5. Mechanische Schwingungen und Wellen. 5.1 Mechanische Schwingungen

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1 5. Mechanische Schwingungen und Wellen Der Themenbereich mechanische Schwingungen und Wellen ist ein Teilbereich der klassischen Mechanik, der sich mit den physikalischen Eigenschaften von Wellen und den sie hervorrufenden Schwingungen befasst. Im Alltag ist das physikalische Wissen über mechanische Schwingungen für Bauingenieure beim Bau von erdbebensicheren Hochhäusern von entscheidender Bedeutung. Die Physik von mechanischen Wellen hat wiederum großen Einfluss auf den Küstenschutz, wie der verheerende Tsunami in Japan im Jahr 2011 zeigte. Beide Gebiete besitzen somit große Bedeutung für den Menschen und werden deshalb in den folgenden Kapiteln näher thematisiert. 5.1 Mechanische Schwingungen Der Taipei 101 ist mit einer Höhe von 509m einer der höchsten Wolkenkratzer der Welt. Er befindet sich auf der Insel Taiwan mitten in einem Gebiet, das ständig von Erdbeben und Wirbelstürmen bedroht ist. Um den starken Schwingungen des Turms durch ein Erdbeben standzuhalten, ist die Tragstruktur des Teipei 101 konstruiert wie ein Bambusrohr. [24] Teipei 101 Zusätzlich befindet sich zwischen dem 88. und 92. Stockwerk ein 660 Tonnen schweres sog. Tilgerpendel, das den Schwingungen im Falle eines Erdbebens entgegenwirken kann. Zur Konstruktion von Hochhäusern an derartigen Standorten müssen Architekten und Ingenieure umfassende Kenntnisse über die Physik von Schwingungen besitzen. Im folgenden Kapitel werden die physikalischen Grundbegriffe zum Themenbereich Schwingungen näher erläutert und unterschiedliche Schwingungsarten untersucht. Es ist dabei anzumerken, dass die hier betrachteten Schwingungen in der Regel Idealisierungen und Vereinfachungen darstellen und die Schwingungen von Gebäuden in der Realität wesentlich komplizierter zu berechnen und schwerer vorherzusagen sind.

2 5.1.1 Grundbegriffe Definition: Unter einer mechanischen Schwingung versteht man eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine Ruhelage (Nullniveau). Die Entfernung des Körpers aus der Ruhelage nennt man Elongation. Diese ist abhängig von der Zeit. Auslenkungen nach oben werden positiv, Auslenkung nach unten negativ gerechnet. Die maximale Auslenkung aus der Ruhelage heißt Amplitude (häufig auch ). Unter der Schwingungsdauer versteht man den zeitlichen Abstand zweier gleichgerichteter benachbarter Nulldurchgänge (Durchgang durch die Ruhelage). Die Frequenz einer Schwingung gibt die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit an. Für eine einzelne Schwingung ist. Hieraus ergibt sich ein Zusammenhang zwischen Frequenz und Schwingungsdauer: Ist die Amplitude einer Schwingung zeitlich konstant, so spricht man von einer ungedämpften Schwingung. Eine Schwingung, die frei von äußeren Kräften ist, heißt freie Schwingung. Eine Schwingung, die nicht frei von äußeren Kräften ist, heißt erzwungene Schwingung. Zusammenfassung: Schwingungsdauer Frequenz Elongation (Auslenkung) Amplitude (Maximalauslenkung)

3 5.1.2 Freie ungedämpfte Schwingung In einem Experiment wird ein Federpendel in Schwingung versetzt und mit einer Projektionslampe auf einen Schirm projiziert. Gleichzeitig lässt man simultan zum Pendel eine Metallscheibe mit einem am Rand befestigten Metallstift rotieren. Durch geschickte Wahl der Drehzahl der Scheibe kann die Pendelbewegung mit der Kreisbewegung synchronisiert werden, so dass der Schatten des Pendels zu jedem Zeitpunkt der Schwingung mit dem Schatten des Metallstifts übereinstimmt. Die Schwingung eines ungedämpften Federpendels stimmt somit mit der Parallelprojektion einer Kreisbewegung überein: Es fällt auf, dass der Radius des Kreises immer der Amplitude des Federpendels entspricht, da sich dieser bei der Drehbewegung nicht ändert. Die Elongation (Auslenkung) des Federpendels kann deshalb ganz einfach mit Hilfe des Sinus berechnet werden: Durch Umbenennung der Amplitude in ergibt sich für die Auslenkung des Federpendels: Ziel der folgenden Überlegung ist es nun das Weg-Zeit-Gesetz der freien ungedämpften Schwingung zu bestimmen. Da der Drehwinkel zeitabhängig ist, kann dieser mit Hilfe einer Verhältnisgleichung berechnet werden:

