Teil 1 - Epidemische Modelle

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1 Teil 1 - Epidemische Modelle 15. Januar 2013 Literatur: J.D.Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer

2 Gliederung

3 Ziele meines Vortrags Ein grlegen Modell () zur Modellierung vorstellen Beispiele für die praktische dieses Modells aufzeigen Ausblick auf dieses Modells geben

4 Motivation: Warum Epidemien modellieren? 1 Sie führen jährlich zu zahlreichen Tofällen 2 Neue Krankheiten Mutationen üben Druck aus 3 Krankheitsübertragung durch zunehmenden Massenverkehr wahrscheinlicher

5 Motivation: Warum Epidemien modellieren? 1 Sie führen jährlich zu zahlreichen Tofällen 2 Neue Krankheiten Mutationen üben Druck aus 3 Krankheitsübertragung durch zunehmenden Massenverkehr wahrscheinlicher Mathematik kann bei Verlaufsbestimmung bei Planung von Impfkampagnen helfen

6 Definition Epidemie Eine Epidemie bezeichnet ein stark gehäuftes, örtlich zeitlich begrenztes Auftreten einer Erkrankung, vor allem einer Infektionskrankheit. (vgl.

7 Wie sehen epidemische Modelle aus? Sie beschreiben den Einfluss der Krankheit auf die Populationsdynamik Sie beziehen oft nicht alle Einwirkungen mit ein, sondern sind vereinfacht Sie variieren je nach Krankheit Unterscheidung: deterministische stochastische Modelle 2 Basistypen: Gesamtpopulation als konstant vs. Beeinflussung durch Geburtsrate, Sterberate, usw.

8 Die drei Gruppen Es werden drei Gruppen von Individuen unterschieden:

9 Die drei Gruppen Es werden drei Gruppen von Individuen unterschieden: Die gesen Personen (Anzahl S): können von den Infizierten angesteckt werden Die Infizierten (Anzahl I): können die Gesen anstecken Die immunen Personen (Anzahl R): sind immun geworden, gestorben oder isoliert

10 Modellannahmen Je Individuum der Population befindet sich zu jedem Zeitpunkt in einem der Zustände S, I oder R Modell beschreibt, mit welcher Geschwindigkeit (=Rate) der Übergang von einer Gruppe zur nächsten stattfindet Schema: S I R

11 Modellannahmen Je Aufeinandertreffen zweier Individuen ist gleichwahrscheinlich Zuwachs von I ist proportional zur Anzahl I S Übergangsrate von I zu R ist propotional zur Anzahl I Inkubationszeit ist so kurz, dass sie unbedeutend wird

12 Modellmechanismen Mit den gemachten Annahmen ergeben sich damit: Der Fluss von S nach I mit rsi Der Fluss von I nach R mit ai r > 0: Infektionsrate, a > 0: Genesungsrate

13 Modellmechanismen Mit den gemachten Annahmen ergeben sich damit: Der Fluss von S nach I mit rsi Der Fluss von I nach R mit ai r > 0: Infektionsrate, a > 0: Genesungsrate Und die Modellmechanismen: ds = rsi, di = rsi ai, dr = ai

14 Erhaltungssatz Anfangsbedingungen Die konstante Populationsgröße wird folgendermaßen in das System eingebaut: ds + di + dr = 0 S(t) + I(t) + R(t) = N mit N als Größe der Gesamtpopulation

15 Erhaltungssatz Anfangsbedingungen Die konstante Populationsgröße wird folgendermaßen in das System eingebaut: ds + di + dr = 0 S(t) + I(t) + R(t) = N mit N als Größe der Gesamtpopulation Anfangsbedingungen: S(0) = S 0 > 0, I(0) = I 0 > 0, R(0) = 0

16 Aussagen über einen Epidemieausbruch Mit di = rsi ai folgt ρ = a r di = I 0 (rs 0 a) t0 ρ = relative Genesungsrate { > 0, wenn S 0 > ρ, < 0, wenn S 0 < ρ. Wenn S 0 > a r, nimmt I(t) zu eine Epidemie bricht aus. Es gilt I(t) > I 0 für t > 0.

17 Aussagen über einen Epidemieausbruch Da ds 0 S S 0, gilt im anderen Fall, wenn S 0 < a r, di = I(rS a) 0 für alle t 0. Damit gilt I(t) 0, wenn t, keine Epidemie kann ausbrechen.

18 Visualisierung in der Phasenebene Quelle: J.D.Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer

19 Basisreproduktionsrate R 0 = rs 0 a gibt an, wie viele neue Infektionen der erste Infizierte während seiner infektiösen Periode verursacht 1 a ist die Dauer der infektiösen Periode R 0 > 1: Epidemie bricht aus, R 0 < 1: Epidemie bricht nicht aus

20 Basisreproduktionsrate Epidemieausbruch ist begünstigt durch großes R 0 = rs 0 a, also bei:

21 Basisreproduktionsrate Epidemieausbruch ist begünstigt durch großes R 0 = rs 0 a, also bei: langer Dauer der infektiösen Periode 1 a a sehr klein großer Infektionsrate r großer Anzahl von Gesen

22 Schweregrad der Epidemie, I max Aus den Gleichungen für ds di ds mit ρ = a r, (I 0) = (rs a)i rsi di ergibt sich: = 1 + ρ S Integriert man diese Gleichung erhält man die (I, S)-Trajektorien mit I + S ρ ln S = konstant = I 0 + S 0 ρ ln S 0 ( )

