Versuch 1 Der Pohlsche Resonator

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1 Physikalisches A-Praktikum Versuch 1 Der Pohlsche Resonator Praktikanten: Julius Strake Niklas Bölter Gruppe: 17 Betreuer: Hendrik Schmidt Durchgeführt: Unterschrift:

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Theorie Der harmonische Oszillator Oszillator mit äußerer Anregung Durchführung 5 4 Auswertung 6 5 Diskussion 9 A Tabellen und Grafiken 1

4 4 2 THEORIE 1 Einleitung Bei diesem Versuch wird das nach dem Göttinger Physikprofessor Robert Wichard Pohl benannte Pohlsche Rad benutzt, um die physikalischen Eigenschaften eines gedämpften harmonischen Oszillators zu untersuchen. 2 Theorie 2.1 Der harmonische Oszillator Bei einem harmonischen Oszillator wirkt auf ein physikalisches Objekt eine Rückstellkraft, die proportional zur Auslenkung von einer Ruhelage ist. Beim Pohlschen Resonator wird das rückstellende Drehmoment T auf eine Schwungscheibe durch eine Spiralfeder erzeugt (Meschede, 26, S. 85): T = Dϕ J ϕ = Dϕ Dabei bezeichnet D die Federkonstante der Feder und J das Trägheitsmoment der Schwungscheibe. Dies beschreibt einen ungedämpften harmonischen Oszillator mit der Eigenfrequenz ω : ϕ(t) = ϕ cos(ω t) (1) D ω = J. (2) Zusätzlich wird das Pohlsche Rad durch Reibung und eine Wirbelstrombremse gebremst, dabei ist das bremsende Drehmoment linear von der Winkelgeschwindigkeit abhängig, so dass sich insgesamt folgende Gleichung ergibt: ϕ = 2k ϕ D J ϕ = ϕ + 2k ϕ + ω 2 ϕ Hier bezeichnet k die Dämpfungskonstante der gedämpften Oszillation. Diese Differentialgleichung hat zwei Lösungen (Meschede, 26, S. 15): ϕ(t) = ϕ exp(λt) λ 1,2 = k ± k 2 ω 2 Bei der hier vorliegenden schwachen Dämpfung ergibt sich ein negativer Radikand, der Realteil liefert nun die Gleichung für die gedämpfte Schwingung: ϕ(t) = ϕ exp( kt) sin(ω e t) (3) ω e = ω 2 k2 (4)

5 2.2 Oszillator mit äußerer Anregung 5 Dabei ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Maxima nur von der einhüllenden Exponentialfunktion abhängig, was zur Definition des logarithmischen Dekrements Λ führt: ( ) ϕ(t) Λ = ln = kt (5) ϕ(t + T ) 2.2 Oszillator mit äußerer Anregung Bei einer sinusförmigen äußeren Anregung mit der Anregungsfrequenz ω ergibt sich ein zusätzlicher Term in der Differentialgleichung: N cos(ωt) = ϕ + 2k ϕ + ω 2 ϕ Eine Lösung für den stationären Zustand lautet (Meschede, 26, S. 154): N ϕ(t) = cos(ωt + φ) (6) (ω 2 ω 2 ) 2 + (2kω) 2 ( ) 2kω φ = arctan ω 2 (7) ω2 Dabei bezeichnet φ die Phasenverschiebung zwischen äußerer Anregung und Oszillator. 3 Durchführung Winkelskala 5 Rad mit Zeiger (schwingendes System) Spiralfeder Übertragungshebel Wirbelstrombremse, Justierung Exzenter Abbildung 1: Skizze des Pohlschen Resonators (Quelle: Schaaf und Große-Knetter, LP). Der Pohlsche Resonator (Abb. 1) besteht aus einem Schwungrad, welches mit einer Spiralfeder verbunden ist. Die Dämpfung der Schwingung kann mit einer Wirbelstrombremse eingestellt werden.

