Mathematik: Klausuren zur analytischen Geometrie und linearen Algebra

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1 Mathematik: Klausuren zur analytischen Geometrie und linearen Algebra Prof. Dr. Thomas Risse Fakultät Elektrotechnik & Informatik Hochschule Bremen WS 0 Inhaltsverzeichnis Klausur MATH Wiederholer WS05 Klausur MATH WS05 mit Dr. Schmidt-Gröttrup 5 3 Klausur ageo&lalg WS0 8 4 Klausur ageo&lalg WS0 5 5 Klausur ageo&lalg WS Klausur ageo&lalg SS98 7 Klausur ageo&lalg SS Klausur ageo&lalg WS Klausur ageo&lalg SS Klausur ageo&lalg WS94 36 Klausur ageo&lalg SS94b 39 Klausur ageo&lalg SS94a 4

2 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik Klausur MATH Wiederholer WS05 MATH-Wiederholer-Klausur lineare Algebra u.a Name Matrikel Taschenrechner sind nicht zugelassen! Ausschließlich Spickzettel zugelassen! Bloß keine halben Sachen! Leserlich! Es sind mindestens Punkte zu erreichen! 3 j x 9. Lösen Sie 4 0 +j y = 6 j. (5 Pkt) j 3j 5 z 3j. Um Rechenzeit bei der Auswertung des Cosinus zu sparen, werde dieser in [0, π ] durch eine interpolierende Parabel approximiert. Bestimmen Sie also 4 das Polynom zweiten Grades, das den Cosinus in 0, π und π interpoliert. 6 4 Skizze! (6 Pkt) 3. Berechnen Sie sin 5π. (3 Pkt) 4. Der Kreis K r (z 0 ) mit Radius r um z o C sei aufgefasst als Teilmenge von C. Wie lautet die Gleichung dieses Kreises ausgedrückt allein durch r, z, z o und ihre konjugiert Komplexen z und zo? (3 Pkt) 5. Der Ortsvektor des Schwerpunktes s eines Dreiecks ist das arithmetische Mittel der Ortsvektoren seiner Ecken a, b und c. Wo liegen die Ecken des gleichseitigen Einheitsdreiecks (Seiten-Länge, eine Ecke genau nördlich des Schwerpunktes 0) in der Ebene? Skizze! (4 Pkt) 6. Gegeben sei die Folge (a i ) i=0,,,... = (4,,,,,...). Bestimmen Sie a 4 i so, daß Sie auch i=0 a i = lim ni=0 n a i angeben können. ( Pkt) 7. Verifizieren Sie: sinh(i x) = i sin x und cosh(i x) = cos x. (3 Pkt) (Summe 6 Punkte)

3 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 3 MATH-Wiederholer-Klausur Lösungen lineare Algebra u.a j x 9. Lösen Sie 4 0 +j y = 6 j. (5 Pkt) j 3j 5 z 3j für Eliminieren, je für Auflösen 3 j x 9 3 j x 9 Aus 4 0 +j y = 6 j folgt 0 4 y = 8 j und j 3j 5 z 3j z 6j damit z = j, sodann y = und endlich x =.. Um Rechenzeit bei der Auswertung des Cosinus zu sparen, werde dieser in [0, π ] durch eine interpolierende Parabel approximiert. Bestimmen Sie also 4 das Polynom zweiten Grades, das den Cosinus in 0, π und π interpoliert. 6 4 Skizze! (6 Pkt) für c, für verbleibendes Gleichungssystem, für Elimination, für Auflösen, für Skizze Wegen cos 0 = gilt für die interpolierende Parabel p(x) = ax + bx + c π eben c =. Bleibt das lineare Gleichungssystem a + πb = π a + πb = oder 6 4 π a + πb = π π a + πb = zu lösen. Subtraktion liefert ( 4 π 4 6 )a = π a = und so a = sowie b = π π interpolierendes Polynom p(x) cos(x) Berechnen Sie sin 5π. (3 Pkt) Pkt für Additionstheorem, je Pkt für Summanden sin 5π = = sin ( π π ) = sin π = ( + 3) 4 3π π 3π cos +cos sin = sin π cos π +cos π sin π

4 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 4 4. Der Kreis K r (z 0 ) mit Radius r um z o C sei aufgefasst als Teilmenge von C. Wie lautet die Gleichung dieses Kreises ausgedrückt allein durch r, z, z o und ihre konjugiert Komplexen z und zo? (3 Pkt) Pkt für Kreis um z o, Pkt für z = z z, Pkt für Ergebnis Der Kreis K r (z 0 ) C ist gegeben durch K r (z 0 ) = {z C : z z o = r} = {z C : z z o = r } = {z C : (z z o )(z z o ) = r } = {z C : z z z z o z z o + z o z o = r } 5. Der Ortsvektor des Schwerpunktes s eines Dreiecks ist das arithmetische Mittel der Ortsvektoren seiner Ecken a, b und c. Wo liegen die Ecken des gleichseitigen Einheitsdreiecks (Seiten-Länge, eine Ecke genau nördlich des Schwerpunktes 0) in der Ebene? Skizze! (4 Pkt) Pkt für Skizze, Pkt für Winkel, Pkt für Berücksichtigung der Seitenlänge, Pkt für Ecken Die Ecken des gleichseitigen Einheitsdreiecks mit Schwerpunkt im Ursprung, d.h. um 0 sind gegeben durch r e i(π/+n π/3) für n = 0,, und geeignetes r. Der gesuchte Radius r ergibt sich etwa aus = r e i(π/+4π/3) e i(π/+π/3) = r e π/6) e i(π π/6) = r(cos π 6 cos π 6 ) = r 3 zu r = 3 3. Zusammen gilt also a = r e y, b = r( cos π 6, sin π 6) = (, 6 3) und c = r( cos π 6, sin π 6) = (, 6 3). Noch schneller geht es mit etwas Geometrie: y x Die Höhe h im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge ist h = 3. Die Höhen sind zugleich Seitenhalbierende, die sich im Schwerpunkt schneiden, wobei der Schwerpunkt diese im Verhältnis : teilt. Also gilt a = (0, 3 h) = (0, 3 3) und aus Symmetrie- Gründen b = (, 3 h) = (, 6 3) sowie c = (, 3 h) = (, 6 3). 6. Gegeben sei die Folge (a i ) i=0,,,... = (4,,,,,...). Bestimmen Sie a 4 i so, daß Sie auch i=0 a i = lim ni=0 n a i angeben können. ( Pkt) Pkt für a i = 4 ( )i i = 4( ) i, Pkt für geometrische Reihe i=0 a i = 4 i=0 c i = 4 c = 4 3 = Verifizieren Sie: sinh(i x) = i sin x und cosh(i x) = cos x. (3 Pkt) Pkt für Euler, je Pkt pro Verifikation sinh(i x) = (e i x e i x ) = ( cos x + i sin x (cosx i sin x)) = i sin x. cosh(i x) = (e i x + e i x ) = ( cos x + i sin x + cosx i sin x) = cos x. (Summe 6 Punkte)

5 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 5 Klausur MATH WS05 zusammen mit Dr. Schmidt-Gröttrup Klausur MATH Lineare Algebra u.a Name Matrikel Taschenrechner sind nicht zugelassen! Nur ein DIN A4-Spickzettel ist zulässig! Es sind mindestens 5 Punkte zu erreichen.. Lösen( Sie das Gleichungssystem ) A z = b mit der komplex-wertigen ( ) Matrix + 5j A = und dem komplex-wertigen Vektor 3j b =. 3j [5 Punkte]. Die drei Punkte (, ), (, ) und (3, 5) liegen auf einer Parabel. Bestimmen Sie die Koeffizienten der Parabel und die Koordinaten ihres Scheitelpunktes. [8 Punkte] 3. Berechnen Sie cos( 7 π). [3 Punkte] 4. Welche geometrische Figur spezifiziert x x + y + 6y = 6? Geben Sie die Kenngrößen dieser Figur an. [3 Punkte] + s + t 5. p(s, t) = 3 + s + t spezifiziere die Ebene E. Der Punkt p o = p(0, 0) s + t ist ein Punkt der Ebene. Berechnen Sie die beiden Punkte p und p, deren Abstand zu E und insbesondere zu p o gerade beträgt. [4 Punkte] 6. Bestimmen Sie den Grenzwert für n der Reihe, die durch Summation der Folgenglieder a i = i i von i = 0 bis n bestimmt ist. [4 Punkte ] 7. Verifizieren Sie die Formel cosh (x) sinh (x) =. Wie üblich ist dabei cosh (x) = (cosh x) und sinh (x) = (sinh x). [3 Punkte] (max. erreichbare Punkte-Summe 30 Punkte)

