Survival Analysis (Modul: Lebensdaueranalyse)

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1 Survival Analysis (Modul: Lebensdaueranalyse) ROLAND RAU Universität Rostock, Sommersemester April 2014 c Roland Rau Survival Analysis 1 / 23

2 Erinnerung: Prüfungsmodalitäten Nr. Termine evtl. Besonderheiten April April April April 29. April PAA Mai Mai TTT ( Testat, Teams & Themen ) Mai Mai Juni Juni Projekt- und Ausgleichswoche Juni Juni RR: EPC(?) Juli Juli Referate Juli Referate TBA Abgabe der Hausarbeiten vermutlich: 18. September 2014 c Roland Rau Survival Analysis 2 / 23

3 Frohe Ostern! Osterhase kurz nach Eiablage Ob der Osterhase wohl folgende drei Codezeilen versteht und erklären kann??? (Erinnerung Hausaufgabe ) die.y.werte <- sapply(x=moegliche.lambdas, FUN=likelihood.exponential, lifetimes=wolpi30) Quelle: Wikipedia ( lizenziert unter der "GNU Free Documentation License, Version 1.2 c Roland Rau Survival Analysis 3 / 23

4 Zensierung & Trunkierung: Nicht vollständig beobachtete Prozesszeit Zensierung: In essence, censoring occurs when we have some information about individual survival time, but we don t know the survival time exactly. KLEINBAUM AND KLEIN (2005, S. 5): One peculiar feature, often present in time-to-event data, is known as censoring, which, broadly speaking, occurs when some lifetimes are known to have occurred only within certain intervals. KLEIN AND MOESCHBERGER (2003, S. 55): c Roland Rau Survival Analysis 4 / 23

5 Rechtszensierung Type-I Censoring: Ereignis wird nur beobachtet, wenn die Prozesszeit kleiner als die Studiendauer ist. Type-II Censoring: Studie wird beendet, wenn eine bestimmte Anzahl (oder ein bestimmter Anteil) der Individuen das Ereignis erfahren hat. In aller Regel trifft man in den Sozialwissenschaften Type-I Censoring an. Allerdings kann es auch passieren, dass Personen vor Studienende die Studie verlassen entweder freiwillig ( kein Interesse an weiterer Teilnahme) aber auch unfreiwillig ( komkurrierende Risiken) Beginn der Studie Prozesszeit Ende der Studie c Roland Rau Survival Analysis 5 / 23

6 Linkszensierung Auf linkszensierte Daten trifft man seltener als auf rechtszensierte Daten. Wir werden im weiteren Verlauf des Seminars auch nicht mehr darauf Bezug nehmen. Klein and Moeschberger (2003, S. 62) bringen als Beispiel eine Studie zur Frage: In welchem Alter haben Sie zum ersten Mal Marihuana konsumiert? Eine mögliche Antwortkategorie war dabei: Ich habe es schon einmal komsumiert, aber ich weiss nicht mehr wann. Während bei rechtszensierten Daten, die tatsächliche Event-Time größer als eine bestimmte Zeitdauer ist (beispielsweise das Ende der Studie), so ist bei linkszensierten Daten die tatsächliche Zeitdauer kleiner als eine angegebene Zeitdauer (beispielsweise das gegenwärtige Alter). c Roland Rau Survival Analysis 6 / 23

7 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Beobachtet man den Event, so verwenden wir bei der Likelihood-Konstruktion die Dichte. Im Falle der Rechtszensierung wissen wir nicht, wann das Ereignis eintreten wird. Aber wir wissen zumindest, dass die Person bis zum Zensierungszeitpunkt überlebt hat. Daher verwenden wir die Survival-Funktion. Damit benötigen Survival-Daten in aller Regel mindestens zwei Angaben: 1 Eine beobachtete Zeitdauer 2 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. c Roland Rau Survival Analysis 7 / 23

8 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Daher benötigen Survival-Daten in aller Regel mindestens zwei Angaben: 1 Eine beobachtete Zeitdauer 2 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. wolpi <- read.table("wolpertinger txt", header=true) head(wolpi) lifetime status c Roland Rau Survival Analysis 8 / 23

9 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? n Alt: L(λ x 1, x 2,..., x n ) = f (x i ) i=1 Neu: L(λ x 1, x 2,..., x n ) = f (x i ) S(x i ) i δ i =1 i δ i =0 n Alt: log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = ln f (x i ) Neu: log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = i=1 ln f (x i ) + i δ i =1 i δ i =0 ln S(x i ) c Roland Rau Survival Analysis 9 / 23

10 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Doch wie baue ich das in meine Berechnung ein mit dem i δ i =...???? n Alt: log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = ln f (x i ) Neu: log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = i=1 ln f (x i ) + i δ i =1 i δ i =0 ln S(x i ) c Roland Rau Survival Analysis 10 / 23

11 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Doch wie baue ich das in meine Berechnung ein mit dem δ i =...???? Ganz einfach!!! f (x) = λe λx ; log f (x) = ln f (x) = ln(λ) λx S(x) = e λx ; log S(x) = ln S(x) = λx log L(λ x 1, x 2,..., x n) = = ln f (x i) + ln S(x i) i δ i =1 i δ i =0 n (ln λ λx i) δ i + i i n ( λx) (1 δ i) c Roland Rau Survival Analysis 11 / 23

12 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung log L(λ x 1, x 2,..., x n) = ln f (x i ) + ln S(x i ) i δ i =1 i δ i =0 n n = (ln λ λx i ) δ i + ( λx) (1 δ i ) i i In R: unser.log.like2 <- function(lambda, x, delta) { return(sum( (log(lambda) - lambda * x)*delta) + sum( (- lambda * x) * (1-delta))) } unser.mle <- optimize(unser.log.like2, x=wolpi$lifetime, delta=wolpi$status, interval=c(0,100), maximum=true) unser.mle $maximum [1] $objective [1] c Roland Rau Survival Analysis 12 / 23

13 Trunkierung Neben der Zensierung gibt es noch eine andere Möglichkeit, dass nicht die gesamte Prozesszeit beobachtet wird. Bei der sogenannten Links-Trunkierung ( left truncation ) werden die Individuen nicht seit dem Nullpunkt der Prozesszeit beobachtet. Ein klassisches Beispiel wäre die Analyse der Sterblichkeit ab Alter 50. Zu Beginn der Studie sind jedoch bereits einige Individuen älter als 50 Jahre. Ein 67jähriges Individuum unterlag in unserer Studie jedoch niemals dem Risiko zwischen Alter 50 und 67 zu sterben. Wäre es vor dem Alter 67 gestorben, so wäre das Individuum gar nicht in unserer Studie enthalten. c Roland Rau Survival Analysis 13 / 23

14 Trunkierung c Roland Rau Survival Analysis 14 / 23

15 Einfluss von Linkstrunkierung auf Schätzung Daher benötigen Survival-Daten mit Linkstrunkierung mindestens drei Angaben: 1 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. 2 Der Beginn der beobachteten Prozesszeit und 3 das Ende der beobachteten Prozesszeit wolpi <- read.table("wolpertinger txt", header=true) head(wolpi) enter exit status c Roland Rau Survival Analysis 15 / 23

16 Einfluss von Linktrunkierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? Alt: L(λ x 1, x 2,..., x n) = f (x i ) S(x i ) i δ i =1 i δ i =0 Neu: L(λ x 1, x 2,..., x n) = f (x i,out ) S(x i,out ) S(x i δ i =1 i,in ) S(x i δ i =0 i,in ) Alt: log L(λ x 1, x 2,..., x n) = Neu: log L(λ x 1, x 2,..., x n) = i δ i =1 i δ i =1 ln f (x i ) + i δ i =0 ( ) ln f (x i,out ) ln S(x i,in ) + i δ i =0 ln S(x i ) ( ) ln S(x i,out ) ln S(x i,in ) c Roland Rau Survival Analysis 16 / 23

17 Einfluss von Linktrunkierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? log L(λ x 1, x 2,..., x n) = ( ln f (xi,out ) ln S(x i,in ) ) + ( ln S(xi,OUT ) ln S(x i,in ) ) i δ i =1 i δ i =0 = i (( log λ λxi,out ) ( λxi,in )) δ+ (( ) ( )) λxi,out λxi,in (1 δ) i = i (( log λ λxi,out ) + λxi,in ) δ+ (( ) ) λxi,out + λxi,in (1 δ) i c Roland Rau Survival Analysis 17 / 23

18 Einfluss von Linktrunkierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? = i log L(λ x 1, x 2,..., x n) = ((log λ λx i,out ) + λx i,in ) δ+ i (( λx i,out ) + λx i,in ) (1 δ) unser.log.like3 <- function(lambda, intime, outtime, delta) { sum( ((log(lambda) - lambda * outtime) + (lambda * intime))*delta) + sum( ((-lambda * outtime) + (lambda * intime))*(1-delta)) } unser.mle <- optimize(unser.log.like3, intime=wolpi$enter, outtime=wolpi$exit, delta=wolpi$status, interval=c(0,100), maximum=true) unser.mle $maximum [1] $objective [1] c Roland Rau Survival Analysis 18 / 23

19 Einführung Datensatz c Roland Rau Survival Analysis 19 / 23

20 NHIS Datensatz Zum Abschluss möchte ich noch kurz zeigen, wie man den Datensatz, den ich aus den NHIS Daten erstellt habe, lädt: # Das muss natürlich das korrekte Verzeichnis sein, # und nicht vergessen Windows benötigt den Doppel-Backslah setwd("r:\\sommer2014\\survival\\") nhis <- read.table("dataset2014.txt", header=true, sep=",") str(nhis) Hausaufgabe: Folie 12 zeigt den MLE unter Berücksichtigung der Informationen, die uns die rechtszensierten Fälle liefern. Was wäre der MLE-Wert für λ, wenn wie die Individuen, die rechtszensiert sind, aus dem Datensatz entfernen würden? c Roland Rau Survival Analysis 20 / 23

21 Klein, J. P. and M. L. Moeschberger (2003). Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. Statistics for Biology and Health. New York, NY: Springer. Kleinbaum, D. G. and M. Klein (2005). Survival Analysis. A Self-Learning Text. New York: Springer. c Roland Rau Survival Analysis 21 / 23

22 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 2.0 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit. Für ausführlichere Informationen: (Deutsch) (English) c Roland Rau Survival Analysis 22 / 23

23 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr Rostock Germany Tel.: Fax.: Sprechstunde im Sommersemester 2014: Mittwochs, 09:00 10:00 (und nach Vereinbarung) c Roland Rau Survival Analysis 23 / 23