Erzwungene Schwingung - das Pohl sche Drehpendel mit measure Dynamics. Material TEP

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1 Erzwungene Schwingung - das Pohl sche TEP Verwandte Begriffe Winkelgeschwindigkeit, charakteristische Frequenz, Resonanzfrequenz, Drehpendel, Drehschwingung, Rückstellmoment, gedämpfte/ungedämpfte freie Schwingung, erzwungene Schwingung, Verhältnis von Dämpfung/Abnahme, konstante Dämpfung, logarithmisches Dekrement, aperiodischer Fall, Kriechfall. Prinzip Wenn einem oszillierenden System erlaubt wird, frei zu schwingen, wird beobachtet, dass die Abnahme aufeinanderfolgender Maximalamplituden stark von der Dämpfung abhängig ist. Wenn das oszillierende System von einer externen Drehschwingung zum Schwingen angeregt wird, beobachten wir, dass die Amplitude in einem stationären Zustand eine Funktion der Frequenz und der Amplitude der externen, periodischen Drehschwingung und der Dämpfung ist. Im Folgenden wird die charakteristische Frequenz der freien Oszillation sowie die Resonanzkurve einer erzwungenen Schwingung bestimmt. Material 1 Drehpendel (nach R.W. Pohl) Stelltrafo, 25 VAC/ 20 VDC, 12 A Brückengleichrichter, 30 V AC/ 1 A DC Digitalmultimeter Verbindungsleitung, l = 250 mm, gelb Verbindungsleitung, l= 750 mm, rot Verbindungsleitung, l= 750 mm, blau Software measure Dynamics Abbildung 1: Versuchsaufbau P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 1

2 TEP Erzwungene Schwingung - das Pohl sche Zusätzlich benötigt werden: Farbiger, runder Kreis, Videokamera, Stativ, Computer Aufgaben A. Freie Schwingung 1. Bestimme die Schwingungsdauer und die charakteristische Frequenz für den ungedämpften Fall. 2. Bestimme die Schwingungsdauer und die entsprechenden charakteristischen Frequenzen für verschiedene Dämpfungswerte. Die entsprechenden Verhältnisse von Dämpfung, Dämpfungskonstante und logarithmischem Dekrement werden berechnet. 3. Realisiere den aperiodischen Fall und den Kriechfall. B. Erzwungene Schwingung 1. Bestimme die Resonanzkurve und stelle sie graphisch dar unter Benutzung der Dämpfungswerte aus A. 2. Beobachte die Phasendifferenz zwischen dem Drehpendel und der stimulierenden, externen Drehung für einen kleinen Dämpfungswert bei verschiedenen Anregungsfrequenzen. Aufbau Der Versuchsaufbau erfolgt gemäß den Abbildungen 1 und 2. Der DC Ausgang des Stelltrafos wird mit der Wirbelstrombremse verbunden. Der Anregungsmotor benötigt ebenfalls Gleichspannung, weshalb ein Brückengleichrichter zwischen dem AC Ausgang (12 V) des Stelltrafos und dem Anregungsmotor (DC Motor, siehe Abbildung 3) geschalten wird. Der Gleichstrom I B, der die Wirbelstrombremse versorgt, wird über den regulierenden Knopf des Stelltrafos verbunden und mit einem Amperemeter kontrolliert. Abbildung 2: Stromanschluss für den Versuch Abbildung 3: Anschluss des Anregungsmotors (DC Motors) zum Stelltrafo Bei der Videoaufnahme muss bzgl. der Einstellung und Positionierung der Kamera auf folgende Aspekte geachtet werden: Die Zahl der Bilder pro Sekunde sollte auf ca. 30 fps eingestellt werden. Es ist ein heller, homogener Hintergrund zu wählen. Der Versuchsablauf ist zusätzlich zu belichten. Der Versuch, d.h. das Pohl sche Drehpendel, ist in der Bildmitte aufzunehmen, hierzu ist die Videokamera auf einem Stativ mittig zum Versuch zu positionieren. Bei den Versuchen zu den er- 2 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