6 6 4 AUSWERTUNG Das äußere periodische Anregungsmoment wird mittels eines computergesteuerten Schrittmotors erzeugt. Der Computer wird auch für die Aufname der Messwerte benutzt, bei der das Programm kpohl eingesetzt wird. Zuerst wird die freie gedämpfte Schwingung (ohne äußere Anregung) für verschiedene Einstellungen der Wirbelstrombremse gemessen. Danach wird die erzwungene Schwingung für verschiedene Frequenzen zwischen 1 mhz und 6 mhz gemessen, und zwar ebenfalls für verschiedene Einstellungen der Wirbelstrombremse. Dabei werden möglichst viele Messreihen in der Nähe der Resonanzfrequenz durchgeführt. 4 Auswertung Zuerst werden die Abklingkurven φ(t) aufgetragen (Abb. 4, Abb. 5, Abb. 6 sowie Abb. 7). Nun wird die Zeit über der Zahl der Amplitudendurchläufe aufgetragen (Abb. 8), dann wird mit gnuplot via linearer Regression die Eigenfrequenz der Oszillation bestimmt, denn in einer Periode hat der Oszillator natürlich zwei Amplitudendurchläufe, also mit t(x) = m x + b T = 2m = ωe /2π: ω e, mm = (2.69 ±.3) Hz ω e,4 mm = (2.117 ±.5) Hz ω e,6 mm = (2.139 ±.9) Hz ω e,8 mm = (2.114 ±.21) Hz Jetzt werden die logarithmischen Dekremente von zwei aufeinanderfolgenden Extrema bestimmt (Tab. 2), als Mittelwert ergeben sich: Λ mm = (.16 ±.7) Λ 4 mm = (.449 ±.3) Λ 6 mm = (.862 ±.18) Λ 8 mm = (1.489 ±.57) Dabei wurde die Standardabweichung für die Fehlerabschätzung benutzt. Mit Formel (5) kann nun leicht die Dämpfungskonstante k bestimmt werden: Λ = kt k = Λω e 2π σ k = 1 (Λσ ωe ) 2 + (ω e σ Λ ) 2 2π k mm = (.34 ±.1)1 1 Hz k 4 mm = (1.51 ±.3)1 1 Hz k 6 mm = (2.93 ±.4)1 1 Hz k 8 mm = (5.1 ±.15)1 1 Hz

7 7 Mit Gleichung (4) lässt sich jetzt auch die ungedämpfte Eigenfrequenz ω berechnen: ω 2 e = ω 2 k 2 ω = ωe 2 + k 2 (ω e σ k ) 2 + (kσ ωe ) 2 σ ω = ω 2 e + k 2 ω, mm = (2.69 ±.2) Hz ω,4 mm = (2.122 ±.4) Hz ω,6 mm = (2.159 ±.5) Hz ω,8 mm = (2.173 ±.16) Hz Mit den Dämpfungskonstanten und der ungedämpften Eigenfrequenz ω, mm können nun über die Formel (6) Vorhersagen über die Resonanzfrequenz der getriebenen Oszillation gemacht werden: ϕ(t) = N cos(ωt + φ) (ω 2 ω 2 ) 2 + (2kω) 2 =! d ( (ω 2 dω ω 2 ) 2 + (2kω) 2) ω r = ω 2 2k2 (ω σ k ) σ ωr = 2 + (kσ ω ) 2 ω 2 2k 2 Die Ergebnisse und die experimentell bestimmten Resonanzfrequenzen sind in Tab. 1 zusammengefasst. ω r [Hz] Vorhersage Experiment 4 mm Dämpfung 2.6 ± ±.4 6 mm Dämpfung 2.3 ±.5 2. ±.4 8 mm Dämpfung 1.94 ± ±.4 Tabelle 1: Resonanzfrequenzen der getriebenen Oszillation

8 8 4 AUSWERTUNG 12 1 Dämpfung 4mm Dämpfung 6mm Dämpfung 8mm Amplitude ϕ [ ] Anregungsfrequenz ω /ω [-] Abbildung 2: Amplituden bei verschiedenen Anregungsfrequenzen 1 Phasenverschiebung φ /π [-] Dämpfung 4 mm Dämpfung 6 mm Dämpfung 8 mm Anregungsfrequenz ω /ω [-] Abbildung 3: Phasenverschiebung bei verschiedenen Anregungsfrequenzen

