Modellierung der Zinsstruktur mit Mehrfaktor Short-Rate Modellen

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1 Masterarbeit Modellierung der Zinsstruktur mit Mehrfaktor Short-Rate Modellen Modelling of the termstructure by Multifactor Short-Rate Models Fachbereich 0 - Mathematik und Informatik Institut für Mathematische Statistik Westfälische Wilhelms-Universität Münster Von Sven Gohlke Matrikelnummer Borken, Erstgutachter: PD Dr. Volkert Paulsen

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung und Überblick 4 2 Einführung 5 2. Short-Rate Modelle Merton s Model Das Vasicek-Modell Das CIR-Modell Faktor Short-Rate Modelle 8 3. Das 2-Faktor Vasicek-Modell Das kanonische 2-Faktor Vasicek-Modell Bondpreise im 2-Faktor Vasicek-Modell Darstellung mit realwirtschaftlichen Faktoren Das 2-Faktor CIR-Modell Bondpreise im 2-Faktor CIR-Modell Das Mixed Model n-faktor Short-Rate Modelle Das n-faktor Vasicek-Modell Das kanonische n-faktor Vasicek-Modell Bondpreise im n-faktor Vasicek-Modell Darstellung mit realwirtschaftlichen Faktoren Das n-faktor CIR-Modell Bondpreise im n-fator CIR-Modell Derivatpreise im n-faktor Vasicek-Modell Verteilung der Short-Rate Call-Option Basket-Option Caps Swaptions Kalibrierung eines 3-Faktor Vasicek-Modells Kalibrierung mithilfe von Bondpreiskurven Beispiele Vergleich mit dem 2-Faktor Vasicek-Modell Anhang Lemma Lemma Lemma

3 Inhaltsverzeichnis 7.4 Invertieren der Matrix M 3-Faktor Modell Invertieren der Matrix M 2-Faktor Modell R-Code für das 3-Faktor Vasicek-Modell R-Code für das 2-Faktor Vasicek-Modell Quellen 87 Eidesstattliche Erklärung 88 3

4 Kapitel Einleitung und Überblick In dieser Arbeit werden wir uns mit der Modellierung der Zinsstruktur anhand von Mehrfaktor Short-Rate Modellen beschäftigen. Short-Rate Modelle sind Finanzmarktmodelle, bei denen als Ausgangspunkt immer die Dynamik des Momentanzinses der Short-Rate betrachtet wird. Aus dieser werden dann Schlüsse zur Berechnung der Preise von Nullkouponanleihen oder Zero- Coupon-Bonds gezogen und weiter die Preise verschiedener Finanzmarktderivate abgeleitet. Über unterschiedliche Marktgrößen kann dann eine Kalibrierung des Modells erfolgen, sodass das Modell selbst als Simulationsgrundlage für den entsprechenden Markt herangezogen werden kann. Dazu werden wir in Kapitel 2 zunächst einmal Allgemeines über Short-Rate Modelle erfahren sowie auch verschiedene spezielle Modelle dieser Gattung kennenlernen. Dabei beschränken wir uns zunächst noch auf lediglich einen treibenden Zufallsprozess. In Kapitel 3 lernen wir dann eine Möglichkeit kennen, ausgewählte Short-Rate Modelle auf zwei treibende Zufallsprozesse, respektive einen 2-dimensionalen, auszudehnen, um komplexere Marktstrukturen abbilden zu können. Außerdem formulieren wir in diesen Modellen explizite Lösungen für die Bondpreisberechnung. Da dies aber noch nicht reicht, beschäftigen wir uns in Kapitel 4 mit der Ausdehnung auf einen n-dimensionalen Zufallsprozess, sodass für jede benötigte Komplexität im Zufall ein Modell zur Hand ist. Hier werden wir mit der Berechnung von Bondpreisen einen Brücke zu Kapitel 5 schlagen, in dem wir uns mit der Berechnung unterschiedlicher Derivatpreise auf Grundlage des Short-Rate Modells von Vasicek mit n-dimensionalem Zufallsprozess beschäftigen. Abschließend betrachten wir in Kapitel 6 die Kalibrierung eines 3-Faktor Vasicek-Modells anhand von fiktiven Marktdaten, beobachten den Einfluss verschiedener Modellparameter auf die Bondpreiskurve und betrachen zum Vergleich die Möglichkeiten, die uns ein 2-Faktor Vasicek-Modell bei der Kalibrierung bietet. 4

5 Kapitel 2 Einführung 2. Short-Rate Modelle Short-Rate Modelle sind Finanzmarktmodelle, bei denen die momentane Zinsrate die Short-Rate jegliche Informationen über die Zinsstruktur des Modells enthält. Grundlegende Annahme eines Short-Rate-Modells ist immer, dass die Short-Rate ein Diffusionsprozess der Form drt = αt, Rtdt + βt, RtdW t ist, wobei W t ein eindimensionaler Wiener-Prozess bezüglich des realen Maßes P ist. Wir können Short-Rate-Modelle nach verschiedenen Gesichtspunkten klassifizieren, für die wir uns die Short-Rate-Dynamik unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß P ansehen müssen. Nehmen wir an, die Funktion λt, Rt beschreibt den Marktpreis des Risikos. Dann stellt sich die Short-Rate-Dynamik dar als drt = α t, Rtdt + βt, Rtd W t, wobei α t, Rt = αt, Rt λt, Rtβt, Rt und W ein eindimensionaler Wiener-Prozess bezüglich des risikoneutralen Maßes ist. Wir bezeichnen ein Short-Rate-Modell als zeithomogen, falls α und β nur Funktionen der Short-Rate sind. Das bedeutet, dass die Dynamik der Zinsrate immer nur vom momentanen Zustand abhängt und nicht von der Zeit, zu der sie diesen Zustand erreicht. So hängen dann auch die Preise von Zero- Coupon-Bonds Bt, T nur von Rt und der Restlaufzeit T t ab. Ist ein Modell nicht zeithomogen, nennt man es zeitinhomogen. In dieser Arbeit beschränken wir uns auf die Betrachtung zeithomogener Modelle, da dies eine Eigenschaft ist, die ein Modell, das einen realen Markt darstellen soll, haben sollte. Eine zweite Art zur Klassifizierung von Short-Rate Modellen ist die Affinität. Man bezeichnet ein solches Modell als affin, falls α und β 2 affine Funktionen der Short-Rate sind. Zunächst wollen wir uns einige Beispiele von -Faktor-Short-Rate Modellen ansehen. 5