23 Schweregrad der Epidemie, I max I + S ρ ln S = konstant = I 0 + S 0 ρ ln S 0 ( ) I max befindet sich offensichtlich bei S = ρ, eingesetzt in (*) erhält man: I max = ρ ln ρ ρ + I 0 + S 0 ρ ln S 0 = I 0 + S 0 ρ ρ ln( ρ S 0 ) = N ρ + ρ ln( ρ S 0 )

24 Überstehen der Epidemie?, S( ) Aus ds dr folgt: ds dr = S ρ S = S 0 exp( R ρ ) S 0 exp( N ρ ) > 0 0 < S( ) N An den Trajektorien sieht man, dass 0 < S( ) < ρ wegen I( ) = 0 folgt R( ) = N S( ) S( ) = S 0 exp( R( ) ρ ) = S 0 exp( N S( ) ) ρ

25 Überstehen der Epidemie?, S( ) Also ist S( ) die positive Wurzel 0 < z < ρ der transzendenten Gleichung S 0 exp( N z ) = z ρ Für die Gesamtzahl der Infizierten ergibt sich I total = I 0 + S 0 S( ) Die Epidemie stirbt also wegen fehlenden Infizierten, nicht wegen fehlenden Gesen aus

26 Vorbereitungen für die praktische Bei den meisten Epidemien schwierig: die Anzahl der neuen Infizierten pro Zeiteinheit zu bestimmen Einfacher: Populationsänderung der Klasse R pro Zeiteinheit bestimmen

27 Vorbereitungen für die praktische Mit dr Bei den meisten Epidemien schwierig: die Anzahl der neuen Infizierten pro Zeiteinheit zu bestimmen Einfacher: Populationsänderung der Klasse R pro Zeiteinheit bestimmen dr mit R(0) = 0 = ai, I = N R S S = S 0 exp( R ρ ) folgt: = ai = a(n R S) = a[n R S 0 exp( R ρ )] Numerisch lösbar, wenn a, r, S 0 N bekannt, diese aber meistens unbekannt

28 Vorbereitungen für die praktische Bei moderaten Epidemien gilt R ρ < 1 man kann die vorherige Gleichung durch folgende Formel approximieren: dr Nach Integration erhält man R(t) = r 2 = a[n S 0 + ( S 0 ρ 1)R S 0R 2 2ρ 2 ] [( S 0 S 0 ρ α = [( S 0 ρ 1)2 + 2S 0(N S 0 ) 1) + α tanh(αat 2 φ)], ρ 2 ] 1/2, φ = tanh 1 ( α S 0 ρ 1)

29 Vorbereitungen für die praktische Damit ist dr = aα2 ρ 2 2S 0 sech 2 ( αat 2 φ) man erhält nur noch 3 Parameter: aα2 ρ 2 2S 0, αa φ

30 Vorbereitungen für die praktische Damit ist dr = aα2 ρ 2 2S 0 sech 2 ( αat 2 φ) man erhält nur noch 3 Parameter: aα2 ρ 2 2S 0, αa φ Falls R ρ < 1: die 3 Parameter werden an die gegebenen Daten angepasst Falls R ρ nicht klein ist: Verwenden der ersten Differentialgleichungen

31 Pest in Bombay Die meisten Infizierten starben dr Anzahl der Tofälle pro Woche Relativ zur Populationsgröße hat sich die Epidemie nicht weit ausgebreitet R ρ < 1 Vergleich mit gegebenen Daten führte zu folgender Gleichung: dr = 890 sech 2 (0, 2t 3, 4)

32 Pest in Bombay Quelle: J.D.Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer

33 Grippeepidemie in einem englischen Jungeninternat 1978 I 0 = 1, N = 763, S 0 = 762 Relativ zur Populationsgröße war die Epidemie schwerwiegend R ρ nicht klein Verwendung anfänglichen Systems von DGLen Die Gleichungen wurden numerisch gelöst Die Lösung für R(t) ist proportional zur Fläche unter der I(t)-Kurve

34 Grippeepidemie in einem englischen Jungeninternat 1978 Quelle: J.D.Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer

35 Modellierung von Geschlechtskrankheiten: SI-Modell Gleiche Anzahl ausschließlich heterosexueller Frauen Männer Infektion wird von einer Klasse in die andere Klasse übertragen Annahme häufigen Partnerwechsels Infizierte sind sofort ansteckend In der Regel keine Immunität

36 Modellierung von Geschlechtskrankheiten: SI-Modell S, I männliche Gruppen; S, I weibliche Gruppen Schema: Quelle: J.D.Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer S(t) + I(t) = N, S (t) + I (t) = N Anfangsbedingungen: S(0) = S 0, I(0) = I 0, S (0) = S0, I (0) = I0

37 Modellierung von Geschlechtskrankheiten: SI-Modell Modellmechanismen: ds ds di di mit r, a, r, a > 0 = rsi + ai, = r S I + a I, = rsi ai, = r S I a I

38 Weitere Zahlreiche weitere möglich, diese variieren je nach Krankheit Ort: Einbeziehen der Inkubationszeit Einbeziehen Alters der Personen Einführen weiterer Untergruppen (z.b.: asymptomatische Infizierte)...

39 ist ein wichtiges epidemisches Basismodell, aus dem zahlreiche hevorgehen. Diese sind notwendig, da das nur bei bestimmten Krankheiten anwendbar ist. Bei diesen Krankheiten liefert es aber, trotz Vereinfachungen, gute Ergebnisse.