Strukturerhaltende Integrationsverfahren für stochastische Differentialgleichungen in der Modellierung von Zinsderivaten

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Hartmut Roth
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1 Strukturerhaltende Integrationsverfahren für stochastische Differentialgleichungen in der Modellierung von Zinsderivaten Michael Günther, Christian Kahl und Thilo Roßberg Bergische Universität Wuppertal Lehrstuhl für Angewandte Mathematik / Numerische Analysis & ABN AMRO Financial Markets Quantitative Analysis Group, London

2 Inhalt Modellierung von Zinsderivaten Ein Beispiel: Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf Libor-Market Modelle Positivitätserhaltende stochastische Integration Numerische Ergebnisse Ausblick

3 Modellierung von Zinsderivaten I

4 Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ

5 Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ Spotrate (EURIBOR, LIBOR,...): (1 + (T t)l(t, T ))B(t, T ) = 1 L(t, T ) = 1 B(t, T ) (T t)b(t, T )

6 Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ Spotrate (EURIBOR, LIBOR,...): (1 + (T t)l(t, T ))B(t, T ) = 1 L(t, T ) = 1 B(t, T ) (T t)b(t, T ) Laufzeiten T 0 < T 1 <... < T N < T N+1 = T, δ k = T k+1 T k

7 Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ Spotrate (EURIBOR, LIBOR,...): (1 + (T t)l(t, T ))B(t, T ) = 1 L(t, T ) = 1 B(t, T ) (T t)b(t, T ) Laufzeiten T 0 < T 1 <... < T N < T N+1 = T, δ k = T k+1 T k Forward-Zinssätze: (1 + δ k F k (t))/b(t, T k ) = 1/B(t, T k+1 ) F k (t) = 1 ( ) B(t, Tk ) δ k B(t, T k+1 ) 1, insb. F k (T k ) = L(T k, T k+1 )

8 Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ Spotrate (EURIBOR, LIBOR,...): (1 + (T t)l(t, T ))B(t, T ) = 1 L(t, T ) = 1 B(t, T ) (T t)b(t, T ) Laufzeiten T 0 < T 1 <... < T N < T N+1 = T, δ k = T k+1 T k Forward-Zinssätze: (1 + δ k F k (t))/b(t, T k ) = 1/B(t, T k+1 ) F k (t) = 1 ( ) B(t, Tk ) δ k B(t, T k+1 ) 1, insb. F k (T k ) = L(T k, T k+1 ) Caplet Europäische Option auf Spotraten (EURIBOR) mit Auszahlungsfunktion C(T k ) = (L(T k, T k+1 ) K) + = (F k (T k ) K) +.

9 Inhalt Modellierung von Zinsderivaten Ein Beispiel: Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf Libor-Market Modelle Positivitätserhaltende stochastische Integration Numerische Ergebnisse Ausblick

10 Ein Beispiel Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf I Das Szenario Festdarlehen über EUR , ; Laufzeit: 30 Jahre; 360 nachschüssige Zinsraten K i zum Zeitpunkt T i = 1,..., 360 Monaten: K i = min(4.5%, 1.5% + F i 1 (T i 1 ) ); }{{} (1+δ i F i (t))=1/b(t i,t i+1 )

11 Ein Beispiel Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf I Das Szenario Festdarlehen über EUR , ; Laufzeit: 30 Jahre; 360 nachschüssige Zinsraten K i zum Zeitpunkt T i = 1,..., 360 Monaten: K i = min(4.5%, 1.5% + F i 1 (T i 1 ) ); }{{} (1+δ i F i (t))=1/b(t i,t i+1 ) Absicherung gegen Zinsänderungsrisiko der maximale Zinssatz K i für die Zahlung im i-ten Monat soll 7 % betragen oder der maximale Zinssatz K i soll durch den rollierenden Durchschnitt der bisherigen Euribor-Zinssätze F i 1 (T i 1 ) begrenzt sein, d.h. durch ( { K i = min 4.5%, 1.5% + min F i 1 (T i 1 ), 1 i i j=1 }) F j 1 (T j 1 ).

