Freie Gedämpfte Schwingungen

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1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Freie Gedämpfte Schwingungen durchgeführt am von Matthias Dräger, Alexander Narweleit und Fabian Pirzer Physikalische Grundlagen. Schwingungen Als Schwingung bezeichnet man einen zeitlich periodischen Vorgang, der bei einem physikalischen System seine Ruhelage verlässt und durch die rücktreibende Kraft diese wieder einnimmt. Bei einem Federpendel ist dies die Federkraft und in einem elektrischen Schwingkreis, der aus einem Kondensator und einer Spule besteht, die Kondensatorspannung..2 Harmonische Schwingungen Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, die den mathematischen periodischen Funktion, der Sinus- oder Konsinusfunktion, sehr ähnlich sind. Dabei ist die rücktreibende Kraft proportional zur jeweiligen Auslenkung aus der Ruhelage. Abbildung : Verlauf einer harmonischen Schwingung Hierbei ist A 0 die Amplitude, T die Schwingungsdauer und der Faktor ω die Kreisfrequenz. Die Kreisfrequenz ergibt sich aus der Grundperiode 2π und der Periodendauer T: ω = 2 π T ().3 Federpendel und Schwingkreis Das Federpendel ist der einfachste mechanische Oszillator. Hier wird bei Auslenkung der Feder mit einem Massestück potenzielle Energie aufgebaut, die beim Loslassen in kinetische Energie überführt wird (bis zur Ruhelage). Durch die Trägheit des Körpers schwingt dieser weiter, d.h. die kinetische Energie wird wieder in potenzielle Energie überführt und der Körper bremst ab.

2 .4 Methametische Behandlung (Differentialgleichung der Schwingung) PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Abbildung 2: Federpendel und elektr. Schwingkreis Der einfachste elektrische Oszillator besteht aus einer Spule und einem Kondensator. Hierbei wird die elektrische Feldenergie des aufgeladenen Kondensators in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt. Nach dem Ladungsausgleich induziert die Spule eine Spannung, die den Kondensator mit umgekehrter Polarität auflädt. Dies ist im folgenden Bild dargestellt: Abbildung 3: Ladungsverteilungen in einem elektrischen Schwingkreis.4 Methametische Behandlung (Differentialgleichung der Schwingung).4. Federpendel Nachdem Hookeschen Gesetzt ist die Kraft einer Feder proporional zu ihrer Auslenkung x. Der Proportionalitätsfaktor D stellt hierbei die Federkonstante dar: Daraus ergibt sich für F = m a die Gleichung: d 2 x dt 2 F = D x (2) D x = m a D x = m d2 x dt 2 + x D m = 0 (3) 2

3 .4 Methametische Behandlung (Differentialgleichung der Schwingung) PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Es wird eine mathematische Funktion x = f(t) gesucht deren zweite Ableitung nach der Zeit gleich der Funktion selbst ist, aber mit umgekehrten Vorzeichen. Diese Bedingung erfüllen die Sinus- Kosinusfunktionen: x(t) = x 0 cos (ω t) (4) Der Ansatz aus (4) ist genau dann eine Lösung, wenn due Frequenzen durch die Größen D und m bestimmte Werte annehmen: Es folgt durch Vergleich mit (3): dx dt = ω x 0 sin (ω t) d 2 x dt 2 = ω2 x 0 cos(ω t) = ω 2 x ω 2 = D m (5).4.2 Elektrischer Schwingkreis Es besteht folgender Zusammenhang zwischen Strom und Spannung (siehe dazu Versuch R-C-Kreise): I C = C du C dt Durch Integration erhält man die Spannung: U C = I C dt (7) C (6) Der Spannungsabfall an einer Spaule U L ist proportional zur Änderung des Stromes. Nach der Lenzschen Regel widersetzt sich die Spule einer Stromänderung aufgrund der Selbstinduktion und einer Gegenspannung: U ind = L di L dt (8) U L = U ind (9) U L = L di L dt Hierbei ist L der Selbstinduktionskoeffizient der Spule (Induktivität). Durch die Kirschhoffsche Maschenregel gilt U C + U L = 0 und wegen der Reihenschaltung I = I C = I L. Mit (7) und (0) erhalten wird: Idt + L di L () C dt Nach Ableitung (nach t) und Umstellung: (0) d 2 I dt 2 + L C I = 0 (2) Wir suchen eine Funktion I = f(t) die zweimal abgeleitet die gleiche Funktion abbildet mit umgekehrten Vorzeichen - also eine Kosinusfunktion: I(t) = I 0 cos (ω t) (3) 3

