Einführung in die Survival-Analyse (Modul: Methoden II)

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1 Einführung in die Survival-Analyse (Modul: Methoden II) ROLAND RAU Universität Rostock, Sommersemester Mai 2013 c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 1 / 23

2 Hinweis: Interview mit Prof. Matthias Junge im Spiegel, Printausgabe vom 13. Mai 2013 c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 2 / 23

3 Ankündigung Ehrenpromotion Karl Ulrich Mayer am 29. Mai 2013 um 14h Festveranstaltung in der Universitätskirche Weitere Informationen zu Prof. Mayer finden sich beispielsweise unter: karl-ulrich-mayer/biografie/ c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 3 / 23

4 Heutige Veranstaltung: Wiederholung: Kaplan-Meier Schätzer Test auf Signifikanz der Unterschiede von zwei KM-Survival-Kurven KM- Schätzer für linkstrunkierte und rechtszensierte Daten Weitere Vorstellung Datensatz Themen für Testat c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 4 / 23

5 Nichtparametrische Schätzung: Kaplan-Meier Der Kaplan-Meier Schätzer ist folgendermaßen definiert für die Prozesszeit x und die Zeitpunkte i, an denen sich mindestens ein Event ereignet (siehe für Definition Abschnitt 4.2 in Klein and Moeschberger (2003) 1 ). Ŝ (x) = { 1, falls x < x1 ( ) x i x 1 d i Y i falls x 1 x wobei d i der Anzahl der Ereignisse (z.b. Todesfälle) zum i-ten Zeitpunkt entspricht und Y i der Anzahl der Personen, die um i-ten Zeitpunkt dem Risiko ausgesetzt waren, das Ereignis zu erfahren. 1 Es sei darauf hingewiesen, dass Klein and Moeschberger (2003) nicht x sondern t verwenden. c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 5 / 23

6 Nichtparametrische Schätzung: Kaplan-Meier Beispiel: komplett beobachtete und rechts-zensierte ( + ) Überlebenszeiten x i d i Y i S(x) S^(x) x c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 6 / 23

7 Nichtparametrische Schätzung: Kaplan-Meier Wir wollen nun aber nicht nur die allgemeine Survival-Zeit schätzen sondern auch überprüfen, ob eventuell festgestellte Unterschiede auch statistisch signifikant sind. Wir verwenden hierfür den Datensatz leukemia, der im Paket survival zur Verfügung gestellt wird. data(leukemia) Mittels?leukemia können Sie mir über Inhalt und Quelle der Daten erfahren. c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 7 / 23

8 Nichtparametrische Schätzung: Kaplan-Meier Der erste Schritt der Survival Analyse in R besteht immer darin, ein Survivalobjekt zu definieren: survleuk <- Surv(leukemia$time, leukemia$status) survleuk Der Kaplan-Meier-Schätzer wird nun wiederum durch survfit berechnet. Allerdings steht nun rechts der Tilde die Variable, nach der wie eine Unterscheidung treffen wollen; in diesem Falle nennt sich die Variable x, welche anzeigt, ob Chemotherapie durchgeführt wurde oder nicht. km.leukemia <- survfit(survleuk ~ leukemia$x) km.leukemia summary(km.leukemia) Die beiden Überlebenskurven können wir natürlich plot(km.leukemia, col=c("red", "blue")) legend("topright", col=c("red", "blue"), lty=1, legend=c("maintained", "Nonmaintained")) c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 8 / 23

9 Nichtparametrische Schätzung: Kaplan-Meier Maintained Nonmaintained Aber sind diese Unterschiede statistisch signifikant? Nächste HEUTIGE Veranstaltung... c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 9 / 23

10 Der log-rank Test Eine Möglichkeit, zwei Gruppen A und B hinsichtlich ihrer Überlebenschancen zu testen, besteht im sogenannten log-rank-test. Es wird die Nullhypothese (H 0 ) von keinen Unterschieden zwischen den beiden Bevölkerungen hinsichtlich ihres Überlebens gegen die Alternativhypothese, dass Unterschiede existieren (H A ) getestet. Die Teststatistik T ist wobei U L = j T = U2 L V L χ 2 1 (d 1j e 1j ), mit e 1j = Y 1j d j Y j und V L = j v 1j, mit v 1j = Y 1jY 2j d j (Y j d j ) Y 2 j (Y j 1) c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 10 / 23

11 Der log-rank Test Die Teststatistik T ist wobei T = U2 L V L χ 2 1 ( d1j e 1j ), mit e1j = Y 1j d j U L = j Y j und V L = j v 1j, mit v 1j = Y ( ) 1jY 2j d j Yj d j Yj 2 ( Yj 1 ) t d 1j Y 1j d 2j Y 2j d j Y j e 1j c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 11 / 23

