Thermodynamik und Statistische Physik

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1 Institut für Theoretische Physik Prof. R. Schmi Dr. J. Weißbarth Thermodynamik und Statistische Physik WS / 6. Übung 7.Woche: Betrachtet werde ein Neutronenstrahl wechselwirkungsfreie Spin-/-Teilchen. Bestimmen Sie den Dichteoperator sowie die Dichtematrix in der Basis der Eigenzustände χ ± zu ˆσ z ˆσ x, ˆσ y, ˆσ z - Pauli- Matrizen für die Fälle: a Alle Spins seien in +x-richtung polarisiert. b Die Spins seien je zur Hälfte in ±x-richtung polarisiert. Diskutieren Sie das Ergebnis! c Alle Spins sind in der Raumrichtung e sin ϑ cos φ e x + sin ϑ sin φ e y + cos ϑ e z polarisiert. d Die Spins seien über alle Raumrichtungen gleich verteilt polarisiert. e Nun seien % der Spins in +x-richtung, 3% in +y-richtung polarisiert und die restlichen Spins seien vollkommen unpolarisiert. Berechnen Sie in diesem Makrozustand Erwartungswerte und Schwankungen für Messungen der Spinobservablen Ŝx, Ŝy, Ŝz. Hinweis: Ergebnisse aus Quantentheorie und von 5.Übung/Aufgabe 6. nutzen.. Bestimmen Sie die Entropie des Spin-/-Gemisches, das durch den Dichteoperator ˆϱ { } + n ˆ σ siehe 5.Übung/6.Aufg. beschrieben sei. Diskutieren Sie die Abhängigkeit von n; betrachten Sie insbesondere reine und vollkommen unpolarisierte Zustände. Hinweis: Bei Entropieberechnung Eigenzustände von ˆϱ aus 5.Übung/Aufgabe 6.b benutzen. 3. Zeigen Sie, dass unter der Zeitentwicklung des Dichteoperators ˆϱ gemäß von-neumann-gleichung a die Spur sowie die Eigenwerte von ˆϱ zeitunabhängig sind; b die Entropie S k Spˆϱ ln ˆϱ eine Erhaltungsgröße ist.. Die Liouville-Gleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte ϱt im Phasenraum lautet: ϱ + V ϱ R bzw. ϱ {H, ϱ}, mit: Zustandsvektor im Phasenraum Rt q t,..., q f t; p t,..., p f t, Geschwindigkeitsvektor im Phasenraum V t q,..., p f, Nablaoperator im Phasenraum R q,..., Poisson-Klammern {H, ϱ} f i H q i p f ϱ p i H p i ϱ q i. Leiten Sie diese Gleichung her, indem Sie für die Wahrscheinlichkeit P t d ϱt, das System in einem beliebigen endlichen festen zeitunabhängigen Phasenraumvolumen zu finden, eine Bilanzgleichung aufstellen. Hinweis: Man beachte die Analogie zur Ladungs- bzw. Massenerhaltung im 3-dimensionalen Raum; die dabei verwendeten Argumentationen lassen sich problemlos auf den f-dimensionalen Phasenraum übertragen. Zeigen Sie, dass R V gilt und dass daraus die Invarianz des materiellen Phasenraumvolumens t im Zeitablauf folgt vgl. inkompressible Flüssigkeit; d.h., dass sich die Größe eines Volumens, dessen Punkte sich gemäß der Hamilton schen Gleichungen bewegen, im Zeitablauf nicht ändert Liouville scher Satz.,