6 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 6. Lösen( Sie das Gleichungssystem ) A z = b mit der komplex-wertigen ( ) Matrix + 5j A = und dem komplex-wertigen Vektor 3j b =. 3j Pkt für Inversen Formel, Pkt für Multiplikation mit Zielvektor, Pkt für Division Determinante oder 5 Pkt für Gauss ( ) Am einfachsten A nach Cramer berechnen: A =. A 3j + 5j Diese Matrix ist mit dem Vektor zu multiplizieren und anschließend ( durch ) 4 + j det(a) = A = + j dividieren. Ergebnis ist der Vektor z = j. Die drei Punkte (, ), (, ) und (3, 5) liegen auf einer Parabel. Bestimmen Sie die Koeffizienten der Parabel und die Koordinaten ihres Scheitelpunktes. Pkt für Aufstellung der Gleichungen, 4 Pkt für Lösung, Pkt für Scheitelpunkt Die drei Gleichungen für die Polynom-Koeffizienten lauten a 0 + a + a = ; a 0 + a + 4a = ; a 0 + 3a + 9a = 5. Daraus ergibt sich a 0 =, a = 7, a = 6. Die Parabel lautet also y = 6x 7x +. Quadratische Ergänzung liefert als Scheitelpunkt ( 7; ) Berechnen Sie cos( 7 π). Pkt für Additionstheorem, je Pkt pro Summand Es gilt cos( 7 π) = cos( 3 π + 4 π) = cos( π 4 + π 3 ) = cos π 4 cos π 3 sin π 4 sin π 3 = 3 = 4 ( 3). 4. Welche geometrische Figur spezifiziert x x + y + 6y = 6? Geben Sie die Kenngrößen dieser Figur an. je Pkt für quadratische Ergänzung, Pkt für korrekte Interpretation Aus x x + y + 6y = x x + + y + 6y = 6 folgt x x + + y + 6y + 9 = (x ) + (y 3) = 36. Also beschreibt die Gleichung den Kreis um (, 3) mit Radius 6. + s + t 5. p(s, t) = 3 + s + t spezifiziere die Ebene E. Der Punkt p o = p(0, 0) s + t ist ein Punkt der Ebene. Berechnen Sie die beiden Punkte p und p, deren Abstand zu E und insbesondere zu p o gerade beträgt. je Pkt pro Richtungsvektor, Pkt für Vektor-Produkt, Pkt für Normalisierung, je /Pkt für Vektor-Addition E wird von den beiden Vektoren r = und r = aufgespannt.

7 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 7 e x e y e z 5 n = r r = = 4 ist ein Normalenvektor. Der zugehörige 3 normierte Normalen-Vektor ist n n = n = 5 n. Der Normalen- Vektor n n = n hat also gerade die geforderte Länge. Damit folgt 5 p = p o n n = =. sowie p = p o n n = = Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe, die durch Summation der Folgenglieder a i = i i von i = 0 bis n bestimmt ist. Pkt für Zerlegen, je für Einsetzen in geometrische Summenformel Die Reihe ergibt sich als Summe aus den Folgen b i = i sowie c i = 3 5 i. Beides sind geometrische Reihen: es gilt i=0 b i = = sowie / i=0 c i = 3 = 5. Damit ergibt sich der Grenzwert der Reihe zu 3. / Verifizieren Sie die Formel cosh (x) sinh (x) =. Wie üblich ist dabei cosh (x) = (cosh x) und sinh (x) = (sinh x). / Pkt pro Definition, je für Quadrieren Mit den Definitionen sinh x = (e x e x ) und cosh x = (e x + e x ) gilt cosh (x) sinh (x) = 4(e x + e x ) 4(e x e x ) = 4(e x + + e x ) 4(e x + e x ) = =

8 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 8 3 Klausur ageo&lalg WS0 Klausur Analytische Geometrie & lineare Algebra Name Matrikel-Nr. Bearbeiten Sie Ihre Lieblingsaufgaben! Erreichen Sie 6 Punkte. Taschenrechner sind nicht zugelassen! Wer unsicher ist, führt wo möglich eine Probe durch!. Klassifizieren Sie die Zugehörigkeit von, 5. 9, 0.65 ( j) , r für r = (,,, 3, ) R 5 zu N, Z, Q, R oder C so eng wie möglich. ( Pkt). Wieviele Orangen können Pyramiden-förmig aufgestapelt werden, wenn die unterste Lage Orangen enthält und jede Orange der anderen Lagen auf Lücke der vier Orangen der Lage darunter liegt. ( Pkt) Wie hoch ist die Orangen-Pyramide bei einem Orangen-Durchmesser d? ( Pkt) 3. Berechnen Sie den Flächeninhalt und die beiden normierten Normalenvektoren des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B und C mit den Ortsvektoren a = (,, 3), b = (, 3, ) und c = (,, ). ( Pkt) 4. Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen x + y + 3 z = 3 und 3 x y z = 5 in Parameter-Darstellung, geben Sie die beiden normierten Richtungsvektoren der Geraden und einen Punkt auf der Geraden an. ( Pkt) 4j 5. α β Medium I Medium II Beim Übertritt von Wellen vom ersten Medium mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c ins zweite Medium mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c werden Strahlen gebrochen, so daß sin α = c sin β c für Einfallswinkel α und Ausfallswinkel β gilt. Wie wird der Strahl y = 3 x + mit y > 0 gebrochen, wenn die x-achse die beiden Medien trennt und c = c gilt? Geben Sie die Geradengleichung des gebrochenen Strahls an. (3 Pkt) 6. Seien O mit Ortsvektor o = (o x, o y, o z ), A mit Ortsvektor a = (a x, a y, a z ), B mit Ortsvektor b = (b x, b y, b z ) und C mit Ortsvektor c = (c x, c y, c z ) die Eckpunkte eines Tetraeders T. Wieso ist das Volumen des Tetraeders invariant unter Translationen? d.h. Zeigen Sie algebraisch, daß das Volumen des Tetraeders bei Verschiebungen unverändert bleibt. ( Pkt)

9 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 9 ( ) ( ) 0 b 7. Die Scherungen S x=0 = bzw. S a y=0 = werden im SVG- 0 ( ) ( ) 0 tan β Standard als S x=0 = bzw. S tan α y=0 = dargestellt. Welche (geometrische) Bedeutung haben α bzw. β? (3 0 Pkt) 8. a) Spezifizieren Sie die Spiegelung M = M y=0 an der x-achse (y = 0) auch z z als Abbildung M : R R und stellen Sie sie als Matrix- Transformation dar. ( Pkt) Verifizieren Sie die Bezeichnung. Was bedeutet M M = id R für die Transformationsmatrix? ( Pkt) b) Spezifizieren Sie die Spiegelung M = M y=yo an der Parallelen y = y o zur x-achse und verifizieren Sie die Bezeichnung. ( Pkt) Wieso gibt es keine -Transformationsmatrix für M? ( Pkt) experts: Wie läßt sich M dennoch als Matrix-Transformation darstellen? ( Pkt) c) Spezifizieren Sie die Spiegelung M = M y=x tan α+b an beliebigen Geraden y = x tan α + b (ggfls. zunächst für b = 0) und verifizieren Sie die Bezeichnung. (3 Pkt) experts: Wie läßt sich M als Matrix-Transformation darstellen? ( Pkt) 9. Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Wenn sich das erste 0 mal dreht, dreht sich das zweite 8 mal und das dritte 45 mal. Wieviele Zähne hat jedes Zahnrad? ( Pkt) 0. Interpolieren Sie die drei Punkte (, ), (, 5) und (, 0) durch eine Parabel. ( Pkt).. j j Löse + j + j 3 j j x x x 3 0 = verkettet. + 3 j Invertieren Sie A = c (für welche c möglich?). 3 (3 Pkt) (4 Pkt) (Summe 38 Punkte)

10 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 0 Lösungen Klausur Analytische Geometrie & lineare Algebra Klassifizieren Sie die Zugehörigkeit von, 5. 9, 0.65 ( j) , r für r = (,,, 3, ) R 5 zu N, Z, Q, R oder C so eng wie möglich. ( Pkt) je / pro Fragestellung 4j ( j) = j ( j) 4j = ( j) ( j) = Z, = 3 6 = N, = (9 ). 3 = ( ) = = = Z, r = = 6 = 4 N. Wieviele Orangen können Pyramiden-förmig aufgestapelt werden, wenn die unterste Lage Orangen enthält und jede Orange der anderen Lagen auf Lücke der vier Orangen der Lage darunter liegt. ( Pkt) Wie hoch ist die Orangen-Pyramide bei einem Orangen-Durchmesser d? ( Pkt) Die i-te Lage umfaßt genau i Orangen. Insgesamt enthält die Orangen- Pyramide also n i= i = n(n+)(n+), d.h. für n = eben 3 5 = Orangen. Der Abstand des Mittelpunktes einer kugelförmig angenommenen Orange von den Mittelpunkten benachbarter Orangen ist gerade d. Die Mittelpunkte von vier Orangen in einer Lage und einer weiteren auf Lücke darüber bilden daher eine gleichseitige Pyramide mit quadratischer Grundfläche und Seitenlänge d. Die Höhe h dieser Pyramide fällt mit der Höhe des Dreiecks bestehend aus zwei Seiten d und der Diagonalen d der Grundseite zusammen, d.h. d = h + ( d) oder eben h = d. Zugleich ist h der Abstand zweier Lagen, d.h. der Mittelpunkte der Orangen-Kugeln. Damit ist die gesamte Höhe der Orangen-Pyramide eben d + (n )h + d = d + (n ) d und für n = eben ( + )d. 3. Berechnen Sie den Flächeninhalt und die beiden normierten Normalenvektoren des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B und C mit den Ortsvektoren a = (,, 3), b = (, 3, ) und c = (,, ). ( Pkt) für Normale, / für Flächeninhalt, / für normierte Normalen Etwa p = b a = (, 3, 3) = (, 5, 4) und q = c a = (,, 3) = (, 0, ) spannen das Dreieck auf. Eine e x e y e z 5 Normale ist also n = p q = 5 4 = 9. Der Flächeninhalt 0 0 ist also n = 06 und die beiden normierten Normalenvektoren sind n n = ± n = ± n 06 (5, 9, 0) 4. Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen x + y + 3 z = 3 und 3 x y z = 5 in Parameter-Darstellung, geben Sie die beiden normier-

11 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 5. ten Richtungsvektoren der Geraden und einen Punkt auf der Geraden an. ( Pkt) für Schnittgerade, für Richtungsvektoren und Punkt x + y + 3 z = 3 x + y + 3 z = 3 x + y + 3 z = 3 oder oder 3 x y z = 5 y + 8 z = 4 y + 4 z = 7 liefert mit z = z(t) = t eben y = y(t) = 4 t + 7 und x = x(t) = t + 4 und t + 4 so die Schnittgerade in einer Parameter-Darstellung p(t) = 4 t + 7 = t t 4 = p o + t r. Damit verläuft die Schittgerade durch p o und hat 0 die normierten Richtungsvektoren r n = ± r r = ± +6+ r = ± 6 r. α β Medium I Medium II für α, für β, für Geradengleichung Beim Übertritt von Wellen vom ersten Medium mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c ins zweite Medium mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c werden Strahlen gebrochen, so daß sin α = c sin β c für Einfallswinkel α und Ausfallswinkel β gilt. Wie wird der Strahl y = 3 x + mit y > 0 gebrochen, wenn die x-achse die beiden Medien trennt und c = c gilt? Geben Sie die Geradengleichung des gebrochenen Strahls an. (3 Pkt) Offensichtlich ist y = x tan π + und y = 0 = 3 3 tan π +, also Übertritt 3 in das zweite Medium bei x o = 3. Einfallswinkel ist α = π und daher 3 6 sin β = c c sin α =, d.h. β = π 4 die Steigung tan π = und verläuft durch (x 4 o, 0), d.h. y = x + x o = x für y < 0. und daher hat der gebrochene Strahl = bzw. y 0 x x o 6. Seien O mit Ortsvektor o = (o x, o y, o z ), A mit Ortsvektor a = (a x, a y, a z ), B mit Ortsvektor b = (b x, b y, b z ) und C mit Ortsvektor c = (c x, c y, c z ) die Eckpunkte eines Tetraeders T. Wieso ist das Volumen des Tetraeders invariant unter Translationen? d.h. Zeigen Sie algebraisch, daß das Volumen des Tetraeders bei Verschiebungen unverändert bleibt. ( Pkt) für aufgespannt von, für Gleichung T = T Der Tetraeders T wird aufgespannt von a= OA, b= OB und c= OC. Sei t=(t x, t y, t z ) ein Translationsvektor. Das verschobene Tetraeder T hat

12 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik die Eckpunkte O = o+ t, a = a+ t, b = b+ t und c = c+ t und das Volumen a T = x o x a y o y a z o z a x o x a y o y a z o z b 6 x o x b y o y b z o z = b c x o x c y o y c z o 6 x o x b y o y b z o z = T z c x o x c y o y c z o z ( ) ( ) 0 b 7. Die Scherungen S x=0 = bzw. S a y=0 = werden im SVG- 0 ( ) ( ) 0 tan β Standard als S x=0 = bzw. S tan α y=0 = dargestellt. Welche (geometrische) Bedeutung haben α bzw. β? (3 0 Pkt) für α, für β ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 x Wegen S x=0 x = = ist die y-achse y o tan α y o y o + x tan α unter S x=0 fix und S x=0 überführt die x-achse in die Gerade durch den Ursprung mit Steigungswinkel α und allgemein die Gerade y = y o in die Gerade mit Ordinaten-Abschnitt y o und Steigungswinkel α. ( ) ( ) ( ) ( ) Wegen S y=0 xo tan β xo xo + y tan β = = ist die x-achse y 0 y y unter S y=0 fix und S y=0 überführt die y-achse in die Gerade durch den Ursprung mit Steigungswinkel (β + π) und allgemein die Gerade x = x o in die Gerade mit Abszissen-Abschnitt x o und Steigungswinkel (β + π) (Rollen von x und y vertauschen!). 8. a) Spezifizieren Sie die Spiegelung M = M y=0 an der x-achse (y = 0) auch z z als Abbildung M : R R und stellen Sie sie als Matrix- Transformation dar. ( Pkt) Verifizieren Sie die Bezeichnung. Was bedeutet M M = id R für die Transformationsmatrix? ( Pkt) ( ) ( ) x x M : ist Matrix-Transformation mit Transformationsmatrix y y ( ) 0 M =. Die Fixpunkt-Menge von M ist R, daher die Bezeichnung 0 M = M R ex = M y=0 und Idempotenz der Abbildung heißt M = M M = E jeweils zu verifizieren. b) Spezifizieren Sie die Spiegelung M = M y=yo an der Parallelen y = y o zur x-achse und verifizieren Sie die Bezeichnung. ( Pkt) Wieso gibt es keine -Transformationsmatrix für M? ( Pkt) experts: Wie läßt sich M dennoch als Matrix-Transformation darstellen? ( Pkt) ( ) ( ) ( ) x x x M : = mit y = y y (y y o ) + y o y + y o als Fixgerade. ( ) ( ) ( ) o x a b x a = = d und b = 0 = c, kann also nicht als y + y o c d y

13 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 3 Matrix-Transformation mit -Transformationsmatrix dargestellt werden. x 0 0 x x M : y 0 y o y = y + y o gilt erst bei Verwendung 0 0 sogenannter homogener Koordinaten, d.h. Einbettung des R in den R 3 per (x, y) (x, y, ). c) Spezifizieren Sie die Spiegelung M = M y=x tan α+b an beliebigen Geraden y = x tan α + b (ggfls. zunächst für b = 0) und verifizieren Sie die Bezeichnung. (3 Pkt) experts: Wie läßt sich M als Matrix-Transformation darstellen? ( Pkt) M läßt sich zusammensetzen aus Verschiebung um (0, b), Rotation um α, Spiegelung an der x-achse, Rotation um α sowie Verschiebung um (0, b), ( d.h. ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x cos α sin α x x cos α + (y b) sin α M : = y y b sin α cos α y b x sin α + (y b) cos α ( ) ( ) ( ) x cos α + (y b) sin α cos α sin α x cos α + (y b) sin α = x sin α (y b) cos α sin α cos α x sin α (y b) cos α ( ) ( ) x(cos α sin α) + (y b) cos α sin α x cos(α) + (y b) sin(α) x cos α sin α (y b)(cos α sin. α) x sin(α) (y b) cos(α) + b ( ) ( ) x t Die Punkte der Geraden y = x tan α+b sind etwa durch = y t tan α + b ( ) ( ) x t cos(α)+(t tan α+b b) sin(α) für t R gegeben. Wegen M = = y t sin(α) (t tan α+b b) cos(α)+b ( ) ( ) t(cos α sin α)+ t tan α cos α sin α t(cos t cos α sin α t tan α(cos α sin = α+sin α) α)+b t cos α sin α+t tan α sin = α+b ( ) ( ) t t t tan α(cos α+sin = ist die Gerade y = x tan α + b α)+b t tan α+b Fixgerade von M. Idempotenz von M folgt aus 9. Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Wenn sich das erste 0 mal dreht, dreht sich das zweite 8 mal und das dritte 45 mal. Wieviele Zähne hat jedes Zahnrad? ( Pkt) x + y + z = 80 0 x 8 y = 0 0 x 45 z = 0 oder d.h. y = 5, z = 0 und x = 45. x + y + z = 80 8 y + 0 z = y + 55 z = 800 oder x + y + z = 80 4 y + 5 z = 400, 44 y = Interpolieren Sie die drei Punkte (, ), (, 5) und (, 0) durch eine Parabel. ( Pkt) Jeder Punkt eingesetzt in Parabelgleichung y = p(x) = ax + bx + c liefert LGS a b + c = a + b + c = 5 4 a + b + c = 0 oder a b + c = b = 4 6 b 3 c = 6 und damit b =, mit 3 c = 6

