Zwei kategoriale Merkmale. Homogenität Unabhängigkeit

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1 121 Zwei kategoriale Merkmale Homogenität Unabhängigkeit

2 122 Beispiel Gründe für die Beliebtheit bei Klassenkameraden 478 neun- bis zwölfjährige Schulkinder in Michigan, USA Grund für Beliebtheit weiblich männlich gesamt gute Noten gute Leistungen im Sport gutes Aussehen viel Taschengeld gesamt Von 251 Mädchen gaben 55 gute Noten als wichtigsten Grund für Beliebtheit an.

3 123 i Kontingentafeln auch Kreuztabellen oder Kreuzklassifikation Entstehen durch Aufteilen der Häufigkeiten einer Variablen nach den Kategorien einer zweiten Variablen wird Zelle genannt bzw heißen Ränder (margins) Zeilen- bzw. Spaltensummen beschreiben Häufigkeiten jeweils nur einer Variablen.

4 124 Beispiel Nebenjob und Fahrzeugbesitz von Studenten? Arbeiten Sie neben dem Studium?? Besitzen Sie ein Fahrzeug? Anordnung der Daten in einer Tabelle: Frage 1 Frage 2 Ja Nein Gesamt Ja a b a + b Nein c d c + d Gesamt a + c b + d a + b + c + d = n

5 125 i Gemeinsame Information (joint information)? Was sagt uns a/n, c/n? Gemeinsame Anteile von beiden Variablen werden auf die Gesamtzahl bezogen Gesamtprozent z.b. Wie hoch ist der Prozentsatz an Studierenden, die nicht arbeiten und ein Fahrzeug haben? (b/n) i Rand-Information (marginal information) Was sagt uns (a + c)/n, (a + b)/n? Siehe Kapitel 2: Ein kategoriales Merkmal.

6 126 i Bedingte Information (conditional information)? Was sagt uns a/(a + c), b/(b + d)? Gemeinsame Anteile werden nur auf eine Kategorie einer der beiden Variablen bezogen Zeilenprozent oder Spaltenprozent Beispiel: Wieviel Prozent der Studierenden, die nicht arbeiten, besitzen ein Fahrzeug? Antwort: b/(b + d)

7 127 i Darstellung gemeinsamer kategorialer Information Beide Variable werden an einer Beobachtungseinheit erhoben oder haben gleiche Kategorien. z.b. Beruf von Vater und Sohn, Sichtigkeit des linken und rechten Auges, Zustand vor und nach der Therapie. Beispiel: Körpergröße von 205 Ehepaaren Ehefrau groß mittel klein Gesamt Ehemann groß mittel klein Gesamt

8 128 Beispiel Körpergröße von 205 Ehepaaren In Prozent: Ehefrau groß mittel klein Gesamt Ehemann groß mittel klein Gesamt

9 129 i Darstellung gemeinsamer kategorialer Information

10 130 i Gruppiertes Balkendiagramm Absolute Häufigkeiten groß mittel klein Ehemann groß mittel klein Ehefrau

11 131 i Darstellung bedingter kategorialer Information Eine Variable wird bei verschiedenen Gruppen beobachtet. z.b. Einkommensklassen und Beruf, Sichtigkeit bei jungen und älteren Menschen, Zustand nach Therapie A oder B. Beispiel: Einschätzung des eigenen Gewichts bei Teenagern Gewicht zu hoch zu niedrig gerade richtig Gesamt Geschl. männlich weiblich Gesamt

12 132 Beispiel Einschätzung des eigenen Gewichts bei Teenagern Zeilenprozent Gewicht zu hoch zu niedrig gerade richtig Gesamt Geschl. männlich weiblich Gesamt Spaltenprozent Gewicht zu hoch zu niedrig gerade richtig Gesamt Geschl. männlich weiblich Gesamt

13 133 Beispiel Einschätzung des eigenen Gewichts bei Teenagern nach Gewicht 100% 75% 42 Anzahl 50% 25% 0% zu hoch zu niedrig gerade richtig Gewicht Geschlecht weiblich männlich

14 134 Beispiel Einschätzung des eigenen Gewichts bei Teenagern nach Geschlecht 100% 42 75% Anzahl 50% 25% 0% männlich weiblich Gewicht Gewicht gerade richtig zu niedrig zu hoch

15 135 i Beziehung zwischen zwei kategorialen Variablen Zwei kategoriale Variable stehen dann miteinander in Beziehung, wenn das Wissen über die Ausprägung einer Variablen hilft, die Ausprägung der anderen Variablen vorherzusagen. Beispiel. Wenn wir wissen, daß ein bestimmter Student ein Fahrzeug besitzt, dann ist die Wahrscheinlichkeit höher, daß er nebenbei arbeitet.? Welche der drei Informationsarten (Rand-, gemeinsame oder bedingte Information) sagt uns am meisten über eine mögliche Beziehung zwischen den beiden Variablen?