2 Institut für Theoretische Physik Prof. R. Schmi Dr. J. Weißbarth Thermodynamik und Statistische Physik WS / Lösung zur 6. Übung. Vorbemerkung s.a. 5.Ü/6. Pauli sche Spinmatrizen: ˆσ i Ŝi, mit den Spinoperatoren Ŝi i,, 3 bzw. x, y, z; da sie Eigenwerte ± haben und wegen Drehimpulsvertauschungsrelationen gilt ˆσ j j, [Ŝj, Ŝk] i ε jkl Ŝ l [ˆσ j, ˆσ k ] i ε jklˆσ l Daraus folgen die Eigenschaften s. Quantentheorie : [ˆσ i, ˆσ j ] + ˆσ iˆσ j + ˆσ j ˆσ i δ ij, ˆσ iˆσ j δ ij + i ε ijkˆσ k, ˆσ xˆσ y ˆσ z i, Sp ˆσ i i ˆσ z -Darstellung der ˆσ i lautet s. Quantentheorie : ˆσ z, ˆσ x, ˆσ y i i 3 zugehörigen Eigenzustände in ˆσ z -Darstellung sind: ˆσ z χ m m χ m m ±, χ + χ ˆσ x χ x m m χ x m m ±, χ x ± χ + ± χ ± ˆσ y χ y m m χ y m m ±, χ y ± χ + ± i χ ±i 5 6 In dieser Aufgabe werden wechselwirkungsfreie Neutronen betrachtet; die Messungen der Observablen Spinkomponente erfolgt somit an identisch präparierten unabhängigen einzelnen Teilchen des Ensembles Neutonenstrahl ; der Zustand der einzelnen Teilchen soll durch einen Dichteoperator beschrieben werden. Aus 5.Ü/6. ist Darstellung des Dichteoperators eines Spin-Systems durch Polarisationsvektor n und Polarisation Π n bekannt: ˆϱ { } 3 + n ˆ σ ϱ mn χ m ˆϱ χ n + nz n x in y 7 n x + in y n z a reiner Zustand ˆϱ χ x + χx + 5 χ + χ + + χ χ + χ + χ + χ χ + Dichtematrix in ˆσ z -Darstellung: ϱ mn χ m χ x + χx + χ n, mit m, n ±; 5 ϱ ϱ ϱ ± ± χ ± χ x + χx + χ ± ϱ ± χ ± χ x + χx + χ ϱ mn Vergleich von 8 mit 7 n e x, Π n vollständige Polarisation, reiner Zustand. Es gilt auch ˆϱ ˆϱ, wie es für reinen Zustand sein muss. 8

3 b gemischter Zustand: ˆϱ χx + χx + + χx χx 5 { } χ + χ + + χ χ 9 Dichtematrix in ˆσ z -Darstellung: ϱ mn χ m ˆϱ χ n, mit m, n ±; 5 ϱ mn 7 n, Π Zustand vollständig unpolarisiert; wie es sein muss gilt: ˆϱ ˆϱ Dichteoperator 9 auch so interpretierbar, als ob je die Hälfte der Spins in ±z-richtung polarisiert sei Dichteoperator legt Mikrozustände nicht eindeutig fest, wohl aber eindeutig den Makrozustand, dieser ist für beide Polarisationsbeschreibungen äquivalent. c reiner Zustand Zur Angabe von ˆϱ in ˆσ z -Darstellung wird Eigenzustand χ e +, d.h. Eigenzustand zu e ˆσ in ˆσ z- Darstellung benötigt: Eigenwertproblem zu e ˆσ: e ˆσ χ e m m χ e cos ϑ e iφ sin ϑ m mit e ˆσ 3 e iφ sin ϑ cos ϑ und cos ϑ m e iφ sin ϑ a e iφ m ±, b sin ϑ cos ϑ m b ± Normierung a ± + b ± cos ϑ a ± sin a ± cos ϑ/ ± sin ϑ/ ϑ sin ϑ/ cos ϑ/ χ e m a b ± cos ϑ sin ϑ a + cos ϑ/, a sin ϑ/ mit willkürlich wählbarem Phasenfaktor folgt: a + e iφ/ cos ϑ/, a e iφ/ sin ϑ/ χ e +e iφ/ cos ϑ/ +, χ e χ e + e iφ/ cos +e +iφ/ sin ϑ/ ϑ χ + + e +iφ/ sin Dichteoperator in ˆσ z -Darstellung: +e iφ/ sin ϑ/ e +iφ/ cos ϑ/ e iφ a ± ϑ χ ˆϱϑ, φ χ e + χ e + cos ϑ χ + χ + +sin ϑ χ χ + } {e sin ϑ iφ χ + χ +e +iφ χ χ + 3 Dichtematrix: ϱ mn ϑ, φ e iφ sin ϑ cos ϑ eiφ sin ϑ sin ϑ + cos ϑ e iφ sin ϑ e iφ sin ϑ cos ϑ ˆϱϑ, φ { + eϑ, φ ˆ σ } n e, Π vollständige Polarisation ˆϱ χ e + χe + χe + χe + χe + χe + ˆϱ reiner Zustand