3 Erzwungene Schwingung - das Pohl sche TEP zwungenen Schwingungen ist es aber auch wichtig, dass der Anregungsmotor ebenfalls mit im Video aufgenommen wird, das Drehpendel bleibt aber auch hier weiterhin in der Bildmitte des Videos. Der Versuch sollte möglichst formatfüllend aufgenommen werden. Die optische Achse der Kamera hat parallel zur Versuchsanordnung zu verlaufen. Für die Videoanalyse wird empfohlen, auf die sich drehende Nadel des Pendels ein rundes, farbiges Papierstück zu kleben (siehe Abbildung 4). Zur Skalierung wird die Breite des Drehpendels gemessen. Nun kann mit der Videoaufnahme begonnen und der Versuch gestartet werden. Abbildung 4: Pendelnadel in Null-Position Durchführung A. Freie Schwingung 1. Bestimme die Schwingungsdauer und die charakteristische Frequenz für den ungedämpften Fall. Um die charakteristische Frequenz ω 0 des Drehpendels ohne Dämpfung (I B = 0) zu bestimmen, - starte die Videoaufnahme, - lenke das Pendel vollständig in eine Richtung aus, - miss die Zeit für mehrere Schwingungen und - beende die Videoaufnahme. 2. Bestimme die Schwingungsdauer und die entsprechenden charakteristischen Frequenzen für verschiedene Dämpfungswerte. Anfangs muss sichergestellt sein, dass der Zeiger des ruhenden Pendels mit der 0-Position der Skala (siehe Abbildung 4) übereinstimmt. Dies kann durch manuelles Drehen der exzentrischen Scheibe des Motors erreicht werden. Analog zu A1 werden nun die charakteristischen Frequenzen für die gedämpften Schwingungen bestimmt, die dadurch entstehen, dass die folgenden Ströme durch die Wirbelstrombremse fließen: Aus dem aufgenommenen Video lassen sich die Dämpfungswerte bestimmen. 3. Realisiere den aperiodischen und den Kriechfall. Um den aperiodischen Fall (I B ~ 2.0 A) und den Kriechfall (I B ~ 2.3 A) zu realisieren, werden diese Ströme eingestellt. Die sonstige Versuchsdurchführung erfolgt analog zu A1 und A2. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 3

4 TEP Erzwungene Schwingung - das Pohl sche Vorsicht: Benutze Stromintensitäten von über 2.0 A für die Wirbelstrombremse nicht länger als wenige Minuten! B. Erzwungene Schwingung Um das Drehpendel anzuregen, wird der verbindende Stab des Motors mit dem oberen Drittel der Anregungsquelle fixiert. Die Anregungsfrequenz kann ermittelt werden, indem auf dem Video die Zeit für mehrere Drehungen des Motors bestimmt wird. 1. Bestimme die Resonanzkurven und stelle sie graphisch dar unter Benutzung der Dämpfungswerte aus A. Die (durchgehende) Videoaufnahme beginnt mit niedrigen Anregungsfrequenzen ω a. Anschließend wird ω a zunächst mit dem groben Motor-Potentiometer erhöht. In der Nähe des Maximums von ω a wird die Anregungsfrequenz in kleinen Schritten mit dem feinen Motor-Potentiometer erhöht (siehe Abbildung 5). Es sollte immer darauf gewartet werden, dass eine stabile Pendelamplitude erreicht wird, ehe die Anregungsfrequenz verändert wird. Bei der Pendelbewegung ohne Dämpfung oder für sehr geringe Dämpfungswerte muss die Anregungsfrequenz ω a so gewählt werden, dass das Pendel seinen Maximalausschlag nicht übersteigt. 2. Beobachte die Phasendifferenz zwischen dem Drehpendel und der stimulierenden, externen Drehung für einen kleinen Dämpfungswert bei verschiedenen Anregungsfrequenzen. Wähle einen geringen Dämpfungswert aus und rege das Pendel in einem Fall mit einer Frequenz ω a weit unterhalb und in einem anderen Fall weit oberhalb der Resonanzfrequenz an und mache davon eine Videoaufnahme. A. Ungedämpfte und gedämpfte freie Schwingung Theorie Im Fall der freien gedämpften Drehschwingung wirken die Drehmomente M 1 (Spiralfeder) und M 2 (Wirbelstrombremse) auf das Pendel. Wir haben = Rotationswinkel = Rotationsgeschwindigkeit D 0 = Drehung per Einheitswinkel C = Proportionalitätsfaktor, abhängig von den Strömen durch die Wirbelstrombremse Das resultierende Drehmoment führt uns zu folgender Bewegungsgleichung: Abbildung 5: Drehknöpfe zur Bestimmung der Anregungsfrequenz. Oberer Knopf: grob ; unterer Knopf: fein. 4 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

