M13. Gekoppeltes Pendel

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1 M3 Gekoppeltes Pendel In diesem Versuch werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen und die Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen.. Theoretische Grundlagen. Allgemeines Um den Schwingungszustand eines gekoppelten Pendels zu beschreiben, müssen zunächst die Differentialgleichungen für die einzelnen Pendel aufgestellt werden. Betrachtet wird zunächst ein einzelnes, ungekoppeltes Pendel mit dem Trägheitsmoment J und dem Direktionsmoment D m g l, wobei l die Pendellänge, m die Masse und g die Erdbeschleunigung darstellen. Für das Pendel gilt für kleine Winkel φ die Differentialgleichung: J ϕ D ϕ. () Die Lösung beschreibt eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω D g J l. () Werden nun zwei solcher Pendel durch eine Feder mit dem Direktionsmoment D D F l F (D F beschreibt die Federkonstante und l F die Länge von der Federaufhängung zur Pendelachse) gekoppelt, so wirken zusätzliche Drehmomente M i, die von den jeweiligen Auslenkungswinkeln φ, φ abhängen: Pendel : M D' ( ϕ ϕ) Pendel : M D ( ϕ ) (3) ' ϕ Diese zusätzlichen Drehmomente müssen bei der Differentialgleichung des freien Pendels () addiert werden. Damit ergibt sich ein System aus zwei gekoppelten Differentialgleichungen, Bild : Gekoppelte Pendel J ϕ D ϕ + D' ( ϕ ϕ) J ϕ D ϕ + D ( ϕ ), (4) ' ϕ die sich leicht entkoppeln lassen, wenn man u ϕ+ ϕ und v ϕ ϕ substituiert. Anmerkung: Hinweis zur Versuchsvorbereitung: Addieren und subtrahieren Sie jeweils die Gleichungen (4) und führen Sie dann die Substitution durch. 05

2 M3 Gekoppeltes Pendel Damit erhalten wir ein einfaches System von zwei unabhängigen Differentialgleichungen: J u + D u J ν + ( D + D' ) ν. (5) Die Lösungen sind harmonische Schwingungen mit den Kreisfrequenzen ω, ω : u u( t) A cosω + B sin ω mit ω ν ν ( t) A cosω + B sinω t mit D J D + D' ω (6) J Durch erneute Substitution mit ϕ,5(u+v) und ϕ,5(u-v) erhalten wir schließlich die Gleichungen für die Auslenkungswinkel der Pendel: ϕ ( t),5( A cosω + B sin ω + A cosω t + B sinω t) ϕ t),5( A cosω + B sinω A cosω t B sin ω ) (7) ( t Diese allgemeinen Lösungen beschreiben auf den ersten Blick eine recht komplexe Bewegung der Pendel. Für bestimmte Anfangsbedingungen ergeben sich allerdings sehr anschauliche Schwingungsgleichungen. Dazu müssen die im Folgenden besprochenen Anfangsbedingungen ϕ i (t0) undϕ (t0) in die Gleichungen (7) eingesetzt und die Koeffizienten Α ι und Β ι bestimmt werden. Drei Spezialfälle, die in Bild skizziert sind, werden im Folgenden näher betrachtet: Bild : Schwingungsformen des gekoppelten Pendel für unterschiedliche Randbedingungen. a) symmetrische Schwingung, b) asymmetrische Schwingung, c) Schwebung. Symmetrische Schwingung Beide Pendel werden um den gleichen Winkel ausgelenkt und zum Zeitpunkt t0 gleichzeitig losgelassen. Anfangsbedingung: ϕ( 0) ϕ( 0) ϕ ( 0) ϕ ( 0) (8) Für die Koeffizienten ergibt sich: A ϕ 0, A B B (9) und damit schließlich ϕ ( t) ϕ( t) cosω. (0) - -

3 M3 Gekoppeltes Pendel Die beiden Pendel schwingen harmonisch und phasengleich mit der Frequenz ω. Nach Gleichung (6) hängt ω nicht vom Direktionsmoment der Kopplung ab (ω hängt nur vom Direktionsmoment D des freien, ungekoppelten Pendels ab). Die Pendel schwingen also so, als seien sie gar nicht gekoppelt. Dies ist sofort einzusehen, beide Pendel weisen stets den gleichen Abstand voneinander auf und die Kopplungsfeder wird während der Schwingung niemals gestaucht oder gedehnt. Es findet somit keine Kopplung von einem Pendel auf das andere statt..3 Asymmetrische Schwingung Beide Pendel werden gegenphasig um den gleichen Winkelbetrag ausgelenkt und zum Zeitpunkt t0 gleichzeitig losgelassen. Anfangsbedingung: ϕ( 0) ϕ( 0) ϕ ( 0) ϕ ( 0) () Für die Koeffizienten ergibt sich: A ϕ 0, A B B () und damit schließlich ϕ ( t) ϕ ( t) cosω. (3) Die beiden Pendel schwingen harmonisch aber diesmal gegenphasig mit der Frequenz ω. Die Frequenz ω hängt sowohl vom Direktionsmoment des Pendels als auch vom Direktionsmoment D der Kopplung ab..4 Schwebungsschwingung Das eine Pendel verharrt in Ruhelage während das andere um den Winkel φ 0 ausgelenkt wird. Anfangsbedingung: ϕ( 0), ϕ( 0) ϕ ( 0) ϕ ( 0) (4) Für die Koeffizienten ergibt sich: A A B B (5) und damit schließlich (nach einigen Umformungen): ( t) 0sin ω ω ϕ ϕ t sin ω + ω t ( t) 0cos ω ω ϕ ϕ t cos ω + ω t (6) Diese Gleichungen beschreiben eine Schwebung. Das zu Beginn ausgelenkte Pendel überträgt allmählich seine Schwingungsenergie auf das anfangs ruhende Pendel bis es schließlich selbst stillsteht. Danach kehrt sich der Vorgang um und das nun schwingende Pendel regt das ruhende Pendel an. Die zu den Eigenfrequenzen ω und ω gehörenden Schwingungen werden als Normalschwingungen bezeichnet. Bei schwacher Kopplung ist ω nur wenig größer als ω. Dann lässt sich Gleichung (6) wie folgt interpretieren: Es erfolgt eine Schwingung mit der mittleren Frequenz ω,5(ω +ω ), wobei sich die Amplitude periodisch mit der Schwebungsfrequenz ω s (ω ω ) ändert. Für die zugehörigen Schwingungsdauern ergibt sich einmal mit T π/ω - 3 -

4 M3 Gekoppeltes Pendel T T T T + T als harmonisches Mittel von T und T. Für T T gilt auch T 0,5(T +T ). Zum anderen ergibt sich mit T S π/ω S (Definition der Schwebungsdauer, siehe Bild 3) (7) T T T T T S (8) (Zeit zwischen zwei Phasensprüngen bzw. Stillständen des Pendels) Hinweis: Schwebungsdauer T S entspricht nicht der Schwingungsdauer einer Schwebung Bild 3: Schwingungsverlauf bei gekoppelten Pendeln Allgemein gilt, dass ein System aus N gekoppelten Oszillatoren N Normalschwingungen besitzt. Jede mögliche Schwingung eines einzelnen Oszillators kann immer durch eine Linearkombination dieser Normalschwingungen dargestellt werden. So ist die Schwebungsschwingung eine Linearkombination der beiden Normalschwingungen mit den Frequenzen ω und ω..4. Kopplungsgrad Um die Stärke der Kopplung zu quantifizieren, definiert man den Kopplungsgrad κ durch D' κ. D + D' Mit Hilfe der Gleichungen (6) für ω und ω erhält man für κ: ω ω T T κ. ω + ω T + T Der Kopplungsgrad kann also durch Messung der Normalschwingungen bestimmt werden, unter Verwendung der Beziehungen aus Gl. (7) und (8) jedoch auch aus der Schwebungsmessung (9)