16 136 i Odds Ratios ODDS (dt. Chance) Das Verhältnis der Häufigkeiten von 2 Kategorien. E Ist nicht das gleiche wie Wahrscheinlichkeit! Chance, daß ein Student ein Fahrzeug besitzt: (a + b)/(c + d) Chance, daß ein Student, der arbeitet, ein Fahrzeug besitzt: Chance, daß ein Student, der nicht arbeitet, ein Fahrzeug besitzt: a/c b/d

17 137 i Odd ratio = Verhältnis von Chancen Maß für Stärke der Beziehung zwischen zwei Variablen a c b d odds ratio = a c b d = a d b c Beispiel. Die Chance, daß Studenten ein Fahrzeug haben, ist für solche die arbeiten x-mal höher, als für solche, die nicht arbeiten.

18 138 i Eigenschaften von Odds Ratios odds ratio 1 gleiche Chancen, oder keine Beziehung zwischen den Variablen odds ratio 1 ungleiche Chance, es könnte eine Beziehung zwischen den Variablen bestehen.? Frage wie bei χ 2 Ab wann ist odds ratio 1? Wie sehr muß odds ratio in Stichprobe von 1 abweichen, so daß man auch für Population annimmt, daß es ungleich 1 ist?

19 139 i Homogenität Die Verteilung der Häufigkeiten nach den Kategorien einer Variablen ist bei 2 oder mehreren Gruppen gleich. Kategoriale Variable wird in 2 oder mehreren Stichproben erhoben? Frage nach den Unterschieden. Beispiel. Unterscheiden sich Burschen und Mädchen in der Einschätzung ihres Gewichts?

20 140 i Unterscheidung der Merkmale Merkmale werden unterschieden in: Wenn-Variable Dann-Variable erklärende (unabhängige) Variable erklärte (abhängige) Variable (Responsevariable) WENN DANN erklärend erklärt unabhängig abhängig von wenn

21 141 Beispiel Unterscheidung von Merkmalen Was ist in den folgenden Beispielen die unabhängige (X) Variable und die abhängige (Y) Variable?? Das Verkehrsministerium möchte die Beziehung zwischen Straßenunebenheiten und Benzinverbrauch untersuchen.? Ein Händler, der seine Waren bei Fußballspielen verkauft, möchte die Verkaufszahlen auf die Anzahl von Siegen des Heimteams beziehen.? Ein Psychologe möchte die Einschätzung des Gewichts auf Unterschiede zwischen Burschen und Mädchen untersuchen.

22 142 i Unabhängigkeit Abhängigkeit Es wird untersucht, ob zwei Merkmale voneinander unabhängig sind, bzw. ob zwei Variablen etwas miteinander zu tun haben (eine Beziehung besteht) E Ohne Wenn-Dann Beziehung oder wenn man eine Wenn-Dann Beziehung auch (sinnvollerweise) umdrehen kann. Beispiel. Ist die Körpergröße (klein/mittel/groß) bei Ehepartnern voneinander unabhängig?

23 143 i Weitere Arten von Beziehungen Assoziation Bei 2 Variablen mit geordneten Kategorien Verwendung bei Fragestellungen mit je-desto Man möchte abschätzen, wie stark der Zusammenhang ist. Symmetrie Meist bei wiederholten Messungen Beispiel. Personen werden nach Parteipräferenz gefragt, nach einem Monat wieder. Wechseln gleich viele Personen von Partei A zu Partei B wie umgekehrt von Partei B zu Partei A? Oder ist er Wechsel von A B stärker, als der Wechsel von B A?

24 144? Wichtige Fragestellung Ist die Verteilung von Häufigkeiten in verschiedenen Gruppen gleich? Man möchte wissen, ob sich die Häufigkeiten in einzelnen Kategorien zwischen den verschiedenen Gruppen unterscheiden. Beispiel: Showmaster-Werbung Wählen Kinder, nachdem sie Showmaster-Werbung für CC gesehen haben, eher dieses Produkt, als wenn sie normale Werbung gesehen haben?

25 145? Weitere wichtige Fragestellungen? Sind zwei Variablen voneinander unabhängig? Beispiel Sind Umsatzentwicklungen am Inlandsmarkt und am Auslandsmarkt voneinander unabhängig?? In welchem Bereich kann man Chancen erwarten? Unterscheiden sich die Chancen? Wie groß sind die Schwankungen der Chancen, wenn man nur Daten aus Stichproben zur Verfügung hat? Beispiel Ist die Chance höher mit Medikament A als mit Medikament B Schmerzen zu verringern?

