz A.8.15), dass aus der beschränkten Folge (u n ) eine schwach konvergente Teilfolge (u nk ) ausgewählt werden kann, d.h. u nk u in X (k ). 4. Existenz einer Lösung : Der so gefundene Grenzwert u ist eine Lösung der Gleichung Au = b. Diese Aussage beweisen wir mithilfe des Minty Tricks.

9 3 Die Theorie monotoner Operatoren 59.2 Lemma (Minty 1962). Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und sei A: X X ein hemistetiger, monotoner Operator. Dann gilt: (i) Der Operator A ist maximal monoton, d.h. seien u X, b X gegeben, so dass für alle v X b Av, u v X, (ii) dann folgt Au = b. A genügt der Bedingung (M), d.h. aus (iii) Aus folgt Au = b. oder alternativ folgt Au = b. u n u in X (n ), Au n b in X (n ), Au n, u n X b, u X (n ), u n u in X, Au n b in X (n ), u n u in X, Au n b in X (n ) Beweis. ad (i): Seien u X und b X gegeben, so dass die obige Annahme erfüllt ist. Für beliebige w X setzen wir v = u tw, t >, und erhalten aufgrund der Voraussetzung folgende Implikation: b Av, u v b A(u tw), w. Da A hemistetig ist, folgt durch den Grenzübergang t, dass für alle w X gilt: b Au, w. Wir ersetzen w durch w und erhalten die umgekehrte Ungleichung. Insgesamt gilt also b Au, w = für alle w X, d.h. b = Au. ad (ii): Da A monoton ist, folgt für alle v X, n N Au n Av, u n v = Au n, u n Av, u n Au n Av, v. Aufgrund der Voraussetzungen erhalten wir nach dem Grenzübergang n für alle v X b, u Av, u b Av, v = b Av, u v. Somit ist A maximal monoton und aufgrund von (i) folgt Au = b.

10 6 3 Die Theorie monotoner Operatoren ad (iii): Die Behauptung ist eine Konsequenz von (ii), wenn wir wissen, dass aus x n x in X, f n f in X (n ) bzw. folgt, dass x n x in X, f n f in X (n ) f n, x n f, x (n ). Unter unseren Voraussetzungen folgt dann Au n, u n b, u (n ). Die Behauptungen (ii) und (iii) des folgenden Lemmas liefert aber diese Aussagen..3 Lemma (Konvergenzprinzipien). Sei X ein Banachraum. Dann gilt: (i) Wenn x n x schwach in X, (n ), dann gibt es ein Konstante c, so dass x n X c. (ii) Wenn dann folgt x n x in X (n ), f n f in X (n ), f n, x n X f, x X (n ). (iii) Wenn dann folgt x n x in X (n ), f n f in X (n ), f n, x n X f, x X (n ). (iv) Sei X zusätzlich reflexiv. Die Folge (x n ) sei beschränkt. Wenn alle schwach konvergenten Teilfolgen von (x n ) gegen denselben Grenzwert x konvergieren, dann konvergiert die gesamte Folge (x n ) schwach gegen x. Beweis. ad (i): Dies ist eine Konsequenz des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit. Für alle f X ist die Folge ( f, x n ) beschränkt, da aufgrund der schwachen Konvergenz von (x n ) die Folge reeller Zahlen f, x n gegen f, x konvergiert. Somit haben wir sup f, x n c(f). (.4) n Mithilfe der kanonische Isometrie J : X X, die gegeben ist durch (cf. Abschnitt A.7) Jx, f X = f, x X, folgt somit aus (.4), dass die Folge (Jx n ) X punktweise beschränkt ist.

11 3.1 Monotone Operatoren 61 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit (cf. Satz A.1.7) liefert also sup Jx n X c, n da aber Jx n X = x n X gilt, ist die Behauptung bewiesen. ad (ii): Es gilt: f n, x n f, x f n, x n f, x n + f, x n x = f n f, x n + f, x n x f n f x n + f, x n x. Nun haben wir aufgrund der Voraussetzungen f n f (n ), f, x n x (n ), sowie x n c nach (i). Demzufolge erhalten wir f n, x n f, x (n ). ad (iii): Der Beweis verläuft analog zum Beweis von Behauptung (ii). ad (iv): Beweis durch Widerspruch. Konvergiere (x n ) nicht schwach gegen x, d.h. f X, ε >, (x nk ) : f, x nk f, x ε k N. Nach Voraussetzung ist die Teilfolge (x nk ) beschränkt. Daher gibt es nach dem Satz von Eberlein Šmuljan (cf. Satz A.8.15) eine Teilfolge (x n k ), die schwach konvergiert und zwar nach Voraussetzung gegen x. Dies ist ein Widerspruch. Also gilt die Behauptung. 3.1 Monotone Operatoren 1.1 Definition. Sei X ein reeller, reflexiver Banachraum und sei A: X X ein Operator. Dann heißt A (i) monoton genau dann, wenn für alle u, v X gilt: Au Av, u v X. (ii) strikt monoton genau dann, wenn für alle u, v X, u v gilt: Au Av, u v X >.

12 62 3 Die Theorie monotoner Operatoren (iii) stark monoton genau dann, wenn es ein c > gibt, so dass für alle u, v X gilt: Au Av, u v X c u v 2 X. (iv) koerziv genau dann, wenn Au, u X lim =. u X u X Bemerkungen. (i) Offensichtlich gelten folgende Implikationen: A ist stark monoton A ist strikt monoton A ist monoton. (ii) Wenn A stark monoton ist, dann ist A auch koerziv. In der Tat gilt: also folgt Au, u u Au, u = Au A(), u + A(), u c u 2 A() X u, c u A() X für u. Beispiele. 1. Gegeben sei eine Funktion f : R R. Wir betrachten die Funktion f als Operator von X nach X mit X = R = X. In R ist das Dualitätsprodukt gerade die Multiplikation, d.h. f(u) f(v), u v = ( f(u) f(v) ) (u v). Somit gelten folgende Aussagen: (i) f : X X (strikt) monoton f : R R (strikt) monoton. (ii) f koerziv lim f(u) = ±. u ± 2. Für die Funktion g : R R { u p 2 u für u, g(u) = für u =, kann man zeigen, dass gilt: (i) (ii) Für p > 1 ist g strikt monoton. Für p 2 gilt: g(u) g(v), u v c u v p. (iii) Für p = 2 ist g stark monoton.

