Analyse von Kontingenztafeln

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1 Analyse von Kontingenztafeln Mit Hilfe von Kontingenztafeln (Kreuztabellen) kann die Abhängigkeit bzw. die Inhomogenität der Verteilungen kategorialer Merkmale beschrieben, analysiert und getestet werden. Die Einbeziehung zweier oder mehrerer evtl. nur nominalskalierter Merkmale in eine Analyse ist in den Sozialwissenschaften eine häufig auftretende Situation (z. B. Geschlecht, Art des Schulabschlusses, Parteienpräferenz). 1

2 In vielen Fällen z. B. bei Sekundäranalysen liegen nicht die Rohdaten, sondern bereits Häufigkeitstabellen vor. In SPSS können derartige Datensätze eingegeben und mit Hilfe von Gewichtungen analysiert werden. Vor der bi- oder multivariaten Analyse sind die beteiligten kategorialen Merkmale zunächst einzeln univariat zu untersuchen. 2

3 Univariate Analyse kategorialer Daten Deskriptiv werden Tabellen (z.b. Häufigkeitstabellen) und Grafiken (z.b. Balken- und Kreisdiagramme) eingesetzt. Als deskriptive Kenngröße für den Zentralwert der Verteilung kommt der Modalwert in Betracht. Als deskriptives Maß für die Variabilität einer kategorialen Verteilung wird beispielsweise die Devianz eingesetzt. Diese Kenngröße bewertet die Stärke der Konzentration einer kategorialen Verteilung. 3

4 Sei X ein kategoriales Merkmal mit den k möglichen Ausprägungen a 1,..., a k. Für eine Stichprobe vom Umfang n bezeichne h j die absoluten und f j = h j /n die relativen Häufigkeiten des Auftretens von a j. Dann heißt D X k = 2 ln(h j /n) h j j=1 k = 2 ln(f j ) h j j=1 Devianz. Dabei bezeichnet ln(f j ) den natürlichen Logarithmus (ln(0) 0 wird Null gesetzt! Nicht realisierte Ausprägungen liefern also keinen Beitrag!). 4

5 In die Berechnung der Devianz gehen also nur die Häufigkeiten der Ausprägungen und nicht die Ausprägungen selbst ein. Damit ist die Devianz ein Streuungsmaß, das bereits für nominalskalierte Merkmale berechnet werden kann. Da die Devianz D X bei sonst gleicher Verteilung mit wachsendem Stichprobenumfang wächst, wird häufig die relative Devianz verwendet. d X = D X n 5

6 Beispiel: In einer Umfrage unter n = 100 StudentInnen wurden die dichotomen Merkmale Geschlecht G und Motivation M für das Studium der Sozialwissenschaften erhoben. Dabei ergaben sich die Häufigkeitsverteilungen: Geschlecht G a G j h G j fj G weiblich männlich Motivation M a M j h M j fj M motiviert nicht motiviert 0 0 6

7 Für die Devianz D G ergibt sich 2 D G = 2 ln(fj G ) h G j j=1 ( ) = 2 ln(1/2) 50 + ln(1/2) 50 = ln(2) und für D M erhalten wir 2 D M = 2 ln(fj M j=1 ) h M j = 2(ln(1) ln(0) 0) = 0 7

8 Damit gilt für die relative Devianz d G = 2 ln(2) und d M = 0. Die Devianz ist in der Lage, die Fehlerwahrscheinlichkeit bei der Vorhersage einer kategorialen Variablen zu erfassen. Nimmt die Variable mit Sicherheit nur eine Ausprägung an, dann ist bei Verwendung dieser Ausprägung eine Voraussage ohne jeden Fehler möglich. Die Devianz für derartige entartete Verteilungen ist Null. Das Merkmal Motivation ist ein Beispiel dafür. 8

9 Die größte Unsicherheit besteht bei der Vorhersage dann, wenn jede der möglichen Ausprägungen die gleiche Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) besitzt (also keinerlei Konzentration vorliegt). In diesem Fall gilt d X = 2 ln(k). Das Merkmal Geschlecht (k = 2) ist ein Beispiel für diese Situation. Egal welche der beiden Ausprägungen als Vorhersage verwendet wird, ergeben sich stets 50% Fehlprognosen. 9

