LS5. Trägheitsmoment und Steiner scher Satz Version vom 23. Februar 2016

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1 Trägheitsmoment und Steiner scher Satz Version vom 23. Februar 2016

2 Inhaltsverzeichnis Grundlagen Begriffe Trägheitsmoment Der Steiner sche Satz Mathematisches Pendel Physikalisches Pendel Das Fahrradpendel Bestimmung des Trägheitsmoments des Fahrradpendels J Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung Experimenteller Aufbau Messparameter für CASSY-Lab Messwertaufnahme Auswertung Erstellen von Fehlerbalken Hinweise zur Protokollierung und Fehlerrechnung Anhang: Sensordaten

3 Inhaltsverzeichnis Lehr/Lernziele Anhand eines physikalischen Pendels (Fahrradpendel) soll das Verständnis für rotierende Systeme und ihre physikalischen Größen und Modelle, wie z.b. Trägheits- und Richtmoment (u.a. mittels dem Steiner schen Satz) vertieft werden. Die bereits erworbenen Kenntnisse zu computergestützten Messverfahren mit Sensor-CASSY werden Ihnen anhand automatischen Zeitmessungen näher gebracht. Ein wichtiger Schwerpunkt dieses Praktikums ist der Erwerb für die Auswertung von Messergebnissen und Messunsicherheiten, sowie das erstellen übersichtlicher Diagramme in einem Datenauswertprogramm. Vertiefung der Konzepte von Trägheitsmoment, Drehmoment, Kreisfrequenz,... Anwendung des Steiner schen Satzes zur Berechnung von Trägheitsmomenten. Kennenlernen der Abhängigkeit der Schwingungsdauer des Pendels von der Auslenkung. Verwenden eines Sensor-CASSY für automatische Zeitmessungen (periodische Schwingungsvorgänge messen). Verbesserung von Fertigkeiten zur Auswertung von Messergebnissen und Messunsicherheiten. Den Umgang mit Datenauswertprogrammen üben

4 1.1 Grundlagen Begriffe Mathematisches Pendel, Physikalisches Pendel, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Massenträgheitsmoment, Steiner scher Satz, Winkelrichtgröße Trägheitsmoment Das Trägheitsmoment J eines Körpers ist ein Maß für seinen Widerstand gegen die Änderung seines Drehbewegungszustandes. Gemäß seiner Definition ist das Trägheitsmoment immer auf eine bestimmte Drehachse bezogen und hängt von der Lage dieser Achse reativ zum Körper ab. J = V r 2 dm = V r 2 ρ dv (1.1) Formelzeichen Einheit Bezeichnung J kg m 2 Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Rot.-Achse dm kg Massenelement r m Normalabstand zwischen dm und Rotationsachse V m 3 Volumen ρ kg m 3 Dichte eines homogenen Körpers Vergleichen Sie die Definitionen und Bedeutungen der kinematischen und dynamischen Größen bei Translations- und Rotationsbewegungen in der Zusatzinformation auf der elearning Seite des Anfängerpraktikums Der Steiner sche Satz Der Steiner sche Satz verknüpft das Trägheitsmoment J S des Körpers für Drehungen um eine Achse durch den Massenmittelpunkt mit dem Trägheitsmoment J bezüglich einer dazu parallelen Achse im Abstand d (siehe Abb. 1). Der Steiner sche Satz lautet: - 2 -

5 J = J S + m ges d 2 (1.2) d J s J Abbildung 1: Drehung um eine durch den Massenmittelpunkt gelegte Achse (Trägheitsmoment J S ) und eine dazu parallel verschobene Achse (verknüpft mit dem Trägheitsmoment J) mit Abstand d. Formelzeichen Einheit Bezeichnung J kg m 2 Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Rot.-Achse J S kg m 2 Trägheitsmoment bzgl. Schwerpunktachse m ges kg Gesamtmasse des Systems d m Abstand der beiden Drehachsen Mathematisches Pendel Bei einem mathematischen Pendel schwingt eine im Schwerpunkt konzentrierte Masse m an einem masselosen Faden (Länge: l), wobei Reibungs- und Strömungswiderstände vernachlässigt sind. Realisiert wird dieses Pendel zb. durch eine Kugel, die an einem Faden schwingt. Die Masse der Kugel ist groß im Vergleich zur Masse des Fadens und die Ausdehnung der Kugel ist klein zur Länge des Pendelfadens (vgl. Abb. 2)

6 Abbildung 2: Mathematisches Pendel In der Skizze von Abb. 2 sind die wichtigsten Parameter angeführt. Es gilt: FG = m g und F = m g sin ϕ. Der Auslenkwinkel ϕ(t) ist von der Zeit t abhängig. Formelzeichen Bezeichnung Einheit ϕ(t) Auslenkwinkel 1 (rad) ϕ 0 maximaler Auslenkwinkel 1 (rad) F G Gewichtskraft N F Rückstellkraft N m Pendelmasse kg g Erdbeschleunigung m s 2 Achtung: Im folgenden werden ϕ und ϕ als die erste bzw. zweite zeitliche Ableitung aufgefasst ( ϕ(t) = d d2 ϕ(t) und ϕ(t) = ϕ(t)). Hierbei ist es dennoch wichtig die dt dt 2 jeweiligen unabhängigen Variablen anzuführen, da die jeweiligen Variablen nicht nur von der Zeit abhängen müssen. Mit dem Abstand l ϕ(t) (Bogenlänge) der Masse aus der Ruhelage und der daraus resultierenden Beschleunigung l ϕ(t) folgt im dynamischen Gleichgewicht - 4 -

7 m l ϕ(t) + m g sin ϕ(t) = 0 (1.3) }{{}}{{} Trägheitskraft Rückstellkraft Der zeitliche Verlauf des Auslenkwinkels ϕ(t) genügt einer nichtlinearen Differenzialgleichung zweiter Ordung: ϕ(t) + g l sin ϕ(t) = 0 (1.4) Für allgemeine Auslenkwinkel ϕ(t) ist die Differenzialgleichung nicht analytisch, sondern nur numerisch mit einem Näherungsverfahren lösbar. Wenn aber angenommen wird, dass für sehr kleine Winkel sin ϕ(t) ϕ(t) gilt, dann kann die Bewegungsgleichung folgendermaßen angeschrieben werden: ϕ(t) + g ϕ(t) 0 (1.5) l Sie ist somit eine lineare homogene Differenzialgleichung. Der Lösungsansatz dieser Gleichung ergibt eine periodische harmonische Funktion. ( ) g ϕ(t) = ϕ 0 cos l t + φ (1.6) (Mit φ als Anfangsphase.) Der Ausdruck g l wird im allgemeinen als Kreisfrequenz ω bezeichnet. Mit Hilfe des oben beschriebenen Lösungsansatzes lässt sich nun die Periodendauer analytisch ermitteln: T 0 = 2π ω = 2π l g (1.7) Physikalisches Pendel Einen beliebig ausgedehnten starren Körper, der um eine Achse schwingt, die nicht durch den Schwerpunkt verläuft nennt man ein physikalisches Pendel (vgl. Abb. 3)

8 A φ l AS S mg Abbildung 3: Physikalisches Pendel, A - Aufhängepunkt, S - Schwerpunkt Um seine Bewegungsgleichung zu bestimmen wird wieder der Ansatz des dynamischen Gleichgewichts (hier aber nicht der Kräfte, sondern eben der Drehmomente) gewählt. An Stelle der (punktförmigen) Masse tritt das Trägheitsmoment J und an Stelle der Rückstellkraft in Bahnrichtung das rücktreibende Drehmoment auf: J ϕ(t) }{{} + m g sin ϕ(t) l }{{ AS } = 0 (1.8) Drehmoment (Trägheit) rücktreibendes Drehmoment Die konstanten Parameter m g l AS werden allgemein zur Konstante D (Winkelrichtgröße) zusammengefasst: J ϕ(t) }{{} + D sin ϕ(t) }{{} = 0 (1.9) Drehmoment (Trägheit) rücktreibendes Drehmoment Mit der bereits bekannten Kleinwinkelnäherung sin ϕ = ϕ für ϕ 0 lässt sich auch diese Differenzialgleichung analytisch lösen und es folgt analog zum mathematsichen Pendel: Wobei D J ϕ(t) = ϕ 0 cos ( ) D J t + φ (1.10) = ω die Kreisfrequenz ist, aus der sich die Schwingungsdauer bestimmen lässt: - 6 -

9 T 0 = 2π ω = 2π J D (1.11) (In der Literatur wird die Winkelrichtgröße D auch oft als Richtmoment oder Direktionsmoment bezeichnet.) Das Fahrradpendel Das in dieser Praktikumseinheit verwendete physikalische Pendel besteht aus einem Speichenrad mit einem an der Felge montierten Metallzylinder (siehe Abb. 4). Abbildung 4: Speichenrad mit Zusatzmasse Bestimmung des Trägheitsmoments des Fahrradpendels J Wenn man das Trägheitsmoment des Fahrradpendels bestimmen möchte, muss man die Winkelrichtgröße D errechnen und die Schwingungsdauer T 0 bei kleinsten Auslenkungen messen (siehe Gl. 1.11) Bestimmung der Schwingungsdauer für kleinste Winkel: Das Fahrradpendel - so gut auch die Radlager sind - hat eine relativ große Rollreibung, die eine genaue Messung der Schwingungsdauer bei kleinsten Auslenkungen kaum ermöglicht. Für größere Winkel gilt die Kleinwinkelnäherung (wie für Gl. 1.9 durchgeführt) nicht mehr und die Schwingungsdauer ist abhängig vom (maximalen) Auslenkwinkel ϕ 0. Man kann - 7 -

10 jedoch die Periodendauer über einen großen Bereich verschiedenster Auslenkwinkel ϕ 0 messen und den Zusammenhang grafisch gegen den Winkel ϕ 0 = 0 extrapolieren 1. Bestimmung der Winkelrichtgröße D Die Winkelrichtgröße D hängt von der Masse m Z des Metallzylinders und vom Abstand l AS der Drehachse A zum Schwerpunkt S ab und wird wie folgt berechnet: D = m Z g l AS (1.12) Der Abstand l AS setzt sich hier aus dem Radius R F der Felge und der halben Höhe h Z der zylindrischen Zusatzmasse zusammen: l AS = R F h Z (1.13) Trägheitsmoment des Speichenrades J Rad Die komplizierte Geometrie und Massenverteilung des Rades macht eine genaue mathematische Berechnung seines Trägheitsmomentes unmöglich. Es gilt jedoch, dass das Gesamtträgheitsmoment des Fahrradpendels J gleich der Summe der Trägheitsmomente des Zylinders J z und des Speichenrades J Rad sind. Daraus folgt: J Rad = J J z (1.14) Nun man kann das unbekannte Trägheitsmoment J Rad des Rades bestimmen. Formelzeichen Einheit Bezeichnung m Z kg Masse Metallzylinder r Z m Radius Metallzylinder h Z m Höhe Metallzylinder l AS m Abstand Drehachse - Schwerpunkt R F m Radius der Felge 1 extrapolieren bedeutet hochrechnen, bzw. aus einem bekannten Bereiche ausgehend vorhersagen bzw. die Kurve weiter zeichnen - 8 -

11 Trägheitsmoment des Zylinders J Z Abbildung 5: Metallzylinder Die Drehachse des Fahrradpendels (siehe Abb. 4) verläuft nicht durch den Schwerpunkt des Zylinders. Um J Z zu berechnen muss man daher zunächst das Trägheitsmoment parallel zur Schwerpunktsachse J S kennen. Hier verläuft die Achse durch seinen Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) und ist parallel zur Drehachse angeordnet (siehe Abb. 5). Dieses Trägheitsmoment J S ergibt sich über die allgemeine Definition von Trägheitsmomenten J = r 2 dm (siehe Kapitel auf Seite 2) unter Berücksichtigung der Geometrie des Zylinders zu: J S = 1 4 m Z r 2 Z m Z h 2 Z (1.15) Dem Steiner schen Satz (siehe Kapitel auf Seite 2) entsprechend gilt dann für das Trägheitsmoment des Zylinders beim Fahrradpendel: J Z = J S + m Z l 2 AS (1.16) J Z = m Z ( 1 4 r2 Z h2 Z + l 2 AS) (1.17) Formelzeichen Einheit Bezeichnung J kg m 2 Trägheitsmoment D kg m 2 s 2 Richtmoment J Z kg m 2 Trägheitsmoment des Metallzylinders J S kg m 2 Trägheitsmoment des Metallzylinders (Schwerpunkt) J Rad kg m 2 Trägheitsmoment des Speichenrades - 9 -

12 1.2 Aufgabenstellung 1. Messen Sie die Schwingungsdauer T 0 in Abhängigkeit des Auslenkwinkels ϕ (Bereich von 90 bis 10 ) und stellen Sie T 0 als Funktion von ϕ in einem Diagramm graphisch dar. Zeichnen Sie für beide Messgrößen physikalisch sinnvolle Fehlerbalken ein. 2. Ermitteln Sie graphisch die Schwingungsdauer T 0 für sehr kleine Auslenkungen durch Extrapolation des Winkels gegen Null. 3. Berechnen Sie das Richtmoment (Winkelrichtgröße) D des Pendels. 4. Berechnen Sie das Trägheitsmoment der zylindrischen Zusatzmasse J Z, des gesamten Pendels J und daraus das Trägheitsmoment des Rades J Rad. 5. Stellen Sie Überlegungen zur Fehlerrechnung an und bestimmen Sie die jeweils physikalisch sinnvollen Messunsicherheiten. 1.3 Versuchsaufbau und Durchführung Experimenteller Aufbau Der Versuchsaufbau ist in der Abbildung 6 dargestellt. Den Winkel lesen Sie auf einem Winkelkreis (Teilung: 5 ) mit einer auf der Felge montierten metallischen Spitze ab. Zur Messung der Schwingungsdauer wird ein Drehbewegungssensor verwendet. Die Messdaten werden computergestützt mit einem Sensor-CASSY erfasst und graphisch dargestellt. Gleichzeitig zur Schwingungsdauer kann auch die Amplitude aufgezeichnet werden. Der Drehbewegungssensor ist mit dem Radpendel über ein Messingstäbchen verbunden. Überprüfen Sie die Justierung der Anordnung (wenn der Drehbewegungssensor nicht fix verbaut ist): Beachten Sie, dass der Sensor in der richtigen Höhenposition zum Messingstäbchen angeordnet ist. Justieren Sie die Drehachse des Sensors parallel zur Rotationsachse des Radpendels. Stellen Sie dazu die waagrechte Stativstange, an der der Sensor befestigt ist, parallel zur Richtung des Rad-Durchmessers. Schließen Sie den Drehbewegungssensor an einen der beiden Eingänge des Sensor- CASSY an

13 Abbildung 6: Versuchsaufbau Messparameter für CASSY-Lab2 Zur Messung der Schwingungsdauer öffnen Sie CASSY-Lab2 und tätigen folgende Einstellungen: CASSY: Sensor aktivieren. Einstellungen - Eingang: Messgröße: Periodendauer T, Dauer: 3s (das ist jener Zeitbereich in welchem Sie die Periodendauer des Pendels erwarten, sie darf nicht kleiner als die Periodendauer sein!), Aufnahme: manuell Rechner-Parameter: Neu: Winkel einrichten, Typ: manuell in die Tabelle wählen, Bereich: 0 bis Darstellung: x-achse: Winkel, y-achse: Schwingungsdauer, alle anderen Achsenbe- 2 Alternativ dazu kann mit dem Sensor-Cassy 2 auch die jeweilige Amplitude (ϕ 0 = ϕ max ) aufgenommen werden (gleichzeitig zur Periodendauer). Wer das so automatisiert durchführen möchte, muss aber darauf achten, dass die Amplitudenmessung in der Ruhelage auf Null kalibriert ist. Bei der automatischen Messung werden alle 2T automatisch Messwerte für A und T aufgenommen

14 legungen deaktivieren. Auf der elearning-seite finden Sie eine Kurzanleitung zur Bedienung von CASSY Erste Schritte im Umgang mit CASSY und ULAB Messwertaufnahme Tragen Sie zuerst den Wert für den aktuell zu messenden Auslenkwinkel in die erste Tabellenspalte ein. Lenken Sie dann das Pendel um einen ca. 5 bis 10 größeren Winkel aus. Zur Bestimmung des Auslenkwinkels (Amplitude) können Sie entweder den Sensor-CASSY verwenden oder dies manuell durchführen. Bei der manuellen Durchführung warten Sie ein paar Schwingungen ab, bis die metallische Spitze den gewünschten Auslenkwinkel erreicht hat bevor Sie die Messung durchführen. Wiederholen Sie die Messung in Schritten von 10 im Bereich durch. Zur weiteren Auswertung exportieren Sie die Tabelle in ein geeignetes Datenauswerteprogramm (z.b. Origin, QTI-Plot) übertragen indem Sie die Daten aus CASSY-Lab2 exportieren Auswertung Stellen Sie die Schwingungsdauer T 0 als Funktion des Auslenkwinkels ϕ graphisch dar. Zeichnen Sie für beide Messgrößen physikalisch sinnvolle Fehlerbalken ein. Beachten Sie die Hinweise zum Erstellen von Fehlerbalken (vgl. Kap ). Entnehmen Sie der graphischen Darstellung durch Extrapolieren 3 den Wert der Schwingungsdauer T 0 für kleine Auslenkwinkel (ϕ 0). Führen Sie die Berechnungen zur Winkelrichtgröße (Richtmoment oder Direktionsmoment) und zum Trägheitsmoment entsprechend der Aufgabenstellung durch. Messen Sie die dazu notwendigen Längen (r Z, h Z, l AS, R F ) mit physikalisch sinnvollen Unsicherheiten. Die Masse des Metallzylinders m Z ist auf der Grundplatte des Pendels angegeben Erstellen von Fehlerbalken Importieren Sie Ihre Messdaten in eine neue Tabelle. Um Fehlerbalken eintragen zu können müssen Sie zunächst eine neue Spalte in Ihre Tabelle einfügen. Gehen Sie dazu in die Menübar unter Tabelle und dann Spalte hinzufügen. Makieren Sie die hinzugefügte 3 In QTI-Plot: Analyse - Interpolieren und Bereich über den Datensatz hinaus erweitern

15 Spalte und wählen Sie mit Rechtsklick aus. Im erscheinenden Drop-down Menü finden Sie Setzen als wählen Sie dort X-Error bzw. Y-Error aus. Fügen Sie nun manuell die Daten zur Messunsicherheit (von Ihnen berechnet) ein. Anschließend kann das Diagramm mit eingetragenen Fehlerbalken erstellt werden. 1.4 Hinweise zur Protokollierung und Fehlerrechnung Für das Erstellen von Fehlerbalken müssen sie sorgfältige Überlegungen zu den Messunsicherheiten treffen: Die Sensordaten geben Ihnen die Auflösung der Messgeräte, doch nicht die Messunsicherheit! Bedenken Sie: Bei jeder Schwingungsdauer sinkt der Winkel reibungsbedingt. Somit ist die gemessene Schwingungsdauer (die alle 3 Sekunden ausgegeben wird) eine mittlere Schwingungsdauer für einen Winkelbereich. Wenn Sie diese einen bestimmten Winkel zuordnen, so handeln Sie sich alleine deshalb schon eine größere Unsicherheit der Schwingungsdauer ein. Überlegen Sie, wie Sie zu einer argumentativ nachvollziehbaren Abschätzung der Unsicherheiten gelangen. Diskutieren Sie auch mit anderen Gruppen und mit Ihren Betreuern. Wenden Sie die jeweiligen Formeln zur Fehlerrechnung und Fehlerfortpflanzung an. Konzipieren Sie das Protokoll zu dieser Einheit entsprechend den Richtlinien des Praktikumsleitfades. Erstellen Sie übersichtliche Diagramme. 1.5 Anhang: Sensordaten Die Schwingungsdauer und Amplitude werden automatisch ermittelt, indem der Sensor eine Schwingung auswertet, dabei aus den Umkehrpunkten die Mittellage ermittelt (unter Berücksichtigung einer eventuellen Amplitudenabnahme durch Reibung) und die Zeitdifferenz zwischen drei Mittellagen erfasst mit einer Auflösung besser als 1 ms. Mit dem Drehbewegungssensor können die Schwingungsdauer und -amplitude, Winkel, Drehfrequenz und der Weg erfasst werden und hat folgende Auflösungen: Auflösungsvermögen Frequenz Winkel Weg Zeit Größe 0,001 Hz 0,18 0,08 mm 0,001 s Vorbereitungsfragen 1. Was ist ein Trägheitsmoment. Erklären Sie qualitativ

16 2. Was ist der Steiner sche Satz und was kann man mit ihm berechnen? 3. Was ist ein Drehmoment und wie hängt es mit der Kraft zusammen? 4. Welche Konstanten sind in der Winkelrichtgröße D zusammengefasst? 5. Der Ansatz für das dynamische Gleichgewicht der Drehmomente liefert die Differenzialgleichung, mit deren Hilfe man die Funktion finden kann, die die Bewegung des Pendels beschreibt: J ψ(t)+d sin ψ(t) = 0 Welche Näherung muss man durchführen, damit man die Gleichung lösen kann und was ist dann die Lösung? 6. Aus welcher Beziehung bestimmen Sie das Trägheitsmoment J des gesamten Pendels? Nur für welchen Fall ist diese Beziehung gültig? 7. Was ist eine Extrapolation und wo im Experiment setzen Sie diese Technik ein? 8. Sie berechnen das Trägheitsmoment des Zylinders am Fahrradpendel mit Hilfe seiner geometrischen Abmessungen und seiner Masse bezüglich einer Rotationsachse durch den Schwerpunkt J S. Das Fahrradpendel rotiert aber nicht durch den Schwerpunkt des Zylinders. Wie berechnen Sie das Trägheitsmoment des Zylinders J Z durch die Rotationsache des Pendels? 9. Sie kennen das Trägheitsmoment des Fahrradpendels J und das Trägheitsmoment des Zylinders bezüglich der Rotationsachse des Fahrradpendels J Z. Wie berechnen Sie das Trägheitsmoment des Speichenrades J Rad? 10. Wie lautet die Beziehung zwischen Schwingungsdauer und Kreisfrequenz? 11. Was ist eine Kreisfrequenz? Was ist ihre Dimension? Was ist ihre Einheit? 12. Welche Dimension und welche Einheit erhält man, wenn man die Kreisfrequenz mit der Zeit multipliziert?