13 3.1 Monotone Operatoren Definition. Sei X ein reeller Banachraum und A: X X ein Operator. Dann heißt A (i) hemistetig genau dann, wenn für alle u, v, w X die Funktion (ii) t A(u + tv), w X im Intervall [, 1] stetig ist. demistetig genau dann, wenn u n u in X (n ) Au n Au in X (n ). (iii) stark stetig genau dann, wenn u n u in X (n ) Au n Au in X (n ). (iv) beschränkt genau dann, wenn A beschränkte Mengen in X in beschränkte Mengen in X abbildet. (v) lokal beschränkt genau dann, wenn es für alle u X ein ε(u) > und eine Konstante K(u) gibt, so dass für alle v X mit u v X ε gilt Av X K. Bemerkung. Offensichtlich gelten folgende Implikationen: A ist stark stetig A ist stetig A ist demistetig A ist hemistetig. Wir wollen nun weitere einfache Konsequenzen obiger Definitionen beweisen. 1.3 Lemma. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und A : X X ein Operator. Dann gilt: (i) Falls A stark stetig ist, so ist A kompakt. (ii) Falls A demistetig ist, so ist A lokal beschränkt. (iii) Falls A monoton ist, so ist A lokal beschränkt. (iv) Falls A monoton und hemistetig ist, so ist A demistetig. Beweis. ad (i): Wir wollen zeigen, dass für alle beschränkten Teilmengen M X die Bildmenge A(M) relativ folgenkompakt ist. Sei also (Au n ) eine beliebige Folge aus A(M). Da M beschränkt ist, ist somit auch (u n ) beschränkt. Aufgrund der Reflexivität des Raumes X existiert eine schwach konvergente Teilfolge (u nk ), d.h. u nk u X (k ). Daraus folgt Au nk Au (k ), da A stark stetig ist. Also ist A(M) relativ folgenkompakt, was in Banachräumen äquivalent zur relativen Kompaktheit der Menge A(M) ist (cf. Satz A.2.1). ad (ii): Beweis durch Widerspruch: Sei A nicht lokal beschränkt, d.h. es gibt ein u X und eine Folge (u n ) in X mit u n u (n ), so dass Au n X (n ). Da A demistetig ist, folgt Au n Au in X (n ). Aufgrund von Lemma.3 (i) ist (Au n ) beschränkt. Dies ist aber ein Widerspruch. Also ist A lokal beschränkt.

14 64 3 Die Theorie monotoner Operatoren ad (iii): Beweis durch Widerspruch: Sei A nicht lokal beschränkt, dann gibt es ein u X und eine Folge (u n ) X mit u n u (n ), so dass Au n X (n ). Wir setzen a n := (1 + Au n u n u ) 1. Die Monotonie von A liefert, dass für alle v X gilt: Au n Av, u n v = Au n Av, (u n u) + (u v). Mit obiger Bezeichnung ist dies äquivalent zu ( a n Au n, v u a n Aun, u n u Av, u n v ) ( a n ( Au n X u n u + Av X un + v )) 1 + c(v, u), wobei wir a n 1 benutzt haben und dass nach Voraussetzung u n u 1, n n. Wenn wir in dieser Rechnung v durch 2u v ersetzen, erhalten wir auch a n Au n, v u 1 + c(v, u). Da v X beliebig ist, ist auch w := v u ein beliebiger Punkt von X und wir erhalten für alle w X sup a n Au n, w c(w, u) <. n n Die stetigen, linearen Abbildungen a n Au n : X R sind nach obiger Rechnung punktweise beschränkt. Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit (cf. Satz A.1.7) liefert also sup a n Au n X c(u). n n Daraus und aus der Definition von a n erhalten wir Au n c(u) a n = c(u) ( 1 + Au n u n u ). (1.4) Wegen u n u (n ) gibt es ein n 1 N, so dass für alle n n 1, n gilt c(u) u n u < 1 2 und wir erhalten aus (1.4) Au n c(u) 1 c(u) u n u 2 c(u). Somit ist die Folge ( Au n ) beschränkt, was ein Widerspruch zur Annahme Au n X (n ) ist. Also gilt die Behauptung.

15 3.1 Monotone Operatoren 65 ad (iv): Sei (u n ) eine Folge in X mit u n u (n ). Da A monoton ist, ist (Au n ) nach (iii) lokal beschränkt. Aufgrund der Reflexivität von X gibt es eine Teilfolge (u nk ) und ein Element b X, so dass Au nk b (k ). Nach Lemma.2 (iii) erhalten wir somit Au = b, d.h. Au nk Au (k ). Aber alle schwach konvergenten Teilfolgen von (Au n ) konvergieren schwach gegen Au, denn sonst gäbe es eine Teilfolge mit Au nl c b, (l ). Lemma.2 (iii) impliziert wiederum Au = c, was ein Widerspruch zu Au = b ist. Somit liefert Lemma.3 (iv), dass die gesamte Folge (Au n ) schwach gegen b = Au konvergiert, d.h. A ist demistetig Der Satz von Browder und Minty Wir haben nun alle Hilfsmittel bereitgestellt, um den Hauptsatz der Theorie monotoner Operatoren beweisen zu können. 1.5 Satz (Browder, Minty 1963). Sei X ein separabler, reflexiver, reeller Banachraum. Ferner sei A: X X ein monotoner, koerziver, hemistetiger Operator. Dann existiert für alle b X eine Lösung u X von Au = b. (1.6) Die Lösungsmenge ist abgeschlossen, beschränkt und konvex. Falls A strikt monoton ist, ist die Lösung von (1.6) eindeutig. Beweis. Wir beweisen den Satz mit Hilfe des Galerkin Verfahrens : Dazu setzen wir X n := span{w 1,..., w n } und suchen approximative Lösungen u n X n der Form die das Galerkin System lösen. u n = n c k nw k, (1.7) k=1 Au n b, w k =, k = 1,..., n, (1.8) 1. Lösbarkeit von (1.8): Aufgrund von (1.7) können wir Elemente u n X n mit Vektoren c n := (c 1 n,..., c n n) R n identifizieren. Insbesondere ist für c := (c 1,..., c n ) durch c := n k=1 ck w k X auf R n eine äquivalente Norm gegeben, die wir im Weiterem benutzen werden. Somit kann man (1.8) als ein nichtlineares System von Gleichungen für die Vektoren c n R n betrachten. Dieses können wir mithilfe der Abbildung g n := (gn, 1..., gn) n : R n R n gegeben durch

16 66 3 Die Theorie monotoner Operatoren g k n : R n R: c g k n(c) := umschreiben in A ( n j=1 g n (c n ) =. c j w j ) b, w k, k = 1,..., n, Nach Lemma 1.3 (iv) ist A demistetig, da A monoton und hemistetig ist. Also ist die Abbildung g n : R n R n stetig, da aus c l c (l ) bzgl. in R n folgt, dass n j=1 cj l w j gegen n j=1 cj w j in X konvergiert. Daraus folgt sofort, dass g n (c l ) gegen g n (c) in der Euklidischen Norm und somit auch bzgl. der Norm konvergiert. Weiter gilt für c = (c 1,..., c n ) und v := n j=1 cj w j n gn(c) k c k = Av, v b, v. (1.9) k=1 Da A koerziv ist, d.h. Av,v v für alle v R gilt: ( v ), gibt es ein R >, so dass Av, v ( 1 + b X ) v >. Insbesondere gilt für c mit c = v = R und somit folgt Av, v ( 1 + b X ) v, n gn(c) k c k ( 1 + b X ) v b X v = v >. (1.1) k=1 Nach Lemma , einer Folgerung aus dem Satz von Brouwer, gibt es also eine Lösung u n des Galerkin Systems (1.8) mit u n X R. (1.11) Insbesondere ist die Konstante R unabhängig von n, d.h. (1.11) ist eine apriori Abschätzung. 2. Beschränktheit von (Au n ): Da A monoton ist, folgt aus Lemma 1.3 (iii), dass A lokal beschränkt ist. Insbesondere gibt es Konstanten r, M >, so dass die Implikation v r Av X M (1.12) gilt. Da u n das System (1.8) löst, d.h. es gilt insbesondere Au n, u n = b, u n, erhalten wir mithilfe von (1.11) für alle n N Au n, u n b X u n b X R. (1.13)

17 Aufgrund der Monotonie von A gilt für alle v X: 3.1 Monotone Operatoren 67 Au n Av, u n v. (1.14) Eine Variante der Definition der Norm in X liefert zusammen mit (1.14), (1.12), (1.13) und (1.11) Au n X 1 = sup r Au n, v v X v =r sup v X v =r ( 1 r Av, v + Aun, u n Av, u n ) 1 r (M r + b X R + M R ) <. (1.15) Also ist die Folge (Au n ) X beschränkt. 3. Konvergenz des Galerkin Verfahrens: Da X und X reflexiv sind und die Folgen (u n ) und (Au n ) beschränkt sind, wie in (1.11) und (1.15) gezeigt wurde, gibt es eine Teilfolge (u nk ) mit u nk u in X Au nk c in X (k ). (1.16) Andererseits gibt es für alle w X l ein n mit w X n. Da u n eine l=1 Lösung von (1.8) ist, erhalten wir für alle n n woraus folgt Au n, w = b, w, lim Au n, w = b, w n w X l. (1.17) Aus (1.16) und (1.17) folgt, dass für alle w l=1 X l gilt c b, w =. Da l=1 X l dicht in X liegt, liefert Lemma A.7.2 (iii), dass b = c gilt, und somit Au nk b in X (n ). Für die Lösung u nk von (1.8) gilt insbesondere Au nk, u nk = b, u nk, woraus folgt: lim Au n k, u nk = lim b, u n k = b, u. k k Die Voraussetzungen des Minty Tricks, Lemma.2 (ii), sind demnach erfüllt, und wir erhalten Au = b, d.h. u ist eine Lösung der ursprünglichen Operatorgleichung (1.6). 4. Eigenschaften der Lösungsmenge: Für gegebenes b X setzen wir S = {u X Au = b}. Dann hat S folgende Eigenschaften: l=1

18 68 3 Die Theorie monotoner Operatoren (a) S : Das wurde gerade bewiesen. (b) S ist beschränkt: Dies folgt aus der Koerzivität von A. Falls S nicht beschränkt wäre, dann gäbe es für alle R > ein u S mit u R >. Aber analog zu 2. haben wir (cf. (1.9), (1.1)) = Au, u b, u u >. Dies ist aber ein Widerspruch, und somit gibt es ein R >, so dass für alle u S gilt u R. (c) S ist konvex: Seien u 1, u 2 S, d.h. Au i = b für i = 1, 2. Für die Konvexkombination w = tu 1 + (1 t)u 2, t 1, und beliebige v X gilt: b Av, w v = b Av, tu 1 + (1 t)u 2 (t + 1 t)v = b Av, t(u 1 v) + b Av, (1 t)(u 2 v) = t Au 1 Av, u 1 v + (1 t) Au 2 Av, u 2 v, aufgrund der Monotonie von A. Anwendung von Lemma.2 (i) liefert Aw = b, d.h. w S. Also ist S konvex. (d) S ist abgeschlossen: Für eine Folge (u n ) S, d.h. Au n = b, mit u n u (n ), und für alle v X haben wir: b Av, u v = lim n b Av, u n v = lim n Au n Av, u n v, aufgrund der Monotonie von A. Aus Lemma.2 (i) folgt Au = b, d.h. u S. 5. Eindeutigkeit: Sei A strikt monoton. Falls es zwei Lösungen u v von (1.6) gibt, dann haben wir einerseits Au = b = Av und andererseits folgt aus der strikten Monotonie von A < Au Av, u v = b b, u v =. Dies ist ein Widerspruch. Also kann die Gleichung höchstens eine Lösung haben. Bemerkung. Die Behauptungen des Satzes 1.5 bleiben auch in nicht separablen Räumen richtig (cf. [23, S ]) Folgerung. Sei X ein separabler, reflexiver, reeller Banachraum und sei A: X X ein strikt monotoner, koerziver, hemistetiger Operator. Dann existiert der Operator A 1 : X X und ist strikt monoton und demistetig. Beweis. Der Beweis dieser einfachen Aussage bleibt dem Leser überlassen.

19 3.1 Monotone Operatoren Der Nemyckii Operator Um den Satz 1.5 von Browder und Minty auf Differentialgleichungen anwenden zu können, benötigen wir den so genannten Nemyckii Operator (F u)(x) := f(x, u(x)), (1.19) wobei u = (u 1,..., u n ), u: G R N R n, mit einem Gebiet G R N. Bezüglich f : G R n R machen wir folgende Annahmen: (i) Carathéodory Bedingung: f(, η): x f(x, η) ist messbar auf G für alle η R n, f(x, ): η f(x, η) ist stetig auf R n für fast alle x G. (ii) Wachstumsbedingung: f(x, η) a(x) + b n η i pi/q, wobei b > eine Konstante ist und a L q (G), 1 p i, q <, i = 1,..., n. 1.2 Lemma. Unter den obigen Annahmen an die Funktion f und die Menge G, ist der in (1.19) definierte Nemyckii Operator i=1 F : n L pi (G) L q (G) i=1 stetig und beschränkt. Es gilt für alle u n i=1 Lpi (G) die Abschätzung ( F u L q (G) c a L q (G) + n i=1 ) u i pi/q L p i (G). (1.21) Beweis. Wir betrachten nur den Fall n = 1, u = u 1, p = p 1. Der allgemeine Fall folgt analog. 1. Messbarkeit von F u: Da u L p (G), ist die Funktion x u(x) Lebesgue messbar auf G. Also gibt es eine Folge (u n ) von Treppenfunktionen mit u n u fast überall in G (n ).

20 7 3 Die Theorie monotoner Operatoren Daher gilt für fast alle x G (F u)(x) = f(x, u(x)) = lim n f(x, u n(x)), da f, aufgrund der Carathéodory Bedingung (i), stetig in der zweiten Variablen ist. Da (u n ) Treppenfunktionen sind, haben wir f(x, u n (x)) = f ( M(n) x, c n j χ G n j (x) ) = j= M(n) j= f(x, c n j )χ G n j (x), mit c n = und G n = G \ M(n) i=1 G n i. Somit ist f(x, u n(x)) messbar, da sowohl die Funktionen f(x, c n j ) als auch die charakteristischen Funktionen χ G n j messbar sind. Weiterhin ist der Grenzwert messbarer Funktionen messbar und demnach auch F u. 2. Beschränktheit von F : Es gilt für alle u L p (G): F u q L = f(x, u(x)) q dx q G ( a(x) + b u(x) p/q ) q dx G C a(x) q + b q u(x) p dx G C ( a q L q + u p L p ), wobei die Wachstumsbedingung (ii) und die folgende Äquivalenz von Normen im R M ( M ) 1 ( r M M ) 1 r c ξ i r ξ i C ξ i r. (1.22) i=1 i=1 benutzt wurden. Also ist F beschränkt und erfüllt die Abschätzung (1.21). 3. Stetigkeit von F : L p (G) L q (G): Sei (u n ) eine Folge mit u n u in L p (G) (n ). Demzufolge gibt es eine Teilfolge (u nk ) mit u nk u (k ), fast überall in G (cf. Satz A.11.12) und es gilt: f(x, u nk (x)) f(x, u(x)) q C ( f(x, u nk (x)) q + f(x, u(x)) q) i=1 C ( a(x) q + b q u nk (x) p + f(x, u(x)) q) =: h nk (x), wobei die Wachstumsbedingung (ii) benutzt wurde. Nach Integration über G erhalten wir F u nk F u q L h q nk dx. G