12 Der log-rank Test Die Teststatistik T ist wobei T = U2 L V L χ 2 1 ( d1j e 1j ), mit e1j = Y 1j d j U L = j Y j und V L = j v 1j, mit v 1j = Y ( ) 1jY 2j d j Yj d j Yj 2 ( Yj 1 ) t d 1j Y 1j d 2j Y 2j d j Y j e 1j d 1j e 1j U L = c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 12 / 23

13 Der log-rank Test Die Teststatistik T ist wobei T = U2 L V L χ 2 1 ( d1j e 1j ), mit e1j = Y 1j d j U L = j Y j und V L = j v 1j, mit v 1j = Y ( ) 1jY 2j d j Yj d j Yj 2 ( Yj 1 ) t d 1j Y 1j d 2j Y 2j d j Y j e 1j d 1j e 1j v 1j U L = V L = c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 13 / 23

14 Der log-rank Test Die Teststatistik T ist wobei T = U2 L V L χ 2 1 ( d1j e 1j ), mit e1j = Y 1j d j U L = j Y j und V L = j v 1j, mit v 1j = Y ( ) 1jY 2j d j Yj d j Yj 2 ( Yj 1 ) t d 1j Y 1j d 2j Y 2j d j Y j e 1j d 1j e 1j v 1j U L = ; V L = T = U2 L V L = ; χ 2 T,1 = c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 14 / 23

15 und damit noch einmal die Analyse für den leukemia-datensatz: library(survival) data(leukemia) so.leuk <- Surv(leukemia$time, leukemia$status) logrank.test.nach.geschlecht <- survdiff(so.leuk ~ leukemia$x) > logrank.test.nach.geschlecht Call: survdiff(formula = so.leuk ~ leukemia$x) N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V leukemia$x=maintained leukemia$x=nonmaintained Chisq= 3.4 on 1 degrees of freedom, p= c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 15 / 23

16 Kaplan-Meier mit linkstrunkierten Daten Die Schätzung der Kaplan-Meier-Kurven ist in R nicht nur für rechtszensierte Daten möglich sondern auch für linkstrunkierte Daten möglich. setwd("...") die.daten <- read.table("mortdaten.txt", header=true, sep=",") ## Nach dem Laden des survival Paketes besteht der gesamte Kniff ## darin, dass man nun drei anstatt zwei Angaben benötigt. Die ## Zeit der Linkstrunkierung, die Zeit des Event oder der ## Rechtszensierung sowie den "Event-Indicator" library(survival) s.object <- Surv(die.daten$inage, die.daten$outage, die.daten$delta) km1 <- survfit(s.object ~ 1) plot(km1) km2 <- survfit(s.object ~ die.daten$geschlecht) plot(km2) plot(km2, col=c("blue", "red")) s.object2 <- Surv(die.daten$inage, die.daten$outage, die.daten$delta, origin=30) km3 <- survfit(s.object2 ~ die.daten$geschlecht) plot(km3) plot(km3, col=c("blue", c Roland "red")) Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 16 / 23

17 Weitere Erläuterungen zu Daten auf stud-ip c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 17 / 23

18 Themen für Testat Definition und Relationen zwischen folgenden Funktionen: S(x), F(x), f (x), h(x), H(x) S(x), F(x), f (x), h(x) für die Exponential-Verteilung h(x) für die Gompertz-Verteilung Links-/Rechtszensierung & Links-/Rechtstrunkierung (Definition, Beispiel geben, Beispiel zuordnen können) Likelihood / log-likelihood Konstruktion bei Zensierung und Trunkierung unter der Annahme, dass die Daten exponentialverteilt sind. Definition und einfach Berechnung des Kaplan-Meier-Schätzers c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 18 / 23

19 Exkurs: Wie bekomme ich Zufallszahlen von einer (nahezu) beliebigen Verteilung Nähere Infos unter Oder aber natürlich wie bei nahezu allen computerrelevanten Themen: Don Knuth (1998a,b,c); in diesem Fall insbesondere: Knuth (1998b). c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 19 / 23

20 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 20 / 23

21 Klein, J. P. and M. L. Moeschberger (2003). Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. Statistics for Biology and Health. New York, NY: Springer. Knuth, D. E. (1998a). Fundamental Algorithms (Third ed.), Volume 1 of The Art of Computer Programming. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. Knuth, D. E. (1998b). Seminumerical Algorithms (Third ed.), Volume 2 of The Art of Computer Programming. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. Knuth, D. E. (1998c). Sorting and Searching (Third ed.), Volume 3 of The Art of Computer Programming. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 21 / 23

22 Lizenz This open-access work is published under the terms of the Creative Commons Attribution NonCommercial License 2.0 Germany, which permits use, reproduction & distribution in any medium for non-commercial purposes, provided the original author(s) and source are given credit. Für ausführlichere Informationen: (Deutsch) (English) c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 22 / 23

23 Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr Rostock Germany Tel.: Fax.: Sprechstunde im Sommersemester 2013: Mittwochs, 09:00 10:00 (und nach Vereinbarung) c Roland Rau Survival-Analyse 06. Sitzung 23 / 23