9 9 5 Diskussion Zuerst fällt auf, dass die Eigenfrequenzen der freien Oszillation signifikant der Theorie wiedersprechen, tendenziell werden sie bei größerer Dämpfung ebenfalls größer, obwohl das Gegenteil der Fall sein sollte! Es wurden mehrere Ansätze getestet, zuerst nur mit dem Abstand von Nulldurchgängen, dann mittels linearer Regression über alle Amplitudenduchgänge, aber alle haben denselben Trend bestätigt. Die Ursache dafür ist unklar, aber vermutlich ist zumindestens die erste gemessene Frequenz, bei der geringsten Dämpfung, verlässlich. Hier konnten natürlich auch am meisten Messwerte aufgenommen werden. Die Logarithmischen Dekremente sind im Gegensatz dazu qualitativ auf jeden Fall aussagekräftig, bei höherer Dämpfung steigen sie signifikant an. Durch die merkwürdigen Ergebnisse bei den Eigenfrequenzen sind aber die Dämpfungskonstanten vermutlich stärker fehlerbehaftet als die mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung bestimmten Fehler vermuten lassen. Bei den ungedämpften Eigenfrequenzen ist eine starke Abweichung von bis zu 5% zu verzeichnen, die sicherlich von den oben beschriebenen Problemen abhängt. Auch hier ist aber vermutlich dem ersten Ergebnis, welches für die weitere Auswertung gebraucht wurde, noch am ehesten zu vertrauen. Beim Frequenzgang (Abb. 2) haben wir leider bei 4 mm Dämpfung nicht genug Messreihen für den Bereich 32 mhz bis 38 mhz gemacht, so dass die Regression mit dem arctan Ansatz aus Formel (7) bei dieser Dämpfung nicht wirklich vertrauenswürdig ist (χ 2 red = 2.77). Die anderen beiden Regressionen zeigen aber eine sehr gute Übereinstimmung mit der Theorie (χ 2 red,6 mm =.29, χ2 red,8 mm =.12). Bei der Phasenverschiebung (Abb. 3) mussten verschiedene Probleme umgangen werden, was zu einer etwas unorthodoxen Lösung geführt hat (Abb. 9). Qualitativ scheint das Phasendiagramm aber auf jeden Fall mit der Theorie übereinzustimmen. Der Wert für 6 Hz fällt bei allen drei Dämpfungen sehr stark ab, für 4 mm Dämpfung war er sogar vollständig unbrauchbar (φ = 128 ) und wurde für die Regression ignoriert.

10 1 A TABELLEN UND GRAFIKEN A Tabellen und Grafiken 15 Amplitude ϕ Auslenkungswinkel ϕ(t) [ ] Zeit t [ms] Abbildung 4: Abklingkurve der freien Schwingung für mm Dämpfung

11 11 15 Amplitude ϕ Auslenkungswinkel ϕ(t) [ ] Zeit t [ms] Abbildung 5: Abklingkurve der freien Schwingung für 4 mm Dämpfung 15 Amplitude ϕ Auslenkungswinkel ϕ(t) [ ] Zeit t [ms] Abbildung 6: Abklingkurve der freien Schwingung für 6 mm Dämpfung

12 12 A TABELLEN UND GRAFIKEN 2 15 Amplitude ϕ Auslenkungswinkel ϕ(t) [ ] Zeit t [ms] Abbildung 7: Abklingkurve der freien Schwingung für 8 mm Dämpfung 25 2 Zeit t in [ms] mm Dämpfung Lineare Regression 4 mm Dämpfung Lineare Regression 6 mm Dämpfung Lineare Regression 8 mm Dämpfung Lineare Regression Amplitudendurchlauf [#] Abbildung 8: Lineare Regression zur Bestimmung der Eigenfrequenz ω e

13 13 mm Dämpfung 4 mm Dämpfung 6 mm Dämpfung 8 mm Dämpfung Tabelle 2: Logarithmische Dekremente der freien Oszillation i f i n t ( measurement [ Anregungsfrequenz ] ) > : d i f f e r e n c e = zero f l o a t ( measurement [ Nullpunkt Erreger [ ms ] ] ) _phase = 3 6. ( d i f f e r e n c e % t i m e s c a l e )/ t i m e s c a l e # Use a d a p t i v e t i m e s c a l e, the frequency given # by the computer i s c o m p l e t e l y i n a c c u r a t e. : ( t i m e s c a l e = ( zero time ) zero = time # Crap v a l u e s in the f i r s t seconds. i f time < 1. : continue # Average over t he phase a n g l e s phase = phase f l o a t ( phasecount )/ f l o a t ( phasecount + 1) phasecount = phasecount + 1 phase = phase + _phase/ f l o a t ( phasecount ) Abbildung 9: Python Code zur Berechnung der Phasenverschiebung

14 14 LITERATUR Literatur [Meschede 26] 26 Meschede, Dieter: Gerthsen Physik. 23. Ausgabe. Springer, [Schaaf und Große-Knetter ] Schaaf, Peter ; Große-Knetter, Jörn: LP - Der Pohlsche Resonator. URL Zugriffsdatum: