Fahrzeugfolgemodelle I

Transkript

1 Christoph Berkholz Eckart Stets SE Verkehrssimulation und Optimierung,

2 Es gibt kein einheitliches Verkehrsmodell. Dafür aber viele Ansätze. Heute: klassische mikroskopische Fahrzeugfolgemodelle, ein stochastisches Modell und ein Warteschlangenmodell.

3 Grundlegende Parameter Zeit t Weg x(t), dx(t) dt = v(t) Geschwindigkeit v(t) = Dichte ρ = Fahrzeuge Wegeinheit Fluss q = v ρ = Fahrzeuge Zeiteinheit Weg Zeiteinheit, dv(t) dt = Beschleunigung

4 Das Fundamentaldiagramm Geschwindigkeit abhängig von der Verkehrsdichte betrachten: V (ρ) empirischer Zusammenhang: steigende Verkehrsdichte sinkende durchschnittliche Geschwindigkeit also: dv (ρ) < 0 dρ (1) V (0) = v max (2) V (ρ max ) = 0 (3) Der Fluss ist dann Q(ρ) = V (ρ) ρ

5 Das Fundamentaldiagramm

6 Stau Stau kann spontan entstehen. Stau wandert gegen den Strom. Die Geschwindigkeit des Stauendes hängt vom Zufluss ab. Die Geschwindigkeit des Stauanfangs hängt vom Abfluss ab, meist 15km/h.

7 stockender Verkehr

8 Allgemeines Fahrzeugfolgemodell x i (t), v i (t) sind Position und Geschwindigkeit des Fahrzeugs i zum Zeitpunkt t. V des ist die Geschwindigkeit, die erreicht werden soll. τ ist die Zeit, in der sich die Geschwindigkeitsänderung vollziehen soll. 1 τ wird auch als Sensibilität bezeichnet. Ziel ist es die Geschwindigkeit von jedem Fahrzeug zu berechnen. Sie ergibt sich aus der Lösung folgender Differentialgleichung: dv i (t) dt = V des v i (t) τ (4) Die Fahrzeugfolgemodelle unterscheiden sich im Wesentlichen nur von der Berechnung von V des und τ.

9 klassische Fahrzeugfolgemodelle Die gewünschte Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit des Vorgängers. dv i (t) dt = v i+1(t) v i (t) τ (5) Problem: Eine stabile Lösung der DGL ist i : v i (t) = const. das modelliert aber keine Staus, Clusterings,...

10 Reaktionszeit Um die DGL zu destabilisieren, wird eine Reaktionszeit ˆt hinzugefügt: dv i (t) dt = v i+1(t ˆt) v i (t ˆt) τ = (t ˆt) v i τ (6) Für ˆt τ > 1 2 werden stabile Anfangswerte instabil. Probleme: Es kommt zu Unfällen. Das Fahrverhalten hängt nicht vom Abstand zum vorhergehenden Fahrzeug ab.

11 Sensibilität abhängig vom Abstand Die Sensibilität 1 τ ist antiproportional zum Abstand der Fahrzeuge x i+1 x i = (t ˆt) x i. Damit ergibt sich: dv i (t) dt = α (t ˆt) v i (t ˆt) x i (7) Eine Lösung der DGL (unter Vernachlässigung der Reaktionszeit ˆt) ist: v i (t) = α ln( (t ˆt) x i ) (8) ln( 1 ρ ) (9) c ln( ρ jam ρ ) (10)

12 Sensibilität abhängig vom Abstand Nach Greenberg passt diese Funktion sich sehr gut seinen empirischen Daten an. v = c ln( ρ jam ρ ) q = c ln( ρ jam ρ )ρ c ist die optimale Geschwindigkeit, die den Verkehrsfluss maximiert. ρ jam ist die Verkehrsdichte bei Stau.

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14 Sensibilität abhängig von der Geschwindigkeit Die Sensibilität 1 τ ist proportional zur eigenen Geschwindigkeit. dv i (t) dt dv i (t) dt = α v i(t ˆt) (t ˆt) x i (t ˆt) v i (t ˆt) x i (11) = αv i (t ˆt) m (t ˆt) v i ( (t ˆt) x i ) l (12)

15 Ein anderer Ansatz Die gewünschte Geschwindigkeit kann auch abhängig von der Lücke berechnet werden. dv i (t) dt = V des( t x i ) v i (t) τ (13) V des ( x) muss für x 0 verschwinden und für x beschränkt sein. z.b. V des ( x) = tanh( x), τ konstant.

16 Nagel-Schreckenberg-Modell Boolesches Simulationsmodell Array, bestehend aus L Elementen Ein Feldelement ist entweder von einem Fahrzeug besetzt oder leer Ein Feld entspricht einem Streckenabschnitt Fahrzeuggeschwindigkeit: {0,1,..., v max } Diskrete Zeit: 1 Schritt = 1 Sekunde

17 Update-Regeln Acceleration: v(t t) min{v max, v(t) 1} Slowing down: Abstand zum Vordermann: v(t t) min{v(t t), g} g Randomization: v(t t) max{v(t t) 1, 0}

18 Update-Regeln Car Motion: Jedes Fahrzeug wird mit seiner v Geschwindigkeit vorwärts bewegt Beispiel: Feldlänge = 7,5 m Geschwindigkeit v=1 Fahrzeug wird 1 Feld vorwärts bewegt (entspricht: 27 km/h)

19 Visualisierung:

20 Fundamentaldiagramm Density on a fixed site i : ρ T = 1 t T 0 T t=t 0 1 n i (t) Time-averaged flow: q T = 1 t T 0 T t=t 0 1 n i,i 1 (t)

21 Fundamentaldiagramm

22 Fundamentaldiagramm

23 Warteschlangen

24 Warteschlange Verteilung der Ankunftszeiten Kunden kommen zu den Zeiten an "inter arrival times": Annahme: iid τ j τ j τ j = t j t j 1 üblich: exponentialverteilt t 1, t 2,... t n Bedienzeit: Ebenfalls üblich: iid, exponentialverteilt

25 Warteschlange

26 Warteschlangen: Parameter τ λ S µ N "inter arrival time" Mittlere Ankunftsrate Bedienzeit (pro Kunde) Mittlere Bedienrate Anzahl Kunden im System N q N S Anzahl wartende Kunden Anzahl bediente Kunden R W m Antwortzeit (Gesamtzeit im System) Wartezeit (zwischen Ankunft u. Bedienung)+ Anzahl Bedienstationen =1 E(τ) =1 E( S)

27 Wichtige Gesetze Little's Law: E( N)=λ E( R) E( N q )=λ E(W) Stabilität: λ< m µ

28 Idee: Warteschlangen für Verkehrssimulationen Führt zu mesoskopischen Modellen Straße wird als Warteschlange angesehen oder als System aus mehreren Warteschlangen ("Links") Interessante Parameter: z.b. Länge der Streckenabschnitte: Fluss: µ=1 ρ jam v max 1 ρ jam Utilization: η q =ρ ρ jam

29 Quellen "Vehicle-based modelling of Traffic", Nils Gustaf Eissfeld, Köln: "A cellular automaton model for freeway traffic", Kai Nagel, Michael Schreckenberg, Köln: 1992 "Microscopic Modeling of Traffic Flow: Investigation of Collision Free Vehicle Dynamics", Stefan Krauß: Köln 1998 "Simulation and Modelling of Communication Systems", Katinka Wolter, Berlin: 2008 Nagel-Schreckenberg-Modell (Wikipedia) URL: