Th. Risse, HSB: MAI WS05 1

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1 Th. Risse, HSB: MAI WS05 1 Einige Übungsaufgaben zur analytischen Geometrie & linearen Algebra viele weitere Übungsaufgaben mit Lösungen z.b. in Brauch/Dreyer/Haacke, Papula, Stingl, Stöcker, Minorski usw. Disclaimer: diese Übungen stellen ein Angebot dar, das die in der Vorlesung präsentierten und für die Bearbeitung zu Hause vorgesehenen Probleme ergänzt i=(i 1) =?, 7! =?, Koeffizient von x 3 in (3 + x )(1 + x) 5? ( 5 3 ) =?, =?,. Zeige mit vollständiger Induktion n n! für n n 0 (minimales n 0?) 3. Zeige mit vollständiger Induktion n k=0 x k = 1 xn+1 1 x für x 1 4. =?, 0.09 = p/q =?, 7 Es gilt min(a, b) = 1 (a + b b a ). Was ist analog max(a, b) =? () = w (10), 3. (8) = x (10), () = y (10), ABC (16) = z (10) (10) = w (), 1000 (10) = x (16), 1000 (10) = y (8), (10) = z (16) ) = w (), 0.1 (10) = x (16), 0.1 (10) = y (8), 0.1 (10) = z (3) 8. Zeige log b x log a b = log a x durch Potenzieren zur Basis a. 9. Zeige geometrisch cos ϕ + sin ϕ = 1, cos ϕ =?, sin ϕ =?. 10. Zeige a + b + c a + b + c und a b a b a + b. 11. Zeige (a + b)/ (a + b )/, ac + bd a + b c + d 1. auch in Polarkoordinaten (1 + j)(1 + j) =?, + j =?,e πj 1 =?,j 3 =? 13. Polardarstellung von 1 + j, 4 1, 3 j, 1+j 3+4j 14. Welche Mengen sind durch {z C : z = 1} und {z C : z = } beschrieben? skizzieren! Was bedeutet Moivre? Recherchiere ggfls. 15. Es gilt Rz = 1(z + z ). Was ist analog Iz =? Wenn man z 1 mit z erweitert, dann mit welchem Ziel? Führe durch für z +6j, (3 4j)( 1+5j) 3 5j 1+3j 16. Gegeben a = (1, ) und b = (, 3): a + b =?, a b =?, 3 a =?, b =?, 3 a b =?, Jeweils zeichnen! 17. Gegeben die Gerade durch (1, ) und (, 3). Bestimme -Punkte-Form, Parameter-Darstellung und Hesse-Normalform; Zeichnen!

2 Th. Risse, HSB: MAI WS Zeige die Distributivität des Skalar-Produktes bzgl. der Vektoraddition. 19. Welcher Vektor entsteht, wenn man (3, 4) auf e x projiziert? In welcher geometrischen Beziehung stehen (1, 1, ) und (1, 0, 4)? 0. Sind (0, 0, ), (3, 0, 0), (0, 1, 0) linear abhängig oder linear unabhängig? Gib mit Begründung ein Beispiel einer Basis für den IR an, ungleich der kanonischen Basis bestehend aus e x und e y. 1. (1, 0, ) (, 0, 4) =?,Zeige a b = b a und a b = a b ( a b).. Flächeninhalt des Dreiecks mit Eckpunkten A = (1,, 1), B = (1,, 3), C = (3,, 1)? 3. Zeige: b steht auf a b senkrecht. Zeige Graßmann wenigstens für die z-koordinate. 4. Für die Einheitsvektoren e x, e y, e z IR 3 zeige e u e v = δ uv und e x e y = e z, e y e z = e x, e z e x = e y. 5. Gegeben x = (1, 1, 1,, 3), y = (0, 0,, 1, ) IR 5. Berechne x und y sowie ( x, y). 6. Was hat das Skalarprodukt mit der Matrizen-Multiplikation zu tun? 7. Zeige (A + B) T = A T + B T, (ca) T = c(a T ) und (AB) T = B T A T (jeweils für welche Argumente?). Was folgt für die Inverse von A T, was für die von AB? 8. A und B seien Rotationsmatrizen der Ebene. Zeige Kommutativität Was bewirkt die Abb. (x, y) (x, y, 1) für festen Vektor (u, v), u v 1 wenn man (x, y) IR mit (x, y, 1) IR 3 identifiziert? A B E F 30. Seien X = und Y = mit geeigneten Untermatrizen C D G H A, B, C, D und E, F, G, H. Bestimme XY. Wann sind die Untermatrizen geeignet? =?, =?, 4 3 =?, 4 3 =? (Bestimme die Determinanten mit jeweils möglichst geringem Aufwand!) 3. Vektor-Produkt als symbolische Determinante? (Rotation der Ebene) =?? 33. Schnitt von (x, y, z)(,, 3) = 1 mit (x, y, z)(,, 3) =? Hesse?

3 Th. Risse, HSB: MAI WS Verifiziere x = (1, 0, 1), y = (0, 1, 1) und z = (1, 1, ) sind linear abhängig, aber paarweise linear unabhängig! 35. v 1 = (1, 1, 1, 1), v = ( 1, 1, 1, 1), v 3 = (0, 1,, 3), v 4 = (3,, 1, 0) sind Vektoren im IR 4. Sind v 1, v, v 3, v 4 linear abhängig oder linear unabhängig? 36. Lösungsmenge von 3x + 5y 7z + w = 0 und 8x y + z 3w = 1? 37. Lösungsmenge von 9x 8y = 1, 5x + y = 7, x + 1y = 13? 38. Löse 6x 5y 4z = 7, 3x + 4y 7z = 0, x + y + z = (per Gauß, verkettetem Gauß, Stifel, Cramer) a b 39. Berechne, c d , (Gauß, Stifel, Cramer) 40. v 1 = (c, 1,, 3), v = (1, 1, 1, 0), v 3 = (, 1, 0, 1) und v 4 = (3, 0, 1, 1) seien gegeben. Existiert c IR, so daß die vier Vektoren v 1, v, v 3, v 4 IR 4 linear unabhängig sind?

4 Th. Risse, HSB: MAI WS05 4 Lösungen der paar Übungsaufgaben zur analytischen Geometrie und linearen Algebra i=(i 1) = 10 i=1 i = 11 = 55, 7! = 5040, 5 3 = 10, = 13 = Der Koeffizient von x 3 im Polynom (3 + x )(1 + x) 5 = (3 + x ) 5 5 i=0 i x i ist 3 ( 5 3) = 35.. Zeige mit vollständiger Induktion n n! für n n 0 : Induktionsanfang: 3 = 8 > 6 = 3!, 4 = 16 < 4 = 4!; Induktionsschritt: aus der Induktionsvoraussetzung n n! ist die Induktionsbehauptung n+1 (n+1)! herzuleiten. Mit der Induktionsvorausetzung und für n + 1 gilt nämlich n+1 = n n! (n + 1) n! = (n + 1)!. 3. Zeige mit vollständiger Induktion n k=0 x k = 1 xn+1 1 x für x 1. Induktionsanfang: 0 k=0 x k = 1 = 1 x 1 x Induktionsschritt: n+1 k=0 xk = x n+1 + n k=0 x k = x n xn+1 1 x = 1 xn+ 1 x. 4. = , 0.09 = 1/11, 7 min(a, b) = (a + b b a )/ und max(a, b) = (a + b + b a )/ (8) = 19.5 (10), () = 11.5 (10), ABC (16) = 748 (10) (10) = 3E8 (16), 1000 (10) = 1750 (8), (10) = 0.1 (16) (10) = 0.19 (16), 0.1 (10) = (8), 0.1 (10) = 0.00 (3) 8. Zeige log b x log a b = log a x durch Potenzieren zur Basis a oder zur Basis b. Aus b log b x log a b = x log a b = a log a xlog a b = a log a x log a x = b log a x folgt nämlich die Identität der Exponenten. 9. Zeige geometrisch cos ϕ + sin ϕ = 1 (i.e. Pythagoras im Einheitskreis), mit den Additionstheoremen cos(ϕ) = cos (ϕ) sin (ϕ) = cos (ϕ) 1 und sin(ϕ) = sin(ϕ) cos(ϕ). 10. zweimal Dreiecksungleichung a + b + c a + b + c a + b + c und aus a = a b + b a b + b folgt a b a b a + b. 11. (a + b)/ (a + b )/: aus 0 (a b) folgt 1(a + 4 b) 1 (a + b ); ac+bd a + b c + d : aus 0 (ad bc) folgt nämlich a c +acbd+ b d a c + a d + b c + b d. 1. z = 1 + j = e jπ/4 : zz = (1 + j)(1 j) =, + j = e jπ/4 = ± 4 e jπ/8, e πj 1 = 0, j 3 = (j j)j = j = e j3π/ j =± 4 e jπ/8, 4 1=±1, ±j, 3 j = 3 e j3π/ =e jπ/, e j(π/+π/3) = e j7π/6, e j(π/+4π/3) =e jπ/6, 1+j = 1 3+4j j =± e j arctan(/11)/.

