Erzwungene Schwingungen

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1 Universität Potsdam Institut für Physik und Astronomie Grundpraktikum S4 Erzwungene Schwingungen Dieses Experiment enthält zwei Bestandteile: Es werden Zusammehänge zwischen erregender und erregter Schwingung eines gedämpften Drehpendels (Pohlsches Drehpendel) untersucht. Durch Anbringen von Zusatzmassen wird das Pohlsche Drehpendel zu einem chaotischen System (Duffing-Oszillator). Es werden Schwingungs- und Phasendiagramme aufgenommen und interpretiert. Aufgaben 1. Die Eigenschwingungsdauer T 0 des Drehpendels ist zu messen. 2. Das Dämpfungsmaß ist als Funktion der Anfangsamplitude 1 zu messen. 3. Die Resonanzkurve = ( E ) ist experimentell aufzunehmen. Die Funktion ist grafisch darzustellen. 4. Das Dämpfungsmaß ist aus der Resonanzüberhöhung A zu ermitteln. 5. Die Phasendifferenz zwischen erregender und erregter Schwingung ist gemäß Gl.(6) zu berechnen und als Funktion von grafisch darzustellen. 6. Aufnahme eines Phasendiagramms für eine harmonische Schwingung am Pohlschen- Drehpendel. 7. Aufnahme einer chaotischen Schwingung. 8. Aufnahme einer periodischen (nicht harmonischen) Schwingung und deren Schwingungsverlauf Zubehör neuer Aufbau: Drehpendel (mit Elektromotor, Wirbelstrombremse, Gleichspannungsregler, Bewegungsmesswandler und meheren Unwucht-Scheiben), Stoppuhr, Computer zur Datenerfassung. 1

2 alter Aufbau: Drehpendel (mit Elektromotor, Wirbelstrombremse, Gleichspannungsregler und Bewegungsmesswandler), Stoppuhr, verschiedene Massenstücke (kleine Magnete), Computer zur Datenerfassung. Grundlagen Dieser Versuch behandelt die erzwungenen Schwingungen an dem Beispiel eines Drehpendels, das durch eine harmonische Bewegung des festen Endes der Rückstellfeder angeregt wird. Ruht das feste Ende der Rückstellfeder, so wirken auf das Drehpendel zwei Drehmomente: ein rücktreibendes Drehmoment - D proportional zur Auslenkung aus der Gleichgewichtslage und ein Reibungsmoment - C proportional zur Winkelgeschwindigkeit. Die Bewegungsdifferentialgleichung der gedämpften Drehschwingung lautet dann oder J = D C 2 2 = 0 (1) C J 2 D = Winkel, der die Stellung des Drehpendels charakterisiert = Winkelgeschwindigkeit des Drehpendels = Winkelbeschleunigung des Drehpendels = C 2J Dämpfungsmaß = Reibungskonstante = Trägheitsmoment des Drehpendels = D J = Direktionsmoment. Die Lösung von Gl.(1) zeigt, dass die Eigenschwingung gedämpft ist. Die Dämpfung wird durch das logarithmische Dekrement := ln 1 2 = T 0 (2) 2

3 charakterisiert. T 0 ist die Periodendauer der Eigenschwingung, 1 und 2 sind zwei aufeinanderfolgende Maximalausschläge auf derselben Seite. Wird das feste Ende der Rückstellfeder mit einem Motor in eine harmonische Bewegung = cos t versetzt, dann nimmt die Gl.(1) die Form an oder 2 2 = = 2 cos E t (3) E = Erregerfrequenz = Amplitude der Erregerschwingung. Wirkt auf das Drehpendel mit der Eigenkreisfrequenz ein periodisches Drehmoment, so gerät es - nach Durchlaufen eines Einschwingvorganges - in eine stationäre erzwungene Schwingung mit der Kreisfrequenz E, vorausgesetzt, dass das Drehpendel eine - wenn auch geringe - Dämpfung besitzt, die seine anfangs überlagerte Eigenschwingung zum Abklingen bringt. Sind nach einiger Zeit die Eigenschwingungen abgeklungen, so bleiben nur noch die erzwungenen Schwingungen übrig. Die Lösung der Gl.(3) führt zu folgenden Ausdrücken für die Auslenkung, die Amplitude und die Phasenverschiebung : = cos E t (4) mit 2 = E E (5) und = arctan 2 E 2 E 2. (6) Die Amplitude der erzwungenen Schwingung ist am größten für eine bestimmte Resonanz- Kreisfrequenz R mit R = 2 2 2, (7) die bei kleiner Dämpfung fast genau mit der Eigenkreisfrequenz des Drehpendels übereinstimmt ( R ). Diesen Fall bezeichnet man als Resonanz. Das Verhältnis der Maximalamplitude m der erzwungenen Schwingung (Resonanzfall) zur 3