6 2.. Short-Rate Modelle 2.. Merton s Model In Merton s Short-Rate-Modell ist die angenommene Short-Rate-Dynamik drt = αdt + βd W t mit α, β konstant. Dieses recht puristische Modell liefert aufgrund seiner konstanten Drift wenig brauchbare Eigenschaften zur Modellierung eines realen Marktes. Von daher werden wir uns auch damit nicht näher befassen Das Vasicek-Modell Das -Faktor Vasicek-Modell ist ein Short-Rate-Modell, bei dem sich die Short-Rate als Ornstein-Uhlenbeck-Prozess präsentiert oft auch Vasicek-Prozess genannt, nach diesem Modell, i.e. drt = αθ Rtdt + βdw t mit α, β, θ > 0 konstant. Im Gegensatz zu Merton s Modell folgt die Drift einer sogenannten "mean reversion", die Short-Rate wird also durch den Driftterm immer wieder auf das mean-reversion-level θ zu getrieben. Hohe Zinsraten tendieren zum Fallen, niedrige zum Steigen. Ein weiterer Vorteil des Vasicek-Modells ist die Tatsache, dass es gaussch ist, das die Short-Rate also normalverteilt ist unter P mit Erwartungswert αt t θ + Rt θe und Varianz β 2 e 2αT t. 2α Sie kann also mit positiver Wahrscheinlichkeit neagtiv werden. Für den Bondpreis im -Faktor Vasicek-Modell ergibt sich Bt, T = exp ht t rtgt t mit g, h : [0, R hs = θ β2 β 2 2α 2 s + α 2 θ e αs α β2 e αs 2α 2 2α gs = e αs α Dieser erfüllt die stochastische Differentialgleichung dbt, T = Bt, T Rtdt gt tβdw t Das Vasicek-Modell wird der zentrale Bestandteil dieser Arbeit sein. 6

7 2.. Short-Rate Modelle 2..3 Das CIR-Modell Das Cox-Ignersoll-Ross-Modell, kurz CIR-Modell, stellt ein weiteres Beispiel für ein Short-Rate-Modell dar. Es zeichnet sich dadurch aus, dass die Short- Rate-Volatilität in diesem Modell, im Gegensatz zu den zuvor aufgeführten, nicht konstant ist, sondern von Rt abhängt: drt = αθ Rtdt + β RtdW t mit α, β, θ > 0 konstant. Auch hier finden wir die "mean reversioneigenschaft wieder, die die Short- Rate in Richtung θ treibt. Besonderheit des CIR-Modells ist der Rt-Term in der Short-Rate-Volatilität. Dieser stellt sicher, dass die Short-Rate nicht negativ werden kann. Ist das CIR-Modell affin? Nun, der Marktpreis des Risikos beläuft sich hier auf λt, Rt = λ Rt β, wobei λ konstant ist. Betrachten wir nun die Drift unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß P, so ergibt sich: α t, Rt = αt, Rt βt, Rtλt, Rt = αθ Rt β Rt λ Rt β = αθ αrt λrt = αθ Rtα + λ Das CIR-Modell ist somit affin. Im Folgenden wollen wir nun sogenannte 2-Faktor Short-Rate-Modelle konstruieren, also Modelle, bei denen die Short-Rate von einem 2-dimensionalen Wiener-Prozess getrieben wird, wir also gleich 2 abhängige oder unabhängige Quellen des Zufalls haben. Wir wollen in diesen Modellen auch Formeln und Vorraussetzungen für die Bondpreisberechnung herleiten. 7

8 Kapitel 3 2-Faktor Short-Rate Modelle In diesem Kapitel wollen wir uns auf das Vasicek-Modell und das CIR-Modell konzentrieren. Dabei wollen wir beide Modelle jeweils um einen Faktor komplexer machen, das heißt, den jeweiligen Zufall in den Modellen nicht mehr nur von einem Wiener-Prozess, sondern von zwei verschiedenen treiben lassen. Das wird auch die Anzahl an Parametern in den Modellen erhöhen, sodass wir durch mehr Stellschrauben und komplexere Bewegungen den realen Markt präzieser simulieren können. Dies führt dann natürlich dazu, dass Bond- und/oder Derivatpreise besser berechnet werden können. Dabei werden wir Formeln für Bondpreise direkt herleiten, behalten uns die Bestimmung von Derivatpreisen aber für spätere Abschnitte vor, in denen dies dann gleich für n Faktoren hergeleitet wird. Desweiteren wollen wir am Ende dieses Kapitels noch das sogenannte Mixed Model vorstellen, bei dem die Short-Rate-Dynamik eine Kombination aus einem Ornstein-Uhlenbeck- und einem CIR-Prozess ist. 8

9 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell 3. Das 2-Faktor Vasicek-Modell Zunächst sehen wir uns einen 2-dimensionalen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess an. Dieser hat die Dynamik mit dxt = A F Xt dt + ΣdBt X t Xt =, A = X 2 t σ 0 Σ = 0 σ 2 a, F = a 2, Bt = b b 2, b 2 b 22 B t B 2 t wobei B, B 2 Wiener Prozesse mit konstanter Korrelation ψ, und σ, σ 2 > 0 sind. Weiter muss F invertierbar und diagonalisierbar sein, sowie, wie wir später sehen werden, nur Eigenwerte > 0 besitzen. Wir wollen uns in diesem Kapitel verstärkt in der Komponentenschreibweise bewegen und in späteren Kapiteln beim n-faktor Vasicek-Modell ausschließlich in der Vektorschreibweise. Es ergibt sich für unseren Prozess:, dx t = a b X t b 2 X 2 t dt + σ db t dx 2 t = a 2 b 2 X t b 22 X 2 t dt + σ 2 db 2 t Die Zinsrate soll weiterhin Funktion der Faktoren X, X 2 sein, also Rt = µ 0 + µ X t + µ 2 X 2 t Im Folgenden soll die Anzahl der Modellparameter reduziert werden, sodass die Verteilung von Rt eindeutig ist. Dazu wird die Matrix F auf eine untere Dreiecksmatrix reduziert. Außerdem wollen wir für unseren Prozess unabhängige Wiener-Prozesse als Zufallsfaktor nutzen. Das führt uns dann zum sogenannten "kanonischen 2-Faktor Vasicek-Modell". 9