4 .5 Energieinhalt der Schwingung und Dämpfung PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Diese Formel stellt eine lösung dar, wenn in Formel (3) die Größen L und C bestimmte Werte annehmen: Durch Vergleich mit (2) folgt: di dt = ω I 0 sin (ω t) d 2 I dt 2 = ω2 I 0 cos (ω t) = ω 2 I ω 2 = L C (4).5 Energieinhalt der Schwingung und Dämpfung Die anfängliche Auslenkung eines schwingungsfähigen Systems wird bei einem Federpendel wie folgt berechnet: In einem elektrischen Schwingkreis: dw = F dx (5) W = x0 Als Gesamtenergie gilt in einem Federpendel: und in einem elektrischen Schwingkreis: 0 D cdx = 2 D x2 0 (6) W = 2 C U2 0 (7) 2 D x2 + 2 m v2 = const = 2 D x2 0 (8) 2 C U2 + 2 L I2 = const (9) Durch Reibung oder Widerständer kann das System Energie verlieren, man spricht von einer gedämpften Schwingung. Die Amplitude nimmt dabei ab, dass wie folgt berechnet werden kann: Für das Federpendel ergibt das das folgendes Abklingverhalten: und im elektrischen Schwingkreis: da = δ A dt (20) A = A 0 e δt (2) x(t) = x 0 e δt cos (ω t) (22) I(t) = I 0 e δt cos (ω t) (23) 4

5 3 VERSUCHSAUFBAU Trägt man das Verhalten nach t ab, erhält man folgendes Bild: Für den elektrischen Schwingkreis Abbildung 4: Verlauf einer gedämpften Schwingung gilt folgender Zusammenhang zwischen der Dämpfungskonstante δ, dem Verlustwiderstand R und der Induktivität L: δ = R 2 L (24) 2 Aufgaben. (Vorversuch zur gemeinsamen Durchführung und sofortigen Auswertung durch die gesamte Gruppe): Aufbau eines Schwingkreises niedriger Frequenz aus einer Spule und einem Kondensator und einem Drehspulmessinstrument zum Nachweis der zeitlich periodischen Spannung am Kondensator. Messung der Schwingungszeit mit der Stoppuhr und der Amplitudenwerte am Messinstrument. Berechnung der Induktivität L aus der Kreisfrequenz (bei bekannter Kapazität) und des Verlustwiderstandes R aus der Dämpfungskonstanten. 2. (Schwingkreis): Periodische Anregung eines Schwingkreises höherer Frequenz. Beobachtung und Messung des Schwingungsverlaufs mit dem Oszilloskop. Bestimmung der Parameter der Schwingung (Schwingungsdauer bzw. Kreisfrequenz und Dämpfungskonstante) und Vergleich mit den direkt gemessenen Daten der verwendeten Bauteile (Kapazität C des Kondensators, Induktivität L und Widerstand R der Spule). 3 Versuchsaufbau Abbildung 5: Aufbau Versuch Abbildung 6: Aufbau Versuch 2 5

6 5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 4 Geräte und Materialien Für die Versuche verwendeten wir folgende Geräte: 4. Versuch Stoppuhr /0 sec Kondensator (250 ± 50)µF Spule mit Windungen 600H Spannungsquelle Analog-Nullvoltmeter technowa Umschalter 4.2 Versuch 2 Oszilloskop HAMEG (303-6) Netzgerät Voltcraft MX 2020 Digitalmultimeter ESCORT ELL-3D Kondensator µf Spule 0,5 mh Schaltbrett 4.3 Fehlerwerte Gerät Oszilloskop Digitalmultimeter (AC) Fehler X-Achse: 5%, Y-Achse: 3%, Ablesefehler: ±0, 2cm R: 0, 5% + 3d C: 0, 7% + 3d L: 0, 7% + 5d Tabelle : Messfehler in der Übersicht 5 Versuchsdurchführung 5. Aufgabe Der erste Versuch wurde mit dem ganzen Kurs durchgeführt. Es wurde zunächst ein elektrischer Schwingkreis nach Abbildung 5 mit einer Frequenz von f 0, 3Hz aufgebaut. Der Kondensator wurde über einen Umschalter aufgeladen und anschließend wurden die Spannungsamplituden mit dem Voltmeter und die Schwingungsdauer mit einer Stoppuhr gemessen. Die Daten können der folgenden Tabelle entnommen werden: 6