4 Amplitude der erregenden Schwingung wird als Resonanzüberhöhung A bezeichnet: A := m 2. (8) A nimmt bei kleiner Dämpfung sehr große Werte an. Diese in der Praxis gelegentlich sehr unangenehme Erscheinung wird als Resonanzkatastrophe bezeichnet und kann bei schwingenden Konstruktionen zu deren Zerstörung führen. Im Phasendiagramm wird die gegenseitige Abhängigkeit zweier physikalischen Größen dargestellt. Wählt man z.b. den Weg s und die Geschwindigkeit v als Koordinaten, so beschreibt ein harmonischer Oszillator in diesem Koordinatensystem eine Ellipse. Wir beobachten ein Potenzial, das einer linearen Kraft genügt (s. Abb.1). Die parabelförmige Potenzialkurve hat ein Minimum (Potenzialtopf) bei der ursprünglichen Ruhelage = 0 0 des Schwingers. Das Anbringen von Massestücken (Unwuchtmasse m U ) am Schwinger (Drehpendel mit Unwucht) ergibt ein Potenzial welches keiner linearen Kraft mehr genügt (s. Abb.2). Die Potenzialkurve hat zwei Minima; d.h. der Schwinger hat zwei Gleichgewichtslagen 1 und 2 links bzw. rechts von der ursprünglichen Ruhelage = 0 0 des Schwingers ohne Unwuchtmasse. Wird der Schwinger mit konstanter Frequenz angeregt, so hat er drei Möglichkeiten: er schwingt im linken Potenzialtopf, er schwingt im rechten Potenzialtopf, er wechselt zwischen den Potenzialtöpfen. Solche Systeme neigen bei bestimmten Parametern (Anregungsfrequenz, Dämpfung...) zu völlig unregelmäßigen, nichtperiodischen chaotischen Schwingungen, bei denen man nicht vohersagen kann, wann der Schwinger den Potenzialtopf wechselt und wie groß die Schwingungsamplituden um die jeweilige stabile Gleichgewichtslage sind. 4

5 Ändert man die Anregungsfrequenz und/oder die Dämpfung, so gelangt man in Bereiche stationärer Zustände mitten im Gebiet des Chaos. Das Verhalten des Schwingers wird wieder vorhersagbar. Das Phasendiagramm zeigt dann eine in sich geschlossene Kurve (Trajektorie oder Orbit genannt), in der Perioden immer wieder in gleicher Weise durchlaufen werden (s. Beispiele am Arbeitsplatz). Versuchsauswertung Zu 2. Zu 3. Zu 4. Zu 5. Bestimmung von aus dem logarithmischen Dekrement der Schwingung nach Gl.(2). Die Abhängigkeit des Dämpfungsfaktors von der Anfangsamplitude 1 ist für 0 < 1 < m grafisch darzustellen und zu diskutieren! Die Resonanzkurven = ( E ) sind grafisch darzustellen und zu diskutieren. Die aus der Zeichnung abgelesenen Resonanzkreisfrequenzen R sind mit den nach (7) berechneten Werten zu vergleichen. Bestimmung vom Dämpfungsmaß aus der Resonanzüberhöhung A nach Gl.(8). Vergleich mit aus der 2. Aufgabe. Da sich die Phasendifferenz experimentell sehr ungenau bestimmen lässt (Messung der Zeitdifferenz t zwischen den Nulldurchgängen des Erregers und des Resonators), wird sie nach Gl.(6) für die verschiedenen Erregerkreisfrequenzen berechnet. Die Funktion ( E ) wird grafisch dargestellt. 5

6 Hinweise zur Vorbereitung Wie lauten die Differentialgleichungen für die freie gedämpfte Schwingung (t) bzw. für die erzwungene gedämpfte Schwingung? Erläutern Sie die Begriffe Resonanzkreisfrequenz, Resonanzüberhöhung, Dämpfungsmaß, Phasenverschiebung zwischen erregender und erregter Schwingung. Stellen Sie die Funktionen ( E ) und ( E ) grafisch dar! Nennen Sie Beispiele für erwünschte bzw. unerwünschte Resonanz! Unter welchen Voraussetzungen kann sich das Drehpendel "chaotisch" verhalten? Dynamische Systeme (deterministische, stochastische). Phasendiagramm, Trajektorie und Schwingungsverlauf, Phasenporträt, Fixpunkt, Attraktor, Grenzzyklus. Duffing-Schwinger, Nichtlineare Schwingungen Interpretieren Sie die Abbildungen 1 und 2. Literatur /1/ Walcher, W.: Praktikum der Physik, Stuttgart 2006 /2/ Bergmann/Schäfer : Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd.1: Mechanik, Relativität, Wärme, Berlin 1998 /3/ Pohl, R.W. : Einführung in die Physik, Mechanik, Akustik, Wärmelehre, Berlin 2004 /4/ Vogel, H.: Gerthsen Physik, Berlin 2004 /5/ Rennert/Schmiedel: Physik, Leipzig 1995 /6/ Niedrig, H.: Physik, Berlin 1992 /7/ Hänsel, H., Neumann,W.: Physik, Mechanik und Wärmelehre, Berlin 2000 /8/ Tipler, P. A.: Physik, Berlin 2007 /9/ Daniel, H.: Physik 1, Mechanik, Wellen, Wärme, Berlin