10 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell 3.. Das kanonische 2-Faktor Vasicek-Modell Das kanonische 2-Faktor Vasicek Modell hat die Gestalt: dy t = λ Y tdt + d W t dy 2 t = λ 2 Y t λ 2 Y 2 tdt + d W 2 t Rt = ν 0 + ν Y t + ν 2 Y 2 t wobei W t, W2 t unabhängige Wiener Prozesse sind. λ und λ 2 sind die im vorherigen Abschnitt bereits erwähnten Eigenwerte der Matrix F und somit > 0. Außerdem soll λ λ 2 gelten und ν 0, ν, ν 2 R Wie aber erhält man diese Darstellung? Zuerst stellen wir fest, dass zur Matrix F eine invertierbare Matrix P, sowie eine Diagonalmatrix D = diag{λ, λ 2 } existiert, sodass F = P DP Die Eigenwerte von F sind also die Diagonaleneinträge von D. Lineare Transformation liefert dann mit Xt = P Xt, oder dp Xt = P A P F Xt dt + P ΣdBt = P A DP Xt dt + P ΣdBt Also dxt = P A DXt dt + P ΣdBt dx t = p a + p 2 a 2 dt λ X tdt + p σ db t + p 2 σ 2 db 2 t dx 2 t = p 2 a + p 22 a 2 dt λ 2 X 2 tdt + p 2 σ db t + p 22 σ 2 db 2 t. Nun definieren wir mit B i t = γi p i σ B t + p i2 σ 2 B 2 t, i =, 2 γ i := p 2 iσ 2 + 2ψp i p i2 σ σ 2 + p 2 i2σ 2 2 > 0, i =, 2 Nach Lemma 7. im Anhang gilt γ i > 0, i =, 2 Da die B i stetige Martingale sind, die aus der 0 starten, gilt dies offensichtlich auch für die B i. Weiter gilt: t 2 B i = B i 2 B i sdb i s 0 = γ i p i σ B t + p i2 σ 2 B 2 t 2 [ p 2 iσ 2 t 0 B sdb s + p 2 i2σ 2 2 t + p i p i2 σ σ 2 B sdb 2 s + 0 t 0 t 0 B 2 sdb 2 s ] B 2 sdb s = γ i [ pi σ B t + p i2 σ 2 B 2 t 2 p 2 iσ 2 B t 2 t p 2 i2σ 2 2B 2 t 2 t 0

11 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell = t 2p i p i2 σ σ 2 B tb 2 t ψt] Nach Levy sind damit B und B 2 Wiener Prozesse. Mit ähnlichem Vorgehen mithilfe der Polaristionsformel für die quadratische Kovariation kann gezeigt werden: B, B 2 t = ρt. Lemma 7. aus dem Anhang sagt weiterhin aus, dass ρ = γ γ 2 p p 2 σ 2 + ψp p 22 + p 2 p 2 σ σ 2 + p 2 p 22 σ 2 2,. Wir können jetzt also formulieren: dx t = p a + p 2 a 2 dt λ X tdt + γ db t dx 2 t = p 2 a + p 22 a 2 dt λ 2 X 2 tdt + γ 2 db 2 t Zur weiteren Vereinfachung des Modells setzen wir nun: X t = X t p a + p 2 a 2 γ Das liefert dann: dx t = γ dx t und λ X 2 t = X 2 t p 2a + p 22 a 2 γ2 λ 2 = p a + p 2 a 2 dt λ X tdt + db t γ = p a + p 2 a 2 dt λ X t γ + p a + p 2 a 2 dt + db t γ λ = λ X t + db t dx 2 t = γ2 dx 2 t = p 2 a + p 22 a 2 dt λ 2 X 2 tdt + db 2 t γ2 γ2 = p 2 a + p 22 a 2 dt γ2 λ 2 X 2 t + p 2a + p 22 a 2 dt + db 2 t γ2 γ2 λ 2 = λ 2 X 2 tdt + db 2 t Definieren wir nun: W t = B t W 2 t = ρb t + B 2 t ρ 2 Diese sind stetige Martingale und es gilt: W t = t, W 2 t = t und W, W2 t = 0,

12 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell W t = t offensichtlich, die anderen beiden ergeben sich durch einsetzen und ausrechnen. Nach Levy sind W, W2 somit unabhängige Wiener-Prozesse. Weiter definieren wir analog: Y t = X t was uns folgende Dynamiken liefert: dy t = dx t dy 2 t = = λ X tdt + db t = λ Y tdt + d W t ρ 2 = = = = Y 2 t = ρx t + X 2 t, ρ 2 ρdx t + dx 2 t ρ λ X tdt + db t λ 2 X 2 tdt + db 2 t ρ 2 ρλ X t λ 2 X 2 t dt + ρdb t + db 2 t ρ 2 ρ 2 ρλ Y tdt λ 2 Y 2 t + ρ ρ 2 [λ λ 2 ] Y tdt λ 2 Y 2 tdt + d W 2 t ρy t dt + d W 2 t ρ 2 Nennen wir nun ρ ρ 2 [λ λ 2 ] =: λ 2 so ergeben sich die Dynamiken: dy t = λ Y tdt + d W t dy 2 t = λ 2 Y tdt λ 2 Y 2 tdt + d W 2 t In einem letzten Schritt bleibt jetzt noch herzuleiten. Dafür stellen wir Y t = Rt = ν 0 + ν Y t + ν 2 Y 2 t Y t in Abhängigkeit von Xt = Y 2 t Y t =X t = γ X t p a + p 2 a 2 Y 2 t = ρ 2 λ ρ X t p a + p 2 a 2 γ λ + X 2 t p 2a + p 22 a 2 γ2 λ 2 ρ = X t p a + p 2 a 2 γ ρ 2 λ X t dar: X 2 t 2

13 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell + Definieren wir uns nun M = so gilt also: Umformen liefert: X 2 t p 2a + p 22 a 2 γ2 ρ 2 λ 2 γ 0 ρ γ ρ 2 γ2 ρ 2 und N = Y t = MXt + N = MP Xt + N M Y t = P Xt + N P M Y t N = Xt p a +p 2a 2 λ p 2a +p 22 a 2, λ 2 Also gilt mit Rt = µ 0 + µ µ 2 Xt aus dem nicht-kanonischen 2-Faktor Vasicek Modell und mit ν 0 = µ 0 µ µ 2 P N, ν ν 2 = µ µ 2 P M : Rt = µ 0 + µ µ 2 Xt = µ 0 + µ µ 2 P M Y t µ µ 2 P N = ν 0 + ν ν 2 Y t Wir haben also das kanonische Modell vom Anfang des Abschnitts vollständig hergeleitet. Bemerkung 3.2. Wir haben hier bereits gesehen, dass die Eigenwerte, der am Anfang auftauchenden Matrix F den Diagonalwerten der Matrix Λ = λ 0 entsprechen. Diese müssen strikt positiv sein, damit das kanonische Modell die mean reversion-eigenschaft erfüllt. Das werden wir in einem λ 2 λ 2 späteren Kapitel für das allgemeine n-faktor Vasicek-Modell beweisen. Nun können wir erst einmal in einem weiteren Schritt die Preise von Zero- Coupon-Bonds im kanonischen 2-Faktor Vasicek-Modell ermitteln. 3

