Versuch Erzwungene Schwingung

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1 Versuch Erzwungene Schwingung erneuert aus Studiengebühren Vorbereitung: Drehschwingung, Gedämpfte Schwingung, Erzwungene Schwingung, Phasenraumdiagramme, Wirbelstrombremse Literatur: Standard-Lehrbücher der Experimentalphysik, z.b. Gerthsen, Vogel: Physik, Springer-Verlag 1 Vorbereitung In diesem Versuch werden gedämpfte Schwingung, erzwungene Schwingungen und Resonanzphänomene anhand von Drehschwingungen untersucht: Beim Drehpendel (Kupferrad mit Trägheitsmoment J) wirken als Drehmomente das rückstellende Drehmoment (erzeugt duch eine Schneckenfeder mit Winkelrichtgröße D ) M r = D ϕ (mit ϕ: Winkelauslenkung), die Dämpfung M d = k ϕ und im Fall der erzwungenen Schwingung ein äußeres periodisches Drehmoment M ext = M 0 cos ωt. Das resultierende Drehmoment M res = M r + M d + M ext verursacht eine zeitliche Drehimpulsänderung J ϕ. Als resultierende Differentialgleichung für das Drehpendel ergibt sich: J ϕ + k ϕ + D ϕ = M 0 cos ωt bzw. ϕ + δ ϕ + ω 0ϕ = A 0 cos ωt (1) mit ω 0 = D /J Eigenfrequenz des ungedämpften Systems, δ = k/(j) Abklingkonstante, A 0 = M 0 /J. Freie gedämpfte Schwingung Bearbeiten Sie folgende Aufgaben schriftlich in der Vorbereitung: 1. Lösen Sie Gleichung (1) für den Fall, dass kein äußeres Drehmoment vorliegt (homogene Differentialgleichung) und diskutieren Sie die verschiedenen auftretenden Fälle (Schwingfall, aperiodischer Grenzfall, Kriechfall).. Zeigen Sie, dass für die Schwingungsdauer T folgender Zusammenhang gilt: T = 1 T 0 ( T0 δ π ) () Dabei ist T 0 die Schwingungsdauer des ungedämpften Systems. 1

2 Erzwungene Schwingung Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (1) nützt man die Tatsache, dass ein schwingungsfähiges System nach einer gewissen Einschwingzeit mit der Erregerfrequenz ω schwingt (nicht mit seiner Eigenfrequenz ω 0 ). Man verwendet daher den Ansatz ϕ(t) = ϕ a cos(ωt β). β ist dabei die Phasenverschiebung zwischen der Schwingung des Systems und der äußeren Erregung, ϕ a ist die Amplitude der resultierenden Schwingung, die von der Erregerfrequenz ω abhängt. Einsetzen in Gleichung (1) liefert: [( ω0 ω ) ] sinβ δω cos β tan ωt = A ( 0 ω0 ω ) cos β δω sinβ (3) ϕ a Die linke Seite von Gleichung (3) ist zeitabhängig, während die rechte Seite zeitunabhängig ist. Gleichung (3) kann also für beliebige Zeiten nur erfüllt sein, wenn die Zeitabhängigkeit auf der linken Seite verschwindet, d.h. der Inhalt der eckigen Klammer Null ist; damit muss auch die rechte Seite von Gleichung (3) Null sein. Dies führt zu tanβ = δω ω 0 ω (4) sowie ϕ a = A 0 ( ω 0 ω ) cos β + δω sinβ 1 Unter Verwendung von Gleichung (4), des Zusammenhangs cos β = 1 + tan β sowie der Abkürzung ϕ 0 = ϕ a (ω = 0) = A 0 ergibt sich: ω0 ϕ a = ϕ 0 [ ( ) ] (5) ( ) 1 ω + δ ω ω0 ω0 3. Leiten Sie die Gleichungen (3) und (5) schriftlich in der Vorbereitung her. Phasenraumkurven (nur für Physiker) Die Newtonschen Bewegungsgleichungen können nur in einer geringen Anzahl von Ausnahmefällen analytisch gelöst werden. Es ist daher wichtig effiziente Verfahren zu kennen, die eine qualitative Charakterisierung von Bewegungstypen auch bei Abwesenheit geschlossener Lösungen erlauben. Qualitative Untersuchungen mechanischer Bewegungen führt man zweckmäßigerweise im sogenannten Phasenraum durch. Dabei wird der Impuls/Drehimpuls

3 (oder Geschwindigkeit/Winkelgeschwindigkeit) über Ortskoordinate/Winkel aufgetragen, und nicht über die Zeit wie in der üblichen Darstellung. Um eine Bewegung analysieren und ein Phasenraumportrait erstellen zu können, ist es nötig das zugrundeliegende Kraftgesetz bzw. die daraus resultierende potentielle Energie abhängig von Ortskoordinate oder Winkel zu kennen. Abbildung 1 gibt für ein vorgebenes Potential V(x) und verschiedene Energien W i, die das System besitzt, die entsprechenden Phasenraumkurven. In der Nähe des Minimums x 0 hat das Potential parabolischen Verlauf (es Abbildung 1: a) Potential V(x); b) resultierendes Phasenraumportrait liegt dann eine harmonische Schwingung vor), und die entsprechende Phasenraumkurve ist eine Ellipse (Kurve zu W 1 ). Für höhere Energien (W ) werden Abweichungen vom parabolischen Verlauf bemerkbar, die Phasenraumkurve ist eine verzerrte Ellipse. Ist die Energie größer als V 1 (z.b. im Fall W 4 ), ist die Bewegung nicht mehr gebunden und geht bis x +. 3