12 Ein Beispiel Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf II Absicherung gegen Zinsänderungsrisiko der maximale Zinssatz K i für die Zahlung im i-ten Monat soll 7 % betragen oder der maximale Zinssatz K i soll durch den rollierenden Durchschnitt der bisherigen Euribor-Zinssätze F i 1 (T i 1 ) begrenzt sein, d.h. durch ( { K i = min 4.5%, 1.5% + min F i 1 (T i 1 ), 1 i i j=1 }) F j 1 (T j 1 ).

13 Ein Beispiel Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf II Absicherung gegen Zinsänderungsrisiko der maximale Zinssatz K i für die Zahlung im i-ten Monat soll 7 % betragen oder der maximale Zinssatz K i soll durch den rollierenden Durchschnitt der bisherigen Euribor-Zinssätze F i 1 (T i 1 ) begrenzt sein, d.h. durch ( { K i = min 4.5%, 1.5% + min F i 1 (T i 1 ), 1 i Fairer Preis für eine Zinsoption ( V (t, r, N, τ) = E Nτ = Nτ 360 i=1 360 i=1 i j=1 }) F j 1 (T j 1 ). B(t, T i ) (F i 1 (T i 1 ) K i ) + ) E ( B(t, T i ) (F i 1 (T i 1 ) K i ) +)

14 Inhalt Modellierung von Zinsderivaten Ein Beispiel: Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf Libor-Market Modelle Positivitätserhaltende stochastische Integration Numerische Ergebnisse Ausblick

15 Libor-Market Modelle für Forward Rates Forderung an Modelle für Forward-Zinssätze: Arbitragefreiheit & Fit mit gemessenen Daten! Eine Möglichkeit: Libor-Market-Modelle mit stochastischer Volatilität df k (t) = σ k (t) V (t)f k (t) α k db T k+1 mit t < T k dv (t) = κ(ϑ V (t))dt + ɛv (t) β dz SDE nicht geschlossen lösbar Numerische Approximation nötig Ziel: Approximation soll Positivität erhalten!

16 Libor-Market Modelle für Forward Rates Forderung an Modelle für Forward-Zinssätze: Arbitragefreiheit & Fit mit gemessenen Daten! Eine Möglichkeit: Libor-Market-Modelle mit stochastischer Volatilität df k (t) = σ k (t) V (t)f k (t) α k db T k+1 mit t < T k dv (t) = κ(ϑ V (t))dt + ɛv (t) β dz SDE nicht geschlossen lösbar Numerische Approximation nötig Ziel: Approximation soll Positivität erhalten! { β > 1/2 F k > 0 für α k 1/2 V > 0 für β = 1/2 und κϑ > ε 2 /2 F k 0 für 0 < α k < 1/2 V 0 für β = 1/2 und κϑ ε 2 /2

17 Inhalt Modellierung von Zinsderivaten Ein Beispiel: Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf Libor-Market Modelle Positivitätserhaltende stochastische Integration Numerische Ergebnisse Ausblick

18 Positivitätserhaltende stochastische Integration I dx t = a(x t )dt + b(x t )db t, X(0) = X 0 Numerische Approximation: X i X ti mit Schrittweiten h i :=: t i+1 t i Forderung: ( ) P ({X t > 0 t 0}) = 1 P ({X i+1 > 0 X i > 0}) = 1

19 Positivitätserhaltende stochastische Integration I dx t = a(x t )dt + b(x t )db t, X(0) = X 0 Numerische Approximation: X i X ti mit Schrittweiten h i :=: t i+1 t i Forderung: ( ) P ({X t > 0 t 0}) = 1 P ({X i+1 > 0 X i > 0}) = 1 Abschwächung: Fordere ( ) für Klasse von SDEs, etwa (positive) Mean-Reverting-Prozesse dx t = (α βx t )dt + σx p t db t, α, β, σ > 0 geometrische Brownsche Bewegung: α = 0, p = 1

20 Positivitätserhaltende stochastische Integration II Stochastisches Euler-Verfahren: / X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i

21 Positivitätserhaltende stochastische Integration II Stochastisches Euler-Verfahren: / X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i Balanced Implizites-(Euler)-Verfahren [Schurz 1996]: +/(+ ε ) X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i + (X i X i+1 )C i (X i ) C i (X i ) = c 0 (X i )h i + c 1 (X i ) B i.

22 Positivitätserhaltende stochastische Integration II Stochastisches Euler-Verfahren: / X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i Balanced Implizites-(Euler)-Verfahren [Schurz 1996]: +/(+ ε ) X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i + (X i X i+1 )C i (X i ) C i (X i ) = c 0 (X i )h i + c 1 (X i ) B i. Milstein-Verfahren: (+ h )/ X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i b(x i)b (X i )(( B i ) 2 h i )

23 Positivitätserhaltende stochastische Integration II Stochastisches Euler-Verfahren: / X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i Balanced Implizites-(Euler)-Verfahren [Schurz 1996]: +/(+ ε ) X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i + (X i X i+1 )C i (X i ) C i (X i ) = c 0 (X i )h i + c 1 (X i ) B i. Milstein-Verfahren: (+ h )/ X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i b(x i)b (X i )(( B i ) 2 h i ) Drift-implizites Milstein-Verfahren: +/(+ h ) X i+1 = X i + h i a(x i+1 ) + b(x i ) B i b(x i)b (X i )(( B i ) 2 h i )

24 Inhalt Modellierung von Zinsderivaten Ein Beispiel: Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf Libor-Market Modelle Positivitätserhaltende stochastische Integration Numerische Ergebnisse Ausblick

25 Numerische Testergebnisse: Preisen von Caplets Libor-Market Modell für Forward Rates (α = 1/2 bzw. α = 3/2) df k (t) = σ k (t) V (t)f k (t) α k db T k+1 mit t < T k Test auf schwache Konvergenz δk B(t, T k+1 )E [ (F k (T k ) K) +] δ }{{} k B(t, T k+1 )E [ (Fk N (T k ) K) +] C(t) Error vs. Computational time Error vs. Computational time Euler Milstein Log Euler Euler Milstein Log Euler 10 0 Error Error Time (seconds) Time (seconds)

26 Mean Reverting: dx t = (1 X t )dt X t db t, X 0 = 1 Euler BIM Milstein impl. Milstein Zeit Schrittweite Fehler Negativ Fehler Negativ Fehler Negativ Fehler Negativ t = % % % % T = 1 t = % % % % t = % % % % t = % % % % T = 2 t = % % % % t = % % % % t = % % % % T = 4 t = % % % % t = % % % %

27 Inhalt Modellierung von Zinsderivaten Ein Beispiel: Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf Libor-Market Modelle Positivitätserhaltende stochastische Integration Numerische Ergebnisse Ausblick

28 Ausblick Mean-Reverting Prozesse & Balanced Milstein-Verfahren (BMM) dv (t) = κ(ϑ V (t))dt + ɛv (t) β dz BMM Milstein + Term: +d 0 (V i )h i + d 1 (V i )(( B i ) 2 h i ) mit d 0 (x) = ακ ɛ2 p x 2p 2, d 1 (x) = 0 und Schrittweitenbegrenzung h i < 2p 1 2pκ(1 α) Zwei-Faktoren Modelle (korreliert: db t dz t = ρdt): ds t = µ(t)s t dt + V p t db t dv t = a(v t )dt + b(v t )dz t Ziel: schnelles (hohe Ordnung) und strukturerhaltendes Verfahren aber: nur eine Simulation von db t und dz t, keine Doppelintegrale!

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