Einführung in die Survival-Analyse (Modul: Methoden II)

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1 Einführung in die Survival-Analyse (Modul: Methoden II) ROLAND RAU Universität Rostock, Sommersemester April 2013 c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 1 / 32

2 Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung Der Wolpertinger altert nicht. Dennoch ist er nicht unsterblich. Häufig kommt der Wolpertinger unter die Räder. Man kann davon ausgehen, dass dieser Unfalltod altersunabhängig ist; man also davon ausgehen kann, dass die Lebenszeit eines Wolpertingers einer Exponential-Verteilung folgt. Eine Gruppe eifriger Wissenschafter hat einer Gruppe von 100 neugeborenen Wolpertingern Mikrochips eingepflanzt, die ein Signal übermitteln, wenn ein Wolpertinger gestorben ist. Am Ende der Studie ergibt sich folgender Datensatz: Bildquelle: Rainer Zenz (Bild ist in der Public Domain ) c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 2 / 32

3 Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung V setwd("c:\\sommer2013\\survival") wolpi <- read.table("wolpertinger.txt") wolpi c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 3 / 32

4 Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung Die Veteilung der Sterbezeiten lässt sich mittels eines Histograms leicht darstellen: daten.aggregiert <- hist(wolpi$v1, breaks=c(seq(0,20, by=1),60), plot=false) plot(x=daten.aggregiert$mids, y=daten.aggregiert$density, type="h") (Fälschlicherweise war in den bisherigen Folien ein Typo :...c(seq(0,20, by=1), 50)...) daten.aggregiert$density daten.aggregiert$mids c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 4 / 32

5 Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung Wie finden wir das λ welches unsere beobachteten Daten am besten beschreibt? Maximum-Likelihood Methode Welches λ hat die größte Likelihood mit unseren gegebenen Daten? L (λ x 1, x 2, x 3,..., x n) =? Unter der Voraussetzung, dass x 1, x 2, x 3,..., x n derselben Verteilung entstammen und die einzelnen Werte (in unserem Fall: Lebensdauern) unabhängig voneinander sind, so gilt: L (λ x 1, x 2, x 3,..., x n) = n f (λ, x i) Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist derjenige λ-wert, für den diese Funktion am größten ist. i=1 c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 5 / 32

6 Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung Da es zu numerischen Problemen kommen kann, nimmt man in aller Regel den (natürlichen) Logarithmus dieser Funktion; damit wird aus dem Produkt eine Summe, hat aber keinen Einfluss auf den Wert, wo die Funktion maximal ist ( f (x 1) > f (x 2) ln f (x 1) > ln f (x 2)). Da wir davon ausgehen, dass unsere Daten aus einer Exponentialverteilung kommen, können wir unsere Likelihood- und dann unsere log-likelihood-funktion relativ einfach aufstellen: L (λ x 1, x 2, x 3,..., x n) = n λe λx i i=1 ln L (λ x 1, x 2, x 3,..., x n) = n ln λ λx i i=1 c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 6 / 32

7 Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung ln L (λ x 1, x 2, x 3,..., x n) = n ln λ λx i In R lässt sich dies ohne größe Schwierigkeiten umsetzen: unser.log.like <- function(lambda, x) { return(sum(log(lambda) - lambda * x)) } unser.mle <- optimize(unser.log.like, x=wolpi$v1, interval=c(0,100), maximum=true) unser.mle plot(x=daten.aggregiert$mids, y=daten.aggregiert$density, type="h") lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.1), col="magenta", lty=1, lwd=3) lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.2), col="green", lty=1, lwd=3) lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=0.5), col="blue", lty=1, lwd=3) lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=3), col="red", lty=1, lwd=3) lines(x=0:35, y=dexp(0:35, rate=unser.mle$maximum), col="orange", lty=1, lwd=5) i=1 c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 7 / 32

8 Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung daten.aggregiert$density c daten.aggregiert$mids Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 8 / 32

9 Anwendungsbeispiel: Exponentialverteilung Doch wie kommt der Computer auf diesen Wert für ˆλ? Profil der log-likelihood Funktion log L λ c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 9 / 32

10 Zensierung & Trunkierung: Nicht vollständig beobachtete Prozesszeit Zensierung: In essence, censoring occurs when we have some information about individual survival time, but we don t know the survival time exactly. KLEINBAUM AND KLEIN (2005, S. 5): One peculiar feature, often present in time-to-event data, is known as censoring, which, broadly speaking, occurs when some lifetimes are known to have occurred only within certain intervals. KLEIN AND MOESCHBERGER (2003, S. 55): c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 10 / 32