14 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell 3..2 Bondpreise im 2-Faktor Vasicek-Modell Durch die risikoneutrale Preisformel wissen wir bereits, dass sich für den Preis eines Zero-Coupon-Bonds in t, der eine Auszahlung von zur Fälligkeit T liefert, folgende Formel ergibt: [ ] T Bt, T = Ẽ exp Rudu F t Wir wissen weiter, dass Rt im kanonischen 2-Faktor Vasicek Modell eine Funktion von Y, Y 2 und t ist und diese als Lösungen der stochastischen Differnetialgleichungen dy t = λ Y tdt + d W t dy 2 t = λ 2 Y tdt λ 2 Y 2 tdt + d W 2 t markovsch sind. Daraus folgt, dass eine Funktion ft, y, y 2 existiert, mit ft, y, y 2 = Bt, T t Weiter sei Dt = exp t 0 Rudu Betrachten wir nun die Dynamik von DtBt, T, so folgt mit partieller Integration, der Ito-Fromel und f := ft, Y t, Y 2 t: ddtbt, T =ddtf =fddt + Dtdf = RtDtfdt + Dtdf =Dt [ Rtfdt + df] [ Rtfdt + d dt fdt + d dy fdy + d dy 2 fdy 2 =Dt + d 2 fd Y + d 2 fd Y, Y 2 + d 2 ] fd Y 2 2 dy Y 2 dy Y 2 2 dy 2 Y 2 und mit den stochastischen Differentialgleichungen unseres kanonischen Modells [ = Dt ν 0 + ν Y + ν 2 Y 2 f + df dt λ df df df Y λ 2 Y λ 2 Y 2 dy dy 2 dy 2 + d 2 f + d 2 ] [ f df dt + Dt d 2 dy Y 2 dy 2 Y 2 dy W t + df ] d dy W 2 t. 2 DtBt, T ist aber ein P -Martingal, denn Ẽ[DtBt, T F s ] =Ẽ[DtẼ[DT Dt F t] F s ] =Ẽ[Ẽ[DT F t] F s ] 4

15 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell =Ẽ[DT F s] =DsẼ[DT Ds F s] =DsBs, T Folglich muss in obiger Dynamik der dt-term = 0 sein. Also 0 = ν 0 + ν y + ν 2 y 2 f + df dt λ df df y λ 2 y dy dy 2 df λ 2 y 2 + d 2 f + d 2 f 3. dy 2 2 dy y 2 dy 2 y 2 t [0, T, y, y 2 R, mit f := ft, y, y 2 Außerdem gilt = BT, T = ft, y, y 2 y, y 2 R als Endbedingung. Als Lösung für 3. suchen wir eine Funktion f der Form ft, y, y 2 = exp y C τ y 2 C 2 τ Aτ mit τ := T t als Restlaufzeit und C, C 2, A beliebige Funktionen. Aus der Endbedingung folgt direkt = ft, y, y 2 = exp y C 0 y 2 C 2 0 A0 C 0 = C 2 0 = A0 = 0 Da weiter auch noch gilt, dass dc i τ dt und analog für A erhalten wir: = dc iτ dτ dτ dt = dc iτ dτ daτ dt dt t dt = daτ, dτ df dt = dc y dτ + y dc 2 2 dτ + da f dτ df = C f dy df = C 2 f dy 2 d 2 f = C dy y f 2 d 2 f = C dy 2 y 2f 2 2 d 2 f = C C 2 f dy y 2 = dc iτ, i =, 2 dτ Setzen wir dies nun in unsere Bedingung 3. ein, so ergibt sich nach Faktorisieren: dc 0 = f dτ + λ C + λ 2 C 2 ν y }{{} i dc2 + y 2 dτ + λ 2C 2 ν 2 }{{} ii 5

16 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell da + dτ + 2 C2 + 2 C2 2 + ν 0 }{{} iii Nun benutzen wir Lemma 7.2 aus dem Anhang und erhalten ein System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen: dc τ = λ C τ λ 2 C 2 τ + ν dτ dc 2 τ = λ 2 C 2 τ + ν 2 dτ 2 und für Funktion A daτ dτ = 2 C2 τ 2 C2 2τ + ν 0 3 Mit der Anfangsbedingung C 2 = 0 wird 2 gelöst von C 2 τ = ν 2 λ 2 e λ 2τ, denn: dc 2 τ dτ = ν 2 λ 2 λ 2 e λ 2τ = ν 2 e λ 2τ = ν 2 e λ 2τ + ν 2 = λ 2 C 2 τ + ν 2 Dies können wir nutzen, um zu lösen: Hier ist die Anfangsbedingung C 0 = 0 und es gilt d dτ eλ τ C τ = λ e λτ C τ + e λ τ dc τ [ dτ = e λ τ λ C τ + dc ] τ dτ Da wir λ λ 2 vorausgesetzt haben, ist C τ =e λ τ e λ τ C τ τ =e λ d τ 0 τ =e λ τ e λ u =e λ τ =e λ τ 0 du eλ u C udu [ λ 2ν 2 λ 2ν 2 λ 2 λ 2ν 2 λ 2 =e λτ λ 2ν 2 λ 2 τ 0 τ +ν [ λ e λ τ λ ] = e λτ [ λ 2 C 2 τ + ν ] [ = e λτ λ ] 2ν 2 e λ2τ + ν λ 2 λ 2 e λ 2u + ν 0 ] du e λ u e λ 2u du + ν [ λ e λ τ λ ] τ e λu du [ λ e λτ λ 0 =e λτ Λ e λ τ ν λ 2ν 2 λ 2 [ ] e λ λ 2 u du + ν e λ λτ λ ] λ λ 2 e λ λ2τ λ λ 2 λ 2 ν 2 e λ λ2τ λ 2 λ λ 2

17 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell = e λ τ ν λ 2ν 2 λ 2 ν 2 + e λ 2 τ e λ τ λ λ 2 λ 2 λ λ 2 Damit lösen wir dann 3 Aτ = τ auf. In der Berechungsformel für den Bondpreis 0 2 C2 u 2 C2 2u + ν 0 du Bt, T = exp Y tc τ Y 2 C 2 τ Aτ kennen wir nun also C, C 2 und A. Für eine mögliche Kalibrierung des Modellls benötigen wir also noch Y und Y 2. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie wir diese Faktoren aus realen Marktwerten ableiten können Darstellung mit realwirtschaftlichen Faktoren Die Faktoren Y und Y 2 aus dem kanonischen Modell haben leider keine adäquate ökonomische Interpretation. Wir können sie also für eine Modellkalibrierung nach Bondpreiskurvenvergleich nicht einfach aus dem realen Markt ablesen. Deshalb wollen wir in diesem Kapitel einen Zusammenhang zwischen Y, Y 2 und den ökonomisch erfassbaren Werten Rt und Lt herleiten. Lt bezeichnet dabei die sogenannte Long-Rate, also die realtive Zinsrate über einen festen Zinszeitraum τ. Wir kennen bereits den Zusammenhang von Short-Rate Rt und unseren Modellfaktoren Y i t: Rt = ν Y t + ν 2 Y 2 t + ν 0 Für die Bestimmung der Long-Rate ziehen wir die Bondpreisformel Bt, T = exp Y tc T t Y 2 tc 2 T t AT t heran, sodass sich folgendes Bild ergibt: Lt = τ logbt, t + τ = τ [Y tc τ + Y 2 tc 2 τ + A τ] In Vektorschreibweise fassen wir zusammen Rt ν ν = 2 Lt τ C τ τ C 2 τ }{{} =:M Y t Y 2 t ν0 + τ } A τ {{} =:v * M ist dabei invertierbar Beweis bzw. Durchführung im Anhang, sodass sich Y t nach Y t = auflösen lässt: Y 2 t Rt = M Lt Y t + v M Rt v = Y 2 t Lt Y t Y 2 t Wir wollen nun noch die Dynamiken von Rt und Lt betrachten. 7

18 3.. Das 2-Faktor Vasicek-Modell Rt d Lt Y t = Md Y 2 t [ ] λ 0 Y t d W t = M dt + λ 2 λ 2 Y 2 t d W 2 t [ [ ] ] λ 0 = M M Rt d W t v dt + λ 2 λ 2 Lt d W 2 t [ ] λ 0 = M M Rt λ 0 + M M v dt + M λ 2 λ 2 Lt λ 2 λ 2 d W t d W 2 t Aus den Marktdaten Short-Rate und Long-Rate und aus den Modellparametern kann also der Bondpreis vollständig errechnet werden. Andersrum ist es aber nun auch möglich aus Short- und Long-Rate, sowie den am Markt beobachtbaren Anfangspreisen von Bonds verschiedener Laufzeiten, die Modellparameter so zu bestimmen, dass das Modell den realen Markt möglichst gut wiedergibt. Damit werden wir uns in Kapitel 5 ausführlich befassen. Zunächst sehen wir uns allerdings einmal als Alternative das 2-Faktor CIR- Modell an und stellen eine Formel für Bondpreise auf. 8

19 3.2. Das 2-Faktor CIR-Modell 3.2 Das 2-Faktor CIR-Modell Im Gegensatz zum 2-Faktor Vasicek-Modell sind beim 2- Faktor CIR-Modell beide Faktoren zu jedem Zeitpunkt nicht-negativ, sodass bei richtiger Wahl der Parameter auch die Short-Rate zu jedem Zeitpunkt nicht-negativ ist. Die Faktoren im kanonischen 2-Faktor CIR-Modell sind dy t = µ λ Y t λ 2 Y 2 t dt + Y td W t dy 2 t = µ 2 λ 2 Y t λ 22 Y 2 t dt + Y 2 td W 2 t W und W 2 sind hier unabhängige Wiener-Prozesse. Wieso diese unabhängig sein müssen, wird später in der Preisberechnung deutlich werden. Damit Y t, Y 2 t 0 t müssen wir noch Forderungen an die Modellparameter stellen: Starten wir mit Y 0, Y und beobachten den kritischen Zeitpunkt t, in dem einer der Faktoren, z.b. Y t = 0 erreicht. Hier gilt für dessen Driftterm: µ λ Y t λ 2 Y 2 t 0 wenn man µ 0, λ > 0 und λ 2 < 0 voraussetzt, da Y 2 t 0 gilt. Sollte Y 2 t = 0 gelten für einen Zeitpunkt t, so erreichen wir analog für dessen Driftterm: µ 2 λ 2 Y t λ 22 Y 2 t 0 wenn µ 2 0, λ 22 > 0 und λ 2 < 0 vorausgesetzt wird. Das führt dazu, dass Y t, Y 2 t 0 sind für alle t. Nimmt man nun noch an, dass ν 0 > 0, ν, ν 2 0 in gilt, so gilt Rt 0 t. Rt = ν 0 + ν Y t + ν 2 Y 2 t 3.2. Bondpreise im 2-Faktor CIR-Modell Wie beim 2-Faktor Vasicek-Modell nutzen wir die risikoneutrale Preisformel [ ] T Bt, T = Ẽ exp Rudu F t, suchen eine Funktion f mit ft, y, y 2 = Bt, T t und definieren Dt := exp, 0 Rudu sodass ddt = DtRtdt gilt. Es ergibt sich: d DtBt, T = d Dtf = fddt + Dtdf = RtDtfdt + Dtdf t = Dt [ Rtfdt + df] [ = Dt ν 0 + ν Y t + ν 2 Y 2 t f + d dt f 9

20 3.2. Das 2-Faktor CIR-Modell + µ λ Y t λ 2 Y 2 t d dy f + µ 2 λ 2 Y t λ 22 Y 2 t d f dy Y d 2 t f + dy y 2 Y d 2 ] 2t f dt dy 2 y 2 [ Y + Dt t d fd dy W t + Y 2 t d ] fd dy W 2 t 2 Der d Y, Y 2 t-teil fällt weg, da W, W 2 unabhängig sind. Wäre das nicht der Fall, wäre der gleich folgende Wechsel zu gewöhnlichen Differentialgleichungen nicht möglich und die Preisberechnung somit ebenfalls nicht. Der dt-teil muss nun = 0 sein, da DtBt, T ein P -Martingal ist. Somit muss t und y, y 2 0 gelten: ν 0 + ν y t + ν 2 y 2 t f + d dt f + µ λ y t λ 2 y 2 t d dy f + µ 2 λ 2 y t λ 22 y 2 t d f + + dy 2 2 y t f + dy y 2 y 2t f = 0 dy 2 y 2 Die Lösung f soll wieder die Form haben: ft, y, y 2 = exp y C T t y 2 T t AT t für Funktionen C τ, C 2 τ, Aτ, τ := T t. Die Anfangsbedingung ft, Y T, Y 2 T = BT, T = liefert wieder C 0 = C 2 0 = A0 = 0. Die benötigten Ableitungen von f sind aus dem 2-Faktor Vasicek Modell bekannt, sodass uns das Einsetzen dieser folgende Gleichung liefert: [ d 0 = f y dτ C + λ C + λ 2 C C2 ν d + y 2 dτ C 2 + λ 2 C + λ 22 C C2 2 ν 2 ] d + dτ A µ C µ 2 C 2 + ν 0 Da dies für alle y, y 2 0 gelten soll, folgt mit Lemma 7.2 im Anhang, dass alle runden Klammern = 0 sein müssen. Man erhält folgendes System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen: d dτ C = λ C λ 2 C 2 2 C2 + ν d dτ C 2 = λ 2 C λ 22 C 2 2 C2 2 + ν 2 und weiterhin d 2 d dτ A = µ C + µ 2 C 2 ν 0 Löst man diese nun auf, so erhält man mit Bt, T = exp y C T t y 2 T t AT t d 2 20