26 146? Fragestellung 1 Ist die Verteilung von Häufigkeiten in verschiedenen Gruppen gleich? Beispiel: Präsentatorwerbung und normale Werbung Wird das Produkt CC häufiger dann gewählt, wenn ein Kind zuvor Showmaster-Werbung gesehen hat, als wenn es normale Werbung gesehen hat? Oder sind die Unterschiede in den beobachteten Häufigkeiten nur zufällig?

27 147 Beispiel Päsentatorwerbung und normale Werbung 100% 75% Prozent 50% 25% 0% SW NW Produkt FL BB KH CC Art der Werbung

28 148 i Pearson s χ2 als Maß für Stärke der Beziehung Pearson s χ 2 ist die wichtigste Maßzahl für die Stärke der Beziehung zweier kategorialer Variabler. Beispiele positiv zum Euro Ja Nein liberal 17 5 konservativ 8 23 starker Unterschied Schmerzlinderung gering stark Medikament A Medikament B geringer Unterschied

29 149 i Beobachtete und erwartete Häufigkeiten Beobachtete Häufigkeiten Jene Zahlen in der Tabelle, die beobachtet wurden. Erwartete Häufigkeiten Welche Zahlen, bei gegebenen Randsummen, würden wir erwarten, wen keine Beziehung zwischen den beiden Variablen besteht? Beispiel. Wie müßten Zahlen in den Tabellen aussehen? keine Beziehung starke Beziehung

30 150 i Beobachtete und erwartete Häufigkeiten keine Beziehung starke Beziehung E Idee. Maßzahl soll so konstruiert werden, daß sie umso größer wird, je stärker beobachtete und erwartete Häufigkeiten voneinander abweichen, wenn keine Beziehung besteht.? Nebenfrage. Wie viele Zahlen können in diesem Beispiel frei gewählt werden, ohne daß dadurch die anderen festgelegt sind (Freiheitsgrade)?

31 151 Beispiel Beobachtete und erwartete Häufigkeiten ist der Anteil der 1. Zeile an allen Beobachtungen (30/100). Dieser teilt sich 40 zu 60 auf. erwartete Werte für 1. Zeile: = 12, = 18 Berechnung analog über Spaltenanteile.

32 152 i Beobachtete und erwartete Häufigkeiten Tabelle der beobachteten Häufigkeiten - allgemeiner Fall o o 1j.... o 1J. o 1+. o i1.... o ij.... o ij. o i+. o I1... o Ij... o Ij o I+ o +1 o +j o +J o ++ o ij o i+ o +j beobachtete Häufigkeit für Zeile i und Spalte j Summe Zeile i Summe Spalte j o ++ Größe der Stichprobe o ++ = n.

33 153 i Pearson s χ2 Tabelle der erwarteten Häufigkeiten e e 1J. e i1.... e ij.... e ij. o i+ e I e Ij o +j o ++ e ij = o i+ o +j o ++ Pearson s χ 2 = I i=1 J j=1 (o ij e ij ) 2 e ij

34 154 Beispiel Präsentatorwerbung und normale Werbung Beobachtete Häufigkeiten Gewähltes Produkt FL BB KH CC Gesamt Art der SW Werbung NW Gesamt

35 155 Beispiel Präsentatorwerbung und normale Werbung Erwartete Häufigkeiten Gewähltes Produkt FL BB KH CC Gesamt Art der SW Werbung NW Gesamt Pearson s χ 2 = 1.833! Je größer, umso stärker ist Beziehung Anzahl der Freiheitsgrade: df = (I 1)(J 1) = 1 3 = 3

36 156 i Homogenität Wird das Produkt CC häufiger dann gewählt, wenn ein Kind zuvor Showmaster-Werbung gesehen hat? Wenn (Art der Werbung) Dann (gewähltes Produkt) Nullhypothese H 0 Verteilung der gewählten Produkte ist für Showmastergruppe und Gruppe mit normaler Werbung gleich. Alternativhypothese H A Verteilung der gewählten Produkte ist für Showmastergruppe und Gruppe mit normaler Werbung nicht gleich.