5 Th. Risse, HSB: MAI WS {z C : z = 1} ist der Rand des Einheitskreises um den Ursprung, {z C : z = } ist der Rand des Kreises um m = + 0 j C mit Radius ; Moivre bedeutet (cos ϕ + j sin ϕ) n = cos(nϕ) + j sin(nϕ). 15. Rz = (z + z )/, Iz = (z z z )/, 1 also +6j = 3 5j 4+j(18+10) = ( 6 + 7j), (3 4j)( 1+5j) = ( 9 13j)( 4 10j) = j j 10 z = x 1x +y 1 y +j(x y 1 x 1 y ) x +y 16. Sei a = (1, ) und b = (, 3). Dann gilt a + b = (3, 5), a b = (1, 1), 3 a = (3, 6), b = (4, 6), 3 a b = (1, 0). Zeichnen! Auf studentischen Wunsch hier das Bildchen 3 a b a + b b b b a a a 3 a b a b 17. die Gerade durch (1, ) und (, 3) in verschiedenen Darstellungen: -Punkte y = 3 = 1, Parameter etwa (x(t), y(t)) = (1, ) + t(1, 1) für t IR, x 1 1 allgemeine Geradengleichung etwa x y + 1 = 0, Hesse x + y 1 = 0. Auf studentischen Wunsch hier das Bildchen 18. Zeige Distributivität des Skalar-Produktes bzgl. der Vektoraddition, also zu zeigen ist ((c 1 a 1 +c a ) b) = c 1 ( a 1 b)+c ( a b) für c 1, c IR, a 1, a, b IR n. 19. Projektion von (3, 4) auf e x ist ((3, 4) e x ) e x = 3 e x. Wegen ((1, 1, ) (1, 0, 4)) = 0 gilt (1, 1, ) (1, 0, 4).

6 Th. Risse, HSB: MAI WS (0, 0, ), (3, 0, 0) und (0, 1, 0) sind linear unabhängig, da aus a(0, 0, ) + b(3, 0, 0) c(0, 1, 0) = (3b, c, a) = (0, 0, 0) notwendigerweise a = b = c = 0 folgt. Eine Basis für den IR ist z.b. (5, 7) und (11, 13) (Begr.?). 1. v 1 v = (1, 0, ) (, 0, 4) = (0, 0, 0) (korrekt, da v 1 und v linear abhängig). Zeige a b = b a sowie a b = a b ( a b).. Flächeninhalt des Dreieckes mit Eckpunkten A = (1,, 1), B = (1,, 3), C = (3,, 1) ist 1 ((1,, 3) (1,, 1)) ((3,, 1) (1,, 1)) = 1 (0, 0, ) (, 0, 0) = 1 (0, 4, 0) =. 3. b a b, da das Skalar-Produkt verschwindet. Zeige Graßmann wenigstens für die z-koordinate durch Einsetzen. 4. für Basis e i IR 3 rechnet man nach e i e j = δ ij, e 1 e = e 3, e 3 e 1 = e, e e 3 = e x = (1, 1, 1,, 3), y = (0, 0,, 1, ) IR 5. Dann ist x = und damit x = 4; y = und damit y = 3 sowie ( x, y) = arccos x y = arccos 6 = π. x y Die Elemente der Produkt-Matrix sind die Skalarprodukte entsprechender Zeilen der ersten mit Spalten der zweiten Matrix. 7. (A + B) T = A T + B T, (ca) T = c(a T ) und (AB) T = B T A T da nämlich ((AB) T ) ij = (C T ) ij = c ji = n k=1 a jk b ki = n k=1 (B T ) ik (A T ) kj = (B T A T ) ij. Also E = E T = (A A 1 ) T = (A 1 ) T A T und damit (A 1 ) T = (A T ) 1. cos α sin α cos β sin β 8. A = und B = seien zwei Rotationsmatrizen sin α cos α sin β cos β cos(α + β) sin(α + β) der Ebene. Dann gilt AB = = BA. sin(α + β) cos(α + β) (x, y) (x, y, 1) (x, y, 1) = (x + u, y + v, 1) (x + u, y + v): u v 1 Matrix-T. IR IR 3 z=1 IR 3 z=1 IR bewirkt Translation um Vektor (u, v). A B E F 30. Seien X = und Y = mit geeigneten Untermatrizen C D G H AE + BG AF + BH A, B, C, D und E, F, G, H. XY = kann so dargestellt werden, wenn alle Untermatrix-Produkte definiert sind, d.h. mit CE + DG CF + DH passenden Dimensionen der Untermatrizen.