5 M3 Gekoppeltes Pendel.Versuch. Vorbetrachtung Aufgabe: Leiten Sie die Gleichungen (7) und (8) sowie die Gleichung zur Bestimmung des Kopplungsgrades κ aus den Schwingungsdauern der Schwebung her.. Versuchsdurchführung.. Verwendete Geräte zwei Stabpendel mit längenverstellbaren Pendelkörpern sowie Potentiometerausgang zur Signalauswertung, Kopplungsfeder, zweifache potentialfreie Spannungsversorgung, Computer mit Interface und entsprechender Software.. Versuchshinweise Ein vorbereitetes Messwertprotokoll ist bei diesem Versuch nicht notwendig. Die Anleitung zur Einstellung und Bedienung des PC-Messsystems befindet sich am Praktikumsplatz. Bestimmen Sie für 6 verschiedene Befestigungen der Kopplungsfeder längs der Stabachse des Pendels die Schwingungsdauer T der symmetrischen Schwingung, die Schwingungsdauer T der antisymmetrischen Schwingung, die Schwingungsdauer T bei Schwebungsschwingungen und die Schwebungsdauer T S. Verändern Sie für die einzelnen Messungen den Abstand der Kopplungsfeder von der Pendelachse. Beginnen Sie bei 35cm und erhöhen Sie diesen Abstand jeweils um 5cm pro Messung. Als Ergebnis dieser Messungen erhalten Sie Messdiagramme, in denen die Amplitude als Funktion der Zeit dargestellt ist. Bestimmen Sie aus diesen unter Verwendung möglichst vieler Schwingungen die jeweilige Schwingungsdauer bzw. Schwebungsdauer. Nehmen Sie diese Bestimmung während der Praktikumszeit mit Hilfe eines Messschiebers vor..3 Versuchsauswertung Aufgabe: Berechnen Sie die Schwingungsdauer T und die Schwebungsdauer T S der Schwebungsschwingung aus den Schwingungsdauern T (symmetrische Schwingung) und T (antisymmetrische Schwingung) für die 6 Stellungen der Kopplungsfeder. Berechnen Sie den Kopplungsgrad κ aus T und T sowie aus den gemessenen Werten T und T S für die 6 Stellungen der Kopplungsfeder. Berechnen Sie den Kopplungsgrad κ aus den berechneten Werten T und T S für die 6 Stellungen der Kopplungsfeder. Vergleichen Sie die berechneten mit den gemessenen Werten des Kopplungsgrades tabellarisch und diskutieren Sie ihr daraus gewonnenen Erkenntnisse. Schätzen Sie auftretende Messabweichungen ab. Berechnen Sie die Messunsicherheit durch eine Fehlerrechnung für die Kopplungskonstante für einen Kopplungsgrad (beide Methoden). Diskutieren Sie das Ergebnis. Untersuchen Sie den Einfluss der Befestigung der Kopplungsfeder auf das Verhältnis der Schwingungsdauer von symmetrischer und asymmetrischer Schwingung. Verwenden Sie dazu die Messwerte für die 6 Stellungen der Kopplungsfeder. Stellen Sie die Ergebnisse in einem Diagramm der Funktion T /T f(l F ) graphisch dar und diskutieren Sie die gezeigten Abhängigkeiten

6 M3 Gekoppeltes Pendel 3. Ergänzung 3. Vertiefende Fragen Diskutieren Sie den zeitlichen Verlauf der Energie bei gekoppelten Pendeln an Hand eines Diagramms (prinzipieller Verlauf). 3. Ergänzende Bemerkungen Die Überlagerung auch von mehr als zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz ergibt wieder eine periodische Funktion der Zeit, die im Allgemeinen jedoch nicht sinusförmig ist. Umgekehrt kann jede beliebige Funktion f (t) mit der Periode T durch Überlagerung harmonischer Schwingungen aufgebaut werden: f ( ) t a0 + n a n πt sin n + α n T (0) Die Amplituden a n und die Phasen α n sind durch den Funktionsverlauf f (t) innerhalb einer Periode eindeutig bestimmt. (Für nähere Einzelheiten sei auf die mathematische Literatur zu Fourierreihen verwiesen). Die harmonische Schwingung mit n heißt Grundschwingung, die anderen Schwingungen werden als Oberschwingungen bezeichnet