4 Versuchsbeschreibung Das schwingende System ist ein leichtgelagertes Rad aus Kupfer, an dessen Achse eine Schneckenfeder befestigt ist, welche das rücktreibende Drehmoment liefert. Als Erreger der erzwungenen Schwingung dient ein kleiner Gleichstromgetriebemotor, der ber einen Exzenter und einen Hebel die Schneckenfeder in periodischer Folge zusammendrückt und auseinanderzieht. Der Motor kann mit einer Gleichspannung bis max. 4V betrieben werden. Die Stromaufnahme beträgt 0.5 A. Die Spannung wird dem Motor über ein regelbares Netzgerät (Konstanter) zugeführt. Will man die Amplitude des Erregers verstellen, so braucht man nur die Verschraubung der Schubstange mit dem an der Feder befestigten Hebel zu lösen und die Schubstange in der Führung des Hebels zu verschieben. Verschieben nach oben ergibt größere, Verschieben nach unten kleinere Amplituden des Erregers. Die eigentliche Dämpfung des schwingenden Systems wird durch einen Elektromagneten bewirkt, zwischen dessen Polen das schwingende Rad läuft (Wirbelstrombremse). Die Spulen des Magneten sind mit 1000 ma belastbar. Die dazu nötige Gleichspannung wird aus einem Netzgerät geliefert. Die Bewegungen des schwingenden Rades werden von einem Bewegungsmesswandler in elektrische Impulse ungewandelt und am Rechner dargestellt. 3 Versuchsdurchführung gedämpfte Schwingung 4. Nehmen Sie die Bewegung des frei schwingenden Rades auf (Programm erzschwingung im CASSYlab laden). Bestimmen Sie die Schwingungsdauer T aus dem zeitlichen Abstand des n- und (n+10)-ten Maximums; bestimmen Sie die Abklingkonstante δ durch Fit einer exponentiellen Einhüllenden an den gemessenen Verlauf (rechte Maustaste: Anpassung durchführen: Einhüllende e x ). Schätzen Sie mit Hilfe von Gleichung () ab, wie stark die gemessenen Schwingungsdauer T aufgrund unvermeidbarer Reibung von der tatsächlichen freien Schwingungsdauer T 0 abweicht. 5. Wiederholen Sie die Messung aus Aufgabe 4 (nur Bestimmung von δ) für verschiedene Dämpfungen (I D = 100, 00, 300, 400, 500, 600, 700 und 800 ma). Tragen Sie δ über den Dämpfungsstrom I D auf. Welchen Verlauf erwarten Sie? Begründung! erzwungene Schwingung 6. Bestimmen Sie für verschiedene Dämpfungen (I D = 00, 400 und 800 ma) die Amplitudenresonanzkurven: Verändern Sie dazu die Erreger- 4

5 frequenz am Motor (mindestens 15 Messpunkte pro Kurve, im Bereich der Resonanz in kleineren Schritten messen) und nehmen Sie nach genügend langem Einschwingen jeweils die Schwingung mit dem Rechner auf. Bestimmen Sie die Amplitude ϕ der Schwingung durch Fit einer exponentiellen Einhüllenden wie oben; die Erregerfrequenz ν wird aus der Schwingungsdauer T ermittelt (Bestimmung wie in Aufgabe 4). (a) Tragen Sie bei der Auswertung das Amplitudenverhältnis ϕ ϕ 0 über ν ν 0 auf, wobei ν 0 = 1 T 0 die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems ist. ϕ 0 muss als Grenzwert von ϕ für ν 0 extrapoliert werden. (b) Zeichnen Sie die theoretisch erwarteten Amplitudenkurven (Gleichung 5) in die Diagramme mit Ihren Messwerten ein. Verwenden Sie dazu die in Aufgabe 5 bestimmten Werte für δ, sowie das in Aufgabe 4 bestimmte T 0, um ω 0 zu berechnen. (c) Skizzieren Sie qualitativ die Phasenverschiebung zwischen Erreger und schwingendem System abhängig von der Erregerfrequenz für zwei verschiedene Dämpfungen. Phasenraumkurven (nur für Physiker) 7. Nehmen Sie für zwei verschieden gedämpfte Schwingungen (I D = 0 ma und I D = 400 ma) die Phasenraumkurven auf (Programm phasenkurve laden). Beschreiben Sie den Verlauf. Was erwarten Sie für eine ungedämpfte harmonische Schwingung (Rechnung!)? 8. Nehmen Sie für eine erzwungene Schwingung (I D = 300 ma) in der Nähe der Resonanz die Phasenraumkurven einmal nach dem Einschwingen und einmal mit Einschwingvorgang auf. Beschreiben Sie den Verlauf! 9. Bringen Sie am Rad des Drehpendels eine Zusatzmasse von 5 g an. (a) Bestimmen Sie die neuen Gleichgewichtslagen. Wie wird die Eigenfrequenz des Systems durch Anbringen des Gewichts verändert? Skizzieren Sie die potentielle Energie des Systems abhängig von der Auslenkung ϕ (qualitativ). (b) Nehmen Sie mehrere Phasenraumkurven für erzwungene Schwingungen (I D = 0 ma) in der Nähe der Resonanz (Spannung am Erregermotor im Bereich 4.5 V V) und weit von der Resonanz entfernt auf. Veranschaulichen Sie sich die beobachteten Fälle, indem Sie für den Verlauf der potentiellen Energie in Teilaufgabe a) ein Phasenraumportrait analog Abbildung 1 zeichnen. 5