Schwingung, Resonanz, Dämpfung

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1 In diesem Versuch untersuchen Sie Schwingungen und ihre Gesetzmäßigkeiten mit einem Drehschwingssystem als ein Beispiel für die unzähligen Oszillatoren, die Ihnen in fast allen Gebieten der Physik begegnen werden. In der Technik geht es oft darum, Schwingungen zu unterdrücken. Wann kommt es zur Resonanzkatastrophe und wie kann man sie vermeiden. Was bestimmt die charakteristische Klangfarbe eines Musikinstrumentes? Wie misst man die Stärke von Erdbebenwellen? Daneben lernen Sie, wie man mechanische Bewegungen elektrisch erfassen kann und wie sich Messwerte mit einem Computer auswerten und graphisch darstellen lassen. Schriftliche VORbereitung: Machen Sie sich mit folgenden Begriffen vertraut: (I) Trägheitsmoment (II) Drehmoment (III) Bewegungsgleichung: harmonische, gedämpfte, erzwungene Schwingung (IV) Resonanz (V) Phasenverschiebung. Von welchen vier Größen hängt die Amplitude einer erzwungenen Schwingung ab? Erklären Sie den qualitativen Verlauf von Resonanzkurve und Phasenverschiebung einer erzwungenen Schwingung möglichst anschaulich, ohne Formeln. Die Auslenkungswinkel φ von Pendel und Erreger werden im Versuch mit Hallsensoren erfasst. Wie würden Sie experimentell prüfen, dass Φ U H (Hallspannung) ist und was ist der Halleffekt? Wie funktioniert eine Wirbelstrombremse? Warum ist die Bremskraft annähernd geschwindigkeitsproportional? Bilder zu diesem Versuch finden Sie hier: 1 von 6

2 1 Grundlagen Kräfe beim Federpendel Eine Kugel hängt in Ruhe an einer Feder (Abb. 1, 1. Position). Auf diese Kugel wirken verschiedene Kräfte, die man zu einer Gesamtkraft F ges summieren kann. Je nach Position nimmt die resultierende Kraft F ges unterschiedliche Werte an und hat unterschiedliche Richtungen. Die Kugel sei um die Strecke s nach unten ausgelenkt. Wie groß sind jetzt die Kräfte? Die Auslenkung s(t) zur Zeit t Für Schwingungen wie beim Federpendel gibt es einen bemerkenswerten Zusammenhang mit einer Kreisbewegung. Wenn die Schwingungsdauer T des Pendels gleich der Umlaufzeit der Scheibe ist, so bewegen sich die Projektionen der Kugel und der Marke M in Abb. 2 auf dem Schirm synchron. Also können Sie schreiben: y k = y M = y 0 cos(φ) Abbildung 1: Hebt man die Kugel etwas an und lässt sie dann los, so ist die... größer als die.... Die Kugel fällt nach unten, schießt wegen ihrer... über die Gleichgewichtslage hinaus, wird von der Feder abgebremst und wieder nach oben beschleunigt. Der Vorgang wiederholt sich: Das Federpendel schwingt. wobei y 0 = r und bei gleichförmiger Kreisbewegung (ω = const.) gilt: t T = φ 2π ; 2π φ(t) = T t und φ(t) = ω = 2π T. Damit bekommen Sie die Gleichung für y(t): ( ) 2π y(t) = y 0 cos(φ) = y 0 cos T t = y 0 cos(ωt) Kennt man die Schwingungsdauer T und die Amplitude y 0, so lässt sich mit dieser Gleichung die Auslenkung der Kugel zu jeder Zeit berechnen. Abbildung 2: Die Marke M rotiert auf der Kreisscheibe gleichmäßig um die horizontale Achse A. Die Umlaufzeit der Scheibe wird so angepasst, dass sie mit der Schwingungsdauer T des Federpendels identisch ist. Berechnung der Schwingungsdauer T Der Energiesatz für φ = π/2 lautet 1 2 mv2 max = 1 2 Dy2 0 (wobei D die Federkonstante ist). Aus Abb. 2 lesen Sie außerdem direkt ab, dass v max = ω r = ωy. Daraus berechnen Sie die Periodendauer T der Oszillation aus 1 2 mv2 max = 1 2 Dy2 0 mit v max = 2πr T = ωy 0 T = 2π m ω = 2π D. 2 von 6

