Übungen zur Theoretischen Physik Fa WS 17/18

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1 Karlsruher Institut für echnologie Institut für heorie der Kondensierten Materie Übungen zur heoretischen Physik Fa WS 17/18 Prof Dr A Shnirman Blatt 1 PD Dr B Narozhny Lösungsvorschlag 1 Landau-Niveaus: a) Schreiben Sie die Schrödinger-Gleichung 1 ˆp x + eh ) ] m c y + ˆp y + ˆp z ψ = Eψ b) Leiten Sie eine Gleichung für die Funktion χy) her Die Eigenfrequenz: χ + m Das Zentrum der Schwingung: c) die Eigenenergien Energieniveaus des Oszillators: ) E p z m ] m ωhy y 0 ) χ = 0 ω H = e H mc = µ BH y 0 = c p x eh E = ω H n + 1 ) Die Landau-Niveaus: E = ω H n + 1 ) + p z m d) Warum sind die Landau- Niveaus entartet? Finden Sie den Entartungsgrad Die Entartung: die Landau-Niveaus sind unabhängig von p x! Der Mittelpunkt y 0 muss innerhalb von der Fläche L x L y liegen: 0 y 0 L y

2 Deswegen, die p x -Werte gehören zu einem begrenzten Interval p x = eh c L y Die Zahl der möglichen Werte im Interval p x ist N px = L x π p x Deswegen der Entartungsgrad der Landau-Niveaus ist N = ehs π c, S = L xl y Landau-Diamagnetismus in D: hohe emperaturen: a) Finden Sie die Einteilchenzustandssumme Z 1 in Bezug auf den Bohrschen Magneton µ B = e /m) und die thermische Wellenlänge λ Die Einteilchenzustandssumme ist Z 1 = {α} e Eα/ Die Mikrozustände {α} sind durch die Quantenzahlen n und p x = 1) {α} {n, p x }, E α = ω H n + 1 ) charakterisiert Die kanonische Einteilchenzustandssumme ist dann Z 1 = exp ω H p x n + 1 )] Da die Zustände mit unterschiedlichen p x entartet sind, können wir die Summe über p x direkt auswerten, die ergibt den Entartungsfaktor Z 1 = ehl xl y πc Mit λ = π/m ) erhalten wir exp ω H n + 1 )] = ehl xl y πc Z 1 = L xl y λ ω H / ) sinhω H / )] e ω H/ ) 1 e = ehl xl y ω H/ 4πc 1 sinh ω H

3 b) Bestimmen Sie die Magnetisierung Die Zustandssumme faktorisiert, deshalb ist die freie Energie F = ln Z = N ln Z 1 + ln N! Wir setzen Z 1 ein und berücksichtigen nur erme, die zur Magnetisierung beitragen: F = N ln µ BH Daraus ergibt sich die Magnetisierung ) F M z = = N H H V, + N ln sinh µ BH + Nµ B coth µ BH < 0 Das bedeutet dass die Magnetisierung dem in positive z-richtung zeigenden Feld H entgegengerichtet ist Die spinlosen Elektronen verhalten sich also diamagnetisch 3 Magnetismus des zwei-dimensionalen Fermigases: a) Schreiben Sie das großkanonischen Potential Ω als die Summe über n Berücksichtigen Sie auch die Spinentartung Das großkanonische Potential Ω = λ ln 1 + e βµ ɛ λ) ) Die Mikrozustände sind durch n bezeichnet Man muss auch die Spinentartung ) und die Entartung der Landau-Niveaus bemerken Deswegen: N n Dann λ Ω = ehl xl y πc ln 1 + e ] µ ω Hn+1/)]/ b) Leiten Sie den foldgenden Ausdruck her Ω = µ B H und finden Sie die Funktion fµ n ) fµ n ), µ B = e mc, Ω = µ B H L xl y λ ln 1 + e ] µ ω Hn+1/)]/ = µ B H fµ n ),

4 mit Deswegen µ n = µ n + 1)µ B H fµ) = L xl y λ ln 1 + e µ/ ] c) Zeigen Sie, dass Ω als geschrieben werden kann Ω = Ω 0 µ) 1 6 µ BH Ω µ Die Summationformel: Dann F n + 1 ) 0 dxf x) F 0) Ω = µ B H 0 = dxfµ µ B Hx) + µ BH 4 µ dxfx) µ BH) 4 fµ) µ Das erste Glied ist unabhängig vom Magnetfeld Deswegen Ω = Ω 0 µ) 1 6 µ BH Ω 0 µ n fµ µ BHn) d) Finden Sie einen Ausdruck für die Suszeptibilität Die Suszebilität ist χ dia = µ B 3 Ω µ Vergleichen Sie die erhaltene Suszeptibilität mit der Pauli-Suszeptibilität, die Sie in der Vorlesung kennengelernt haben: ) N χ P = µ B µ,v Bemerken Sie, dass N = ) Ω µ,v

5 Es folgt: χ dia = 1 3 χ P Was ist die gesamte Suszeptibilität des Elektrongases? Ist das Gas para- oder diamagnetisch? Die gesamte Suszebilität: χ = χ dia + χ P = 3 χ P Das Gas ist paramagnetisch