4 d Gleichverteilung der Spins über alle Richtungen Mittelung von 3 bzw. über gesamten Raumwinkel ˆϱ π dφ dϑ sin ϑ ˆϱϑ, φ Dazu werden folgende Integrale benötigt: π π π π ˆϱ π dϑ sin ϑ cos ϑ dϑ sin ϑ sin ϑ dφ e ±iφ χ + χ + + χ χ dϑ sin ϑ ϑ cos3 dϑ cos ϑ ϑ sin3 ϱ mn dζ ζ 3 dζ ζ 3 Subst.: ζ cos ϑ Subst.: ζ sin ϑ n, Π 5 Dichteoperator 5 für Gleichverteilung aller Spins identisch mit Dichteoperator 9 für gleichverteilte Polarisation in ±x-richtung, was - wie in b diskutiert - identisch ist mit gleichverteilter Polarisation in ±z-richtung. Dichteoperator beschreibt nicht die Mikrozustände, sondern nur den Makrozustand eindeutig; alle drei diskutierten Makrozustände sind identisch - beschrieben durch denselben Dichteoperator e gemischter Zustand mit ˆϱ χx + χx χy + χy + + C C ermitteln aus! Spˆϱ C C ˆϱ χx + χx χy + χy + + 8,6 ϱ mn 3i + 3i n e x e y Π.36 teilweise Polarisation Erwartungswerte aus: Â SpˆϱÂ ; { 3i + 3i ˆσ z Sp ˆϱˆσ z Sp ˆσ z Sp ˆϱˆσ z Spˆϱ Ŝz ˆσ x Sp ˆϱˆσ { 3i x Sp + 3i ˆσ x Sp ˆϱˆσ x Spˆϱ Ŝx ˆσ y Sp ˆϱˆσ { 3i y Sp + 3i ˆσ y Sp ˆϱˆσ y Spˆϱ Ŝy mit 6 und 3, wird: } Ŝz i i S z } 5 S x 6 5 } 6 S y Ŝx 9 Ŝy 3 6 3

5 . Dichteoperator: ˆϱ { + n ˆ σ } ; zugehörige Entropie gemäß: S k Sp ˆϱ ln ˆϱ k k φ k ˆϱ ln ˆϱ φ k Berechnung mittels Eigenzuständen von ˆϱ ˆϱ durch Eigenwerte s. 5.Ü/6b λ / ± n / ersetzen; wegen Positivität des Dichteoperators gilt n. S k { } + n ln + n + n ln n S n diskutieren für n : ds d n k n ln + n ; d S d n k n S n Sx Maximum bei n bei verschwindender Polarisation Π geringste Information über Spinorientierung, da alle Orientierungen gleichwahrscheinlich; Maximum hat den Wert: S n k ln k ln Ω mit Ω n Mit wachsendem n nimmt Entropie monoton ab bis S n Einmünden der Entropie mit senkrechter Tangente; hier ist Polarisation Π vollständige Polarisation des Gemisches - reiner Zustand, keinerlei Unsicherheit über Spinrichtung. 3. Zeitentwicklung des Dichteoperators ˆϱ r P r ψ r ψ r mit P r zeitunabhängig wenn System zu t in ψ r ist, bleibt es für alle t in ψ r ; Zeitabhängigkeit von ˆϱ durch Zeitentwicklung der Zustände ψ r entsprechend Systemdynamik, d.h. gemäß Schrödinger-Gleichung i ψ r Ĥ ψ r bzw. i ψ r ψ r Ĥ 7 von-neumann-gleichung s. Vorlesung/Skript: ˆϱ i [Ĥ, ˆϱ] oˆϱ dˆϱ da für Observable allg. gilt: o  i  [Ĥ, Â] + 8 a Spurbildung mit beliebigem VON φ n könnte auch zeitabhängig sein: d Sp ˆϱ d φ n ˆϱ φ n n { ˆϱ } φ n ˆϱ φ n + φ n ˆϱ φ n + φ n φ n mit 7 und 8 folgt: n φ n [ˆϱ, i Ĥ] + [Ĥ, ˆϱ] φn i Sp [ˆϱ, Ĥ] + [Ĥ, ˆϱ] n d Sp ˆϱ q.e.d. Bem.: In vorletzter Zeile verschwindet auch jeder Summand einzeln! - s. 5.Ü/3.d Einfacher ist Beweis sofort mit zeitunabhängigem VON erbracht; möglich, da Spur unabhängig vom verwendeten VON - s. 5.Ü/3.a; Außerdem zu lösen über Zeitableitung eines Erwartungswertes, s.u.