5 Erzwungene Schwingung - das Pohl sche TEP I = Trägheitsmoment des Pendels = Winkelbeschleunigung (1) (1) Teilt man Gleichung (1) durch I und benutzt die Abkürzungen ergibt sich ω (2) wird Dämpfungskonstante genannt und die charakteristische Frequenz des ungedämpften Systems. Die Lösung der Differentialgleichung (2) ist mit (3) (4) Auswertung Das aufgenommene Video wird stets an den Computer übertragen. Sodann wird das Programm measure Dynamics gestartet und das Video unter Datei Video laden geöffnet. Zur weiteren Analyse werden in dem Video mit Hilfe der Menüzeile oberhalb des Videos Versuchsbeginn ( Startmarke und Zeitnullpunkt ) und Versuchsende ( Endmarke ) festgelegt. Der Versuch beginnt mit dem Loslassen des Drehpendels und endet mit Beendigung des Videos. Anschließend wird unter Videoanalyse Skalierung Maßstab die Breite des Pohl schen Drehpendels mit der im Video erscheinenden Strecke markiert und die gemessene Länge in das Eingabefenster, hier 0,30 m, eingegeben. Außerdem wird unter Bildrate ändern die bei der Aufnahme eingestellte Bildrate eingetragen, unter Ursprung und Richtung wird der Ursprung des Koordinatensystems auf das Drehzentrum des Drehpendels gesetzt. Nun kann unter Videoanalyse Automatische Analyse bzw. Manuelle Analyse mit der eigentlichen Analyse der Bewegung begonnen werden. Bei der automatischen Analyse empfiehlt es sich, unter dem Reiter Analyse Bewegungserkennung mit Farbanalyse auszuwählen. Unter Optionen kann die automatische Analyse zusätzlich bei Bedarf optimiert werden, indem z.b. die Empfindlichkeit geändert oder der Suchradius eingeschränkt wird. Als nächstes ist in dem Video eine Filmposition zu suchen, auf der das zu analysierende Objekt frei sichtbar ist. Sodann wird dieses Objekt angeklickt. Wird das Objekt erkannt, erscheint ein grünes Rechteck und die Analyse kann durch Klicken auf Start begonnen werden. Werden mit Hilfe der automatischen Analyse keine zufriedenstellenden Ergebnisse erzielt, kann unter Manuelle Analyse die Messreihe korrigiert werden, indem das zu analysierende Objekt manuell markiert wird. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 5