10 Zur Bewertung und zum Vergleich von Anteilswerten (Wahrscheinlichkeiten) werden speziell im englischen Sprachraum Odds verwendet. Odds beschreiben die Chancen des Eintretens eines Ereignisses in Relation zu seinem Nichteintreten. Befinden sich in einer Population z.b. 80% StudentInnen, die sich für Statistik interessieren, und 20%, die sich nicht für Statistik interessieren, dann betragen die Odds (Chancen), zufällig eine Studentin/einen Studenten aus dieser Population auszuwählen, die/der sich für Statistik zu interessiert, 80 : 20 = 4 (vier zu eins). 10

11 Ein Wert der Odds von 1 bedeutet also eine Chance von 50:50 (eins zu eins). Werte der Odds größer als 1 bedeuten, dass die Chance des Eintretens größer ist als die des Nichteintretens (z.b. 80:20). Werte der Odds kleiner als 1 bedeuten, dass die Chance des Eintretens kleiner ist als die des Nichteintretens (z.b. 40:60). 11

12 Als Basistechnik der schließenden Statistik kommt bei der Analyse nominalskalierter Daten der χ 2 Anpassungstest zum Einsatz. Er beschreibt und testet die Abweichung der empirischen Verteilung eines kategorialen Merkmals von einer hypothetisch unterstellten Verteilung. Die Testgröße t = k j=1 (h j np j ) 2 np j des χ 2 Anpassungstest stellt für eine vorliegende empirische Verteilung mit den beobachteten absoluten Häufigkeiten h j deren χ 2 Abstand zu der hypothetisch unterstellten Verteilung mit den Wahrscheinlichkeiten p j dar. 12

13 Hinweise: Da wir von kategorialen Merkmalen ausgehen, entfällt häufig eine Klasseneinteilung; diese ist in natürlicher Weise durch die Kategorien gegeben. Evtl. ist eine Vergröberung notwendig bzw. sinnvoll, wenn viele mögliche Ausprägungen vorliegen. In SPSS kann die hypothetisch unterstellte Verteilung mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten p j, der erwarteten absoluten Häufigkeiten np j oder der entsprechenden Prozentsätze vorgegeben werden. Bei kleineren Stichprobenumfängen sollte von der Möglichkeit der exakten Berechnung der Überschreitungswahrscheinlichkeit Gebrauch gemacht werden. 13

14 Im Spezialfall eines dichotomen Merkmals sollte als Anpassungstest der Binomialtest verwendet werden. Dieser ist für Merkmale mit nur zwei Ausprägungen äquivalent zum entsprechenden χ 2 Anpassungstest, wenn jeweils die exakten Überschreitungswahrscheinlichkeiten verwendet werden. 14

15 Nach Ablehnung der Nullhypothese beim χ 2 Anpassungstest interessiert häufig die Frage, für welche der möglichen Ausprägungen des untersuchten kategorialen Merkmals signifikante Unterschiede zwischen den beobachteten und den hypothetisch unterstellten (erwarteten) absoluten Häufigkeiten vorliegen. Dies kann durch Serien von post hoc Tests geklärt werden. Zum Einsatz kommen zwei eng verwandte Techniken: die Konfigurationsfrequenzanalyse (KFA), die die Summanden der χ 2 -Statistik einzeln untersucht und testet (vgl. z.b. Krauth/Lienert 1973) Tests der standardisierten Residuen 15

16 Unter der Nullhypothese sind die Summanden der Testgröße des χ 2 Anpassungstests asymptotisch χ 2 verteilt mit einem Freiheitsgrad. Für die Entscheidungsfindung können also Überschreitungswahrscheinlichkeiten, die gemäß dieser Verteilung berechnet wurden, oder entsprechende Quantile dieser Verteilung verwendet werden. Da in der Regel Serien von Tests evtl. für alle Ausprägungen des untersuchten Merkmals durchgeführt werden, stellt sich bei diesem multiplen Testverfahren das Problem der Einhaltung eines vorgegebenen Signifikanzniveaus für den Gesamttest (die gesamte Serie von Tests). 16