6 Eigenwertproblem des Dichteoperators: ˆϱ ϕ m ϱ m ϕ m 9 ϱ m ϕ m ˆϱ ϕ m dϱ m dϱ m d ϕ m ˆϱ ϕ m 8 dˆϱ ϕ m ϕ m mit Operator der zeitlichen Änderung der Observablen ˆϱ : ϕ m [Ĥ, ˆϱ] + i i [ˆϱ, Ĥ] ϕm o ˆϱ dˆϱ ˆϱ + i [ˆϱ, Ĥ] q.e.d. b Schwierigkeiten mit Logarithmus eines Operators umgehen Spurbildung mit Eigenzuständen von ˆϱ aus 9 möglich, wegen 5.Ü/3.a; beachten: Funktion eines Operators hat dieselben Eigenzustände wie Operator und ihre Eigenwerte sind gleich der Funktion der Eigenwerte des Operators Beweis durch Reihenentwicklung. k ds Diskussion: d Sp ˆϱ ln ˆϱ d ϕ m ˆϱ ln ˆϱ ϕ m d ϕ m ϱ m ln ϱ m ϕ m d m m ϱ m ln ϱ m ds q.e.d. Ergebnis anschaulich klar: Entropie nur durch Wahrscheinlichkeiten im Dichteoperator bestimmt; von-neumann-gleichung beschreibt Zeitentwicklung des Dichteoperators infolge Zeitentwicklung der Zustände durch Systemdynamik bei konstanten Wahrscheinlichkeiten Entropie sollte daher konstant sein. Bemerkung zur direkten Differenziation: Betrachte zunächst:  ln  + ln  ln ln  ln  Beachten: jeder Vektor φ des Hilbert-Raums ist Eigenvektor des Einsoperators zum Eigenwert ist: φ φ ln φ ln φ φ ln Logarithmus des Einsoperators verschwindet. d ln  ln Ât + t ln Ât lim t t [ ln Ât + t  t dâ lim t lim t ln Ât + ln t lim t Nun betrachten: [ ln Ât + t dâ ] + t  t dâ t ln Ât ln Ât t m ] ln Ât mit ln + x x ±..., falls x < d ln   t dâ übliche Verhalten wie bei c-zahl-funktionen; aber Operatorreihenfolge beachten. Spurbildung mit zeitunabhängigem VON ds k d Spˆϱ ln ˆϱ Sp d dˆϱ ˆϱ ln ˆϱ Sp ln ˆϱ + ˆϱ d [ ] dˆϱ 8 ln ˆϱ Sp + ln ˆϱ natürlich dasselbe Ergebnis wie oben. 5

7 . Gesamtwahrscheinlichkeit - Erhaltungsgröße Normierung! keine Erzeugung und Vernichtung von Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeit P innerhalb des festen Phasenraumvolumens kann sich nur dadurch ändern, dass Wahrscheinlichkeit aus Oberfläche von herausfließt: P d ρ d S ρ V d S ρ V, wobei im letzten Integral über Oberfläche von zu integrieren ist; Größe hinter Integralzeichen ist die pro Zeiteinheit durch ds ausfließende Wahrscheinlichkeit. Gauss scher Satz unabhängig von Dimensionszahl gültig liefert: d ρ d R ρ V ρ + R ρ V 3 Kontinuitätsgleichung drückt Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit in lokaler Form aus. Beachten: Divergenz von V verschwindet wegen Gültigkeit der Hamilton schen Gleichungen: ṗ i H q i ; q i H p i R V i q i + p i q i p i i H H q i p i p i q i Produktregel im zweiten Summanden von 3 erste Form der Liouville-Gleichung: ρ + V ρ R Umformung des zweiten Summanden mit Hamilton-Gleichungen und Poisson-Klammern: V ρ R ρ ρ q i + p i q i p i i i zweite Form der Liouville-Gleichung bewiesen. H ρ H ρ {H, ρ} ρ {H, ρ} p i q i q i p i Aus verschwindender Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes R V folgt zeitliche Konstanz jedes materiellen mitbewegten Phasenraumvolumens; denn die Änderung eines solchen geschieht durch Bewegung seiner Oberflächenelemente gemäß: d d S V ds V d R V Liouvillesche Satz der klassischen Mechanik 6