5. Kolmogorov-Smirnov-Test und χ 2 -Anpassungstest

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1 Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Ralf Runde 5. Kolmogorov-Smirnov-Test und χ 2 -Anpassungstest Ein wesentliches Merkmal nichtparametrischer Testverfahren ist, dass diese im Allgemeinen weniger hohe Anforderungen an das Skalenniveau der zu untersuchenden Variablen stellen und insbesondere keine so weitreichenden Annahmen über die zugrunde liegende Verteilung der Werte in der Grundgesamtheit treffen wie parametrische Tests. Der Preis für das Ausweichen auf Tests mit schwächeren Annahmen besteht darin, dass die aus den Tests abgeleiteten Aussagen manchmal weniger fundiert sind, da bei den Tests nur ein geringerer Teil der verfügbaren Informationen ausgenutzt wird. In der Vorlesung wurden zwei nichtparametrische Tests vorgestellt, der Kolmogorov-Smirnov-Test und der Chi-Quadrat-Anpassungstest. Beispieldatensatz: Laden Sie die Datei heirat.sav. Der Datensatz ist über die Internetseiten des Lehrstuhls erhältlich. Aus einer umfassenden Befragung von 300 Personen wurden zwei Merkmale extrahiert: Die Dauer des Interviews in Minuten und der jeweilige Heiratsmonat der 1. Eheschließung der Befragten. 1. Kolmogorov-Smirnov-Test Es soll mit Hilfe des Kolmogorov-Smirnov-Tests untersucht werden, ob die Annahme, die Dauer des Interviews folge einer Gleichverteilung (Rechteckverteilung), aufgrund der vorliegenden Daten aus der Stichprobe plausibel ist. Wählen Sie aus den Menüs Analysieren Nichtparametrische Tests Alte Dialogfelder K-S bei einer Stichprobe

2 Es öffnet sich die Dialogbox Kolmogorov-Smirnov-Test bei einer Stichprobe: 2 In der Variablenliste werden immer nur die numerischen Variablen der Datendatei aufgeführt, denn der K-S-Test ist nur für Variablen mit Intervallskalenniveau (metrisch skalierte Daten) geeignet. Bringen Sie die Variable intdauer in das Feld Testvariablen. Wenn Sie hier mehr als eine Variable angeben, wird für jede Variable ein eigenständiger Test durchgeführt. Deaktivieren Sie die voreingestellte Option Normal für die Testverteilung und aktivieren Sie die Option Gleichverteilung. Damit wird auf eine Gleichverteilung mit den aus der Stichprobe geschätzten Parametern (untere und obere Grenze) getestet. Starten Sie die Berechnung mit.

3 3 Im SPSS-Ausgabe-Viewer wird die folgende Tabelle erzeugt: Kolmogorov-Smirnov-Anpass ungstest N Parameter der Gleichverteilung a,b Minimum Maximum DAUER DES INTERVIEWS IN MINUTEN Extremste Differenzen Absolut Positiv Negativ Kolmogorov-Smirnov-Z Asymptotische Signifikanz (2-seitig) a. Die zu testende Verteilung ist eine Gleichverteilung. b. Aus den Daten berechnet. Der K-S-Test wird anhand der größten (absoluten) Abweichung der empirischen von der beliebigen, aber festen theoretischen Verteilungsfunktion (hier: Gleichverteilung) durchgeführt. Die größte absolute, die größte positive und die größte negative Abweichung der beiden Verteilungen voneinander werden als Extremste Differenzen in der Tabelle ausgewiesen. Neben den aus den Daten geschätzten Parametern der jeweils getesteten Verteilung wird das eigentliche Ergebnis des Tests in der untersten Zeile mit der Beschriftung Asymptotische Signifikanz ausgewiesen. Dies ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, die mit einem Zurückweisen der Nullhypothese verbunden ist. Die getestete Nullhypothese besagt, die Dauer der Interviews sei in der Grundgesamtheit gleichverteilt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird mit 0,000 angegeben. Die Nullhypothese kann damit verworfen werden. ACHTUNG: Im Gegensatz zu fast allen anderen statistischen Testverfahren ist beim K-S-Test eine hohe Signifikanz ein Grund zur Freude.

