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1 5 Optimale Regelung Zoltán Zomotor Versionsstand: 6. März 5, 9:8 Die nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen: This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3. Germany License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 7 Second Street, Suite 3, San Francisco, California, 945, USA. Bitte hier notieren, was beim Bearbeiten unklar geblieben ist: Inhaltsverzeichnis Einführung Berechnung des Linear-Quadratic-Regulators 3. Bewertung der Reglergüte Anforderungen an die Tuningmatrizen Beispiel zu semi-definite Matrizen Auswahl eines guten Regeleingangs u Eigenschaften der Matrix P (t) Der zeitinvariante LQ-Regulator 5 3. Herleitung Zusammenfassung Nicht stabilisierendes Beispiel [Lun3, Kapitel 7]

2 5 Einführung 4 Simulationsbeispiel 8 4. Einfluss der Tuningparameter Pareto-Optimum Numerische Berechnung des LQR Einführung Wie soll sich ein geschlossener Regelkreis verhalten? Wir suchen ein Verfahren, mit dem sich die Pole oder die Rückführmatrix K bestimmen lassen, so dass: Wiederholung Zustandsregelung 3 Systemdynamik: Für ein steuerbares System können wir die Pole des geschlossenen Regelkreises durch die lineare

3 5 Berechnung des Linear-Quadratic-Regulators Zustandsrückführung beliebig platzieren, so dass sich folgende Fragen stellen: 4 Berechnung des Linear-Quadratic-Regulators. Bewertung der Reglergüte Als Maß für die Güte eines Regler lässt sich eine quadratische Kostenfunktion J verwenden: 5 6. Anforderungen an die Tuningmatrizen Damit J u, x und das Minimierungsproblem effizient lösbar ist, müssen die Matrizen P t, Q(t) und R(t) bestimmte Anforderungen erfüllen: 7 3

4 5 Berechnung des Linear-Quadratic-Regulators.3 Beispiel zu semi-definite Matrizen Quadratische Funktion mit positiv semi-definiter Matrix Q = 8 [ ] 4 4 : Auswahl eines guten Regeleingangs u Die Funktion J spiegelt die Kosten für einen bestimmten Regler wider. Das Ziel ist nun, u(t) so zu wählen, dass die Kostenfunktion J für gegebene Matrizen P t, Q(t) und R(t) minimal wird. Formal: 9 Es lässt sich zeigen, dass die Lösung die folgende lineare Zustandsrückführung ist: 4

5 5 3 Der zeitinvariante LQ-Regulator wobei P (t) die Lösung der Matrix-Riccati-Differentialgleichung ist:.5 Eigenschaften der Matrix P (t). P (t) ist die Lösung der Matrix-Riccati-Differentialgleichung in Lücke.. Symmetrie: Wenn P t = ist und die Matrizen F, G, Q und R konstant sind, dann wächst P (t) monoton mit abnehmender Zeit. Formal: 6 3 Der zeitinvariante LQ-Regulator 3. Herleitung Die Abbildung zeigt den typischen Verlauf einer eindimensionalen Matrix-Riccati-Differentialgleichung mit unterschiedlichen Endzeiten t, für F = G = R = Q = und P (t ) =. Es wurde also folgende Gleichung vorwärts integriert 7 8 und dann rückwärts gegen die Zeit, also aufgetragen. 5

6 5 3 Der zeitinvariante LQ-Regulator Abbildung : Lösung einer eindimensionalen Matrix-Riccati-Gleichung. Abbildung zeigt, dass die Lösung lange 9 bleibt und schließlich gegen geht, wenn erreicht wird. Mit Q und R konstant und t folgt also Aus der Riccati-Matrix-Differentialgleichung wird dann die algebraische Matrix-Riccati-Gleichung (ARE): 3 4 Der optimale Regeleingang ist also und damit eine lineare Zustandsrückführung mit konstanter Rückführmatrix K. 6

7 5 3 Der zeitinvariante LQ-Regulator 3. Zusammenfassung 5 6 Optimaler Regeleingang: P erfüllt die algebraische Matrix-Riccati-Gleichung (ARE): 7 8 Das Optimierungsproblem erlaubt eine vernünftige, das heißt endliche, Lösung, wenn das System stabilisierbar ist. Stabilisierbar bedeutet: Nicht stabilisierendes Beispiel Obige Bedingungen garantieren nicht, dass der resultierende Regler das System stabilisiert. Beispiel: 3 Offensichtlich minimiert u(t) = die Kostenfunktion, aber das System ist mit dieser Lösung instabil. Instabile Moden müssen durch die Kostenfunktion erfasst werden. Stabilität ist garantiert, wenn das System 3 7

8 5 4 Simulationsbeispiel detektierbar ist. Detektierbar bedeutet: 3 Typisch ist 33, wenn 34 detektierbar ist. 4 Simulationsbeispiel 4. Einfluss der Tuningparameter F = [ ], G = [ ] [ ], H = Q = H T H, R = ρ, x() = [ ] Anfangswertantwort x für ρ =. u für ρ =. x für ρ = 4 u für ρ = x für ρ = u für ρ =

9 5 4 Simulationsbeispiel 4. Pareto-Optimum 3 Trade-off Kurve für das Beispielsystem ρ =. 5 u dt ρ = ρ = x dt 9

10 5 5 Numerische Berechnung des LQR 5 Numerische Berechnung des LQR Matlab stellt alle Werkzeuge zur Lösung der Matrixgleichungen zur Verfügung: Zeitinvarianter Fall (t ): Die Matlabfuntion lqr liefert die Rückführmatrix K, die Lösung der ARE P und die Pole des geschlossenen Regelkreises. Soll nur die algebraische Matrix-Riccati-Gleichung gelöst werden, kann die Funktion care verwendet werden. Zeitvarianter Fall (t < ): Literatur [Bie77] Die Matrix-Riccati-Differentialgleichung kann durch Matrixfaktorisierung gelöst werden, siehe zum Beispiel [Bie77]. Alternativ lässt sich ein numerischer ODE-Löser wie ode45 verwenden. Das zeitvariante Stellsignal lässt sich mit der Lösung der Matrix-Riccati-DGL implementieren. J. Gerald Bierman. Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation. Englisch. Academic Press, 977. [Lun3] Jan Lunze. Regelungstechnik. 7. überarbeitete Auflage. Springer Vieweg, 3.