Taylor-Reihe, Zufallsweg in dd, Momente

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1 Polymere I (Physik) Martin Kröger Anhang M This document is copyrighted M.K., Swiss ETH Zurich/CH This copyright is violated upon selling or posting these class lecture notes complexfluids.ethz.ch Taylor-Reihe, Zufallsweg in dd, Momente Taylor-Reihe. Sei f(x) eine skalare Funktion von einer skalaren Variablen. Die Taylor- Entwicklung von f(x) um eine Stützstelle x lautet f(x) (x x ) i f (i) (x ) i (M.1) Hier steht f (i) (x ) für die i-te Ableitung der Funktion f(x) nach seinem Argument x, ausgewertet bei x x. Sei etwas allgemeiner f(x) eine skalare Funktion von mehreren Variablen, die in einem Vektor x zusammengefasst werden. Die Taylor-Entwicklung von f(x) um eine Stützstelle x lautet ganz analog f(x) (x x ) (i) i i f (i) (x ) (M.) Hier sind sowohl (x x ) (i) als auch f (i) (x ) Tensoren i-ter Stufe, und i steht für ein i- faches Skalarprodukt. Konkret ist (x x ) () 1 ein Skalar, (x x ) (1) (x x ) ein Vektor und (x x ) () (x x )(x x ) eine 3 3 Matrix. Entsprechend ist f () (x ) f(x ) ein Skalar, f (1) (x ) f(x)/ x xx ein Vektor (der Gradient von f ausgewertet bei x ), und f () (x ) f (1) (x)/ x xx eine 3 3 Matrix. Ein Beispiel für eine Anwendung von (M.) enthält der folgende Paragraph. Herleitung der Diffusionsgleichung für Zufallsweg. Zur Ableitung der Diffusionsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsverteilung des End-zu-End-Vektor R eines Zufallswegs mit Schritten (Schrittlänge b) im kontinuierlichen Raum schreiben wir zunächst eine rekursive Beziehung auf P (R, ) P (R bu, 1) u (M.3) wobei.. u einen Mittelwert über alle möglichen Einheitsvektoren u bezeichnet. Im zweidimensionalen Raum (d ) kann man einen Einheitsvektor wie folgt schreiben u D e 1 cos φ + e sin φ, φ [, π], (M.4) u 3D e 1 1 z cos φ + e 1 z sin φ + ze 3, φ [, π], z [ 1, 1] (M.5) 15

2 153 am bequemsten. Ebenfalls üblich ist die Wahl u e 1 sin θ cos φ + e sin θ sin φ + e 3 cos θ mit φ [, π] und θ [, π]. Mittelwerte lassen sich dann durch Integrale ersetzen, π D 1... u... dφ, π 3D... u... d u 1 4π 3D... d u 1 4π π 1 1 π π... dzdφ,... sin θdθdφ, (M.6) wobei sich die Vorfaktoren aus der Forderung 1 u 1 ergeben. Beispielsweise ist u () u 1 u 1, u (1) u u u, u () u uu u 1/d, u u u Tr(1/d) 1, und u (3) u uuu u. Hier steht 1 für die d d Einheitsmatrix. Wenden wir nun (M.) mit x (R bu, 1) und Stützstelle x (R, ) auf die noch zu mittelnde Grösse in (M.3) an. P (R bu, 1) ( bu) (i) i P (i) (R, ) i bu(1) R + bu(1) bu R + bu R + b u () R R +... R + b uu R R +... (M.7) weil x x (bu, 1) und weil u () 1. Weitere Terme wie etwa 1 P/ vernachlässigen wir in der Entwicklung, weil 1 und R b angenommen wird. Auf der rechten Seite in (M.7) steht P jeweils für P (R, ). Diese Entwicklung verwenden wir nun in (M.3) und führen die Mittelwertbildung über u gemäss (M.6) aus. Dazu ersetzen wir alle u (i) in (M.7) durch u (i) u. P b u u R + b u u + b uu u R R b 1 M +..., M d R R R + b uu u R R +... (M.8) Das zweifache Skalarprodukt 1 M versteht man am einfachsten, indem man zur Komponentenschreibweise wechselt. Jeder Punkt wird übersetzt in zwei identische, benachbarte Indices. Also 1 M δ µν M νµ 3 3 µ1 ν1 δ µνm νµ 3 µ1 M µµ M µµ Tr(M). Hier ist Tr(M) P/ R µ R µ der Laplace-Operator. Die Diffusionsgleichung lautet also b d R R Kurzform P d R b (M.9) Lösung der Diffusionsgleichung M.9. Wir beginnen mit einem Ansatz P (R, ) Ae cr / R, R b (M.1)