11 Rechtszensierung Type-I Censoring: Ereignis wird nur beobachtet, wenn die Prozesszeit kleiner als die Studiendauer ist. Type-II Censoring: Studie wird beendet, wenn eine bestimmte Anzahl (oder ein bestimmter Anteil) der Individuen das Ereignis erfahren hat. In aller Regel trifft man in den Sozialwissenschaften Type-I Censoring an. Beginn der Studie Prozesszeit Ende der Studie c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 11 / 32

12 Rechtszensierung Type-I Censoring: Ereignis wird nur beobachtet, wenn die Prozesszeit kleiner als die Studiendauer ist. Type-II Censoring: Studie wird beendet, wenn eine bestimmte Anzahl (oder ein bestimmter Anteil) der Individuen das Ereignis erfahren hat. In aller Regel trifft man in den Sozialwissenschaften Type-I Censoring an. Allerdings kann es auch passieren, dass Personen vor Studienende die Studie verlassen (wodurch?). Beginn der Studie Prozesszeit Ende der Studie c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 12 / 32

13 Rechtszensierung Type-I Censoring: Ereignis wird nur beobachtet, wenn die Prozesszeit kleiner als die Studiendauer ist. Type-II Censoring: Studie wird beendet, wenn eine bestimmte Anzahl (oder ein bestimmter Anteil) der Individuen das Ereignis erfahren hat. In aller Regel trifft man in den Sozialwissenschaften Type-I Censoring an. Allerdings kann es auch passieren, dass Personen vor Studienende die Studie verlassen entweder freiwillig ( kein Interesse an weiterer Teilnahme) aber auch unfreiwillig ( komkurrierende Risiken) Beginn der Studie Prozesszeit Ende der Studie c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 13 / 32

14 Linkszensierung Auf linkszensierte Daten trifft man seltener als auf rechtszensierte Daten. Wir werden im weiteren Verlauf des Seminars auch nicht mehr darauf Bezug nehmen. Klein and Moeschberger (2003, S. 62) bringen als Beispiel eine Studie zur Frage: In welchem Alter haben Sie zum ersten Mal Marihuana konsumiert? Eine mögliche Antwortkategorie war dabei: Ich habe es schon einmal komsumiert, aber ich weiss nicht mehr wann. Während bei rechtszensierten Daten, die tatsächliche Event-Time größer als eine bestimmte Zeitdauer ist (beispielsweise das Ende der Studie), so ist bei linkszensierten Daten die tatsächliche Zeitdauer kleiner als eine angegebene Zeitdauer (beispielsweise das gegenwärtige Alter). c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 14 / 32

15 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Beobachtet man den Event, so verwenden wir bei der Likelihood-Konstruktion die Dichte. Im Falle der Rechtszensierung wissen wir nicht, wann das Ereignis eintreten wird. Aber wir wissen zumindest, dass die Person Likelihood-Konstruktion die Dichtebis zum Zensierungszeitpunkt überlebt hat. Daher verwenden wir die Survival-Funktion. Daher benötigen Survival-Daten in aller Regel mindestens zwei Angaben: 1 Eine beobachtete Zeitdauer 2 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 15 / 32

16 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Daher benötigen Survival-Daten in aller Regel mindestens zwei Angaben: 1 Eine beobachtete Zeitdauer 2 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. wolpi <- read.table("wolpertinger2.txt", header=true) head(wolpi) lifetime status c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 16 / 32

17 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? 1 Alt : L(λ x 1, x 2,..., x n ) = Neu : L(λ x 1, x 2,..., x n ) = i (δ i =1) n f (x i ) i=1 f (x i ) i (δ i =0) S(x i ) Hausaufgabe: Wie sieht die log-likelihood-funktion aus insbesondere: Wie baut man am besten die Information i (δ i = 1) bzw. i (δ i = 0) ein? 1 Und mit log meinen wir in dieser Veranstaltung (wie auch in R) und in der englischsprachigen Literatur immer den natürlichen Logarithmus, also log e bzw. ln. c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 17 / 32

18 AB JETZT NEU! c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 18 / 32

19 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? n Alt : L(λ x 1, x 2,..., x n ) = f (x i ) Neu : L(λ x 1, x 2,..., x n ) = i=1 f (x i ) S(x i ) i (δ i =1) i (δ i =0) n Alt : log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = f (x i ) Neu : log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = i=1 f (x i ) + S(x i ) i (δ i =1) i (δ i =0) c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 19 / 32

20 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Doch wie baue ich das in meine Berechnung ein mit dem i...???? n Alt : log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = f (x i ) Neu : log L(λ x 1, x 2,..., x n ) = i=1 f (x i ) + S(x i ) i (δ i =1) i (δ i =0) c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 20 / 32

21 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Doch wie baue ich das in meine Berechnung ein mit dem i...???? Ganz einfach!!! f (x) = λe λx ; log f (x) = ln f (x) = log(λ) λx S(x) = e λx ; log S(x) = ln S(x) = λx log L(λ x 1, x 2,..., x n) = = f (x i) + S(x i) i (δ i =1) i (δ i =0) n (log λ λx i) δ i + i i n ( λx) (1 δ i) c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 21 / 32