21 3.3. Das Mixed Model die Bondpreise im 2-Faktor CIR-Modell. Da diese in dieser Arbeit aber nicht zur Preisberechnung von Derivaten herangezogen werden, werden sie an dieser Stelle auch nicht explizit berechnet. 3.3 Das Mixed Model Nachdem wir nun die 2-Faktor Versionen des Vasicek- und des CIR-Modells kennengelernt haben, wollen wir uns nun einmal ansehen, wie man diese beiden Modellansätze kombinieren kann. Dabei entsteht das sogenannte Mixed Model. Während beim 2-Faktor CIR-Modell dafür gesorgt wurde, dass beide Short-Rate-treibenden Prozesse zu jeder Zeit nicht-negativ sind, war es diesen beim Vasicek-Modell möglich, negativ werden. Im Mixed Model soll nun ein Faktor niemals negativ sein, während dies dem zweiten Faktor im Sinne von Vasicek möglich sein soll. Als Differentialgleichungen formulieren wir dy t = a λ Y t dt + Y tdw t dy 2 t = λ 2 Y 2 tdt + σ Y tdw t + α + βy tdw 2 t mit W, W 2 unabhängige Wiener-Prozesse, α, β, a 0, λ, λ 2 > 0 und σ R. Die Short-Rate ist dabei wieder durch eine Linearkombination der Faktoren gegeben: Rt = µ 0 + µ Y t + µ 2 Y 2 t mit µ 0, µ, µ 2 R Startet Y 0 0, so bleibt der Prozess analog zum CIR-Modell nicht-negativ. Y 2 t hingegen ist durch 0 in keinster Weise beschränkt. Wir wollen es in diesem Modell bei dieser kurzen Vorstellung belassen, da es eher einen theoretischen Reiz hat und seine Anwendungsmöglichkeiten sehr beschränkt sind. Stattdessen wollen wir uns nun den n-faktor Modellen zuwenden. 2

22 Kapitel 4 n-faktor Short-Rate Modelle Die Erweiterung der -Faktor Short-Rate Modelle von Vasicek bzw. Cox,Ignersoll und Ross auf zwei unabhängige treibende Zufallsprozesse hat uns durch größere Parameteranzahlen mehr Flexibilität in der Marktanpassung geliefert. Der logische nächste Schritt ist es nun, die Modelle für n Faktoren zu formulieren und auch dort Preisformeln aufzustellen, um eine Kalibrierung möglich zu machen. Das wollen wir in diesem Kapitel nun einmal tun. Dabei legen wir, wie auch schon bei den 2-Faktor Modellen, verstärktes Augenmerk auf das Vasicek-Modell. 22

23 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell 4. Das n-faktor Vasicek-Modell Wir gehen hier analog zum 2-Faktor Modell vor. Ausgangspunkt ist also ein n-dimensionaler Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit Bt = B t. B n t, A = dxt = A F Xtdt + ΣdBt a. a n, F = b... b n..... b n... b nn, Σ = σ σ n B,..., B n sind dabei Wiener-Prozesse mit paarweisen Korrelationen ψ jk,, σ,..., σ n > 0 Weiter gilt für Matrix F, dass sie invertierbar und diagonalisierbar sein muss, sowie nur postive paarweise verschiedene Eigenwerte besitzen darf. Die Begründung dafür folgt am Ende dieses Abschnittes. In komponentenweiser Schreibweise bedeutet dies dx t = a b X t b 2 X 2 t b n X n t dt + σ db t dx 2 t = a 2 b 2 X t b 22 X 2 t b 2n X n t dt + σ 2 db 2 t... dx n t = a n b n X t b n2 X 2 t b nn X n t dt + σ n db n t Außerdem gilt für die Short-Rate Rt = µ 0 + µ X t + + µ n X n t Wir werden die Anzahl der Parameter dieses überparametrisierten Modelles im Folgenden wieder senken, indem wir die Matrix F in eine untere Dreiecksmatrix überführen. Gleichzeitig sorgen wir dafür, dass das Modell mit unabhängigen Wiener-Prozessen formuliert wird. 4.. Das kanonische n-faktor Vasicek-Modell Das kanonische n-faktor Vasicek-Modell präsentiert sich dann als respektive dy t = ΛY t + d W t dy t = λ Y tdt + d W t dy 2 t = λ 2 Y t λ 22 Y 2 tdt + d W 2 t... dy n t = λ n Y t λ nn Y n tdt + d W n t wobei W,..., W n t unabhängige Wiener-Prozesse sind, λ ii > 0 i Wie erhalten wir dieses? Zuerst existiert eine invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D = diag{λ,..., λ nn }, sodass F = P DP, 23

24 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell wobei λ,..., λ nn die Eigenwerte der Matrix F sind. Lineare Transformation liefert dann mit Xt = P Xt. Jetzt definieren wir dp Xt = P A P F Xt dt + P ΣdBt also mit Γ = diag{ γ,..., γ n } und n γ i = p 2 ijσj 2 + = P A DP Xt dt + P ΣdBt dxt = P A DXt dt + P ΣdBt j= ΓdBt := P ΣdBt n j,k=,j k p ij p ik σ j σ k ψ jk. Nach Lemma 7. im Anhang gilt γ i > 0 i. B ist dabei wieder ein n-dimensionaler Wiener-Prozess, denn t B i t = B 2 i 2 B i sdb i s 0 2 = n n p ij σ j B j t 2 p 2 γ ijσj 2 i + 2 n j= j,k=,j k = n p ij σ j B j t γ i + n j= j,k=,j k = n t γ i = t j= t p s t ij p ik σ j σ k B j sdb k 2 0 n p 2 ijσj 2 B j t 2 t j= p ij p ik σ j σ k B j tb k t ψ jk t j= p 2 ijσ 2 j + t n j,k=,j k 0 B j sdb j s p ij p ik σ j σ k ψ jk und B i, B j t = n n p ik σ k B k t, p jk σ k B k t γi γj k= k= = n p ik p jl + p jk p il σ k σ l B k t, B j t γi γ j k,l=,k l ] n + p ik p jk σk B 2 k t k= 24

25 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell = n n p ik p jk σk 2 + p ik p jl + p jk p il σ k σ l ψ kl t γi γ j k= k,l=,k l }{{} :=ρ Nach Lemma 7. ist ρ 0, Wir fahren also fort mit dxt = P A DXt dt + ΓdBt und definieren Dann folgt Xt = Γ Xt D Γ P A. dxt = Γ dxt = Γ P A DXt dt + ΓdBt = Γ P A DΓ ΓXt + D P A + dbt = DXt + dbt Wir nutzen nun das Verfahren zur Konstruktion unabhängiger Wiener-Prozesse analog zum Gram-Schmidt schen Orthogonalisierungsverfahren für Vektorraumbasen, um unabhängige Wiener-Prozesse zu erhalten: W t = C Bt mit C als untere Dreicksmatrix.Die Einträge von C sind dabei Terme der Korrelationen ψ jk. Analog substituieren wir Y t = C Xt und Λ := C DC. Λ ist dann eine untere Dreiecksmatrix, deren Diagonaleinträge die Eigenwerte von F, also λ,..., λ nn sind. Letztendlich folgt dy t = C DXtdt + dc Bt = ΛC Xtdt + d W t = ΛY tdt + d W t Umparametrisieren der µ 0,..., µ n liefert dann noch Rt = ν 0 + ν Y t + + ν n Y n Eine wichtige Eigenschaft für ein Vasicek-Modell, haben wir bisher noch nicht überprüft, wollen dies aber jetzt nachholen: 25

