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1 PC-II-04 Seite 1 von 8 WiSe 09/10 Nachdem wir uns mit dem Teilchen im ein- und dreidimensionalen Kasten beschftigt haben, und Wellenfunktionen finden konnten, wollen wir das gleiche Problem nun fr ein anderes Potential lçsen. Wir untersuchen nun ein Teilchen im Parabelpotential (1-D harmonischer Oszillator) Das Parabelpotential ist dadurch gekennzeichnet, dass die Rckstellkraft der Auslenkung proportional und entgegengesetzt ist. F kx Daraus folgt, dass das zugehçrige Potential wie folgt aussieht: F( x) x V ( x ) 1 V ( x) kx kx Zu lçsen ist die SchrÇdinger-Gleichung fr das Parabelpotential: Ç É H ÑV Ç EÇ 1 Ç Ñ kx Ç EÇ m x Die LÇsung dieser Differentialgleichung sind die normierten Hermiteschen Funktionen, die die Hermitschen Polnome H () enthalten. 1 Ç N H ( ) e H ( ) e É Ñ! 0, 1,, 3,... H ( ) HermiteschePolnome k x ; É ; m mk É Wenden wir den Hamilton-Operator fr das Parabelpotential auf die Hermiteschen Funktionen an, dann erhalten wir die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators zu: 1 E ( Ñ ) 1 Die Energieeigenwerte beginnen bei der Nullpunktsenergie E 0 und sind qui- distant angeordnet.

2 PC-II-04 Seite von 8 WiSe 09/10 Die Hermiteschen Polnome sind LÇsungen der Gleichung: H Ü H Ñ Ü H 0 Die Hermiteschen Polnome der ersten Stufen sind wie folgt: H Ñ Ñ Die Hermite-Polnome lassen sich wie folgt ableiten: H Ü H Ü H Ñ1 1 Orthogonalitt der Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators = Ñá à á Ñá à á N Ü H Üe Ü N Ü H Üe d N H ( ) Üe d 1 Ñá ' ' v v ' v v ' 0 N ÜH Üe ÜN ÜH Üe d N N H ( ) H ( ) Üe d à v á Ñá à á v Die Hermiteschen Funktionen sind ein orthonormiertes Funktionssstem.

3 PC-II-04 Seite 3 von 8 WiSe 09/10 Harmonischen Oszillators,50E+05,00E+05 1,50E+05 1,00E+05 Wellenfunktion 5,00E+04 0,00E+00-6,E-11-4,E-11 -,E-11 0,E+00-5,00E+04,E-11 4,E-11 6,E-11-1,00E+05-1,50E+05 -,00E+05 -,50E+05 Auslenkung [m] v = 0 v = 1 v = v = 3 v = 4 Harmonischer Oszillator 5,E+10 Aufenthaltswahrscheinlichkeit 5,E+10 4,E+10 4,E+10 3,E+10 3,E+10,E+10,E+10 1,E+10 5,E+09 0,E+00-6,E-11-4,E-11 -,E-11 0,E+00,E-11 4,E-11 6,E-11 Auslenkung [m] v = 0 v = 1 v = v = 3 v = 4

4 PC-II-04 Seite 4 von 8 WiSe 09/10 Wir berpfen, ob die Hermiteschen Funktionen Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators sind. HÇ â ã Ñ ä m x x mit fo lg t É x x HÇ 1 å kx Ç é â ã ä m x Ñ 1 É â å N H Ü e ké Ç mé ã é ä Ñ 1 ( ) N mé â å É Ç H e ã Ü Ü H Ü ä e é Ñ 1 k 1 å â kx é N H Ü e ã ( ) ä â å N H Ü e H Ü e H Ü e H Ü e Ñ H Ü e ké Ç mé ã é ä Ñ 1 N ( H H H Ñ H ) Ü e mé 1 Ñ ké Ç å é Mit der Beziehung H( ) H ( ) Ñ H ( ) 0 bzw. H ( ) H ( ) H ( ) folgt: HÇ 1 N Ç H ( ) H ( ) Ñ H ( ) É Üe Ñ ké Ç mé 1 ( 1Ñ ) N H ( ) Üe Ñ ké Ç mé 1 Ñ mé Ç â ( ) Ñ ã Ñ ä mé 1 å ké é Ç Wegen É mk und k m mk k folg t 1.: mé m m 4 folg t.: É bzw. k 4 mk mé 1 Setzen wir das in die Gleichung ein folgt: HÇ ( Ñ ) ÜÇ

5 PC-II-04 Seite 5 von 8 WiSe 09/10 Harmonischer Oszillator Der harmonische Oszillator dient als einfachstes Model fr die quantenmechanische Beschreibung der Schwingung. Die LÇsungen sind bekannt: E ( Ñ 1 ) Ü ; 0, 1,...; k m Die erlaubten Energieniveaus haben konstante Abstnde von è E Photonen entsprechender Energie kçnnen absorbiert werden. Anharmonischer Oszillator - Morse Potential Ein Modell fr einen anharmonischen Oszillator das fr die Beschreibung der Schwingung von Moleklen besser geeignet ist als der harmonische Oszillator ist das sogenannte Morse-Potential. Ç a R RGL VMorse DGL 1 e mit a Ü D D GL ist die Tiefe des Potentialminimums. Die sich ergebenden Energieniveaus sind: Die wesentlichen Verbesserungen gegenber dem harmonischen Oszillator sind: 1. Dissoziation von Moleklen ist mçglich. Energieniveaus konvergieren gegen die Dissoziationsgrenze É ( ) Ü E ( Ñ 1 1 ) ( Ñ ) x mit x GL GL Gl a Ü

6 PC-II-04 Seite 6 von 8 WiSe 09/10 Eignung des harmonischen Oszillators als Modell fr die IR-Spektroskopie Bei Raumtemperatur sind praktisch alle Molekle im Schwingungsgrundzustand (Begrndung folgt spter). Die spektroskopisch ÉgenutztenÑ bergnge entsprechen daher praktisch ausschlieülich dem bergang 0 1. Fr diesen bergang ist der harmonische Oszillator ein akzeptables Modell. Schwingungen mehratomiger Molekle / Normalschwingungen Fr die Beschreibung aller Ortskoordinaten aller N Atome eines Molekls werden 3N Koordinaten bençtigt. Da wir Schwingungen im Schwerpunktsstem betrachten wollen, kçnnen 3 Koordinaten fr die Bewegung des Schwerpunktes und 3 Koordinaten fr die Orientierung der Rotationsachse abgezogen werden. Ein nichtlineares Molekl mit N Atomen kann daher 3N-6 Grundschwingungen ausfhren, fr lineare Molekle ergibt die gleiche Rechnung 3N-5.

7 PC-II-04 Seite 7 von 8 WiSe 09/10 Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators Aufenthaltswahrscheinlichkeit des harmonischen Oszillators

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