3 154 AHAG M. TAYLOR-REIHE, ZUFALLSWEG I DD, MOMETE und setzen ihn in die Diffusionsgleichung (M.9) ein, wobei wir annehmen, dass c und A nicht von R abhängen. Der Ansatz berücksichtigt, dass P aufgrund von (M.9) nur von R und nicht von R alleine abhängen kann. Die Beziehung R b hatten wir für beliebige Dimensionen d abgeleitet. Einsetzen von (M.1) in (M.9) ergibt (mit Zwischenschritten) [ ] A + car R e cr / R (M.11) b d R ca / R d Re cr, b d R R [ ] b R d R ca d ] [Tr(1) cr R e cr / R (M.1) weil R / R R und R/ R 1. Da (M.11) und (M.1) für alle R identisch sein müssen, falls der Ansatz die Diffusionsgleichung tatsächlich erfüllt, müssen also die folgenden beiden Gleichungen gelten car R c AR d R c d, A ca Ad Tr(1) d, (M.13) (M.14) Während wir c bereits bestimmen konnten, genügt A noch einer Differentialgleichung. Hier kommen wir mit dem Ansatz A (/α) n mit konstanten α und n weiter. Weil A/ (/α) n / nα n n 1 na/, ergibt sich durch Vergleich mit (M.14) also n d/ und A (/α) d/. Wir haben bisher also gezeigt, dass ) d/ P (R, ) e dr / R (M.15) die Diffusionsgleichung erfüllt. Der verbleibende unbekannte numerische Faktor α bestimmt sich durch die ormierungsbedingung der Wahrscheinlichkeitsdichte 1 P (R, ) dr (M.16) Alternativ schreibt man auch d R (D) bzw. d 3 R (3D) statt dr. Zur Berechnung dieses Integrals (M.16) mit (M.15) eignen sich Polar- (D) bzw. Kugelkoordinaten (3D), weil P nur von R und nicht vom Vektor R abhängt. In D bzw. 3D ist dann also (vgl. Anhang L für Gauss sche Integrale) 1 D 1 3D ) ( / e R / R πr dr απ R απ R ) d/ (M.17) d ) ( 3/ e R / R απ R 4πR ) d/ dr (M.18) d Das Ergebnis bleibt auch in höheren Dimensionen unverändert, und wir haben somit α/ berechnet, und die Gleichung (1.9) bestätigt. Die Volumenelemente dr πrdr (D) und dr 4πR dr (3D) kann man sich mithilfe der bekannten Ergebnisse für die Fläche eines Kreises mit Radius R R πrdr πr und Volumen einer Kugel mit Radius R R 4πR dr 4πR 3 /3 recht einfach merken.

