Gekoppeltes Pendel mit measure Dynamics TEP

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1 Gekoppeltes Pendel mit measure Dynamics TEP Verwandte Begriffe Spiralfeder, Gravitationspendel, Federkonstante, Drehschwingung, Drehmoment, Schwebung, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, charakteristische Frequenz. Prinzip Zwei gleiche Gravitationspendel mit einer bestimmten charakteristischen Frequenz werden über eine weiche Spiralfeder miteinander gekoppelt. Die Amplituden beider Pendel werden als Funktion der Zeit aufgezeichnet. Die Kopplungsfaktoren werden über verschiedene Methoden bestimmt. Anschließend werden die Ortspunkte der Schwingung in das Video eingeblendet. Material 2 Pendel mit Schreiberanschluss Schraubenfeder, 3N/m Tischklemmen Stativstangen, PHYWE, 4 Kanten, l = 630 mm Stativstange, l = 500 mm, d = 10 cm Doppelmuffen Maßband Kraftmesser, transparent, 1 N Software measure Dynamics Zusätzlich benötigt: Videokamera, Stativ, Computer Abbildung 1: Versuchsaufbau 1

2 TEP Gekoppeltes Pend del mit measure Dynamics Aufgaben 1. Bestimmen der Federkonstantee der koppelnden Feder. 2. Bestimmen und Einstellen der charakteristischen Frequenz des ungekoppelten Pendels. Besowie Bestimmen der stimmen des Trägheitsmoments des Pendels. 3. Darstellung der Schwingung der beiden Pendel als Funktion der Zeit Schwingungsfrequenz und Vergleich mit der theoretisch bestimmten Schwingungsfrequenz bei A) der in Phase Schwingung. B) der gegenphasigen Schwingung. C) der Schwebung. Aufbau und Durchführung Bevor mit den Messungen begonnen werden kann, ist zunächst der exakte Wert der Federkonstanten der koppelnden Feder zu bestimmen. Hierfür wird die Feder auf den Tisch gelegt, an einem Ende fi- die benötigte xiert und am anderen Ende mittels des Kraftmessers gedehnt. Dabei wird am Kraftmesser Kraft und mit dem Maßband die Dehnung der Feder gemessen. Die Federkonstante lässt sich an- hand des Hooke schen Gesetzes leicht bestimmen: Es empfiehlt sich, die Feder um 10 cm, 20 cm, und 30 cm zu dehnen, um einen gemittelten Wert für die Federkonstante zu erhalten. Beide Pendel werden nun ohne die koppelnde Feder gemäß Abb. 1 aufgebaut. Um die Pendel in Schwingung zu setzen, werden die Pendelstangen im oberen Drittel mit den Fingerausgelenkt, bis die ge- spitzen berührt und gleichzeitig in die gleiche bzw. entgegengesetzte Richtung wünschte Amplitude erreicht wird. Auf diese Art und Weise können transversale Schwingungen vermie- sollte schon jetzt den werden. In Hinsicht auf das nachfolgende Experiment mit dem gekoppelten Pendel darauf geachtet werden, dass die Pendel in der gleichen Ebene schwingen. Aus den Videoaufnahmen wird die Schwingungsdauer für jedes einzelne Pendel bestimmt. Die Werte für die Schwingungsdauer T beider Pendel müssen übereinstimmen. Falls Abweichungen beobachtet werden, ist die Pendellänge zu korrigieren. Für die Durchführung des Experiments mit der koppelnden Feder wird die Feder an den beiden Plastik- äquidistant vom haken der Pendelstangen an insgesamt zwei Punkten fixiert. Die Punkte müssen jeweils Drehpunkt des jeweiligen Pendels sein. Es werden die Amplituden als Funktionn der Zeit mit folgenden Anfangsbedingungenn aufgenommen: A) Beide Pendel werden mit derselben Amplitude in dieselbe Richtung ausgelenkt und gleichzeitig losgelassen (Schwingung in Phase ). B) Beide Pendel werden mit der gleichen Amplitude, aber in entgegengesetzte Richtungen ausge- (Schwebung). lenkt und gleichzeitig losgelassen ( gegenphasige Schwingung). C) Ein Pendel bleibt in Ruhe. Das zweite Pendel wird ausgelenkt und losgelassen Hier können zufriedenstellendee Ergebnisse nur dann erreicht werden, wenn die Pendel in der Vorbereitung richtig nachjustiert wurden, so dass sie tatsächlich die gleiche Schwingungsdauer besitzen. In allen drei Fällen müssen die Schwingungen für mindestens ein bis drei Minuten aufgezeichnet werschwin- den. Aus den geplotteten Kurven können so die durchschnittlichen Werte der entsprechenden gungsdauern bestimmt werden. 2

3 Gekoppeltes Pendel mit measure Dynamics TEP Bei der Videoaufnahme muss bzgl. der Einstellung und Positionierung der Kamera auf folgende Aspekte geachtet werden: Die Zahl der Bilder pro Sekunde sollte auf ca. 30 fps eingestellt werden. Es ist ein heller, homogener Hintergrund zu wählen. Der Versuchsablauf ist zusätzlich zu belichten. Der Versuch ist in der Bildmitte aufzunehmen, hierzu ist die Videokamera auf einem Stativ mittig zum Versuch zu positionieren. Der Versuch sollte möglichst formatfüllend aufgenommen werden. Zur Skalierung ist die Länge eines Pendelarms zu messen. Nun kann mit der Videoaufnahme begonnen und anschließend der Versuch gestartet werden. Theorie Wenn zwei Gravitationspendel und mit derselben charakteristischen Frequenz über eine Feder miteinander gekoppelt werden, gilt für die Ruheposition und für kleine Auslenkungen aufgrund der Gravitation und der Feder-Spannung für das Drehmoment folgendes (siehe Abbildung 2): Drehmoment aufgrund der Gravitation: Drehmoment aufgrund der Federspannung:, = ϕ ~ (1)., = cos ~ = Federkonstante = Auslenkung der Feder = Kopplungslänge = Masse des Pendels = Pendellänge = Gravitationsbeschleunigung = Winkel zwischen der Vertikalen und der Ruheposition Wenn nun um den Winkel ausgelenkt wird und um (siehe Abb. 3) und gleichzeitig losgelassen werden, ergibt sich aufgrund! = = Trägheitsmoment eines Pendels um seine Drehachse Durch Einführen der Abkürzungen! + ( ) (2)! + ( ). erhalten wir aus Gleichung (2) %&' ( und Ω * +, - ( (3)! + Ω ( - ) (4) 3

4 TEP Gekoppeltes Pend del mit measure Dynamics! + + Ω ( - ). Bei / = 0 werden die drei folgenden Anfangsbedingungen erfolgreich realisiert. A) In Phase Schwingung 0 ; 0 B) Gegenphasige Schwingung 0 ; 2 0 (5). C) Schwebung 0 ; 0; 0 Abbildung 2: Diagrammm für die Bezeichnungen beim gekoppelten Pendel Die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichungen (4) mit den Anfangsbedingungen (5) sind: A: (/) (/) 0 12 / (6a) B: (/) 0 cos (3 + 2 Ω /) (6b) (/) 0 cos (3 + 2 Ω /) C: (/) 0 cos ( : 6 7./) (6c). cos ( /) 4

5 Gekoppeltes Pendel mit measure Dynamics TEP (/) 0 sin ( : 6 7./). sin ( /) Anmerkung A) In Phase Schwingung Beide Pendel schwingen in Phase mit der gleichen Amplitude und mit der gleichen Frequenz &. Letztere ist identisch mit der charakteristischen Frequenz des ungekoppelten Pendels. & (7a) B) Gegenphasige Schwingung Beide Pendel schwingen mit derselben Amplitude und derselben Frequenz?, allerdings mit einer Phasendifferenz von π. In Übereinstimmung mit (3) hängt die Winkelfrequenz? Ω (7b) von der Pendellänge ab. C) Schwebung Für schwache Kopplung, z.b. Ω, kann die Winkelfrequenz des ersten Faktors folgendermaßen ausgedrückt werden: : (8a) Für die Winkelfrequenz des zweiten Faktors erhalten wir: (8b) Folglich erhalten wir: <. Abbildung 2 zeigt die Amplituden (/) und (/) beider Pendel als Funktion der Zeit für die Schwebung und für verschiedene Kopplungslängen. Als Kopplungsfaktor definieren wir das Verhältnis Aus den Gleichungen (3) und (9) erhalten wir C * +, - %&'8 * +, -. (9) C (10) 5

6 TEP Gekoppeltes Pend del mit measure Dynamics Der Kopplungsfaktor K aus Gleichung (10) kann aus den Frequenzen der individuellen Schwingungsmodi berechnet werden. Die Substitution der Gleichungen (7a) und (7b) in Gleichung (10) resultiert in C 6 D - :6 Ē 6 D - 86 Ē. ( gegenphasige Schwingung) (11) Eine Substitution der Gleichungen (8a) und (8b) in Gleichung (10) führt zu: C 6 F6-6 F (Schwebung) (12) Um den Einfluss der Kopplungslänge auf die Frequenzen der individuellen Schwingungen zu testen, substituieren wir die Gleichungen (11) und (12) in Gleichung (9). So erhalten wir für die gegenphasige Schwingung: * Für die Schwebung ergibt sich: sowie %&' + * + %&' * + %&' + (13) (14) +. (15) Auswertung Aufgabe 1: Bestimmen der Federkonstante der koppelnden Feder. Zunächst wird das aufgenommene Video an den Computer übertragen. Sodannn wird das Programm measure Dynamics gestartet und das Video unter Datei Video laden geöffnet. Zur weiteren Ana- mit der im Video er- lyse wird unter Videoanalyse Skalierung Maßstab die Länge der Feder scheinenden Stecke markiert und die Länge der Feder ohne Belastung (hier 14 cm) in das Eingabefens- In die erste wird ter eingegeben. Sodann werden in der Tabellenmenüzeile drei neue Spalten erzeugt. die Masse der Gewichte (Name: Masse, Einheit: kg oder g ), in die zweite Spalte die Länge der Feder (Name: L, Einheit: m ) und in die dritte Spalte die Auslenkung der Feder (Name: Ausdehnung, Einheit: m, Formel: L-0,14 ) eingetragen. Anschließend geht man unter Messung zu Längenmes- Zusatzgewichte ge- sung. Nun wird das Video an die einzelnen Stellen gespult, an denen an die Feder hängt werden. Hier wird jeweils die Masse eingetragen und in die gleiche Zeile die Länge der Feder be- Nun geht man über Anzeige zu Diagramm, klickt auf Optionen, löscht alle bereits existierenden stimmt (die im Video erscheinende Strecke wird entlang der Feder gelegt) und eingetragen. Graphen und wählt die Graphen Masse (waagrechte Achse) Ausdehnung (senkrechte Achse) aus. Es ergibt sich: 6

7 Gekoppeltes Pendel mit measure Dynamics TEP Abbildung 3: Darstellung der Auslenkung der Feder als Funktion der auf ihr wirkenden Masse In Abbildung 3 erkennt man den linearen Zusammenhang zwischen der Masse und der Ausdehnung. Klickt man in der Menüzeile des Diagramms auf Optionen und geht in diesem Reiter zu Regressionsgerade, erscheint im Diagramm die Regressionsgerade und im Menüfenster die entsprechende Funktion. Hier beträgt die Steigung der Geraden 0,2862. Die Federkonstante beträgt also: 2,86 N/m Aufgabe 2: Bestimmen und Einstellen der charakteristischen Frequenz des ungekoppelten Pendels. Bestimmen des Trägheitsmoments des Pendels. Das jeweils aufgenommene Video wird an den Computer übertragen. Sodann wird das Programm measure Dynamics gestartet und das Video unter Datei Video laden geöffnet. Zur weiteren Analyse werden in dem Video mit Hilfe der Menüzeile oberhalb des Videos Versuchsbeginn ( Startmarke und Zeitnullpunkt ) und Versuchsende ( Endmarke ) festgelegt. Der Versuch beginnt mit dem ausgelenkten Pendel und endet nach mehreren Pendelschwingungen. Bei diesem Versuch ist darauf zu achten, dass der Versuch exakt nach einer bestimmten Anzahl von Schwingungen endet. Nun wird die Anzahl der Schwingungen bestimmt und die dafür benötigte Zeit abgelesen. Für Pendel 1 ergibt sich: 1,996 s bzw. 2 K 3,15 1 s. Für Pendel 2 ergibt sich ebenfalls: bzw. 1,996 s 2 K 3,15 1 s. 7

8 TEP Gekoppeltes Pend del mit measure Dynamics Die Schwingungsdauer der beiden Pendel stimmt also überein. Wäre dies nicht so, müsste die Pendel- länge für die nachfolgenden Versuche so korrigiert werden, bis die Schwingungsdauern übereinstimmen. Mit Hilfe von Gleichung (3) und der bekannten Pendelmasse von 1 kg folgt ment des Pendels: / 0,978 kg m. für das Trägheitsmo- Aufgabe 3: Darstellung der Schwingung der beiden Pendel als Funktion der Zeit sowie Bestimmen der Schwingungsfrequenz und Vergleich mit der theoretisch bestimmten Schwingungsfrequenzi A) in Phase Schwingung Im Folgenden werden die aufgenommenen Videos wie in Aufgabe 2 an den Computer übertragen sowie Zeitnullpunkt und Versuchsbeginn und -ende festgelegt. Anschließend wird unter Videoanalyse Skamarkiert und die vorab lierung Maßstab der Pendelarm mit der im Video erscheinenden Strecke gemessene Länge in das Eingabefenster eingegeben. Außerdem wird unter Bildrate ändern die bei der Aufnahme eingestellte Bildrate eingetragen und unter Ursprung und Richtung der Ursprung des Koor- Koordinatensystem dinatensystems jeweils auf den Drehpunkt des Pendels gesetzt. Außerdem wird das mit Hilfe der rechten Maustaste so gedreht, dass die x-achse horizontal nach links zeigt. Nun kann unter Videoanalyse Automatische Analyse bzw. Manuelle Analyse mit der eigentlichen Analyse der Bewegung begonnen werden. Bei der automatischen Analyse empfiehlt es sich, unter dem Reiter Analyse Bewegungserkennung mit Farbanalyse auszuwählen. Unter Optionen kann die au- geändert oder tomatische Analyse zusätzlich bei Bedarf optimiert werden, indem z.b. die Empfindlichkeit der Suchradius eingeschränkt wird. Als nächstes ist in dem Video eine Filmposition zu suchen, auf der das zu analysierende Objekt frei sichtbar ist. Sodann wird dieses Objekt angeklickt. Wird das Objekt er- begonnen werden. kannt, erscheint ein grünes Rechteck und die Analyse kann durch Klicken auf Startt Werden mit Hilfe der automatischen Analyse keine zufriedenstellenden Ergebnisse erzielt, kann unter Manuelle Analyse die Messreihe korrigiert werden, indem das zu analysierendee Objekt manuell mar- der beiden kiert wird. In diesem Versuch müssen in einem Video zwei Bewegungen, nämlich die Bewegungen Pendel, analysiert werden. Dies kannn dadurch erreicht werden, dass für jede Bewegung, d.h. für jede Analyse, ein eigenes Tabellenblatt verwendet wird. Das Tabellenblatt wird in der Tabellenmenüzeile gewechselt. Zunächst wird also die Pendelbewegung vom ersten Pendel analysiert, anschließend wird in einem zweiten Tabellenblatt die Pendelbewegung des zweiten Pendels analysiert. Für die zweite Analyse ist die Lage des Ursprungs zu ändern, nämlich auf den Drehpunkt des zweiten Pendels. Da das Pendel in einer Ebene schwingt, ist es empfehlenswert, die Tabellenblätter in der Tabellenmenü- Die Spalte erhält fol- zeile jeweils um eine weitere Spalte zu erweitern, die den Auslenkwinkel φ anzeigt. gende Bezeichnungen: Name: Winkel, Einheit:, Formel: arctan2(x;y)*360/(2*π). Zur graphischen Darstellung geht man über Anzeige zu Diagramm, klickt auf Optionen, löscht alle bereits existierenden Graphen und wählt die Graphen t (waagrechte Achse) Winkel (senkrechte Achsich: se) jeweils aus beiden Tabellenblätternn aus und klickt auf Hinzufügen. Es ergibt 8

9 Gekoppeltes Pendel mit measure Dynamics TEP Abbildung 4: Darstellung der Auslenkung beider Pendel für die in Phase Schwingung als Funktion der Zeit t Betrachtet man einen kleineren Ausschnitt, so ergibt sich: Abbildung 5: Ausschnitt aus der Auslenkung beider Pendel für die in Phase Schwingung als Funktion der Zeit t Aus der Abbildung 5 ist zu erkennen, dass die beiden Pendel mit derselben Amplitude und derselben Frequenz & schwingen. Die y-achse verläuft versetzt, weil die Schwingung nicht symmetrisch zur Nullstellung ohne koppelnde Feder verläuft. Die Frequenz & beträgt hier: & 2 K 2 K 1,993 s 3,15 1 s. 9

10 TEP Gekoppeltes Pend del mit measure Dynamics Dieser Wert entspricht dem Wert der charakteristischen Frequenz beim ungekoppelten Pendel. Die The- orie kann somit bestätigt werden. B) gegenphasige Schwingung Analog zu A) wird bei der gegenphasigen Schwingung vorgegangen. Es ergibt sich: Abbildung 6: Darstellung der Auslenkung beider Pendel für die gegenphasige Schwingungg als Funktion der Zeit t Betrachtet man einen kleineren Ausschnitt, so ergibt sich: Abbildung 7: Ausschnitt aus der Auslenkung beider Pendel für die gegenphasige Schwingung als Funktion der Zeit t 10

11 Gekoppeltes Pendel mit measure Dynamics TEP Aus Abbildung 7 ist zu erkennen, dass die beiden Pendel mit der gleichen Amplitude und der gleichen Frequenz?, aber mit einer Phasendifferenz von π schwingen. Die Frequenz beträgt hier:? 2 K 2 K 1,789 s 3,51 1 s. Aus der Theorie ergibt sich für die Frequenz gemäß Gleichung (13):? 3,47 1 s. Die Theorie kann somit bestätigt werden. C) der Schwebung Analog zu A) und B) wird bei der Schwebung vorgegangen. Es ergibt sich: Abbildung 8: Darstellung der Auslenkung beider Pendel für die Schwebung als Funktion der Zeit t 11

12 TEP Gekoppeltes Pend del mit measure Dynamics Betrachtet man einen kleineren Ausschnitt, so ergibt sich: Abbildung 9: Ausschnitt aus der Auslenkung beider Pendel für die Schwebung als Funktion der Zeit t 2 K 2 K 1,789 s 3,51 1 s. Aus Abbildung 9 ist zu erkennen, dasss es zwei Schwingungen gibt: das Hin- und Herpendeln des Pendels mit der Frequenz und das gegenseitige Übertragen der Amplitude mit der Frequenz. Sie be- tragen hier: 2 K 2 K 35,87 s 0,175 1 s, Gemäß den Gleichungen (8a) und (8b) bzw. (14) und (15) betragen die Frequenzenn gemäß Theorie: 0,169 1 s, 3,32 1 s. Die experimentell bestimmten Werte für die Frequenzen stimmen mit den aus der Theorie berechneten Werten nahezu überein. 12