26 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell Bemerkung 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell erfüllt die mean-reversion Eigenschaft. Beweis. Für den n-dimensionalen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess Y t gilt dy t = ΛY tdt + dw t. Um die mean-reversion-eigenschaft nachzuweisen, müssen wir diese stochastische Differentialgleichung lösen. Betrachte hierfür eine n x n-matrix y mit y = Λy, y 0 = id Die Lösung bildet die das Matrixexponential At = e tλ = tλ m m=0 Für Bt = A t gilt dann Bt = e tλ t 0 und B t = Λe tλ = e tλ Λ. Betrachte dann Also m! dbty t = BtdY t + Y tb tdt = Bt ΛY tdt + dw t + Y tλe tλ = BtdW t [ Y t = At Y 0 + = e Λt Y 0 + Für den Erwatungswert von Y gilt dann t 0 t E Y t = e tλ E Y 0 0 ] BtdW s e s tλ dw s Wenn jetzt die Diagonaleinträge von Λ, also λ,..., λ nn, jetzt positiv sind, konvergiert e tλ gegen für t gegen und Y t erfüllt damit die meanreversion-eigenschaft. Die Diagonaleinträge von Λ entsprechen nun aber den Eigenwerten der zu Beginn verwendeten Matrix F, die wir als positiv angenommen haben. Diese Eigenschaft von F ist also Voraussetzung für meanreversion des n-faktor Vasicek-Modells. 26

27 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell 4..2 Bondpreise im n-faktor Vasicek-Modell Wie schon in den 2-Faktor Modellen wollen wir nun versuchen, auch für eine beliebige Anzahl an treibenden Zufallsprozessen eine Bondpreisformel zu ermitteln. Diese nutzen wir dann später zur Kalibrierung des Modells. Wir beginnen mit der risikoneutralen Preisformel: [ ] T Bt, T = Ẽ exp Rudu F t Da Rt Funktion von Y,..., Y n, t und diese als Lösung ihrer stochastischen Differentialgleichungen markovsch sind, existiert eine Funktion f mit ft, y,..., y n = Bt, T t Weiter sei Dt := exp, 0 Rudu sodass ddt = DtRtdt gilt. Dann ergibt sich: d DtBt, T = d Dtf = fddt + Dtdf = RtDtfdt + Dtdf = Dt [ Rtfdt + df] = Dt Rtfdt + d n dt fdt + d fdy i t + n d 2 fd Y i, Y j t dy i= i 2 dy i,j= i Y j [ n = Dt ν 0 + ν i Y i t f + d n dt f i d λ ik Y k t f dy i= i= i k= ] [ + n d 2 n ] d f dt + Dt fd 2 dy i Y i dy W i t i i= i= Da DtBt, T P -Martingal ist, muss der dt-term= 0 sein: n 0 = ν 0 + ν i y i f + d dt f i= k= i= n i d λ ik y k f + dy i 2 t n i= d 2 dy i y i f t [0, T, y,..., y n R f := ft, y,..., y n. Als Endbedingung dient: = BT, T = ft, y,..., y n y i.die Lösung ist dann eine Funktion der Form ft, y,..., y n = exp y C τ y n C n τ Aτ mit τ = T t. Aus der Endbedingung folgt: = ft, y,..., y n = exp y C 0 y n C n 0 A0 C 0 = C 2 0 = = C n 0 = A0 = 0 27

28 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell Weiter ist d dt C iτ = d dτ C iτ dτ dt = d dτ C dt t iτ = d dt dτ C iτ, i =,..., n und analog d dt Aτ = d dτ Aτ d dt f = d y dτ C d + + y n dτ C n + d dτ A f d f = C i f dy i d 2 f = Ci 2 f dy i y i i Einsetzen liefert: n d 0 = f [y dτ C + λ k C k ν k= n d + y 2 dτ C 2 + λ k2 C k ν 2 k= d + y n dτ C n + C n λ nn ν n ] d + dτ A + n Ci 2 ν 0 2 i= Nach Lemma 7.2 aus dem Anhang lässt sich dieses in ein System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen n d dτ C iτ = λ ki C k τ + ν i, i =,..., n k=i umschreiben und es gilt d dτ Aτ = 2 n Ci 2 τ + ν 0 k=i Mit Anfangsbedingung C n 0 = 0 kann nun d dτ C nτ = C n τλ nn + ν n gelöst werden. Dann kann sukzessive C n bis C und zuletzt auch A ermittelt werden. Analog zum 2-dimensionalen Fall. Mit C,..., C n, A ist dann Bt, T = f t, y,..., y n = exp y C τ y n C n τ Aτ bis auf die y i bestimmt. Für die Kalibrierung eines 3-Faktor Vasicek-Modells werden wir diese Differentialgleichungen in Kapitel 5 einmal ausführlich lösen. 28

29 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell 4..3 Darstellung mit realwirtschaftlichen Faktoren Wir stoßen bei der Bondpreisberechnung nun noch auf das Problem, dass für die Y i aus dem realen Markt keine Werte ermittelbar sind. Wir benötigen also wieder eine Möglichkeit der Umrechnung der Y i zu marktrelevanten Größen. Als solche Größen verwenden wir die Short-Rate, sowie n Langzeitzinssätze mit verschiedenen Laufzeiten τ i. Wir wissen bereits, dass Rt = ν 0 + n ν i Y i t Für die Langzeitzinssätze L i τ i gilt außerdem L i t = τ i log Bt, t + τ i = τ i [Y tc τ i + + Y n tc n τ i + Aτ i ] i In Vektorschreibweise können wir daraus bilden Rt ν L t... ν n Y t ν 0 L 2 t τ C τ... τ C n τ Y 2 t = τ Aτ. L n t τ n C τ n... τ n C n τ n Y n t τ n Aτ n }{{}}{{} :=M :=v M ist invertierbar, sodass sich Folgendes formulieren lässt Rt Rt L t L t. L n t = MY t + v M. L n t v = Y t Eine Umrechnungsmöglichkeit zwischen den am Markt beobachtbaren Zinssätzen und unseren theoretischen Modellfaktoren Y i ist also gegeben, sodass nun die Bondpreisformel nur noch eine Funktion der Modellparameter ist. Dies ermöglicht uns die Kalibrierung des Modells anhand von Bondpreisanfangskurven. Weiter wollen wir nun noch das Modell direkt über Rt, L t,..., L n t ausdrücken. Dafür betrachten wir die Dynamik drt dl t = MdY t. dl n t λ 0 d W t = M.... Y tdt +. λ n... λ nn d W n t Rt λ 0 = M.... M L t d W t. v dt +. λ n... λ nn d L n t W n t 29