3 Ein zweites, etwas komplexeres, Beispiel: Der Pendelkörper in Abb. 3 wird auf dem Kreisbogen um das Stück s = L φ (φ im Bogenmaß) ausgelenkt, auf ihn wirkt die Gewichtskraft F = m g. Zerlegt man diese Kraft in die zwei Komponenten parallel und senkrecht zur Fadenrichtung, so zwingt F lediglich den Körper auf die Kreisbahn. Zurückgetrieben wir der Körper nur von der Kraft F : ( s F = mg sin(φ) = mg sin. L) Für s L ist sin(φ) = s 0 /L s/l und daher F = mg s L Die Kraft ist proportional zur Auslenkung. Mit dem Grundgesetz von Newton (F = m a) folgt: F = m s = mg s L. Abbildung 3: Für kleine Winkel ist die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung. Die Schwingung ist daher harmonisch. Setzen Sie hier die Bewegungsgleichung s = s 0 cos(ωt) ein, so erhalten Sie die Bestimmungsgleichung für die Periodendauer des Fadenpendels: ω 2 = g L T = 2π L g. Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels ist umso größer, je länger das Pendel ist. Sie ist unabhängig von der Masse und für kleine Ausschläge auch unabhängig von der Anfangsamplitude. Abbildung 4: Der Sensor hier ist ein Drehpotentiometer. Je größer der Winkel des Pendels, desto größer wird der Spannungsabfall an dem Drehwiderstand. Erzwungene Schwingung, Resonanz Bisher hatten Sie das Pendel einmal ausgelenkt und dann sich selbst überlassen. Es schwingt mit seiner Eigenfrequenz. Was passiert, wenn man das Pendel nicht sich selbst überlässt, sondern von außen anregt, indem man z.b. die Aufhängung des Pendels periodisch bewegt? Bei niedrigen Erregerfrequenzen stimmen die Amplitude des schwingenden Körpers und des Erregers überein. Beide bewegen sich im Gleichtakt. Steigert man die Erregerfrequenz, so hinkt das Pendel aufgrund seiner Trägheit dem Erreger hinterher. Seine Schwingungen erfolgen phasenverschoben. Mit welcher Frequenz schwingt jetzt das Pendel und wie groß wird die Amplitude? Bei sehr hohen Erregerfrequenzen ist die Bewegung wieder leicht zu durchschauen: Der Körper schwingt mit der Erregerfrequenz, allerdings erfolgt die Bewegung im Gegentakt. Die Amplitude ist sehr klein. In Abb. 5 sind diese Verhältnisse anschaulich dargestellt. Die obere Kurve beschreibt die periodische Bewegung der Pendelaufhängung, die untere die Reaktion den Pendelmasse. 3 von 6

4 (a) Erregerfrequenz Eigenfrequenz (b) Erregerfrequenz = Eigenfrequenz (c) Erregerfrequenz Eigenfrequenz Abbildung 5: Angeregte Schwingungen mit verschiedenen Erregerfrequenzen Resonanzkatastrophe Die Tacoma-Narrows-Brücke überspannte mir einer Mittelspannweite von 853 m eine Meerenge in der Nähe der Stadt Tacoma/Washington. Am passierte es: Bei einer Windgeschwindigkeit von 60 km/h fing der Mittelteil der Brücke an zu schwingen (Frequenz = 0,6 Hz, Amplitude von 0,5 m). Zusätzlich setze eine starke Drehschwingung ein (Frequenz 0,2 Hz, Amplitude von 8,5 m). Der Wind hatte die Eigenschwingungen der Brücke angeregt. Ein gleichmäßiger Wind führte zu einer immer größeren Schwingungsamplitude bis zur Katastrophe. Heute werden deshalb alle Hängebrücken vor ihrem Bau als Modell im Windkanal getestet. Abbildung 6: Die eingestürzte Brücke Tacoma/Washington Tacoma_narrows_bridge_collapsed.jpg Aufgaben: 1. Verifizieren Sie die Bewegungsgleichungen aus (III) durch Einsetzen. 2. Erklären Sie Verschiebung der Resonanzfrequenz bei der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von der Stärke der Dämpfung. 3. Bei welcher Frequenz liegt das Resonanzmaximum einer erzwungenen Schwingung? zu Kräfe beim Federpendel 4. Auf die Kugel in Abb. 1 wirken verschiedene Kräfte. Nennen Sie diese und schreiben Sie die Kräftesumme F ges auf. 5. Die Kugel sei um die Stecke s nach unten ausgelenkt. Wie groß sind jetzt die Kräfte? Wie groß ist die resultierende Kraft und welche Richtung hat sie? 6. Füllen Sie die Lücken in Abb Zeichnen Sie qualitativ die Funktionen: y = cos(2π x); y = e 0,5x ; y = cos(2π x) e 0,5x 4 von 6