4 4 2. χ 2 -Anpassungstest Mit diesem χ 2 -Test kann überprüft werden, ob die Häufigkeiten der unterschiedlichen Ausprägungen einer Variablen in der Stichprobe den in der Grundgesamtheit vorgegebenen, erwarteten Häufigkeiten entsprechen. Dabei können auch Variablen untersucht werden, die lediglich Nominalskalenniveau aufweisen. Es soll nun untersucht werden, ob sich die Hochzeiten in der Grundgesamtheit gleichmäßig über die zwölf Monate des Jahres verteilen. Wählen Sie aus den Menüs Analysieren Nichtparametrische Tests Chi-Quadrat Es öffnet sich die Dialogbox Chi-Quadrat-Test: Bringen Sie die Variable hmonat in das Feld Testvariablen. Ansonsten werden die Voreinstellungen übernommen. Starten Sie die Berechnung mit.

5 Im SPSS-Ausgabe-Viewer werden die beiden folgenden Tabellen erzeugt: 5 HEIRATSMONAT, 1. EHE JANUAR FEBRUAR MAERZ APRIL MAI JUNI JULI AUGUST SEPTEMBER OKTOBER NOVEMBER DEZEMBER Gesamt Beobachtetes Erw artete N Anzahl Residuum Chi-Quadrat a df Statistik für Te st Asymptotische Signifikanz HEIRATSMO NAT, 1. EHE a. Bei 0 Zellen (.0%) werden w eniger als 5 Häufigkeiten erwartet. Die kleinste erwartete Zellenhäufigkeit ist Die tatsächlich beobachteten Häufigkeiten der einzelnen Monate werden in der Spalte Beobachtetes N im zweiten Output ausgewiesen und weichen mehr oder weniger stark von den erwarteten Häufigkeiten ab. So haben im Januar nicht die erwarteten 25 Personen geheiratet, sondern lediglich 11. Ebenso sind alle übrigen Wintermonate von November bis Februar unterproportional vertreten, während in den Sommermonaten deutlich mehr Hochzeiten beobachtet wurden. Der Chi-Quadrat-Test untersucht nun, ob die Abweichungen zwischen den beobachteten und den erwarteten Häufigkeiten so groß sind, dass angenommen werden kann, sie seien nicht durch zufällige Einflüsse entstanden, sondern auf entsprechend unterschiedliche Häufigkeiten der Hochzeitsmonate in der Grundgesamtheit zurückzuführen. Das Ergebnis des Chi-Quadrat-Tests wird in der dritten Tabelle ausgewiesen. Die Teststatistik ist 2 r i1 ( N i N pi ) N p i 2 58,48. Dabei ist r die Anzahl der Kategorien oder Klassen (in unserem Fall 12 Monate), Ni ist die Anzahl der Beobachtungen in Kategorie i, und pi ist die erwartete (unter H0) relative Häufigkeit in Kategorie i, somit also Npi die entsprechende absolute Häufigkeit.

6 6 Der Wert der Teststatistik wird mit dem χ 2 r-1,1-α-quantil verglichen. Zum Beispiel ergibt sich für ein Signifikanzniveau von 5% ein Wert in der Chi-Quadrat-Tabelle von 19,675. Die Nullhypothese würde somit zum Signifikanzniveau von 0,05 verworfen. SPSS gibt dabei unmittelbar die Irrtumswahrscheinlichkeit an, die mit einem Zurückweisen der Nullhypothese verbunden ist. Dies ist der Wert für Asymptotische Signifikanz im dritten Output. Für den vorliegenden Fall gilt also: Weist man die Nullhypothese, der zufolge in der Grundgesamtheit jeder Monat mit der gleichen Häufigkeit als Hochzeitsmonat vertreten ist, zurück, begeht man mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 0,1% einen Irrtum (genau sind es %). Diese Irrtumswahrscheinlichkeit ist derart gering, dass man die Nullhypothese auf jeden Fall zurückweisen wird. Die Hochzeiten sind somit nicht gleichmäßig über die Monate verteilt.