14 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 4. eben c = und endlich mit a + = eben a =, zusammen p(x) = x + x +. j j Löse + j + j 3 j j x x x 3 0 = verkettet. + 3 j (3 Pkt) für L, für U, für Lösung x 0 0 j j j j Es gilt L U = j 0 0 j = + j + j = A und j j 0 0 y 0 0 so L y = j 0 y = mit y = und U x = y, d.h. 3 y j 3 j j j x 0 j j 0 0 j x = mit x = oder eben A = x 3 3 j j j + 3 j. Invertieren Sie A = c (für welche c möglich?). 3 (4 Pkt) für ersten, für zweiten, für dritten Austausch Wegen A = 6 0 ist A für jedes c R invertierbar! x x x 3 b x x 3 b b x 3 b x x c+ c+ 3 b c b c + 3 x c+ c+ c+ b 3 3 b 3 0 b c+ c+ c+ K K b b x 3 c x c+ c+ x c+ c+ c 6 b 3 c+ c+ K c = 6(c+) c+ c+ 3 c+ 6 c+ K c+ x x x 3 3 c+ b b b 3 6c ( c)(c+6) 6(c+) 3(c+6) 6(c+) (c+6)(c+) 6(c+) 6 ( c) 6(c+) 6 6 6(c+) (c+) 6(c+) K c c 6 c + 4 c + c 3c 6 0 3c 6 c 8c c 4 c 4c 4 gilt. Probehalber verifiziere man A A = E = (c )(c+) 6(c+) 3(c+) 6(c+) (c+)(c+) 6(c+) c 3 6 c+ so daß A 3 c 6 0 c+6 c (Summe 38 Punkte)

15 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 5 4 Klausur ageo&lalg WS0 Klausur Analytische Geometrie & lineare Algebra 7..0 Name Matrikel. Klassifiziere die Zugehörigkeit von. 9, 0.75, zu N, Z, Q, R, C so eng wie möglich und ( + j 3) 3 (4 Pkt). Normiere u = (, 3,, 5) R 4 und berechne für die beiden Vektoren v = (, 0, ) und w = (3, 0, ) im R 3 den von v und w eingeschlossenen Winkel ( v, w). ( Pkt) 3. Berechne den Flächeninhalt P des durch v = (, 3, ) und w = (,, 3) im R 3 aufgespannten Parallelogrammes P genau. ( Pkt) 4. Gegeben seien die beiden Ebenen x+y+3z+a = 0 und 3x+y+z+b = 0 im Raum. Skizziere jede Ebene in einem eigenen Koordinatensystem. Welche Schwierigkeit ergibt sich, wenn beide Ebenen zugleich zu skizzieren sind? ( Pkt) Berechne die Schnittgerade der beiden Ebenen. Stelle die Gerade in Punkt- Richtungsvektor-Form dar. (3 Pkt) Bestimme a und b so, daß die Ebenen und damit auch die Schnittgerade durch den Punkt (, 3, ) verlaufen (Probe). (+ Pkt) 5. Interpoliere die drei Punkte (, 6), (, 4) und (, 9) durch eine Parabel y = ax + bx + c (mit Probe). (3+ Pkt) j Löse 4 +j j 4+j 4 0 Bestimme 0 x x x 3 = 4+j verkettet (Probe). 4+3j inv per Stifel mit Probe. (9+ Pkt) (6+ Pkt) (Summe 37 Punkte)

16 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 6 Lösungen Klausur Analytische Geometrie & lineare Algebra Klassifiziere die Zugehörigkeit von. 9, 0.75, zu N, Z, Q, R, C so eng wie möglich und ( + j 3) 3 (4 Pkt) 69/5 = 3/5 Q \ N, / für / für. 9 = 3 N, für 0.75 = 3 65 = R \ Q, / für die anderen Lösungen e ±jπ/3 C \ R, je / für jede der drei Lösungen ( + j 3) 3 = e jπ/3 (, e jπ/3, e j4π/3 ). Normiere u = (, 3,, 5) R 4 und berechne für die beiden Vektoren v = (, 0, ) und w = (3, 0, ) im R 3 den von v und w eingeschlossenen Winkel ( v, w). ( Pkt) / für u bzw. u norm, / für v, / für w, / für ( v, w) u = = 36 also u = 6 und u norm = u. 6 v = + 4 = 5, w = = 5, v w = = 5, daher cos ( v, w) = = = cos 60o. 3. Berechne den Flächeninhalt P des durch v = (, 3, ) und w = (,, 3) im R 3 aufgespannten Parallelogrammes P genau. ( Pkt) für v w, für Betrag oder alternativ für Grundlinie und für Höhe e x e y e z P = v w = 3 = (7,, 5) = 75 = oder P = v w sin ( v, w) = v w cos ( v, w) = v w v w = 4 ( ) = 4 4 = 75 = Gegeben seien die beiden Ebenen x+y+3z+a = 0 und 3x+y+z+b = 0 im Raum. Skizziere jede Ebene in einem eigenen Koordinatensystem. Welche Schwierigkeit ergibt sich, wenn beide Ebenen zugleich zu skizzieren sind? ( Pkt) für zweimal etwa Achsenabschnittsform mit Längeneinheiten a bzw. b, für Beobachtung, daß ohne Angaben zum Verhältnis von a zu b eine Skizze beider Ebenen in einem Koordinatensystem unmöglich ist. Berechne die Schnittgerade der beiden Ebenen. Stelle die Gerade in Punkt- Richtungsvektor-Form dar. (3 Pkt) für LGS und obere Dreiecksmatrix, für etwa z = t, für Punkt- Richtungsvektor-Form Aus x+y +3z +a = 0 und 3x+y +z +b = 0 folgt 4y +8z +3a b = 0, mit z = t also y = t 3a+ b und x = t+ a b. Damit kann Schnittgerade in 4 4 Punkt-Richtungsvektor-Form als r(t) = ((a b)/, (b 3a)/4, 0)+t(,, ) dargestellt werden.

17 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 7 Bestimme a und b so, daß die Ebenen und damit auch die Schnittgerade durch den Punkt (, 3, ) verlaufen (Probe). (+ Pkt) für LGS, für Lösung, für Probe Es ergibt sich das LGS (a b)/ + t =, (b 3a)/4 t = 3 und t =, daher a b = 6 und b 3a = 4 und daher a = und b = 7. Probe: ( ) + ( 3) + 3 = 0 und 3( ) + ( 3) = 0 5. Interpoliere die drei Punkte (, 6), (, 4) und (, 9) durch eine Parabel y = ax + bx + c (mit Probe). (3+ Pkt) für LGS, für eliminieren, für auflösen, für Probe: a =, b =, c = 3, d.h. y = x x + 3 a b+c = 6 a +b+c = 4 4a+b+c = 9 a b +c = 6 b = 4 3 6b+3c = 5 a+c b = 6 3 3c 6b = 5 b = Also a =, b =, c = 3, d.h. y = x x + 3. Probe! 6. j x Löse 4 +j x = 4+j verkettet (Probe). j 4+j 4 4+3j 7. x 3 a+3+ = 6 3 /3 c+ = 5 b = (9+ Pkt) 3 für L, 3 für U, 3 für Auflösen, für Probe 0 0 j Mit L = 0, U = 0 ergibt sich das Zwischenergebnis z = j j aus L z = x b und die Lösung x = x = aus U x = z. 3j j 0 Bestimme 0 inv x 3 per Stifel mit Probe. je für Austauschschritt, für Probe x x x 3 b x x 3 b 0 x / / 0 b 0 b / 5/ 0 b 3 b 3 / / / 0 /5 0 b b b 3 x /5 /5 0 x /5 /5 0 x 3 3/5 /5 so daß A = 5 Probe: es ist A inv A = E 3 3 für obige Matrix A zu verifizieren. (6+ Pkt) b b x 3 x /5 /5 0 x /5 /5 0 b 3 3/5 /5 3/5 /5 0 0 gilt. 3 5 (Summe 37 Punkte)

18 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 8 5 Klausur ageo&lalg WS00 Klausur analytische Geometrie & lineare Algebra Name Matrikel Alle Berechnungen grundsätzlich mit unendlicher Genauigkeit ausführen!. Für c R bestimme x R mit ( Pkt) x + + = 3 + c + (incl. Probe).. Berechne die beiden fehlenden Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks in der Ebene mit Schwerpunkt (Mittelpunkt, Symmetrie-Zentrum) im Ursprung und einer Ecke in e y (Skizze). (4 Pkt) 3. Bestimme die naheliegende Ebenen-Gleichung der Ebene E durch die drei Raum-Punkte p = e x, p = e y und p 3 = 3 e z. ( Pkt) Bestimme eine beliebige Normale und die beiden normierten Normalen dieser Ebene. ( Pkt) Berechne den Schwerpunkt s = 3( p + p + p 3 ) des Dreiecks (in der Ebene E) mit diesen drei Eckpunkten. Berechne die beiden Punkte p und q auf einer Normalen zu E durch s im Abstand von s. ( Pkt) Berechne die Volumina V der beiden Pyramiden mit den Ecken p, p, p 3 und p bzw. q. ( Pkt) 4. Berechne das Polynom dritten Grades durch die vier Stützstellen s = ( 3, ), s = (, ), s 3 = (, ) und s 4 = (0, ) (Probe). (6+ Pkt) 0 0 cos γ sin γ 0 5. Charakterisiere S = und R = sin γ cos γ 0 mit γ = π/ als Transformationsmatrizen. Bestimme die (Produkt-) Transformationsmatrix T = S R. ( Pkt) Invertiere T, berechne also T per Stifel. Berechne zur Probe S und R und verifiziere T = R S. (8 Pkt) ( Pkt) (Summe 30 Punkte)

19 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 9 Lösungen Klausur analytische Geometrie & lineare Algebra a) Für c R bestimme x R mit x + + = 3 + c + (incl. Probe). ( Pkt) Quadrieren liefert x + + = 3 + c + und damit x + + = 3 + c + und Auflösen eben x + = + c + und damit x + = ( + c + ), also x = ( + c + ). Probe: x + + = ( + c +) + = + c + + = 3 + c +.. Berechne die beiden fehlenden Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks in der Ebene mit Schwerpunkt (Mittelpunkt, Symmetrie-Zentrum) im Ursprung und einer Ecke in e y (Skizze). (4 Pkt) 3 = e 0+πZ/3 sind die dritten Einheitswurzeln z o =, z = e π/3 und z = e 4π/3, die jeweils um π/ oder 90 o gedreht die gewünschten Eckpunkte p o = (0, ), p = e π/3+π/ = e (/3+/)π = e 7π/6 = cos(0 o ) + j sin(0 o ) = ( cos 30 o, sin 30 o ) = ( 3/, /) und p = e 4π/3+π/ = e (4/3+/)π = e π/6 = cos(330 o ) + sin(330 o ) = (cos 30 o, sin 30 o ) = ( 3/, /) liefern. 3. Bestimme die naheliegende Ebenen-Gleichung der Ebene E durch die drei Raum-Punkte p = e x, p = e y und p 3 = 3 e z. ( Pkt) Die Achsenabschnittsform von E ist x/ + y/ + z/3 =. Bestimme eine beliebige Normale und die beiden normierten Normalen dieser Ebene. ( Pkt) Die allgemeinen Ebenengleichung ist x/+y/+z/3 = und damit ist etwa (, /, /3) oder ±(6, 3, ) ein Normalen-Vektor. Die beiden normierten Normalen-Vektoren sind also n, = ±(6, 3, )/ = ± (6, 3, ). 7 Berechne den Schwerpunkt s = 3( p + p + p 3 ) des Dreiecks (in der Ebene E) mit diesen drei Eckpunkten. Berechne die beiden Punkte p und q auf einer Normalen zu E durch s im Abstand von s. ( Pkt) s = (,, 3) = (/3, /3, ) und p = s + n 3 = (/3, /3, ) + (6, 3, ) = 7 (7, 4, ) + (36, 8, ) = (43, 3, 33) bzw. q = s + n = s n = (/3, /3, ) (6, 3, ) = (7, 4, ) (36, 8, ) = ( 9, 4, 9). 7 Berechne die Volumina V der beiden Pyramiden mit den Ecken p, p, p 3 und p bzw. q. ( Pkt) Entweder V = [ p 6 p, p 3 p, p p ] = (( p 6 p ) ( p 3 p )) ( p p ) = e x e y e z 0 ( p p 6 ) = +6+ (6, 3, ) (43, 3, 33) = = 49 = 7/

20 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 0 oder ebenso V = Grundfläche Höhe = ( p 3 3 p ) ( p 3 p ) = e x e y e z 0 = 3 (6, 3, ) = 7 = 7/ Berechne das Polynom dritten Grades durch die vier Stützstellen s = ( 3, ), s = (, ), s 3 = (, ) und s 4 = (0, ) (Probe). (6+ Pkt) Mit p(x) = ax 3 +bx +cx+d und p(0) = folgt d =. Des weiteren ist A x = a a 8 4 b = 0 bzw. 4 b = 0, so daß c c a a 0 3 b = 8 und 0 3 b = 8 folgt c c 0 Auflösen liefert nacheinander c = 0/3, b = 6 und a = 4/3 und damit p(x) = 4 3 x3 + 6x + 0x + = 3 3 (4x3 + 8x + 0x + 3). Probe: p( 3) = =, p( ) = ( ) =, 3 p( ) = ( ) = und p(0) = cos γ sin γ 0 5. Charakterisiere S = und R = sin γ cos γ 0 mit γ = π/ als Transformationsmatrizen. Bestimme T = S R. ( Pkt) S ist die Skalierung S (,4,6) und R = Rγ R ez die Rotation um die z-achse um π/6 = 30 o / / Es gilt T = S R = / 3/ 0 = Invertiere T, berechne also T per Stifel. (8 Pkt) x x x 3 b 3 0 b 3 0 b Keller 0 0 x x b 3 b 3 0 b 3 0 x /6 3/3 0 Keller b x b 3 x 3/3 3/3 0 b 3/3 8 3/3 0 x /6 Keller /4 0 b b b 3 x 3/4 /8 0 x /4 3/8 0 x /6 Keller Berechne zur Probe S und R und verifiziere T = R S. ( Pkt) 3 0 Offensichtlich ist 3/4 / / /8 0 = 0 0 und /6 0 0

21 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik also T korrekt berechnet. Für das Produkt R S gilt zudem R S = 3/ / 0 / / 0 0 3/4 /8 0 3/ 0 0 /4 0 = /4 3/8 0 = T /6 0 0 /6 (Summe 30 Pkt)

22 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 6 Klausur ageo&lalg SS98 Klausur lineare Algebra Name Matrikel. Berechne sin 05 o und cos 05 o genau, d.h. mit unendlich vielen Nachkomma-Stellen. ( Pkt). a) Der Scheinwiderstand Z der mit der Induktivität L in Reihe geschalteten Parallel-Schaltung des Widerstandes R und der Induktivität L ist Z = j ω L R R +j ω L + j ω L. Berechne RZ und IZ und gib die Polardarstellung Z = Z e jϕ von Z an. ( Pkt) b) Stelle Z = e jπ/6 in Cartesischen Koordinaten genau dar. ( Pkt) 3. Normiere u = (8, 4, ) R 3 und berechne für die Vektoren v = (, ) und w = (, 3) im R den von v und w eingeschlossenen Winkel ( v, w) genau. ( Pkt) 4. Berechne den Flächeninhalt P des durch v = (, 3, ) und w = (,, 3) im R 3 aufgespannten Parallelogrammes P auf zwei Weisen. (je Pkt) 5. Berechne den Schnitt der Ebenen 4x+4y+z = und 0.x 0.5y = 0.05 sowie x + 8y/3 + z = /3 per Cramer mit Probe. (3+ Pkt) 6. Charakterisiere die beiden Ebenen x + y + z = und x + 4y + 4z = 4 geometrisch, bestimme deren Schnittgerade, berechne zwei beliebige Punkte der Schnittgeraden und prüfe zur Probe, daß diese beiden Punkte auch Punkte jeder der beiden Ebenen sind. (6+ Pkt) 7. 3 j x 9 4+j Löse 4 0 +j y = 6 j bzw. = 7+8j verkettet. j 3j 5 z 3j 8+4j (0 Pkt) Bestimme inv per Stiefel mit Probe. (9+ Pkt) (Summe 44 Punkte)

23 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 3 Lösungen Wiederholer-Klausur lineare Algebra Berechne sin 05 o und cos 05 o genau, d.h. mit unendlich vielen Nachkomma-Stellen. ( Pkt) für Additionstheorem, für Werte sin 05 o = sin(60 o +45 o ) = sin 60 o cos 45 o +cos 60 o sin 45 o = 3 + = ( 3 + ). 4 cos 05 o = cos(60 o +45 o ) = cos 60 o cos 45 o sin 60 o sin 45 o = 4 ( 3). 3 =. a) Der Scheinwiderstand Z der mit der Induktivität L in Reihe geschalteten Parallel-Schaltung des Widerstandes R und der Induktivität L ist Z = j ω L R R +j ω L + j ω L. Berechne RZ und IZ und gib die Polardarstellung Z = Z e jϕ von Z an. ( Pkt) Z = RZ + j IZ = R (ω L ) R +(ωl ) + j( ω L R R +(ωl ) + ωl ). b) Stelle Z = e jπ/6 in Cartesischen Koordinaten genau dar. ( Pkt) Z = cos 30 + j sin 30 = 3 + j = 3 + j 3. Normiere u = (8, 4, ) R 3 und berechne für die Vektoren v = (, ) und w = (, 3) im R den von v und w eingeschlossenen Winkel ( v, w) genau. ( Pkt) je / Pkt u = = 8 also u = 9 und u norm = (8, 4, ). 9 v = + = und w = + 3 = sowie v w = ( 3) und 4 v w daher cos ( v, w) = = 3 = cos 05 o. v w 4 4. Berechne den Flächeninhalt P des durch v = (, 3, ) und w = (,, 3) im R 3 aufgespannten Parallelogrammes P auf zwei Weisen. (je Pkt) je e x e y e z P = v w = 3 = (7,, 5) = 75 = bzw. P = v w sin ( v, w) = 4 4 cos ( v, w) = 4 ( ) = 4 4 = 75 = Berechne den Schnitt der Ebenen 4x+4y+z = und 0.x 0.5y = 0.05 sowie x + 8y/3 + z = /3 per Cramer mit Probe. (3+ Pkt) für Ansatz, je / pro Determinante, für Probe Determinante = 8 liefert x = 8 =, y = 8 = und z = 8 =. Probe: alle drei Gleichungen verifizieren! 8

24 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 4 6. Charakterisiere die beiden Ebenen x + y + z = und x + 4y + 4z = 4 geometrisch, bestimme deren Schnittgerade, berechne zwei beliebige Punkte der Schnittgeraden und prüfe zur Probe, daß diese beiden Punkte auch Punkte jeder der beiden Ebenen sind. (6+ Pkt) für Charakterisierung, für LGS, für mal eliminieren, für Gerade und zwei Punkte p o und p, je für Probe p i auf jeder der beiden Ebenen 7. x + y + z/ = mit Achsenabschnitten, und sowie x/ + y + z = mit x+y +z = x+y +z = Achsenabschnitten, und. In eliminieren x+4y+4z = 4 +y+3z = und z = t setzen liefert y = 3t/ und x = t, so daß {(t, 3t/, t) : t R} = { e y + t(, 3/, ) : t R} die eindimensionale Lösungsgesamtheit darstellt. Die Schnittgerade, also p(t) = e y + t(, 3/, ) für t R verläuft etwa durch e y und (, 3, ) = (,, ), wobei wegen = und = 4 sowie + = und = 4 beide Punkte auf beiden Ebenen liegen. 3 j x 9 4+j Löse 4 0 +j y = 6 j bzw. = 7+8j j 3j 5 z 3j 8+4j 3 für L, 3 für U, für.lsg, für.lsg j u 9 x Mit L = 0, U = 0 4 ist v = 8 j und y = j w 6j z j u 4 + j x bzw. v = + 4j und y = j. w 6 z inv Bestimme per Stiefel + Probe (9+ Pkt) 9 für Invertieren, für Probe Mit A = gilt 5 A = 0 5 0, also ist A inv = Auch ohne Ausklammern von liefert Stiefel x x x 3 b 3/5=0. 4/5=0.6 0 b 4/5 3/5=0. 0 b 3 /5=0.04 /5=0.04 /5 K 4/3 =. 3 0 b x x 3 x 5/3=8. 3 4/3=. 3 0 b 4/3 /3= b 3 /3=0. 3 /75= /5 K 4 0

25 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 5 b b x 3 x x b 3 7/5 = 0.8 /5 = 0.04 /5 = 0.04 K 7 b b b 3 x x x (Summe 44 Pkt)

26 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 6 7 Klausur ageo&lalg SS96 Wiederholer-Klausur lineare Algebra E Name Matrikel. Berechne cos 75 o genau, d.h. mit unendlich vielen Nachkomma-Stellen. ( Pkt). a) Der Scheinwiderstand Z der mit der Kapazität C in Reihe geschalteten Parallel-Schaltung des Widerstandes R und der Kapazität C ist Z = R + j ω C (R + ) j ω C j ω C. Berechne RZ und IZ und gib die Polardarstellung Z = Z e jϕ von Z an. (3 Pkt) b) Berechne die Polardarstellung Z = Z e jϕ von z = c c 3j für c R genau. ( Pkt) 3. Normiere u = (, 3, 6) R 3 und berechne für v = (, 3) und w = ( 3, 3) im R den Winkel ( v, w) zwischen v und w genau. ( Pkt) 4. Berechne den Flächeninhalt P des durch v = (,, 3) und w = (3,, ) im R 3 aufgespannten Parallelogrammes P auf mindestens eine von zwei Weisen. (je Pkt) 5. Berechne den Schnittpunkt der Ebenen x + y + 3z =, 3x + y + 3z = und 3x + y + z = per Cramer mit rechnerischer Probe. (+ Pkt) 6. j + j x + j Löse j + j y = + 3j per Gauß mit Probe. j z 0 (6+ Pkt) x 3 4 j Löse 0 3 y = bzw. = 3 j verkettet. j 3j +4j z +3j 3+4j Bestimme inv per Stiefel mit Probe. (0 Pkt) (9+ Pkt) (Summe 44 Punkte)

27 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 7 Lösungen Wiederholer-Klausur lineare Algebra E Berechne cos 75 o genau, d.h. mit unendlich vielen Nachkomma-Stellen. ( Pkt) für Additionstheorem, für Werte cos 75 o = cos 45 o cos 30 o sin 45 o sin 30 o = 3 = 4 ( 3 ).. a) Der Scheinwiderstand Z der mit der Kapazität C in Reihe geschalteten Parallel-Schaltung des Widerstandes R und der Kapazität C ist Z = R + j ω C (R + ) j ω C j ω C. Berechne RZ und IZ und gib die Polardarstellung Z = Z e jϕ von Z an. (3 Pkt) j( ω C R R Z = +ω C R Z = (+ω C R ) ω C +ω C R + ωc ). allgemein Z = R Z + I Z, also hier R ω C + (ω C R ω C + ( + ω C R )) und allgemein tan ϕ = IZ RZ, also hier tan ϕ = ω C R ω C +(+ω C R ) R ω C. b) Berechne die Polardarstellung Z = Z e jϕ von z = c c 3j für c R genau. ( Pkt) für Z, für 60 o Z = c +3c = 4c also Z = c und tan ϕ = c 3 c so daß Z = ce j π 3 folgt. also tan 60 o = 3/ /, 3. Normiere u = (, 3, 6) R 3 v = = = 49 = 7. und berechne für v = (, 3) und w = ( 3, 3) im R den Winkel ( v, w) zwischen v und w genau. ( Pkt) je / Pkt v = + 3 = und w = = 6 sowie v w = und daher cos ( v, w) = 3 3 = 3 3 = cos 75o. 4. Berechne den Flächeninhalt P des durch v = (,, 3) und w = (3,, ) im R 3 aufgespannten Parallelogrammes P auf mindestens eine von zwei Weisen. (je Pkt) je e x e y e z P = v w = 3 = ( 4, 8, 4) = bzw. P = v w sin ( v, w) = 4 4 cos ( v, w) = 4 ( ) = = 96 = Berechne den Schnittpunkt der Ebenen x + y + 3z =, 3x + y + 3z = und 3x + y + z = per Cramer mit rechnerische Probe. (+ Pkt) je / pro Determinante, für Probe