7 5.2 Aufgabe 2 5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Zeit t in s Amplitude A in V 0 5,0,7-3,8 2,9 2,4 4,5 -,6 5,9 0,8 7,3-0,6 9,0 0,2 Tabelle 2: Messwerte Versuch Es wurden folgende Ablesefehler festgelegt: t = 0, 4s A = 0, 2V 5.2 Aufgabe 2 Bevor wir mit dem Versuch angefangen haben, haben wir die Kapazität des Kondensators und die Induktivität, sowie den Widerstand der Spule direkt gemessen. Wir haben dabei die Skala 20Hz und khz am Digitalmultimeter eingestellt: Bauelement Eigenschaft Gemessener Wert bei 20 Hz bei khz Angegebener Wert Kondensator Kapazität C (, 07 ± 0, 072)µF (, 02 ± 0, 07µF µf Induktivität L (0, 483 ± 0, 034)mH (487, 2 ± 35)µH 0,5 mh Spule Widerstand R (0, 850 ± 0, 043)Ω (5, 42 ± 0, 78)Ω Tabelle 3: Direktmessungen an Kondensator und Spule Wir haben nun auf einem Schaltbrett die Schaltung nach Abbildung 6 aufgebaut. Am Funktionsgenerator haben wir eine Rechteckspannung mit einer Frequenz von f = (00 ± )Hz eingestellt. Bei dem Oszilloskop haben wir die Zeitachse auf cm = 0,2ms und die Y-Achse auf cm = 0,2V eingestellt. Am Oszilloskop konnte man das folgende stehende Bild erkennen: Abbildung 7: Bild vom Oszilloskop Um genauer ablesen zu können, haben wir die Zeitachse auf cm = 0,ms gestellt. Wir haben folgende Werte abgelesen: 7

8 6 AUSWERTUNG Zeit t in ms Amplitude A in V 0 0 0,04 0,85 0,0-0,72 0,8 0,60 0,24-0,53 0,32 0,44 0,38-0,40 0,45 0,32 0,52-0,30 Tabelle 4: Messwerte Versuch 2 6 Auswertung 6. Aufgabe Gesucht wird die Periodendauer T, die Induktivität L, die Dämpfungskonstante δ und der Verlustwiderstand R. Wir haben zunächst die Periodendauer bestimmt, indem wir unseren Messzeitraum von 9s durch die Anzahl der Perioden (= 3) geteilt haben. Der Fehler der Zeit lad bei t = 0, 4s (siehe Durchführung): T = 9s 3 = 3, 00s δt = δt T = t t T = 0, 4s 9s 9s 3 0, 4s Eine andere Möglichkeit ist, die Periodendauer über die gegebene Frequenz (f = 0,3 Hz) zu berechnen: T = f = 3, 3s 0, 3Hz Leider sind wir uns in dem Fall nicht sicher, ob die Frequenz wirklich auf 0,3 Hz gestellt wurde. Auch ist uns der Fehler des Funktionsgenerators unbekannt. In der folgenden Rechnung arbeiten wir mit T = (3, 00 ± 0, 4)s. Wir berechnen die Induktivität L, indem wir die Eigenfrequenz ω in die Formel der Schwingungszeit einsetzen: Einheitenkontrolle ω 2 = L C ω = T = 2π ω = 2 π LC L C T 2 = 4π2 LC L = T 2 4π 2 C = 3 2 s 2 4π F 90H [L] = s2 F = s2 C V = s2 A 2s 4 kgm 2 = kg m2 A 2 s 2 = H 8

