Mathematisches Pendel und Federpendel

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1 INSIU FÜR ANGEWANE PHYSIK Physikaisches Praktiku für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Haburg, Jungiusstraße 11 Matheatisches Pende und Federpende 1 Zie In zwei Versuchsteien soen die physikaischen Eigenschaften eines Pendes untersucht werden. azu so zunächst durch Messung der Schwingungsdauer eines atheatischen Pendes die Gravitationskonstante g bestit werden. I zweiten Versuchstei wird die Federkonstante sowie die Masse F einer Feder bestit. Anschießend wird unter Berücksichtigung dieses Ergebnisses die Erdbescheunigung erittet und it de Wert aus de ersten ei des Versuchs sowie de Literaturwert vergichen. heorie.1 Matheatisches Pende Eine Masse hängt an eine Faden der Länge und schwingt unter de Einfuss der Schwerkraft it der Schwingungsdauer. Für die theoretische Beschreibung wird ein so genanntes atheatisches Pende zugrunde geegt, das gegenüber de reaen Pende einige einschränkende Eigenschaften besitzt: asseoser Faden reibungsose Aufhängung des Fadens punktförige Masse des Pendekörpers (keine Luftreibung) U die Schwingung des Pendes zu untersuchen, steen wir die Bewegungsgeichung der Masse auf. iese bewegt sich auf eine Kreisbogen vo Radius. ie auf das Massestück wirkenden Kräfte sind die Gewichtskraft G = g und die Fadenspannung. Aus Abb. 1 entnehen wir, dass die angentiakoponente der resutierenden Kraft F G sin g sin (1) ist. Sie ist die rücktreibende Kraft, die der Ausenkung der Masse entgegenwirkt. ie Geichung für die angentiabewegung autet G F Abb. 1: Aufbau eines Fadenpendes. h F a. ()

2 MAHEMAISCHES PENEL UN FEERPENEL ie angentiabescheunigung a hängt von der Winkebescheunigung sowie vo Radius ab und ässt sich schreiben as d a. (3) urch Geichsetzen der Geichungen () und (3) erhät an die Geichung für die angentiabewegung d gsin oder d g sin 0. (4) ie Lösung dieser ifferenziageichung ist die Funktion (t), weche die Bewegung der Masse beschreibt. Wenn der Winke jedoch kein ist, was für keine Schwingungsapituden zutrifft, können wir für die Pendebewegung sin schreiben, wodurch sich Geichung (4) vereinfacht: d g 0. (5) urch Einsetzen ässt sich zeigen, dass der haronische Ansatz ( t) sint (6) 0 diese ifferentiageichung öst, wenn für das Quadrat der Kreisfrequenz = g/ git. Für die Schwingungsdauer ergibt sich in 1. Näherung. (7) g ie Schwingungsdauer ist soit für keine Ausenkungen unabhängig vo Ausenkwinke. Berechnet an die Schwingungsdauer auch für größere Winke, so erhät an in. Näherung 1 1 sin g 0 4. (8) In dieser. Näherung ist die Schwingungsdauer aso eine Funktion des axiaen Ausenkwinkes 0 i Ukehrpunkt.

3 MAHEMAISCHES PENEL UN FEERPENEL. Vertikaes Federpende ie ifferentiageichung für ein Federpende, wie in Abb. dargestet, ässt sich anaog zu (1)-(4) aus der Rückstekraft F R x (9) zu d x x (10) hereiten. Wenn an das Federpende zur Zeit t = 0 u x 0 ausenkt und osässt, so autet die Lösung: x( t) x0 cos( t), (11) it. (1) Anaog zu (7) ergibt sich. (13) Misst an die Periodendauer as Funktion der Masse so kann an hieraus die Federkonstante bestien. Wird das Federpende it einer Masse beastet, so git: g x (14) a der Wert der Federkonstante aus der vorhergehenden Messung bereits bekannt ist, kann an hieraus den Wert der Erdbescheunigung bestien. Abb. : Aufbau eines Federpendes. 3

4 MAHEMAISCHES PENEL UN FEERPENEL 3 Messung und Auswertung 3.1 Matheatisches Pende In nachfogenden Versuchen so die Schwingungsdauer as Funktion des Ausenkwinkes 0 und der Fadenänge bestit werden Überprüfung des Aufbaus ie eektronische Uhr it Lichtschranke ist so einzusteen, dass sie die voe Schwingungsdauer isst. Überprüfen Sie den Strahengang der Fotodiode in Bezug auf die Ruheage der Kuge. er Faden des Pendes so die Lichtschranke bei urchgang unterbrechen (nicht die Kuge oder der Hatering). Bestien Sie die Fadenänge und den Maxiafeher Δ unter Berücksichtigung des Kugeradius (R = 16 ) Messung der Schwingungsdauer as Funktion des Ausenkwinkes Messen Sie die Schwingungsdauer bei konstanter Fadenänge as Funktion des Ausenkwinkes 0 über einen ögichst großen Winkebereich. Mitten Sie jeweis ehras über einige Schwingungen. ragen Sie die Schwingungsdauer gegen den Ausenkwinke und gegen den Ausdruck sin ( 0 /) auf. Bestien Sie die Regressionsgerade und bestätigen Sie durch Koeffizientenvergeich die. Näherung für die Schwingungsdauer. Hierzu darf der Literaturwert von g = 9,81/s² benutzt werden Messung der Schwingungsdauer as Funktion der Fadenänge Messen Sie die Schwingungsdauer as Funktion der Fadenänge für einen keineren Ausenkwinke. ragen Sie die Messergebnisse so auf, dass sich eine Gerade ergibt. Bestien Sie den Wert der Erdbescheunigung g it Abweichung σ g aus der Steigung der Regressionsgerade und vergeichen Sie diesen it de Literaturwert g = 9,81 /s. 3. Vertikaes Federpende 3..1 Bestiung der Messethode Beasten Sie zunächst das Federpende it einer Masse, weche die ausgewähte Feder nicht überdehnt. Messen Sie dann je 3 a 10 Pendeschwingungen u die Schwingungsdauer des Pendes zu bestien (Stoppuhr). Starten und stoppen sie dabei die Messungen bei Maxiaausschag des Pendes. In einer zweiten Messung von 3 a 10 Pendeschwingungen so die Schwingungsdauer bestit werden, inde die Messung bei Nudurchgang des Pendes gestartet und gestoppt wird. Bestien Sie für beide Messreihen die ittere Schwingungsdauer und den itteren Feher des Mittewertes. Verwenden Sie für die fogenden Messungen die genauere der beiden Methoden. 3.. Messung der Federkonstanten Messen Sie nun die Schwingungsdauer as Funktion der Masse. Beschweren Sie hierzu das Federpende it unterschiedichen Massen in indestens fünf sinnvoen Schritten. Achten Sie darauf, die Feder nicht zu überdehnen! Für jede Masse werden 3 a 10 Pendeschwingungen ausgeessen. ragen Sie gegen die Masse auf und bestien Sie die Federkonstante aus der Regressionsgeraden (it Offset) und Geichung (13). 4

5 MAHEMAISCHES PENEL UN FEERPENEL 3..3 Bestiung der Federasse ie in 3..1 geessene Gerade ist keine Ursprungsgerade. ies iegt an der, bisher vernachässigten Masse der Feder F, weche den Abszissenschnittpunkt u - F /3 verschiebt. Benutzen Sie nun die Geichung 1 F 3 (15) anstee von (1), u aus der Nustee der eritteten Regressionsgeraden die Federasse zu bestien. Wiegen Sie die verwendete Feder und notieren Sie den Maxiafeher, u die berechnete Masse vergeichen zu können Bestiung der Erdbescheunigung Für die Messung der Erdbescheunigung wird die Ausenkung des Federpendes as Funktion der Masse bestit. as Federpende wird hierzu it unterschiedichen Massen in indestens fünf sinnvoen Schritten beschwert und die Ausenkung wird abgeesen. U die Erdbescheunigung zu bestien wird nun in eine iagra die Ausenkung des Federpendes x gegen die Masse aufgetragen. ie Geichung (14), nach x ugestet, ergibt eine Geradengeichung. Aus der Steigung der Regressionsgeraden und de Ergebnis aus Versuchstei 3.. die Erdbescheunigung bestit werden. er erittete Wert ist it de Literaturwert sowie de Wert aus Versuchstei zu vergeichen. 5