28 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 8 3 Determinante 3 3 = 6 liefert x =, y = und z = j + j x + j Löse j + j y = + 3j per Gauß mit Probe. j z 0 (6+ Pkt) für LGS, + für mal x eliminieren, für mal y eliminieren, für Probe: x =, y = j, z = x 3 4 j Löse 0 3 y = bzw. = 3 j verkettet. j 3j +4j z +3j 3+4j (0 Pkt) 3 für L, 3 für U, für.lsg, für.lsg x j Mit L= 0 0, U = 0 3 ist y = bzw. = j. j z 8. Bestimme inv per Stiefel + Probe. (9+ Pkt) 9 für Invertieren, für Probe Mit A=T (,) R 30 o = = 3 0 ist Ainv = R 30 ot (,) = =

29 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 9 8 Klausur ageo&lalg WS95 Klausur lineare Algebra E Name Matrikel. a) Die Parallel-Schaltung des Widerstandes R, der Induktivität L und der Kapazität C hat den Widerstand Z mit = + +. Berechne RZ Z R jωl j ωc und IZ sowie die Polardarstellung Z = Z e jϕ von Z. (3 Pkt) b) Berechne die Polardarstellung Z = Z e jϕ von z = c + c 3j für c R. ( Pkt). Gegeben seien v = ( 3, 0, 3, ) und w = (3, 3, 4, 0) im R 4. Berechne die Längen v und w, das Skalar-Produkt ( v w) sowie den Winkel ( v, w) zwischen v und w. ( Pkt) 3. Der Skalar [ a, b, c] := ( a b) c heißt Spatprodukt von a, b und c. Welcher einprägsame Ausdruck für das Spatprodukt ergibt sich bei Verwendung der symbolischen Determinante für a b? ( Pkt) 4. Berechne den Schnittpunkt der Ebenen x + y + 3z = 6, 3x + y + 3z = 3 und 3x + y + z = 6 per Cramer. Rechnerische Probe! (3+ Pkt) zusätzlich: Leite das Ergebnis geometrisch her. (3 Pkt) j j x j Löse j + j y = + 3j per Gauß + Probe. j z x 3 4 j Löse y = bzw. = j verkettet. 3 z j Bestimme inv per Stiefel + Probe. (6+ Pkt) (0 Pkt) (9+ Pkt) (Summe 40 Punkte)

30 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 30 Klausur-Lösungen lineare Algebra E a) Die Parallel-Schaltung des Widerstandes R, der Induktivität L und der Kapazität C hat den Widerstand Z mit = + +. Berechne RZ Z R jωl j ωc und IZ sowie die Polardarstellung Z = Z e jϕ von Z. (3 Pkt) = j + ωcj somit Z = Z R ωl R +(ωc Nenner a = ( R ) + ( ωl ωc) eben RZ = a Z = (RZ) + (IZ) ImZ j arctan e RZ = Z e j arctan R für RZ, für IZ, für Polar = R +( ωl ωc)j ωl )j ( R ) +( ωl ωc) R, IZ = a ( ωl ωc. ωl und mit ωc) sowie b) Berechne die Polardarstellung Z = Z e jϕ von z = c + c 3j für c R. ( Pkt) Z = c + 3c = 4c also Z = c und tan ϕ = c 3 c also Z = ce jπ/3. Gegeben seien v = ( 3, 0, 3, ) und w = (3, 3, 4, 0) im R 4. Berechne die Längen v und w, das Skalar-Produkt ( v w) sowie den Winkel ( v, w) zwischen v und w. ( Pkt) je / v = also v = 7 und w = also w = 8 = 7 sowie v w = = 7 3 und daher cos ( v, w) = = 3, so daß ( v, w) = 30 o folgt. 3. Der Skalar [ a, b, c] := ( a b) c heißt Spatprodukt von a, b und c. Welcher einprägsame Ausdruck für das Spatprodukt ergibt sich bei Verwendung der symbolischen Determinante für a b? ( Pkt) für symbolische Determinante, für Entwicklung [ a, b, c] = ( a e x e y e z c x c y c z a x a y a z b) c = a x a y a z (c x, c y, c z ) = a x a y a z = b x b y b z. b x b y b z b x b y b z c x c y c z 4. Berechne den Schnittpunkt der Ebenen x + y + 3z = 6, 3x + y + 3z = 3 und 3x + y + z = 6 per Cramer. Rechnerische Probe! (3+ Pkt) je für zwei Determinanten, je / für zwei verschwindende: x = 0, y = 3, z = A = 3 3 = = 4 = 4( 0 + 6) = 6 und A x = 3 3 = 0, also x = 0, A y = = = = 3( 0 6) = 48, also y = 3, und A z = 3 3 = 0, also z =

31 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik zusätzlich: Leite das Ergebnis geometrisch her. Per Achsenabschnittsform liegt (0, 3, 0) in jeder Ebene j j x j Löse j + j y = + 3j per Gauß + Probe. j z 0 (3 Pkt) (6+ Pkt) für LGS, + für mal x eliminieren, für mal y eliminieren, für Probe: x =, y = j, z = j j x j j j x j 0 y = +j und 0 y = +j, 0 j 4 z +j j z 5+j so daß z =, dann y = j und schließlich x = folgt. 3 4 x 3 4 j Löse y = bzw. = j verkettet. 3 z j (0 Pkt) für L = 0, 3 für U = 0 3, für. Lsg. x =, y = 0 0, z =, für. Lsg. x = j, y = j, z = L = 0, U = 0 3 und damit x =, y = und z = 0 0 bzw. x = j, y = j und z = Bestimme inv per Stiefel + Probe. (9+ Pkt) 9 für A inv =, für Probe Ainv A = E x x x 3 b b 3 0 x x 3 x b b 3, x gegen b : b b 3, 3 Keller 3 0 Keller 3 0 b b x 3 b b b x x gegen b : x x , x 3 gegen b 3 : x 3 0 so daß b 3 x 3 Keller Keller

32 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik = Ainv folgt.

33 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 33 9 Klausur ageo&lalg SS95 Wiederholer-Klausur lineare Algebra Zeige mit vollständiger Induktion, daß n k= (k ) = n für jedes n N gilt. (3 Pkt). Mit dem binomischen Lehrsatz n! i! j! ai b j = (a+b) n zeige seine Verallgemeinerung i,j 0, i+j=n n! i! j! k! ai b j c k =(a+b+c) n. (4 Pkt) i,j,k 0, i+j+k=n 3. Eine Schaltung (R und L parallel, in Serie mit R ) hat den Widerstand Z = R jωl R +jωl + R mit reellen R, R, L und ω. Berechne die Polardarstellung von Z wenigstens RZ und IZ. (4 Pkt) 4. Komplexe Zahlen x + jy können mit Vektoren (x, y) der Ebene identifiziert werden. Wann sind in diesem Sinn zwei komplexe Zahlen ausgedrückt durch komplexe Operationen senkrecht? ( Pkt) 5. Gegeben sei v = (3,,,, ) R 5 und w = (,, 0,, ) R 5. Berechne die Längen v und w, das Skalar-Produkt ( v w) sowie den Winkel ( v, w) zwischen v und w. ( Pkt) 6. Wieso ist [ p p, p p, p 3 p ] = 0 eine Gleichung der Ebene im Raum durch die Punkte p, p und p 3? (3 Pkt) 7. Berechne den Schnittpunkt der Ebenen x + y + 3z 0 = 0, x y z = 0 und x + y + z = 0 per Cramer. (4 Pkt) j + j x + j Löse j j y = j per Gauß. j + j z + j 3 x 6 +5j Löse 6 y = 9 bzw. = +8j verkettet. 3 0 z j inv 3/ / 0 Bestimme / 3/ 0. (8 Pkt) (0 Pkt) (0 Pkt) (Summe 50 Punkte)