37 157 Beispiel Ergebnis: Präsentatorwerbung und normale Werbung mit SPSS mit R Chi-Quadrat Test Asymptotische Wert df Signifikanz (2-seitig) Chi-Quadrat nach Pearson Pearson s Chi-squared test data: CEREAL and GROUP X-squared = , df = 3, p-value =

38 158 Beispiel Ergebnis: Präsentatorwerbung und normale Werbung Der p-wert mit ist deutlich größer als 0.05, daher wird die Nullhypothese beibehalten. Der Unterschied in der Verteilung der Produktwahl zwischen beiden Gruppen ist nicht signifikant. Kinder, die Showmaster-Werbung gesehen haben, wählen nicht häufiger CC als jene, die normale Werbung gesehen haben.

39 159? Fragestellung 2 Sind zwei kategoriale Merkmale voneinander unabhängig? Beispiel: Umsatzentwicklungen im In-und Ausland 252 Firmen wurden über ihre Einschätzung bezüglich der Umsatzentwicklungen am nationalen bzw. Export-Markt befragt. Sie sollten angeben, ob sie jeweils eine Zunahme oder Abnahme der Umsätze erwarten.? Sind die Umsatzentwicklungen am Inlandsmarkt und am Auslandsmarkt voneinander unabhängig?

40 160 Beispiel Einschätzung Umsatzentwicklung Anzahl der Firmen Inland Ausland Zunahme Abnahme

41 161 i Fragestellung 2 Methoden gleich wie bei Fragestellung 1: χ 2 Test Nullhypothese H 0 Inlands-und Auslandsverkäufe sind voneinander unabhängig Inlandsoptimisten erwarten für den Export das Gleiche wie Inlandspessimisten. Alternativhypothese H A Inlands- und Auslandsverkaufsentwicklung sind nicht voneinander unabhängig Inlandsoptimisten erwarten für den Export etwas Anderes als Inlandspessimisten.

42 162 Beispiel Ergebnis: Einschätzung Umsatzentwicklung mit SPSS mit R Chi-Quadrat Test Asymptotische Wert df Signifikanz (2-seitig) Chi-Quadrat nach Pearson Pearson s Chi-squared test data: expsales X-squared = , df = 1, p-value =

43 163 Beispiel Ergebnis: Einschätzung Umsatzentwicklung Interpretation Der p-wert mit ist größer als 0.05, das Ergebnis ist nicht signifikant, daher wird die Nullhypothese beibehalten. Erwartungen über die Entwicklungen von Inlands- und Auslandsverkäufen sind voneinander unabhängig.

44 164? Fragestellung 3 In welchem Bereich kann man Chancen erwarten? Unterscheiden sich die Chancen? Beispiel: Chancen bei verschiedenen Prüfern Prüfer A B C Gesamt positiv negativ Gesamt ? Ist die Chance positiv abzuschneiden bei Prüfern A und B höher als bei Prüfer C?

45 165 Beispiel Chancen bei verschiedenen Prüfern Odds ratios A im Vergleich zu C: OR A/C = (45/16)/(21/16) = 2.15 B im Vergleich zu C: OR B/C = (32/11)/(21/16) = 2.22 A im Vergleich zu B: OR A/B = (45/16)/(32/11) = 0.97 Berechnung beruht auf Stichprobe von 141 Studenten E Bei anderen Stichproben andere Ergebnisse. Gleiche Idee wie bei Konfidenzintervallen für Anteile.? Wie groß können diese Schwankungen sein?

46 166 i Schwankungsbreiten für log odds ratios Bestimmung von Schwankungsbreiten für logarithmierte odds ratios log odds ratios c = a + 1 b + 1 c + 1 d Bei kleinen a, b, c oder d verwendet man a + 0.5, b + 0.5, Tafeln r c Tafeln a c b d a c b d

47 167 i Schwankungsbreiten für log odds ratios Für Vergleich der Prüfer A und C: 1 c = = Konfidenzintervall für log odds ratios KI: [ln OR c; ln OR + c] Beispiel: Prüfer A im Vergleich zu C: [ln ; ln ] = [ 0.085; 1.616]

48 168 Beispiel Ergebnis: Chancen bei verschiedenen Prüfern nichtlogarithmische Skala: untere Grenze e = obere Grenze e = KI: [0.918; 5.033] Die Chance bei Prüfer A besser abzuschneiden ist zwischen 0.9 und 5 mal höher als bei Prüfer C (mit 95% Sicherheit). Da 0.9 kleiner und 5 größer als 1 ist, kann man nicht behaupten, bei Prüfer A besser abzuschneiden als bei C, da 1 (gleiche Chance) im KI enthalten ist.

49 169 Beispiel Ergebnis für alle Prüfer KI für odds ratios A/B: [0.40; 2.36] A/C: [0.92; 5.03] B/C: [0.86; 5.70] 1 0 A/B A/C B/C