4 Gibt man die Winkel anstatt im Gradmaß im Bogenmaß an, so kann der Winkel 360 durch 2 ersetzt werden und es gilt: Für die Auslenkung des Federpendels ergibt sich somit das Weg-Zeit-Gesetz: Trägt man die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit in einem Weg-Zeit-Diagramm auf, so ergibt sich der typische Verlauf einer Sinuskurve: Neben der Auslenkung sind bei der Untersuchung der Schwingung des Federpendels auch die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Pendels von Interesse: Betrachtet man in obigem Experiment nun zunächst die Geschwindigkeit, so stellt man fest, dass der Metallstift auf der Scheibe mit einer konstanten Geschwindigkeit rotiert, der sog. Bahngeschwindigkeit. Im Gegensatz dazu bewegt sich das Pendel nicht mit einer konstanten Geschwindigkeit. So ist die Geschwindigkeit des Pendels bei maximaler Auslenkung gleich Null und erreicht beim Durchgang durch die Ruhelage ihr Maximum. Um die Geschwindigkeit des Federpendels zu einem beliebigen Zeitpunkt der Schwingung trotzdem berechnen zu können, betrachtet man lediglich die y-komponente der Bahngeschwindigkeit des Metallstifts. Die y-komponente entspricht gerade der Geschwindigkeit des Pendels, da diese auch bei maximaler Auslenkung gleich Null ist und in der Ruhelage maximal wird.

5 Die Geschwindigkeit des Federpendels kann deshalb mit Hilfe des Cosinus berechnet werden: Durch Umbenennung der Bahngeschwindigkeit in Gesetz ergibt sich hieraus das Geschwindigkeits-Zeit- mit dem zugehörigen Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm: Die Geschwindigkeit des Pendels kann also mit einer Cosinusfunktion beschrieben werden. Abschließend kann die Beschleunigung des Federpendels untersucht werden. Um ein Federpendel in Schwingung zu versetzen, muss man dieses zunächst mit der Hand um eine gewisse Strecke auslenken. Lässt man das Pendel dann los, so wird dieses von der Federkraft gewissermaßen nach

6 oben katapultiert. Physikalisch ausgedrückt wird das, an der Feder angehängte Massestück gemäß dem 2. Newtonschen Axiom nach oben beschleunigt. Oberhalb des Nullniveaus wird das Massestück dann von der Feder wieder abgebremst bis es im oberen Umkehrpunkt kurz zur Ruhe kommt. Das Massestück erfährt dort also eine negative Beschleunigung. Analog zur Auslenkung und zur Geschwindigkeit, kann man sich auch die Beschleunigung mit Hilfe der Parallelprojektion veranschaulichen: Die Beschleunigung des Federpendels kann erneut mit dem Sinus berechnet werden. Hierbei ist jedoch auf das richtige Vorzeichen zu achten! Beschleunigung und Auslenkung sind bei mechanischen Schwingungen immer entgegengesetzt gerichtet! Die Beschleunigung bekommt deshalb ein negatives Vorzeichen. Für die Beschleunigung des Federpendels ergibt sich somit das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz mit dem zugehörigen Beschleunigungs-Zeit-Diagramm: Die Beschleunigung des Pendels kann also mit einer negativen Sinusfunktion beschrieben werden.

7 Abschließende Überlegung: Sowohl die Geschwindigkeit, als auch die Beschleunigung kann alternativ durch Ableiten des Weg- Zeit-Gesetzes mit Hilfe der Kettenregel berechnet werden: Es fällt auf, dass anstelle der maximalen Geschwindigkeit im Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der Vorfaktor verwendet wird. Dieser ergibt sich aber direkt aus der Winkelgeschwindigkeit: Analog kann auch der Vorfaktor im Beschleunigungs-Zeit-Diagramm hergeleitet werden. Achtung: Da in der Herleitung alle Winkel im Bogenmaß angegeben wurden, muss bei Rechnungen der Taschenrechner von DEG (degree, bzw. Grad) auf RAD (radiant, bzw. Bogenmaß) umgestellt werden.