34 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 34 Klausur-Lösungen Algebra E Zeige: für jedes n N gilt n k= (k ) = n mit vollständiger Induktion. Induktionsanfang: mit k = n = ist k = = ; Induktionsschritt n+ k= (k ) = n k= (k ) + (n+) = n + n + = (n + ) (3 Pkt) n!. Mit dem binomischen Lehrsatz i! j! ai b j = (a+b) n zeige seine Verallgemeinerung i,j 0,i+j=n n! i! j! k! ai b j c k = (a + b + c) n, da linke Seite = i,j,k 0,i+j+k=n nk=0 c k n! (n k)! k! (n k)! i+j=n k ( nk=0 n k) c k ( n k n k i=0 i (4 Pkt) a i b j = ) i! j! a i b n k i = ( ) n n k=0 k c k (a + b) n k = (a + b + c) n. 3. Eine Schaltung (R und L parallel, in Serie mit R ) hat den Widerstand Z = R jωl R +jωl + R mit reellen R, R, L und ω. Also RZ = R + R (ωl ) und IZ = R R +(ωl ) ωl. Berechne die Polardarstellung von Z: r = R +(ωl ) R Z + I Z und arc Z = arctan IZ. (4 Pkt) RZ 4. Komplexe Zahlen x + jy können mit Vektoren (x, y) der Ebene identifiziert werden. Wann stehen zwei komplexe Zahlen in diesem Sinn senkrecht aufeinander ausgedrückt durch komplexe Operationen? z z iff x x + y y = 0 iff R(z z) = 0. ( Pkt) 5. Gegeben v = (3,,,, ) und w = (,, 0,, ) R 5. Dann gilt für die Längen v = = 4, w = = 3, für das Skalar-Produkt ( v w) = = und für den Winkel ( v, w) ( v, w) zwischen v und w eben cos ( v, w) = = v w 4 = 3 3 = 3, 3 also Winkel ( v, w) = π. ( Pkt) 6 6. [ p p, p p, p 3 p ] = 0 ist eine Gleichung der Ebene im Raum durch die Punkte p, p und p 3, da lineare Gleichung in p x, p y und p z und da [a, b, c] = 0 falls zwei Argumente identisch. (3 Pkt) 7. Berechne den Schnittpunkt der Ebenen x + y + 3z 0 = 0, x y 3 z = 0 und x + y + z = 0 per Cramer. Es gilt = = 3. Damit ist x = 0 = 9 3 = 3, y = = 6 3 = und z = 0 0 = =. (4 Pkt) 3

35 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik j + j x + j Löse j j y = j per Gauß. Also ist j + j z + j. jx +( + j)y +z = + j. x +( j)y +jz= j 3. jx +( + j)y z = + j. x +( j)y +jz= j. j. z = + j jy =j und damit z = + j und y = sowie x = + j. (8 Pkt) 3 x 6 +5j 0 0 Löse 6 y = 9 bzw. +8j verkettet. Es ist L = z j 3 u 6 u 6 und U = 0. Aus L v = 9 ergibt sich v = w w x 6 u und aus U y = 3 eben x =, y = und z =. Aus L v = z w + 5j u + 5j x + 5j + 8j ergibt sich v = j und aus U y = j j w z eben x = j, y = j und z =. (0 Pkt) 3/ / 0 3/ / Es gilt / 3/ 0 / 3/ 0 3 = (0 Pkt) (Summe 50 Punkte)

36 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 36 0 Klausur ageo&lalg WS94 Klausur Analytische Geometrie und lineare Algebra E.. Zeige: für jedes n N gilt n k= k 3 = 4 n (n + ) mit vollständiger Induktion. (4 Punkte). Bestimme 44.4 (8) =? (6) und 33.3 (0) =? (8). (je Punkt) L/C jωl+/(jωc) 3. Eine Schaltung habe den Widerstand Z = R + mit reellen R, L, C und ω. Berechne die Polardarstellung von Z. (4 Punkte) 4. Gegeben v = (,,,, ) und w = (,, 3, 3, ) R 5. Berechne die Längen v, w, das Skalar-Produkt ( v w) und den Winkel ( v, w) zwischen v und w. ( Punkte) 5. Für A = ( ) und löse (A λ i E) ( x y Bestimme berechne p A (λ) = A λe, die Nullstellen von p A (λ) ) = 0 für jede Nullstelle λi. (4 Punkte) j 3j 3 3j 4 5j 3 j 0 7 3j 7j oder berechne den Flächeninhalt des Dreieckes A = (,, ), B = (,, ) und C = (,, ). ( Punkte) 7. Berechne den Schnittpunkt der Ebenen x + y + z = 0, x y z = 0 und x y + z 3 = 0 per Cramer. (4 Punkte) j j j x j Löse + j j 3 y = 3 + j per Gauß. 3 3j 3 j z 4 j 3 x 0 +j Löse y = 7 bzw. = 3 verkettet z 47 6 j Bestimme / 0 / 0 /6 /3 /6 0 0 /6 /3 /6 0 / 0 / per Stiefel. (8 Punkte) (0 Punkte) (0 Punkte) (Summe 50 Punkte)

37 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 37 Klausur-Lösungen Analytische Geometrie und lineare Algebra E.. Für jedes n N gilt n k= k 3 = 4 n (n + ), da mit k= k 3 = = 4 der Induktion-Anfang für n = gegeben ist und im Induktionsschritt aus der Induktionsvoraussetzung n k= k 3 = 4 n (n + ) die Induktionsbehauptung n+ k= k3 = (n + ) 3 + n k= k 3 = 4 n (n + ) + (n + ) 3 = (n + 4 ) (n + 4n + 4) = (n + 4 ) (n + ) folgt (8) = = 36.5 (0) = = 4.8 (6) und 33.3 (0) = = 4.5 (8). 3. Zunächst ist Z = R + jωl ω CL R + arc Z = arctan L/C = R + L/C = R jl/c jωl+/(jωc) jωl j/(ωc) = ωl /(ωc) = R ω RCL+jωL R und damit Z = ( ω CL) +(ωl) sowie ω CL ω CL ωl. R( ω CL) 4. Für v = (,,,, ) und w = (,, 3, 3, ) gilt v = = und w = = 3. Das Skalar-Produkt ist ( v w) = = und der Winkel ( v, w) zwischen v und w beträgt v w arccos( ) = arccos v w = arccos 3 = π. 3 6 ( ) λ 3 Für A = gilt p A (λ) = A λe = λ = (4 λ)( λ)+6 = λ 3λ+ = (λ )(λ ). Die Nullstellen von p A (λ) sind also und. (A E) ( ( ) ) x 3 3 (x ( ( ( ) y = y) = 0 lösen x y) = t t), (A E) x y = ( ) 3 (x ( ) ( ) 3 y) =0 lösen x y = 3t t für jeweils alle t R. 6. j 3j 3 3j 4 5j 3 j 0 7 3j 7j = 0, da 4.Zeile =.Zeile plus j mal.zeile. Der Flächeninhalt des Dreieckes ist ( B A) ( C A) = (, 0, 0) (, 0, ) = (0, 4, 0) = (0,, 0) =. 7. Der Schnittpunkt der Ebenen x + y + z = 0, x y z = 0 und x y + z 3 = 0 ergibt sich per Cramer mit D = = 6 zu x= =, y = = und z = =. D D D (+j)x+( j)y jz=j (+j)x+( j)y+3z=3+j (3+3j)x+3y+( j)z= 4 j (+j)x+( j)y jz=j jy+(3+4j)z=3 3j (6 3j)y+( 7j)z= 4+5j

38 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 38 (+j)x+( j)y jz=j y+(4 3j)z= 3 3j (6 3j)y+( 7j)z= 4+5j (+j)x+( j)y jz=j y+(4 3j)z= 3 3j ( 4+3j)z=3+4j und damit z = j. Aus y = 3 3j (4 3j)z folgt y = j und aus ( + j)x = j ( j)y + jz = + j eben x = (Probe!) y 0 y A = = LU = 0 0. Aus L y = 7 folgt y = y 3 47 y 3 0 x 0 x y +j 7 und aus U x = 7 dann x =. Aus L y = 3 3 x 3 3 x 3 3 y 3 6 j y +j x +j x j folgt y = j und aus U x = j dann x = j y 3 x 3 x 3 (jeweils Probe!). 0. x x x 3 x 4 y / 0 / 0 y /6 /3 /6 0 y 3 0 /6 /3 /6 y 4 0 / 0 / K 0 0 y y x 3 x 4 x 0 0 x / 3/ / 0 y 3 / /4 7/ /6 y 4 /4 3/4 /4 / K /7 3/7 /7 liefert die Inverse y y y 3 y 4 x 7/3 /3 x /3 /3 x 3 /3 /3 x 4 /3 7/3 y x x 3 x 4 x 0 0 y /3 /3 /3 0 y 3 0 /6 /3 /6 y 4 0 / 0 / K / / 0 y y y 3 x 4 x 5/7 3/7 /7 /7 x 4/7 /7 6/7 /7 x 3 /7 3/7 /7 /7 y 4 /7 6/7 3/7 3/7 K /3 (Probe!).