4 155 Simulation eines Zufallswegs in D oder 3D. Zur Erzeugung eines zufälligen Einheitsvektors u verwenden wir eine gleichverteilte Zufallszahl φ [, π] (D, Gleichung M.4) bzw. zwei unabhängige gleichverteilte Zufallszahlen φ [, π] und z [ 1, 1] (3D, Gleichung M.5). Den Zufallsweg mit Schritten und Bindungslänge b bauen wir sukzessive aus solchen Einheitsvektoren, mutipliziert mit b, auf. Also sind R i R i 1 + bu die + 1 Koordinaten den Zufallswegs, und als Startpunkt können wir R wählen. Der End-zu-End Abstandsvektor ist R R. Werten wir nun für eine grosse Zahl von Realisierungen von Zufallswegen deren End-zu-End-Abstände R R aus, dann sollte die Wahrscheinlichkeits-Verteilung dieser Abstände, H(R), mit (1.9) kompatibel sein. Hier ist zu beachten, dass (1.9) eine Darstellung für P (R) ist, während wir die radiale Verteilungsfunktion H(R) messen. Das entspricht dem Übergang von R zu seinen Polar- bzw. Kugelkoordinaten. Das Volumenelemnt sagt gerade aus, wieviel Volumen sich bei R befindet. Das gemessene H(R) sollte mit P (R) aus (1.9) also wie folgt zusammenhängen P (R)dR D P (R) πr dr H(R) dr 3D P (R) 4πR dr H(R) dr (M.19) In Klartext, aus dem gemessenen Histogram für Realisierungen R erhält man das sauber normierte H(R) aus der ormierungsbedingung H(R)dR 1, und dieses H(R), dividiert durch πr (D) bzw. 4πR (3D) sollte mit P (R) aus (1.9) übereinstimmen. Für beliebige Dimensionen d gilt H(R) R d 1 P (R). Wahrscheinlichster End-zu-End Abstand R w. Während aufgrund von (1.9) der wahrscheinlichste End-zu-End-Vektor R w ist, ist der wahrscheinlichste End-zu-End- Abstand R w nicht ull (auch nicht in 1D), sondern derjenige Wert, für den H(R) ein Maximum annimmt. D H(R w) π P (R w ) R R w, (M.) 3D H(R w) 4π P (R w ) R 3R w (M.1) Der wahrscheinlichste End-zu-End-Abstand ist demnach R w 1/ R.71 R.71 b im D und R w /3 R.8 b im 3D. Momente der Verteilungsfunktion P (R). Als n-tes skalares Moment der Verteilungsfunktion bezeichnet man R n R n P (R) dr R n H(R) dr (M.) Aufgrund der korrekten ormierungen ist R 1 1. Für das zweite Moment sollte die Simulation R b ergeben. Für den Zufallsweg kann man alle Momente analytisch ausrechnen, weil alle auftretenden Integrale Gauss sche Integrale sind. Und nicht nur deshalb. Schreiben wir (1.9) wie folgt, P (R) ( ) β d/ e βr, β d π R (M.3)

5 156 AHAG M. TAYLOR-REIHE, ZUFALLSWEG I DD, MOMETE Dann gilt β R n P (R) dr d β R n P (R) dr R n+ P (R) dr (M.4) und das n + -te Moment lässt sich aus dem n-ten Moment ausrechnen, R n+ R R n β Rn (M.5) Diese Beziehung gilt in jeder Dimension, weil wir beliebige Volumenelemente unter den Integralen links und rechts in (M.4) einschieben können. Damit haben wir also ohne jeden grösseren Aufwand, und ohne irgendein ein Integral zu berechnen, ausgehend von R b d/β, R 4 R d β β d( + d) 4β + d d R (M.6) und so weiter für R n für alle geraden n. Für alle ungeraden Momente benötigen wir noch das Ergebnis für R. Statt dieses Moment auszurechnen, rechnen wir jetzt das analytische Ergebnis für beliebige Momente in beliebigen Dimensionen mithilfe von (L.4) aus R n R n+d 1 e βr dr RH(R) dr R d 1 e βr dr 1 β (d+n)/ Γ[(d + n)/] 1 β d/ Γ(d/) β n/ Γ[(n + d)/] Γ(d/) (M.7) Hier haben wir ausgenutzt, dass H(R) R d 1 e βr, und den hier nicht näher spezifizierten Vorfaktor dadurch eliminiert, indem wir durch die ebenso falsche ormierung teilen (der Vorfaktor wird in Anhang D. trotzdem noch erwähnt). Γ ist die Gamma- Funktion. Für n und d ist Γ[(n + d)/] Γ() 1! 1 und Γ(d/) Γ(1)! 1 und deshalb, wie erwartet, R 1/β im D.