6 TEP Erzwungene Schwingung - das Pohl sche Aufgabe A1: Bestimme die Schwingungsdauer und die charakteristische Frequenz für den ungedämpften Fall. Um die durchschnittliche Schwingungsdauer und die entsprechende charakteristische Frequenz des freien und ungedämpft schwingenden Drehpendels zu bestimmen, wird die Zeit bestimmt, die das Pendel für mehrere Schwingungen benötigt (z.b. 10 Schwingungen). Es ergibt sich: und Aufgabe A2: Bestimme die Schwingungsdauer und die entsprechenden charakteristischen Frequenzen für verschiedene Dämpfungswerte. Die entsprechenden Verhältnisse von Dämpfung, Dämpfungskonstante und logarithmischem Dekrement werden berechnet. und die durchschnittliche Fre- Analog zu Aufgabe 1 werden die durchschnittliche Schwingungsdauer quenz bestimmt. Für ergibt sich Für ergibt sich Nun werden die maximalen Amplituden von einer Seite des Pendels, d.h. immer von der rechten bzw. linken Pendelseite, als Funktion der Zeit graphisch dargestellt. Hierbei ist zunächst das Tabellenblatt durch Klicken von Neue Spalte in der Tabellenmenüzeile zu erweitern. In die neue Spalte wird nun Phi (Einheit: ; Formel: arctan2(x;y)*360/(2*π) ) eingetragen. Nun wird eine weitere Spalte (Name: Phi_max ; Einheit: ) erstellt. Sodann werden in der Tabelle die einzelnen Maxima von Phi gesucht und bei den gefundenen Maxima der jeweilige Wert von Phi in die Spalte Phi_max geschrieben. Um nun die Maxima von Phi als Funktion der Zeit graphisch darzustellen, geht man über Anzeige zu Diagramm, klickt auf Optionen, löscht alle bereits existierenden Graphen und wählt die Graphen t (waagrechte Achse) Phi_max (senkrechte Achse) aus. Es ergibt sich für : 6 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

7 Erzwungene Schwingung - das Pohl sche TEP Abbildung 6: Darstellung der maximalen Auslenkungen des Pendels für auf einer Seite nach der Zeit t Für ergibt sich: Abbildung 7: Darstellung der maximalen Auslenkungen des Pendels für auf einer Seite nach der Zeit t Wie wir aus der Theorie bereits wissen, ist auch aus den beiden Abbildungen 6 und 7 ersichtlich, dass ein größerer Strom dazu führt, dass das Drehpendel schneller abgebremst wird. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 7

8 TEP Erzwungene Schwingung - das Pohl sche Das sich ergebende Verhältnis von Dämpfung, Dämpfungskonstante K und logarithmischem Dekrement Λ wird folgendermaßen berechnet: Gleichung (3) zeigt, dass die Amplitude der gedämpften Schwingung auf den e-ten Teil der Anfangsamplitude nach der Zeit abfällt. Des Weiteren folgt aus Gleichung (3), dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden konstant ist. (5) K wird als Dämpfungskonstante oder Dämpfungsgrad, Λ als Schwingungsdauer und (6) als logarithmisches Dekrement bezeichnet. Es ergibt sich: Tabelle 1: I/A Λ 0,45 4,6 0,22 3,21 1,54 0,43 0,80 1,5 0,67 3,27 3,72 1,31 Der Unterschied in den Werten für die Frequenz rührt daher, dass nur relativ ungenau bestimmt werden kann. Trotzdem stimmen die berechneten Frequenzen nahezu mit den direkt gemessenen Frequenzen überein. Aufgabe A3: Realisiere den aperiodischen Fall und den Kriechfall. Wie in Aufgabe A2 wird zunächst die Tabelle um eine Spalte Phi erweitert. Nun geht man über Anzeige zu Diagramm, klickt auf Optionen, löscht alle bereits existierenden Graphen und wählt die Graphen t (waagrechte Achse) Phi (senkrechte Achse) aus. Es ergeben sich: Abbildung 8: Darstellung der Auslenkungen des Pendels für nach der Zeit t 8 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

9 Erzwungene Schwingung - das Pohl sche TEP Gemäß Theorie hat Gleichung (4) nur dann eine reale Lösung, wenn. Für kehrt das Pendel in sehr kurzer Zeit zur Anfangsposition ohne zu schwingen zurück (aperiodischer Fall, siehe Abbildung 8). Für kehrt das Pendel asymptotisch zur Ausgangsposition zurück (Kriechfall, siehe Abbildung 9). Abbildung 9: Darstellung der Auslenkungen des Pendels für auf einer Seite nach der Zeit t B. Erzwungene Schwingung Theorie Wenn auf das Pendel ein periodisches Drehmoment wirkt, ändert sich Gleichung (2) zu ω ω (7) wobei ist. Im stationären Zustand ist die Lösung der Differentialgleichung mit (8) (9) und Weiterhin gilt P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 9