21 3.1 Monotone Operatoren 71 Auf der rechten Seite der Ungleichung stehen als Integranden eine Folge von Funktionen h nk aus L 1 (G) mit G h nk (x) h(x) fast überall in G (k ), h nk (x) dx h(x) dx (k ), G da u n u in L p (G) (n ), also u n L p u L p (n ). Außerdem gilt (F u nk )(x) (F u)(x) (k ) für fast alle x G, da aufgrund der Carathéodory Bedingung (i) f stetig in der zweiten Variablen ist. Daher ist der verallgemeinerte Satz von der majorisierten Konvergenz (cf. Satz A.11.11) anwendbar, und demzufolge gilt: F u nk F u q Lq (k ). Das Konvergenzprinzip Lemma.3 (iv) liefert nun F u n F u in L q (G) (n ), da die Argumentation für jede beliebige konvergente Teilfolge gilt Quasilineare elliptische Gleichungen Als Anwendung des Satzes von Browder und Minty und des Nemyckii Operators betrachten wir folgendes Randwertproblem für eine quasilineare elliptische Gleichung: div( u p 2 u) + s u = f in, u = auf. (1.23) Dabei sei 1 < p <, ein beschränktes Gebiet im R d mit C,1 und s. Wenn man (1.23) formal mit u multipliziert, über integriert und partiell integriert erhlält man folgende apriori Abschätzung u p + s u 2 dx c(f). Hieraus sieht man, dass für alle s der kanonische Sobolevraum für die Untersuchung von (1.23) der W 1,p () ist. Man beachte allerdings, dass für s > auch der Raum W 1,p () L 2 () eine natürliche Wahl darstellt (vgl. Bemerkungen nach Lemma 1.27 und nach Satz 1.32). Die schwache Formulierung von Problem (1.23) lautet: Für gegebenes f (L p ()) suchen wir u X = W 1,p (), so dass für alle ϕ X u p 2 u ϕ + s u ϕ dx = fϕ dx. (1.24) Deshalb definieren wir einen Operator A durch

22 72 3 Die Theorie monotoner Operatoren Au, ϕ := u p 2 u ϕ + s u ϕ dx, u, ϕ X, (1.25) und ein Funktional b durch b, ϕ := fϕ dx, ϕ X. (1.26) Hierbei steht, für das Dualitätsprodukt in X Lemma. Sei ein beschränktes Gebiet des R d mit Lipschitz stetigem Rand. Ferner sei f L p (), p = p p 1, p (1, ) und s. Für p 2d 1,p d+2 bildet der in (1.25) definierte Operator A den Raum X = W () in seinen Dualraum ab, d.h. A: X X, und ist beschränkt. Das in (1.26) definierte Funktional b ist ein Element von X. Ferner ist die schwache Formulierung (1.24) äquivalent zur Operatorgleichung in X Au = b. (1.28) Beweis. Wir setzen X := W 1,p () und u X := u L p. Aufgrund der 1,p Nullrandbedingungen ist diese Norm äquivalent zur üblichen W () Norm u W 1,p = ( u p + u p dx ) 1 p (cf. (A.12.27)). 1. A : X X : Es gilt für u, ϕ X Au, ϕ u p 1 ϕ dx + s uϕ dx ( ) 1 ( u (p 1)p p dx ( + s ) 1 ( u 2 2 dx ) 1 ϕ p p dx ϕ 2 dx ) 1 2 = u p 1 L p ϕ L p + s u L 2 ϕ L 2, wobei wir die Hölder Ungleichung und p = p p 1 benutzt haben. Für 1 p < d haben wir die Einbettung X = W 1,p () L q () mit q dp d p (cf. Satz A (i)). Insbesondere gilt also X L 2 (), falls 2 dp d p p 2d d+2. Falls p d ist, verwenden wir die Einbettungen X W 1,d () L q (), die für alle q < gilt (cf. Satz A (ii)). Also erhalten wir, dass für p 2d d+2 und alle ϕ X gilt: Insgesamt ergibt sich daher ϕ L 2 c 1 ϕ X = c 1 ϕ L p.

23 3.1 Monotone Operatoren 73 Au, ϕ u p 1 L p ϕ L p + s u L 2 ϕ L 2 c ( u p 1 L p + s u L p) ϕ L p. Aufgrund der Definition der Norm von Au in X haben wir Au X = sup Au, ϕ c ( u p 1 L + s u ) p L p, (1.29) ϕ X ϕ 1 und somit ist Au X sowie A: X X, sofern p d+2. Aus der letzten Ungleichung sehen wir sofort, dass der Operator A beschränkt ist. 2. Mithilfe der Hölder Ungleichung und der Definition der dualen Norm ergibt sich b X 2d = sup b, ϕ sup f L p ϕ L p ϕ X ϕ X ϕ 1 ϕ 1 c f L p, für p 1, da X = W 1,p () L p (), d.h. ϕ L p C ϕ X. 3. Aus den Schritten 1 und 2, sowie den Definitionen von A und b folgt, dass die schwache Formulierung (1.24) von (1.23) gerade Au, ϕ = b, ϕ ϕ X ist. Dies ist aber die Operatorgleichung Au = b in X. Bemerkung. Im Falle s = ist im vorherigen Lemma die Einschränkung p 2d 1,p d+2 nicht nötig. Falls man für s > mit X = W () L 2 () versehen mit der Norm u X := u L p + u L 2 arbeitet, fällt die Einschränkung p 2d d+2 ebenfalls weg. 1.3 Lemma. Unter den Voraussetzungen von Lemma 1.27 ist der durch (1.25) gegebene Operator A: X X strikt monoton, koerziv und stetig. Insbesondere sind also die Voraussetzungen von Satz 1.5 erfüllt. Beweis. 1. A ist strikt monoton: Der Operator A wird durch die Funktion g = (g 1,..., g d ) : R d R d : ζ ζ p 2 ζ (1.31) generiert, wobei wir g() = setzen. Für i, j = 1,..., d und ζ haben wir j g i (ζ) = ζ p 2 δ ij + (p 2) ζ p 4 ζ i ζ j und somit gilt für alle ζ R d \ {}, η R d, 1 < p <, d i,j=1 j g i (ζ)η i η j = ζ p 2( η 2 (ζ ) η)2 + (p 2) ζ 2 min(1, p 1) ζ p 2 η 2.

24 74 3 Die Theorie monotoner Operatoren Für beliebige u v X haben wir also Au Av, u v d ( = g i ( u) g i ( v) ) ( i u i v) dx + s u v 2 dx i=1 d 1 i=1 d dτ gi( v + τ( u v) ) dτ ( i u i v) dx, da s. Den Integranden auf der rechten Seite kann man schreiben als 1 d j g i( v + τ( u v) ) ( j u j v)( i u i v) dτ i,j=1 c u v 2 >, 1 v + τ( u v) p 2 dτ da 1 mit Ausnahme möglicherweise eines Punktes τ, der von x abhängt, gilt: v + τ( u v) p 2 >. Insgesamt erhalten wir also d.h. A ist strikt monoton. Au Av, u v >, 2. A ist koerziv: Wir haben für u X Au, u = u p + s u 2 dx = u p L + p s u 2 L 2 u p L, p also folgt falls p > 1. Au, u u X u p 1 L p ( u X ), 3. A ist stetig: Sei (u n ) X eine Folge mit u n u in X (n ), d.h. insbesondere u n u in L p () (n ). Wir setzen F( u)(x) := g( u(x)), wobei g in (1.31) definiert ist. Da g komponentenweise die Abschätzung 1 Man beachte, dass das Integral 1 v + τ( u v) p 2 dτ endlich ist für p > 1.