7 Th. Risse, HSB: MAI WS = 0 da erste und zweite Spalte linear abhängig, = = = = 15(1 18) = , weiters 4 3 = ( ) = 0 (Sarrus), = = e x e y e z 3. (a x, a y, a z ) (b x, b y, b z ) = a x a y a z liefert das Vektor-Produkt als sym- b x b y b z cos α sin α bolische Determinante; für Rotationsmatrizen R = gilt sin α cos α R = cos α + sin α = Schnitt der Ebenen (x, y, z)(,, 3) = 1 bzw. in Hesse scher Normalform (x, y, z)(,, 3)/ 15 1/ 15 = 0 mit (x, y, z)(,, 3) = bzw. (x, y, z)(,, 3)/ 15 / 15 = 0 (Hesse) ist die Gerade x = /4 und 4y + 6z = 3 oder g(t) = (, 3, 0)/4 + t(0, 3, ) mit Hesse in y-z- 4x Ebene + 6y = NB: (0, 3, ) und (,, 3) (,, 3) sind kollinear. 34. Die drei Vektoren a = (1, 0, 1), b = (0, 1, 1) und c = (1, 1, ) sind linear abhängig, da a + b c = 0, dagegen sind a, b und c paarweise linear unabhängig (ausführen!). 35. v 1 = (1, 1, 1, 1), v = ( 1, 1, 1, 1), v 3 = (0, 1,, 3), v 4 = (3,, 1, 0) im IR 4 sind linear unabhängig, da aus a v 1 + b v + c v 3 + d v 4 = 0 eben a = b = c = d = 0 folgt. 36. Lösungsmenge von 3x + 5y 7z + w = 0 und 8x y + z 3w = 1 ist x = (5 + 9z + 13w)/46 und y = ( 3 + 6z 17w)/46 für z, w IR. Beachte: es ergibt sich dieselbe Lösungsmenge, wenn man beispielsweise z und w in Abhängigkeit von x und y ermittelt und x, y IR variiert. 37. Lösungsmenge von 9x 8y = 1, 5x + y = 7 und x + 1y = 13 ist x = 1 und y = 1. NB: das LGS ist überbestimmt; das 1-fache der ersten plus das -fache der zweiten ergibt die dritte Gleichung (Determinante der Koeffizienten- Matrix?).

8 Th. Risse, HSB: MAI WS x 5y 4z = 7, 3x + 4y 7z = 0 und x + y + z = mit Lösung x = 8/01, y = 59/01 und z = 64/01 (per Gauß, verkettetem Gauß, Stifel, Cramer) a b d b 39. = c d 1, ad bc = 0 1 0, c a = 1 0 (per Gauß, Stifel, Cramer) v 1 = (c, 1,, 3), v = (1, 1, 1, 0), v 3 = (, 1, 0, 1) und v 4 = (3, 0, 1, 1) seien gegeben. Für jedes IR c 8 sind die vier Vektoren v 1, v, v 3 und v 4 IR 4 linear unabhängig.