10 TEP Erzwungene Schwingung - das Pohl sche und entsprechend ist ω ω ω (10) Auswertung Aufgabe B1: Bestimme die Resonanzkurve und stelle sie graphisch dar unter Benutzung der Dämpfungswerte aus A. In dieser Aufgabe empfiehlt es sich, die Analyse der Drehbewegung manuell durchzuführen, da nur wenige Momente des Videos für die Auswertung relevant sind. Vorher wird das Tabellenblatt um die Spalten Phi (siehe Aufgabe A2), die Schwingungsdauer T (Einheit: s ) und die Anregungsfrequenz wa (Einheit: 1/s, Formel: 2*π/T )) erweitert. Unter Umständen muss die Formel bei der Erzeugung der Spalte Phi um ein Minuszeichen ergänzt werden, damit die Werte positiv sind. Sodann wird die erste Anregungsfrequenz bestimmt (analog zu Aufgabe A1, nur wird diesmal nicht das Pendel, sondern der Exzenter beobachtet). Nun wartet man, bis sich beim Drehpendel eine konstante Amplitude einstellt und markiert dann in der manuellen Analyse das Pendel zum Zeitpunkt des Maximums. In dieselbe Zeile wird unter T die bereits bestimmte Schwingungsdauer eingetragen. Analog verfährt man mit den anderen Anregungsfrequenzen. Um nun die maximale Auslenkung Phi nach der Anregungsfrequenz graphisch darzustellen, geht man über Anzeige zu Diagramm, klickt auf Optionen, löscht alle bereits existierenden Graphen und wählt die Graphen (waagrechte Achse) Phi (senkrechte Achse) aus. Es ergibt sich: Abbildung 10: Resonanzkurve für Aus Abbildung 10 ist zu erkennen, dass die Amplitude bei niedrigen Anregungsfrequenzen sehr gering ist. Erhöht man die Anregungsfrequenz langsam, so durchläuft man ein Maximum. Eine weitere Erhöhung der Anregungsfrequenz führt dagegen wieder zu einer geringeren Amplitude, bis die Amplitude fast 10 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

11 Erzwungene Schwingung - das Pohl sche TEP auf 0 abfällt. Dies entspricht dem Verlauf einer Resonanzkurve. Das relativ scharfe Maximum der Amplitude wird dabei bei der sog. Resonanzfrequenz eingenommen. Hier beträgt die Resonanzfrequenz ω. Weiterhin fällt auf, dass die Resonanzfrequenz mit der in Aufgabe A1 ermittelten charakteristischen Frequenz des Drehpendels übereinstimmt. Dies hegt den Verdacht, dass ω ω. Betrachtet man Gleichung (9), so kann dieser Verdacht auch in der Theorie bestätigt werden. Für höhere Dämpfungswerte verläuft die Kurve unterhalb, für niedrigere Dämpfungswerte oberhalb der abgebildeten Kurve. Aufgabe B2: Beobachte die Phasendifferenz zwischen dem Drehpendel und der stimulierenden, externen Drehung für einen kleinen Dämpfungswert bei verschiedenen Anregungsfrequenzen. Für diese Aufgabe betrachte man das Video aus Aufgabe B1. Beobachtet man das Drehpendel für eine geringe Anregungsfrequenz, so fällt auf, dass zwischen dem Drehpendel und dem anregenden Pendel keine Phasendifferenz ist, das Pendel und das anregende Drehmoment sind in Phase. Wenn die Anregungsfrequenz viel größer als die Resonanzfrequenz ist, sind Pendel und anregendes Drehmoment zueinander um π phasenverschoben, sie verlaufen gegenphasig. Liegt am Drehpendel die Resonanzfrequenz an, so beträgt die Phasendifferenz. Je kleiner die Dämpfung ist, desto schneller ist der Übergang vom Schwingen in Phase zum gegenphasigen Schwingen. Abbildung 11: Phasenverschiebung bei der erzwungenen Schwingung für verschiedene Dämpfungswerte P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 11

12 TEP Erzwungene Schwingung - das Pohl sche Raum für Notizen 12 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P