9 6. Aufgabe 6 AUSWERTUNG δl = 2 δt + δc ( 2 T L = + C T C ( 2 0, 4s L = + 3s 270H ) T 2 4π 2 C ) 3 2 s 2 4π Wir berechnen nun die Dämpfungskonstante δ, indem wir Exponentialfunktion des Abklingverhaltens umstellen: A = A 0 e δt ln A = ln A 0 e δt ln A = ln A 0 + ln ( e δt) ln A = ln A 0 δ t δ = ln A 0 ln A t Für A 0 setzen wir 5V ein und die erste Periode ist nach t = 2, 9s bei einer Amplitude von 2,4V zuende: δ = ln 5V ln 2, 4V 2, 9s 0, 253 s δ(δ) = δ(ln A 0 ln A) + δt ( (ln A0 ln A) δ = (ln A 0 ln A) + t ) ln A 0 ln A t t ( ln A0 + ln A δ = + t ) ln A 0 ln A (ln A 0 ln A) t t ( ln (A0 A 0 ln A 0 ) + ln (A A) ln A δ = (ln A 0 ln A) + t ) ln A 0 ln A t t Wir setzen folgende Werte ein: A 0 = (5, 0 ± 0, 2)V, A = (2, 4 ± 0, 2)V, t = (2, 9 ± 0, 4)s. ( ) ln (5, 0V 0, 2V) ln 5, 0 + ln (2, 4V 0, 2V) ln 2, 4V 0, 4s ln 5, 0V ln 2, 4V δ = + (ln 5, 0V ln 2, 4V) 2, 9s 2, 9s δ 0, 0092 s Mit der Dämpfungskonstante berechnen wir nun den Verlustwiederstand R: Einheitenkontrolle δ = R 2 L R = δ 2 L = 0, H 230Ω s [R] = s H = s kg m2 A 2 s 2 kg m2 = A 2 s 3 = V A = Ω 9

10 6.2 Aufgabe 2 6 AUSWERTUNG δr = δ(δ) + δl ( δ R = δ + L ) δ 2 L L ( ) 0, 0092 s R = 0, H 0, H s s 2 90H 60Ω In der folgenden Tabelle wurden alle Ergebnisse auf eine signifikante Stelle gerundet: Eigenschaft Berechneter Wert Literaturwert Periodendauer T = (3, 0 ± 0, 2)s n/a Induktivität L = (900 ± 300)H 600 H Dämpfungskonstante δ = (0, 30 ± 0, 0) V s n/a Verlustwiderstand R = (200 ± 200)Ω n/a Tabelle 5: Ergebnisse im Überblick 6.2 Aufgabe Schwingungsdauer aus der Tabelle Um die Schwingungsdauer T zu ermitteln, greifen wir auf Tabelle 4 zurück und erweitern diese mit Fehlerangaben. Der Fehler auf der Zeitachse liegt bei 5%+0, 02ms und auf der Y-Achse bei 3%+0, 04V: Zeit t in ms Amplitude A in V 0 0 0, 04 ± 0, 020 0, 85 ± 0, 063 0, 0 ± 0, 022 0, 72 ± 0, 056 0, 8 ± 0, 025 0, 60 ± 0, 050 0, 24 ± 0, 029 0, 53 ± 0, 047 0, 32 ± 0, 032 0, 44 ± 0, 042 0, 38 ± 0, 039 0, 40 ± 0, 040 0, 45 ± 0, 043 0, 32 ± 0, 036 0, 52 ± 0, 046 0, 30 ± 0, 035 Tabelle 6: Messwerte aus Versuch 2 mit Fehlerwerten Wir haben drei volle Perioden zwischen t = (0, 04 ± 0, 020)ms und t 2 = (0, 45 ± 0, 043)ms aufgenommen - also eine Zeitspanne von: t ges = t 2 t = 0, 4ms t ges = t 2 + t = 0, 063ms Um die Periodendauer zu berechnen, teilen wir die Zeitspanne durch die Anzahl der Perioden: T = t ges 0, 4ms = = 0, 37ms Perioden 3 0

11 6.2 Aufgabe 2 6 AUSWERTUNG δt = δt ges + δperioden T = t ges t ges = 0, 063ms 0, 4ms t ges Perioden 0, 4ms 3 0, 02ms Dämpfungskonstante aus dem Diagramm Im Diagramm wurden die positiven Amplitudenwerte logarithmisch aufgetragen. Die Dämpfungskonstante kann aus der Steigung der Grenzgerade berechnet werden, die durch die Punkte P und P2 verläuft. Wir nehmen einen Ablesefehler von 0,005 auf der X-Achse und 0,0 auf der Y-Achse an: Aus den Punkten berechnen wir die Steigung m: P(0, 04 ± 0, 005; 0, 9 ± 0, 0) P2(0, 45 ± 0, 005; 0, 28 ± 0, 0) m = ln y 2 ln y x 2 x ln 0, 28 ln 0, 9 = 0, 45 0, 04 2, 85 ( ln (y2 y 2 ) ln y 2 + ln (y y ) ln y m = + 2 x ln y 2 ln y x 2 x ( ln (0, 28 0, 0) ln 0, 28 + ln (0, 9 0, 0) ln 0, 9 = + ln 0, 28 ln 0, 9 ) ln y 2 ln y x 2 x 2 0, 005 0, 45 0, 04 ) ln 0, 28 ln 0, 9 0, 45 0, 04 0, 9 Es gilt: m = δ δ = m Wir erhalten also für die Dämpfungskonstante das Ergebnis: δ = (2, 9 ± 0, 2)s Berechnung der Schwingungsdauer In den folgenden Rechnungen setzen wir in der ersten Rechnung die gemessenen Werte bei 20 Hz und bei der zweiten Rechnung die Werte bei khz ein: Wir setzen ein und erhalten: 4π 2 T 2 = L C T = 4π 2 L C ω 2 = L C ω = 2π T T = 4π 2 0, H, F 39, 25µs T = 4π 2 487, H, F 39, 5µs