17 In der KFA werden dabei verschiedene konservative Strategien vorgeschlagen. Beispielsweise dividiert man das vorgegebene Signifikanzniveau α durch die Zahl der durchzuführenden einzelnen Tests (Bonferroni Korrektur) und vergleicht die Überschreitungswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Tests jeweils mit diesem korrigierten Signifikanzniveau bzw. verwendet die Quantile mit diesem korrigierten Quantilsanteil. 17

18 Die standardisierten Residuen sind unter H 0 asymptotisch normalverteilt. Mit Hilfe der Normalverteilung und entsprechend korrigierten Werten für das Signifikanzniveau lassen sich zur KFA äquivalente Entscheidungsregeln formulieren. 18

19 Beispiel: In Statistik I untersuchten wir Daten über benutzte Verkehrsmittel. Der χ 2 Anpassungstest führte bei einem Signifikanzniveau α = 0.05 zur Ablehnung der Nullhypothese Die Wahrscheinlichkeit für die Benutzung jedes der fünf Verkehrsmittel ist p j = 1/5. Der Wert der χ 2 Statistik beträgt 89.2, und die zugehörige Überschreitungswahrscheinlichkeit p ist praktisch Null. Dabei wurde für die Berechnung der Überschreitungswahrscheinlichkeit p die χ 2 Verteilung mit 5 1 = 4 Freiheitsgraden verwendet. 19

20 Für die einzelnen Verkehrsmittel ergaben sich folgende absolute beobachtete (h j ) und erwartete (n p j ) Häufigkeiten sowie Residuen (h j n p j ): Verkehrsmittel h j n p j h j n p j Bahn Bus Flugzeug PKW Sonstige Summe:

21 Nach Ablehnung der (globalen) Nullhypothese sollen nun post hoc die Kategorien (Verkehrsmittel) lokalisiert werden, die einzeln signifikante Unterschiede zwischen der beobachteten und erwarteten Häufigkeit aufweisen und damit die (globale) Ablehnung wesentlich verursachen. Wir setzen dazu die KFA ein, die in SPSS in diesem Zusammenhang nicht angeboten wird. Wir wollen für den multiplen Test also für die Serie von Tests insgesamt mit einem Signifikanzniveau α = 0.05 arbeiten. Da 5 einzelne Tests für jedes Verkehrsmittel durchgeführt werden sollen, ergibt sich mit der Bonferroni Korrektur ein Signifikanzniveau α/5 = 0.01 für jeden einzelnen Test der Serie. 21

22 Jeder Kategorie hier jedem Verkehrsmittel entspricht ein Summand (h j n p j ) 2 n p j der Testgröße t des χ 2 Anpassungstest. Unter der (globalen) Nullhypothese ist für eine mathematische Stichprobe jede dieser Größen asymptotisch χ 2 verteilt mit einem Freiheitsgrad. Wir können daher für jede der 5 Kategorien die (lokale) Nullhypothese Es liegt kein signifikanter Unterschied zwischen der beobachteten und erwarteten Häufigkeit für diese Kategorie vor. mit Hilfe dieser Verteilung der Stichprobenfunktion testen. 22

23 Zur Entscheidungsfindung benötigen wir jeweils den Wert der Teststatistik, den wir dann mit dem 0.99 Quantil χ 2 1,0.99 = 6.64 (entnommen aus einer entsprechenden Tafel, siehe Umdruck) der χ 2 -Verteilung mit einem Freiheitsgrad vergleichen. Ist der Wert der Teststatistik größer als 6.64, und damit seine Überschreitungswahrscheinlichkeit kleiner als 0.01, lehnen wir die lokale Nullhypothese ab. Insgesamt ergibt sich das folgende Ergebnis: 23

24 Verkehrsmittel (h j n p j ) 2 /np j Abweichung signifikant Bahn 8.45 ja Bus 6.05 nein Flugzeug 4.05 nein PKW ja Sonstige 16.2 ja Summe: 89.2 Bei signifikanten Überbesetzungen von Zellen spricht man in der KFA von Typen und bei signifikanten Unterbesetzungen von Antitypen. Das Merkmal PKW ist demnach ein Typ, und die Merkmale Bahn und Sonstige stellen Antitypen dar. 24