5 2 Experimente Versuch zur ungedämpften und gedämpften Schwingung Versuchsaufbau Machen Sie sich mit der Messwerterfassung (Abb. 4) vertraut. Nutzen Sie die Anleitung am Arbeitsplatz und probieren Sie die Parameter des Programms aus, um die optimalen Einstellungen herauszufinden: (I) Ein elektrischer Sensor erzeugt eine analoge Spannung, die direkt proportional zum Messwert ist. Solche Sensoren gibt es für Druck, Luftfeuchtigkeit, ph-wert, Drehzahl, Kraft, um nur einige zu nennen. Solche Messwert-Erfassungssysteme sind daher universell einsetzbar. (II) Das Messsystem fragt mit einer einstellbaren Taktrate den momentanen Spannungswert ab, rundet ihn mit einer endlichen Genauigkeit (!) ab und speichert den digitalisierten Wert mit der dazu gehörigen Zeit intern. Sehr gute Systeme kommen mit kleinen Taktraten aus. Abbildung 7: Das Pohl sche Drehpendel (III) Mit einem Programm lassen sich die Werte auf einem PC erfassen und tabellarisch oder grafisch auf dem Bildschirm darstellen. Die Weiterverarbeitung der Daten wird damit ganz wesentlich erleichtert, z.b. um eine Fehlerrechnung durchzuführen. Die ungedämpfte und die gedämpfte Schwingung werden als nächstes mit einem Drehpendel untersucht. Das Drehpendel selbst besteht aus einer Spiralfeder S und einem flachen Kupferring K, der sich um seinen Mittelpunkt dreht. Die Auslenkung φ wird mit dem Messsystem (Abb. 4) alle 20 nm registriert und auf dem Bildschirm dargestellt. Als Sensor dient hier eine Hallsonde, die Hallspannung ist proportional Abbildung 8: Mögliche Ergebnisse Ihrer Messungen. zum Winkel φ Pendel. Das Drehpendel lässt sich mit einer Wirbelstrombremse dämpfen. Der Kupferring K rotiert dazu zwischen den Polen W eines Elektromagneten. (M1) Mit dem Messprogramm auf dem Computer produzieren Sie Graphen wie in Abb. 8. Die Anleitung und einzustellende Werte finden Sie am Arbeitsplatz. Wenn Ihnen die Darstellung auf dem Bildschirm gefällt, drucken Sie sie aus. (M2) Messen Sie die Dämpfungs-Stromstärke, bei der das Pendel am schnellsten zur Ruhe kommt. Klären Sie die folgenden Fragen anhand ihrer Messung: (A1) Ändert sich die Schwingungsdauer T mit der Dämpfung? (A2) Ist das Verhältnis aufeinander folgender Amplituden konstant? (A3) Wie groß ist die Zeit, in der das Pendel am schnellsten zur Ruhe kommt? 5 von 6

6 Versuch zur erzwungenen Schwingung und Resonanz Versuchsdurchführung Am Arbeitsplatz finden Sie alle notwendigen Werte, die Sie zum Durchführen des nächsten Versuchsteils benötigen. Über die Schubstange und den Hebel in Abb. 7 wird das Drehpendel jetzt von einem Motor mit variabler Drehzahl periodisch erregt. An dem Hebel ist ein zweiter Winkelaufnehmer angebracht. Mit dem Messsystem können Sie daher die Bewegung von Pendel und Erreger gleichzeitig aufnehmen und die Phasenverschiebung zwischen beiden folgen. (M3) Nehmen Sie wie im vorherigen Versuch die Bewegungen mit dem Messsystem auf. Beantworten Sie folgende Fragen anhand Ihrer Messdaten: (A4) Wie groß wird die Amplitude des Pendels im Resonanzfall? (A5) Mit welcher Frequenz schwingt in allen Fällen das Pendel? (A6) Können Sie anschaulich erklären, warum die Amplitude im Resonanzfall so groß wird (Abb. 5b)? Abbildung 9: Resonanzkurve einer erzwungenen Schwingung 6 von 6