25 g i (ζ) c ζ p 1 = c ζ p q, i = 1,..., d, 3.1 Monotone Operatoren 75 mit q = p p 1 erfüllt, ist F ein vektorwertiger Nemyckii Operator. Aus Lemma 1.2 folgt daher, dass F : (L p ()) d (L p ()) d stetig ist, d.h. für unsere Folge (u n ) gilt: F( u n ) F( u) in ( L p () ) d (n ). Somit erhalten wir Au n Au, ϕ = ( F( un ) F( u) ) ϕ dx + s (u n u)ϕ dx F( u n ) F( u) L p ϕ L p + s u n u L 2 ϕ L 2 c ( F( u n ) F( u) L p + u n u X ) ϕ X, da X = W 1,p () L 2 () für p 2d d+2. Aufgrund der Definition der Norm im Dualraum gilt dann: Au n Au X = sup Au n Au, ϕ ϕ X ϕ 1 c ( F( u n ) F( u) L p + u n u X ). Für n konvergiert die rechte Seite gegen, da u n u in X (n ), und F( u n ) F( u) in (L p ()) d (n ). Also ist der Operator A stetig und damit insbesondere hemistetig. 4. X = W 1,p () ist ein separabler und reflexiver Banachraum (cf. Abschnitt A.12.3) Satz. Sei ein beschränktes Gebiet des R d mit Lipschitz stetigem Rand und sei s. Für p 2d d+2, p (1, ) und alle f Lp (), p = p p 1, existiert genau eine schwache Lösung u des Randwertproblems (1.23), d.h. (1.24) bzw. (1.28) gelten. Beweis. Aus den Lemmata 1.27 und 1.3 folgt, dass wir Satz 1.5 anwenden können, der sofort die Behauptung liefert. Bemerkungen. (i) Die Einschränkung p d+2 ist nicht nötig. Für s = tritt sie nicht auf (vgl. Bemerkung nach Lemma 1.27) und für s > arbeitet man mit dem Raum X = W 1,p () L 2 (). Man kann zeigen, dass sowohl X als auch der Operator A : X X die Voraussetzungen von Satz 1.5 erfüllen. (ii) Satz 1.32 kann man auf die Gleichung div(a(x, u)) = f in, 2d u = auf, verallgemeinern, falls A: R d R d folgende Bedingungen erfüllt:

26 76 3 Die Theorie monotoner Operatoren (α) A ist eine Carathéodory Funktion, (β) A(x, η) C ( g(x) + η p 1), g L p () (Wachstumsbedingung), (γ) ( A(x, η) A(x, ζ) ) (η ζ)) >, für fast alle x (strikte Monotonie), (δ) A(x, η) η c η p h(x), h L 1 () (Koerzivität). (iii) Satz 1.32 gilt auch für beliebige f (W 1,p ()). Man kann zeigen, dass solche f eine Darstellung der Form f = d i f i + f, i=1 überlegen ob man nur mit Bedingung M arbeitet. originale ansehen mit f i L p (), i =,..., d, besitzen (cf. Abschnitt A.12.3). 3.2 Pseudomonotone Operatoren Der Satz von Brezis Ziel dieses Abschnittes ist es, eine Theorie zu entwickeln, die es ermöglicht, auch solche quasilinearen elliptischen Gleichungen zu lösen, die einen Term von niederer Ordnung enthalten, der nicht monoton ist. Zum Beispiel kann die Gleichung div( u p 2 u) + s u = f in, u = auf, (2.1) nicht mit Hilfe der Theorie monotoner Operatoren gelöst werden, falls s <. Eine Inspektion des Beweises von Satz 1.5 zeigt aber, dass die Argumente für allgemeinere Operatoren, nämlich pseudomonotone Operatoren, adaptiert werden können. Typische Beispiele für pseudomonotone Operatoren sind Operatoren der Form A = A 1 + A 2, wobei A 1 : X X ein monotoner, hemistetiger Operator und A 2 : X X ein stark stetiger, also kompakter, Operator ist (cf. Lemma 1.3 (i)), d.h. die Theorie pseudomonotoner Operatoren vereinigt Monotonie und Kompaktheit. Im Folgenden werden wir zuerst eine allgemeine Theorie entwickeln und diese dann auf Gleichungen vom Typ (2.13) anwenden. 2.2 Definition. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und A: X X ein Operator. Wir sagen, A genügt der Bedingung (M), falls aus folgt, dass Au = b gilt. u n u in X (n ), Au n b in X (n ), (2.3) lim sup Au n, u n X b, u X n

27 3.2 Pseudomonotone Operatoren 77 Diese Bedingung ist wichtig, weil sie invariant unter stark stetigen Störungen ist. Außerdem erfüllen monotone Operatoren diese Bedingung. Genauer gilt: 2.4 Lemma. Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und A: X X, B : X X seien Operatoren. Dann gilt: (i) Ist A monoton und hemistetig, dann genügt A der Bedingung (M). (ii) Wenn A der Bedingung (M) genügt und B stark stetig ist, dann genügt A + B der Bedingung (M). Beweis. ad (i): Dies ist nichts anderes als eine Variante des Minty Tricks aus Lemma.2 (ii). Sei (u n ) eine Folge, die (2.3) erfüllt. Da A monoton ist, folgt für alle v X, n N Au n Av, u n v = Au n, u n Av, u n Au n Av, v. Durch Anwendung von lim sup n auf diese Ungleichung ergibt sich, aufgrund von (2.3), für alle v X b, u Av, u b Av, v = b Av, u v. Da aber A aufgrund von Lemma.2 (i) maximal monoton ist, folgt daher Au = b, d.h. A genügt der Bedingung (M). ad (ii): Gegeben sei eine Folge (u n ) X mit u n u in X (n ), Au n + Bu n b in X (n ), lim sup Au n + Bu n, u n b, u. n Da B stark stetig ist, folgt Bu n Bu in X (n ), und somit lim sup Au n, u n b Bu, u, n Au n b Bu in X (n ). Da A der Bedingung (M) genügt, folgt Au = b Bu, d.h. Au + Bu = b. Für Operatoren A: X X, B : X X, die die Bedingung (M) erfüllen, erfüllt A + B nicht notwendig die Bedingung (M). Deshalb führen wir den stabileren Begriff des pseudomonotonen Operators ein. 2.5 Definition. Sei A: X X ein Operator auf dem reflexiven, reellen Banachraum X. Dann heißt A pseudomonoton, falls aus folgt, dass für alle w X gilt: u n u in X (n ), lim sup Au n, u n u X n Au, u w X lim inf n Au n, u n w X.

28 78 3 Die Theorie monotoner Operatoren Das folgende Lemma gibt typische Beispiele für pseudomonotone Operatoren an. 2.6 Lemma. Sei X ein reeller, reflexiver Banachraum, und A, B : X X seien Operatoren. Dann gilt: (i) (ii) Wenn A monoton und hemistetig ist, dann ist A pseudomonoton. Wenn A stark stetig ist, dann ist A pseudomonoton. (iii) Wenn A und B pseudomonoton sind, dann ist A + B pseudomonoton. (iv) Wenn A pseudomonoton ist, dann genügt A der Bedingung (M). (v) Beweis. Wenn A pseudomonoton und lokal beschränkt ist, dann ist A demistetig. ad (i): Gegeben sei eine Folge (u n ) X mit u n u (n ) und Da A monoton ist, gilt: lim sup Au n, u n u. n woraus folgt Au n Au, u n u, lim inf n Au n, u n u lim inf n Au, u n u =. Zusammen erhalten wir also lim Au n, u n u =. (2.7) n Für beliebige w X und t > setzen wir z t := (1 t)u + tw. Die Monotonie von A impliziert was äquivalent zu Au n Az t, u n (1 t)u tw, t Au n, u n w (1 t) Au n, u n u + (1 t) Az t, u n u + t Az t, u n w ist. Somit erhalten wir für alle w X und t > : lim inf n Au n, u n w Az t, u w, wobei wir (2.7) und u n u (n ), sowie t > benutzt haben. Da wir z t auch schreiben können als z t = u + t(w u) und der Operator A hemistetig ist, erhalten wir Az t Au für t +. Also gilt für alle w X: d.h. A ist pseudomonoton. lim inf n Au n, u n w Au, u w,

29 3.2 Pseudomonotone Operatoren 79 ad (ii): Sei (u n ) X eine Folge mit u n u (n ). Dann gilt Au n Au (n ), aufgrund der starken Stetigkeit von A. Mithilfe von Lemma.3 (ii) erhalten wir somit für alle w X d.h. A ist pseudomonoton. Au, u w = lim n Au n, u n w, ad (iii): Wir wählen eine Folge (u n ) X mit u n u (n ) und Daraus folgt lim sup Au n + Bu n, u n u. (2.8) n lim sup Au n, u n u, n lim sup Bu n, u n u, n (2.9) was wir durch Widerspruch beweisen. Gelte also lim sup Au n, u n u = a >. n Insbesondere gibt es eine Teilfolge (u nk ) mit und somit erhalten wir lim Au n k, u nk u = a, k lim sup Bu nk, u nk u k = lim sup (A + B)u nk Au nk, u nk u k lim sup k (A + B)u nk, u nk u + lim sup Au nk, u nk u k = lim sup (A + B)u nk, u nk u lim Au n k, u nk u k k a. Da B pseudomonoton ist, gilt für alle w X Für w = u erhalten wir daher lim inf k was ein Widerspruch ist. Bu, u w lim inf k Bu n k, u nk w. Bu n k, u nk u lim sup Bu nk, u nk u a <, k

30 8 3 Die Theorie monotoner Operatoren Also gilt (2.9) und liefert mit der Pseudomonotonie von A und B Au, u w lim inf Au n, u n w, n Bu, u w lim inf Bu n, u n w. n Addieren wir beide Ungleichungen, ergibt sich für alle w X Au + Bu, u w lim inf n Au n + Bu n, u n w, d.h. A + B ist pseudomonoton. ad (iv): Gegeben sei eine Folge (u n ) X, die (2.3) erfüllt. Dies impliziert insbesondere lim sup Au n, u n u. n Aufgrund der Pseudomonotonie von A erhalten wir somit für alle w X Au, u w lim inf n Au n, u n w b, u b, w = b, u w. Wenn wir w durch 2u w ersetzen, ergibt sich für alle w X: d.h. Au = b. Au, u w = b, u w, ad (v): Sei (u n ) X sei eine Folge mit u n u (n ). Da A lokal beschränkt ist, ist auch die Folge (Au n ) beschränkt. Der Raum X ist reflexiv und daher gibt es eine Teilfolge (Au nk ) mit Au nk b (k ), so dass wir lim Au n k, u nk u = erhalten. Die Pseudomonotonie von A zusammen k mit den obigen Konvergenzen impliziert für alle w X: Au, u w lim inf k Au n k, u nk w = b, u w. Damit folgt wie in (iv) Au = b, d.h. Au nk Au (k ). Das Konvergenzprinzip Lemma.3 (iv) liefert, da obige Argumentation für beliebige konvergente Teilfolgen gilt, d.h. A ist demistetig. Au n b = Au (n ), 2.1 Satz (Brezis 1968). Sei A: X X ein pseudomonotoner, beschränkter, koerziver Operator, wobei X ein separabler, reflexiver, reeller Banachraum ist. Dann existiert für alle b X eine Lösung u X von Au = b. (2.11)

31 3.2 Pseudomonotone Operatoren 81 Beweis. Aufgrund von Lemma 2.6 (v) ist A demistetig, da A pseudomonoton und beschränkt ist. Nach Lemma 2.6 (iv) genügt A auch der Bedingung (M), da A pseudomonoton ist. Wir gehen nun analog zum Beweis des Satzes von Browder Minty (Satz 1.5) vor. Dazu wählen wir eine Basis (w i ) i N von X. Mithilfe des Galerkin Verfahrens suchen wir approximative Lösungen u n = n c k nw k, k=1 die das Galerkin System (cf. Beweis von Satz 1.5) g k n(c n ) = g k n(u n ) := Au n b, w k =, k = 1,..., n, (2.12) lösen. Die Lösbarkeit dieses Gleichungssystems folgt wie im Beweis des Satzes 1.5, da A demistetig und koerziv ist. Die Demistetigkeit von A impliziert nämlich, dass die Funktionen gn, k k = 1,..., n, stetig sind, und die Koerzivität von A, dass es ein R > gibt, so dass n k=1 gk n(c n ) c k n > für alle u n = R gilt (cf. (1.1)). Außerdem erhalten wir aus der Koerzivität auch eine apriori Abschätzung (cf. (1.11)), d.h. u n X R n N. Also gibt es eine konvergente Teilfolge (u nk ) mit u nk u (k ). Wir wollen nun zeigen, dass u (2.11) löst. Aus dem Galerkin System (2.12) folgt, dass lim Au n k, v = b, v v span{w 1,..., w n }. k n N Die Beschränktheit des Operators A liefert, dass die Folge (Au nk ) beschränkt ist, da die schwach konvergente Folge (u nk ) beschränkt ist. Aufgrund der Reflexivität von X (cf. Lemma A.7.4 (iii)) besitzt eine Teilfolge von (Au nk ), die wir wieder mit (Au nk ) bezeichnen, einen schwachen Grenzwert, d.h. Au nk c in X (k ). Es gilt aber c = b mit denselben Argumenten wie im Beweisteil 3. von Satz 1.5. Aus dem Galerkin System (2.12) und der schwachen Konvergenz der (u nk ) erhalten wir Au nk, u nk = b, u nk b, u (k ). Daher erfüllt die Folge (u nk ) die Voraussetzung der Bedingung (M) und es folgt Au = b, d.h. u ist die gesuchte Lösung von (2.11).

32 82 3 Die Theorie monotoner Operatoren Quasilineare elliptische Gleichungen II Wir betrachten nun das Problem div( u p 2 u) + g(u) = f in, u = auf, (2.13) wobei R d ein beschränktes Gebiet mit Lipschitz stetigem Rand ist, f : R sowie g : R R gegebene Funktionen sind, und u: R die gesuchte Funktion ist. Dies ist eine Verallgemeinerung der Probleme (1.23) und (2.1) und kann, wie am Beginn von Abschnitt erläutert wurde, im Allgemeinen nicht mit der Theorie monotoner Operatoren gelöst werden. Um die Darstellung nicht durch zusätzliche Fallunterscheidungen aufgrund unterschiedlicher Einbettungen (cf. Satz A ) unübersichtlicher zu machen, beschränken wir uns im Folgenden auf den Fall p < d. Allerdings gelten alle Resultate auch für den Fall p d. Wir wollen die Theorie pseudomonotoner Operatoren benutzen. Dazu setzen wir X = W 1,p () und definieren folgende Abbildungen: A 1 u, ϕ := u p 2 u ϕ dx, (2.14) A 2 u, ϕ := g(u) ϕ dx, (2.15) b, ϕ := f ϕ dx. (2.16) Wir gehen analog zum Abschnitt vor. Dort wurden bereits der Operator A 1 (cf. Lemmata 1.27, 1.3 mit s = ) und das Funktional b (cf. Lemma 1.27) behandelt. Für den Operator A 2 gilt: 2.17 Lemma. Sei ein beschränktes Gebiet des R d mit Lipschitz stetigem Rand. An die stetige Funktion g : R R stellen wir folgende Wachstumsbedingung: g(t) c (1 + t r 1 ), (2.18) wobei 1 r <. Für 1 p < d und r dp d p bildet der in (2.15) definierte Operator A 2 den Raum X = W 1,p () in seinen Dualraum X ab und ist beschränkt. Für r < dp d p ist A 2 stark stetig. Beweis. 1. Aus der Definition von A 2 und (2.18) erhalten wir für q = dp d p und u, ϕ X

33 3.2 Pseudomonotone Operatoren 83 A 2 u, ϕ c ( 1 + u r 1) ϕ dx c ( ϕ dx + c c ( 1 + u r 1 L (r 1)q ) ϕ X, ) 1 ( u (r 1)q q dx ) 1 ϕ q q dx wobei wir die Einbettung X = W 1,p () L α (), α q, (cf. Satz A.12.24) benutzt haben. Somit erhalten wir A 2 u, ϕ c ( 1 + u r 1 X ) ϕ X, (2.19) sofern (r 1)q q, wobei wiederum die obige Einbettung verwendet wurde. Die Forderung (r 1)q q ist aufgrund der Definition von q äquivalent zu r dp d p. Aus der Definition der Operatornorm folgt A 2 u X = sup A 2 u, ϕ c ( 1 + u r 1 ) X ϕ X ϕ 1 und demzufolge A 2 u X, d.h. A 2 : X X. Aus dieser Abschätzung folgt auch, dass A 2 beschränkt ist. 2. Sei (u n ) X eine schwach konvergente Folge. Aufgrund der kompakten Einbettung X L r (), für r < dp d p (cf. Satz A.12.25), gilt also für eine Teilfolge u nk u in L r () (k ). (2.2) Wir setzen (F v)(x) = g(v(x)) und erhalten mit Hilfe der Wachstumsbedingung (2.18) und der Stetigkeit von g, dass der Nemyckii Operator F die Voraussetzungen von Lemma 1.2 erfüllt. Mit r 1 = r r ist also F : L r () L r () stetig, d.h. für die Folge in (2.2) gilt: F (u nk ) F (u) L r (k ). (2.21) Daraus erhalten wir sup ϕ X ϕ 1 A 2 u nk A 2 u, ϕ sup ϕ X ϕ 1 g(u nk ) g(u) ϕ dx sup F (u nk ) F (u) L r ϕ L r ϕ X ϕ 1 c F (u nk ) F (u) L r, aufgrund der Einbettung X L r (). Mithilfe der Konvergenz in (2.21) folgt also A 2 u nk A 2 u in X (k ). Da diese Argumentation für alle

34 84 3 Die Theorie monotoner Operatoren Teilfolgen, die (2.2) erfüllen, gilt, liefert das Konvergenzprinzip Lemma.3 (iv), dass A 2 stark stetig ist, d.h. A 2 u n A 2 u in X (n ). Um Satz 2.1 anwenden zu können benötigen wir noch folgendes Lemma Lemma. Zusätzlich zu den Voraussetzungen von Lemma 2.17 erfülle g die Koerzivitätsbedingung inf g(t) t > (2.23) t R und es sei p > 1. Dann ist der Operator A 1 + A 2 : X X koerziv. Beweis. Wir haben (cf. Beweis von Lemma 1.3) A 1 u, u = u p L p, (2.24) und aufgrund von (2.23) gilt für eine Konstante c > A 2 u, u = g(u) u dx > c. (2.25) Damit erhalten wir A 1 u + A 2 u, u A 1u, u u X u L p c u L p u p 1 L p c u L p falls p > 1. Also ist der Operator A 1 + A 2 koerziv. ( u L p ), 2.26 Satz. Sei R d ein beschränktes Gebiet mit Rand C,1. Sei 1 < p < d und die stetige Funktion g : R R erfülle die Voraussetzungen (2.18) und (2.23) mit 1 r < dp d p. Dann existiert für alle f () eine Lp verallgemeinerte Lösung von (2.13), d.h. es gibt ein u X = W 1,p (), so dass (A 1 + A 2 )u = b. Beweis. Wir wollen den Satz von Brezis (Satz 2.1) anwenden. Der Raum X = W 1,p () ist ein reflexiver, separabler Banachraum. Aus den Lemmata 1.27 und 1.3 wissen wir, dass A 1 : X X ein strikt monotoner, stetiger, beschränkter Operator ist. Also ist A 1 nach Lemma 2.6 (i) pseudomonoton. Aufgrund von Lemma 2.17 ist A 2 ein stark stetiger, beschränkter Operator. Lemma 2.6 (ii) besagt, dass somit A 2 pseudomonoton ist. Insgesamt ist also A 1 + A 2 ein beschränkter pseudomonotoner Operator, der aufgrund von Lemma 2.22 auch koerziv ist. Lemma 1.27 liefert b X. Die Behauptung folgt nun sofort aus Satz 2.1. Bemerkungen. (i) Der Fall p d kann analog behandelt werden. In diesem Fall fällt die obere Schranke für r weg, d.h. alle r [1, ) sind zulässig. Allerdings muß man bei den Einbettungssätzen Fallunterscheidungen durchführen, die die obigen Rechnungen weiter verkompliziert hätten.

35 3.2 Pseudomonotone Operatoren 85 (ii) Die Funktion g(t) = s t, s >, wird von vorherigen Satz nicht abgedeckt, da g nicht die Bedingung (2.23) erfüllt. Für p 2d d+2 gilt die Einbettung W 1,p () L 2 () und somit kann man die Koerzivität von A 1 + A 2 wie folgt nachweisen: A 1 u + A 2 u, u u X = u p 1 L p s u 2 L 2 u L p u p 1 L p s c u L p, wobei c die Einbettungskonstante von W 1,p () L 2 () ist. Die rechte Seite strebt gegen Unendlich falls entweder p > 2 oder p = 2 und s c < 1. Somit ist A 1 + A 2 koerziv und man kann wie im Beweis von Satz 2.26 vorgehen Die stationären Navier Stokes Gleichungen Die stationären Navier Stokes Gleichungen lauten 2 u + [ u]u + p = f in, div u = in, u = auf, (2.27) wobei R 3 ein beschränktes Gebiet mit Lipschitz stetigem Rand ist. Diese Gleichungen beschreiben die stationäre Strömung einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit. Es ist u = (u 1, u 2, u 3 ) : R 3 die Geschwindigkeit, p : R der Druck und f : R 3 eine äußere Kraft. Der Term [ u]u wird oft Wirbelterm genannt. Der Druck kann aus der Gleichungen (2.27) nur bis auf eine Konstante bestimmt werden. Deshalb ist es möglich eine weitere Bedingung an p zu stellen, wobei wir uns der Einfachheit halber für p dx = entscheiden. Wir setzen X := {ϕ ( W 1,2 () ) 3 div ϕ = }. (2.28) Dies ist offensichtlich ein linearer Teilraum von ( W 1,2 () ) 3, den wir mit der Norm u X := u (L2 ()) 3 3 (2.29) versehen. Wir definieren für alle u, ϕ X und p L 2 () mit p dx = 2 Wir benutzen die Notation [ u]u := ( 3 u j ( ju i ) ) i=1,2,3 j=1

36 86 3 Die Theorie monotoner Operatoren A 1 u, ϕ := u ϕ dx, A 2 u, ϕ := [ u]u ϕ dx, P, ϕ := p, ϕ := p div ϕ dx =, b, ϕ := f ϕ dx. (2.3) Offensichtlich ist die Operatorgleichung A 1 u+a 2 u = b äquivalent zur schwachen Formulierung von Problem (2.27), d.h. für alle ϕ X gilt u ϕ dx + [ u]u ϕ dx = f ϕ dx. (2.31) Wir überprüfen nun, dass die Operatoren A 1, A 2, und b wohldefiniert sind, und dass der Operator A 1 + A 2 die Voraussetzungen von Satz 2.1 erfüllt Lemma. Unter den obigen Voraussetzungen an ist der in (2.28) definierte Raum X, versehen mit der Norm (2.29), ein reflexiver, separabler Banachraum. Beweis. Zuerst zeigen wir, dass der Raum X, definiert in (2.28), ein abgeschlossener Teilraum von ( W 1,2 () ) 3 ist. Sei (un ) X eine Folge mit u n u in ( W 1,2 () ) 3 (n ). Daraus folgt insbesondere, dass un u in ( L 2 () ) 3 3 (n ). Daher gibt es eine Teilfolge mit unk u fast überall (k ). Wir erhalten also für fast alle x div u(x) = tr u(x) = lim k tr u n k (x) =, d.h. u X. Da ein abgeschlossener Teilraum eines Banachraumes wieder ein Banachraum ist, haben wir also bewiesen, dass X ein Banachraum ist. Außerdem ist ein abgeschlossener Teilraum eines reflexiven Banachraumes wieder reflexiv (cf. Lemma A.7.4 (i)). Da ( W 1,2 () ) 3 separabel ist, ist auch der Teilraum X ( W 1,2 () ) 3 separabel (cf. Satz A.7.4 (vi)) Lemma. Unter den obigen Voraussetzungen an und mit X, definiert in (2.28), ist der Operator A 1 : X X linear, stetig, koerziv, strikt monoton und beschränkt. Beweis. Offensichtlich ist A 1 linear. Der Operator A 1 : X X ist eine vektorwertige Variante des Operators A : W 1,2 () (W 1,2 ()) in Lemma 1.27 mit p = 2 und s =. Da X ein abgeschlossener Teilraum von ( W 1,2 () ) 3 ist folgt sofort

37 3.2 Pseudomonotone Operatoren 87 A 1 : X ( W 1,2, () ) 3 (( W 1,2 () ) 3) X, da die Restriktion eines Funktionals, das auf ( W 1,2, () ) 3 definiert ist, auf den Teilraum X natürlich ein Funktional auf X ist. Die fehlenden Behauptungen folgen somit sofort aus Lemma 1.27 und Lemma Lemma. Der Operator A 2 definiert in (2.3) ist ein stark stetiger, beschränkter Operator von X nach X. Beweis. 1. Für alle u, ϕ X gilt: A 2 u, ϕ u u ϕ dx ( ) 1 ( u 4 4 dx c u 2 L 2 ϕ X, ) 1 ( ϕ 4 4 dx ) 1 u 2 2 dx denn X ( L 4 () ) 3 (cf. Satz A.12.24). Aus der Abschätzung folgt sowohl A 2 u X und damit A 2 : X X, als auch die Beschränktheit von A A 2 ist stark stetig: Sei (u n ) X eine Folge mit u n u (n ). Aus der kompakten Einbettung X ( L 4 () ) 3, erhalten wir für eine Teilfolge u nk u in ( L 4 () ) 3 (k ). Da die weitere Argumentation wieder für alle konvergenten Teilfolgen gilt, bezeichnen wir obige Teilfolge wiederum mit (u n ). Wir werden zeigen, dass gilt: A 2 u n A 2 u X = sup A 2 u n A 2 u, ϕ ϕ X ϕ 1 (n ). Nehmen wir an, dies gelte nicht. Also existiert ein ε > und Elemente ϕ n X, ϕ n 1, so dass für alle n N gilt: A 2 u n A 2 u, ϕ n ε. Da die Folge (ϕ n ) beschränkt ist, gibt es eine Teilfolge (ϕ nk ) mit ϕ nk ϕ in X (k ), und ϕ nk ϕ in L 4 () (k ). Für diese Teilfolge, im Folgenden mit (ϕ n ) bezeichnet, gilt: A 2 u n A 2 u, ϕ n = [ u n ]u n ϕ n [ u]u ϕ n dx = [ u n ](u n u) ϕ n + [ (u n u)]u (ϕ n ϕ) + [ (u n u)]u ϕ dx

38 88 3 Die Theorie monotoner Operatoren Somit erhalten wir A 2 u n A 2 u, ϕ n u n u L 4 u n L 2 ϕ n L 4 + u L 4 (u n u) L 2 ϕ n ϕ L 4 + [ (u n u)]u ϕ dx C u n u L 4 + C ϕ n ϕ L 4 + [ (u n u)]u ϕ dx (n ), da die Folge u n L 2 beschränkt ist (cf. Lemma.3 (i)), u n u in ( L 4 () ) 3 (n ), un u in ( L 2 () ) 3 3 (n ) und ϕn ϕ in ( L 4 () ) 3 3 (n ). Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme. Damit folgt A 2 u n A 2 u (n ), d.h. A 2 ist stark stetig auf X Satz. Sei R 3 ein beschränktes Gebiet mit Lipschitz stetigem Rand. Dann gibt es zu jedem f (L 2 ()) 3 ein u X, wobei X in (2.28) definiert ist, so dass u die Navier Stokes Gleichungen (2.27) im schwachen Sinne löst, d.h. (2.31) gilt. Beweis. Der RaumX ist aufgrund von Lemma 2.32 ein separabler und reflexiver Banachraum. Aufgrund der Lemmata 2.33, 2.34 und 2.6 ist der Operator A 1 + A 2 : X X beschränkt und pseudomonoton. Es bleibt zu zeigen, dass A 1 + A 2 auch koerziv ist. Für alle u X haben wir: A 2 u, u = = 3 i,j=1 u j ui u i dx = x j div u u 2 2 dx =, 3 j=1 u j ( ) u 2 dx x j 2 da für u X gilt div u =. Da A 1 koerziv ist (cf. Lemma 2.33), ist also insgesamt A 1 +A 2 koerziv auf X 3. Mit denselben Argumenten wie in Lemma 1.27 erhält man b (( W 1,2 () ) 3) X, sofern f (L 2 ()) 3. Satz 2.1 liefert die Behauptung des Satzes. Bisher haben wir die Existenz einer Geschwindigkeit u gezeigt, die (2.31) erfüllt. Um auch einen Druck p zu finden, so dass für alle ϕ (W 1,2 ()) 3 gilt: 3 Die Koerzivität ist die einzige Eigenschaft, die nur auf X und nicht auf ( W 1,2 () )3 gilt. Zum Beweis der anderen Eigenschaften benötigen wir die Bedingung div u = nicht.