22 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung log L(λ x 1, x 2,..., x n) = f (x i ) + S(x i ) i (δ i =1) i (δ i =0) n n = (log λ λx i ) δ i + ( λx) (1 δ i ) i i In R: unser.log.like2 <- function(lambda, x, delta) { return(sum( (log(lambda) - lambda * x)*delta) + sum( (- lambda * x) * (1-delta))) } unser.mle <- optimize(unser.log.like2, x=wolpi$lifetime, delta=wolpi$status, interval=c(0,100), maximum=true) unser.mle $maximum [1] $objective [1] c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 22 / 32

23 Trunkierung Neben der Zensierung gibt es noch eine andere Möglichkeit, dass nicht die gesamte Prozesszeit beobachtet wird. Bei der sogenannten Links-Trunkierung ( left truncation ) werden die Individueen nicht seit dem Nullpunkt der Prozesszeit beobachtet. Ein klassisches Beispiel wäre die Analyse der Sterblichkeit ab Alter 50. Zu Beginn der Studie sind jedoch bereits einige Individuen älter als 50 Jahre. Ein 67jähriges Individuum unterlag in unserer Studie jedoch niemals dem Risiko zwischen Alter 50 und 67 zu sterben. Wäre es vor dem Alter 67 gestorben, so wäre das Individuum gar nicht in unserer Studie enthalten. c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 23 / 32

24 Trunkierung c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 24 / 32

25 Einfluss von Rechtszensierung auf Schätzung Daher benötigen Survival-Daten mit Linkstrunkierung mindestens drei Angaben: 1 Einen Indikator, häufig status oder δ genannt. In aller Regel bedeutet δ = 1, dass das Individuum das Ereignis erfahren hat und δ = 0, dass die Beobachtung des Individuums (rechts-)zensiert ist. 2 Der Beginn der beobachteten Prozesszeit und 3 das Ende der beobachteten Prozesszeit wolpi <- read.table("wolpertinger3.txt", header=true) head(wolpi) enter exit status c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 25 / 32

26 Einfluss von Linktrunkierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? Alt : L(λ x 1, x 2,..., x n) = i (δ i =1) f (x i ) i (δ i =0) S(x i ) Neu : L(λ x 1, x 2,..., x n) = f (x i,out ) S(x i,out ) S(x i,in ) S(x i,in ) i (δ i =1) i (δ i =0) Alt : log L(λ x 1, x 2,..., x n) = i (δ i =1) f (x i ) + i (δ i =0) S(x i ) Neu : log L(λ x 1, x 2,..., x n) = i (δ i =1) ( f (xi,out ) S(x i,in ) ) + i (δ i =0) ( S(xi,OUT ) S(x i,in ) ) c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 26 / 32

27 Einfluss von Linktrunkierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? log L(λ x 1, x 2,..., x n) = i (δ i =1) ( f (xi,out ) S(x i,in ) ) + i (δ i =0) ( S(xi,OUT ) S(x i,in ) ) = i (( log λ λxi,out ) ( λxi,in ) ) δ+ (( ) λxi,out ( λxi,in ) ) (1 δ) i = i (( log λ λxi,out ) + λxi,in ) δ+ (( ) ) λxi,out + λxi,in (1 δ) i c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 27 / 32

28 Einfluss von Linktrunkierung auf Schätzung Wie verändert sich die Likelihood und die log-likelihood-funktion? log L(λ x 1, x 2,..., x n) = = i (( log λ λxi,out ) + λxi,in ) δ+ (( ) ) λxi,out + λxi,in (1 δ) i unser.log.like3 <- function(lambda, intime, outtime, delta) { sum( ((log(lambda) - lambda * outtime) + (lambda * intime))*delta) + sum( ((-lambda * outtime) + (lambda * intime))*(1-delta)) } unser.mle <- optimize(unser.log.like3, intime=wolpi$enter, outtime=wolpi$exit, delta=wolpi$status, interval=c(0,100), maximum=true) unser.mle $maximum [1] $objective [1] c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 28 / 32

29 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 29 / 32

30 Klein, J. P. and M. L. Moeschberger (2003). Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. Statistics for Biology and Health. New York, NY: Springer. Kleinbaum, D. G. and M. Klein (2005). Survival Analysis. A Self-Learning Text. New York: Springer. c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 30 / 32

31 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 2.0 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit. Für ausführlichere Informationen: (Deutsch) (English) c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 31 / 32

32 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr Rostock Germany Tel.: Fax.: Sprechstunde im Sommersemester 2013: Mittwochs, 09:00 10:00 (und nach Vereinbarung) c Roland Rau Survival-Analyse 03. Sitzung 32 / 32