12 6.2 Aufgabe 2 6 AUSWERTUNG δt = δ L + δc ( ) T = L + L L + C + C C 4π 2 L C ( ) T = 0, 483mH + 0, 034mH 0, 483mH +, 07µF + 0, 072µF, 07µF 4π 2 0, 483mH, 07µF 0, µs ( ) T = 487, 2µH + 35µH 487, 2µH +, 02µF + 0, 07µF, 02µF 4π 2 487, 2µH, 02µF 0, 2µs Berechnung der Dämpfungskonstante Auch hier setzen wir wieder in die erste Rechnung die Werte bei 20 Hz und in die zweite Rechnung die Werte bei khz ein: δ = R 2 L 0, 85Ω δ = 2 0, 483mH 880 s 5, 42Ω δ = 2 487, 2µH 6000 s δ(δ) = δr + δl ( R δ = R + L ) R L 2 L ( ) 0, 043Ω 0, 034mH δ = + 0, 85Ω 0, 483mH ( 0, 78Ω δ = 5, 42Ω + 35µH ) 487, 2µH 0, 85Ω 2 0, 483mH 0 s 5, 42Ω 2 487, 2µH 2000 s Ergebnisse im Überblick In der folgenden Tabelle wurden alle Ergebnisse auf eine signifikante Stelle gerundet: Eigenschaft aus Diagramm Berechneter Wert bei 20 Hz bei khz Schwingungsdauer T (0, 4 ± 0, 04)ms = (40 ± 40)µs (39, 3 ± 0, 2)µs (39, 5 ± 0, 2)µs Dämpfungskonstante δ (2, 9 ± 0, 2)ms = (0, 0029 ± 0, 0002)s (900 ± 200)s ( ± 2.000)s Tabelle 7: Berechnete Ergebnisse 2

13 7 Zusammenfassung und Diskussion 7 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION In diesem Versuch haben wir die Abklingkurve eines Schwingkreises beobachtet, um diverse Berechnungen vornehmen zu können. In dem Vorversuch wurden bei einem Kreis niedriger Frequenz Schwingzeit und Amplitude festgehalten und dann mithilfe der bekannten Kapazität die Induktivität L und der Verlustwiderstand R der Spule ausgerechnet. Wir kamen hierbei auf eine Induktivität von L = 900 ± 300H, welche dem angegebenen Wert für die Spule (600 H) gleich ist. Der Verlustwiderstand betrug R = 200 ± 200Ω. Dieser etwas komisch anmutende Wert kam durch das Runden auf eine signifikante Stelle zustande. Der zweite Teil des Versuchs behandelte dann das ablesen der Abklingkurve eines Kondensators mithilfe eines Oszilloskopen. Infolgedessen haben wir zeichnerisch ermittelte und berechnete Werte verglichen. Die Ergebnisse für die Schwingdauer T des Schwingkreises sind hierbei identisch, bei der Dämpfungskonstante δ hingegen gibt es erstaunliche Unterschiede. Diese dürften sich in erster Linie aus der Arbeit mit dem Oszilloskopen ergeben haben, da die manuelle Kalibrierung von Grund auf sehr fehlerträchtig ist. Hinzukommt die grafische Auswertung als weitere Ungenauigkeit. Jedoch reicht dies bei weitem nicht aus, um die enormen Unterschiede zu erklären. Von daher gehen wir aus, dass bei einem Teil von Aufgabe 2 etwas gehörig schief ging. 3