30 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell λ 0 = M.... M λ n... λ nn d W t + M. d W n t Rt L t. L n t λ 0 + M.... M v dt λ n... λ nn Definieren wir nun λ 0 M.... λ n... λ nn M := b... b nn und und außerdem λ 0 M.... λ n... λ nn M d W t. d W n t = M v := σ db t. σ n db n t, so gilt Rt a b b n Rt L t d. = a L t dt L n t a n b n b nn L n t B t + B 2 t σ σ n d. B n t Wie erhalten also einen n-dimensionalen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess aus am Markt beobachtbaren Komponenten. Zu Prüfen ist jetzt noch, ob Bt ein Wiener-Prozess ist. Dafür gilt Also σ db t = ν d W t + + ν n d W n t a.. a n σ 2 db 2 t = τ C τ d W t + + τ C n τ d W n t... σ n db n t = τ n C τ n d W t + + τ n C n τ n d W n t B t = σ ν W t + + ν n Wn t 30

31 4.. Das n-faktor Vasicek-Modell B 2 t = C τ d σ 2 τ W t + + C n τ d τ W n t... B n t = σ n und es folgt C τ n d τ W t + + C n τ n d n τ W n t n W t W s,..., W n t W n s N 0, t s ν i Wi t ν i Wi s N 0, νi 2 t s i n νi Wi t ν i Wi s n N 0, t s i= i= ν 2 i Damit die B i Wiener-Prozesse sind, muss also gelten σ = ν ν2 n und weiter σ i = C 2 τ τ i + + Cnτ 2 i i = 2,..., n i 3

32 4.2. Das n-faktor CIR-Modell 4.2 Das n-faktor CIR-Modell Betrachten wir nun der Vollständigkeit halber auch noch das n-faktor CIR- Modell. Dieses hat analog zum 2-Faktor CIR-Modell folgende Form: dy t = µ λ Y t λ n Y n t dt + Y td W t... dy n t = µ n λ n Y t λ nn Y n t dt + Y n td W n t Auch hier müssen die Wiener-Prozesse W,..., W n paarweise unabhängig sein, damit eine spätere Bondpreisberechnung möglich ist. Da für alle Faktoren Y i t 0 zu jedem Zeitpunkt t gelten soll, müssen wie im 2-Faktor Modell Bedingungen an die Modellparameter gestellt werden: Wir beginnen mit Y 0,..., Y n 0 0 und betrachten den Fall, in dem Y j t = 0 gilt. Die Drift von Y j t sieht wie folgt aus: µ j λ jj Y j t n i=,i j λ ji Y i t Setzt man nun µ j 0, λ jj > 0 und λ ji 0 i j, so ist der Driftterm nicht-negativ für alle Y i t 0, i j und Y j t = 0. Setzt man also µ,..., µ n 0, λ ii > 0 i und λ ij 0 i j, so gilt Y t,..., Y n t 0 t Mit ν 0 0 und ν,..., ν n > 0 gilt dann auch Rt = ν 0 + ν Y t + + ν n Y n t 0 t 4.2. Bondpreise im n-fator CIR-Modell Analog zu den bisherigen Bondpreisberechnungen beginnen wir mit der risikoneutralen Preisformel [ ] T Bt, T = Ẽ exp Rudu F t, und versuchen, eine Funktion f zu finden mit ft, y,..., y n = Bt, T. t Weiter definieren wir Dt := exp, 0 Rudu sodass ddt = DtRtdt gilt. Wir betrachten wieder die Dynamik des P -Martingals DtBt, T : d DtBt, T = d Dtf = fddt + Dtdf = RtDtfdt + Dtdf = Dt [ Rtfdt + df] [ = Dt Rtfdt + d n dt fdt + d fdy i dy i t 32 i=

33 4.2. Das n-faktor CIR-Modell + 2 n d 2 fd Y i t + n d 2 fd Y i, Y j t dy i Y i 2 dy i Y j i,j=//i j }{{} i= fällt weg, da W,..., W n paarweise unabhängig sind. Wären sie es nicht, wäre eine Preisberechnung an dieser Stelle weitaus aufwendiger bis hin zu kaum möglich. [ n = Dt ν 0 + ν i Y i t f + d dt f i= n + µ i λ i Y t λ in Y n t d f dy i= i ] [ + n d 2 n ] Y i t f dt + Dt Yi t d fd 2 dy i Y i dy W i i i= Wegen der Martingaleigenschaft muss der dt-teil = 0 sein, sodass folgende Differentialgleichung gelöst werden muss: n ν 0 + ν i y i f + d n dt f + µ i λ i y λ in y n d f dy i + 2 n i= i= y i d 2 dy i y i f = 0 für alle t [0, T und alle y i 0. Wir suchen wieder eine Lösung der Form n ft, y,..., y n = exp y i C i τ Aτ für τ = T t und C τ,..., C n τ, Aτ Funktionen der Restlaufzeit. Die Endbedingung bleibt wie bei den anderen Modellen gesehen und liefert wieder i= i= i= ft, Y T,..., Y n T = BT, T = C 0 = = C n 0 = A0 = 0 Weiter nutzen wir erneut, dass d dt C iτ = d dτ C iτ für alle i =,..., n und d dt Aτ = d dτ Aτ und erhalten d d dt f = dτ C y + + d dτ C ny n + d dτ A f d dy i f = C i f d 2 dy i y i f = C 2 i f 33

34 4.2. Das n-faktor CIR-Modell fügen wir nun dies in unsere Differentialgleichung ein, erhalten wir d n 0 =f [y dτ C + λ i C i + 2 C2 ν +... i= d n + y n dτ C n + λ in C i + 2 C2 n ν n i= ] d n + dτ A µ i C i ν 0 i= Da dies für jedes y i 0 gelten soll, gilt analog zum n-faktor Vasicek-Modell, dass die einzelnen Klammern bereits = 0 sein müssen. Es entsteht folgendes System aus Differentialgleichungen: d dτ C τ =. d dτ C nτ = und außerdem d dτ A = n i= n λ i C i τ 2 C2 τ + ν i= n λ in C i τ 2 C2 nτ + ν n i= µ i C i + ν 0 Diese können numerisch gelöst werden und somit erhalten wir explizite Lösungen für die Funktionen C,..., C n, A und somit für die Bondpreise des n-faktor CIR-Modells mit paarweise unabhängigen Wiener-Prozessen: n Bt, T = ft, Y,..., Y n = exp y i C i τ Aτ i= 34

35 Kapitel 5 Derivatpreise im n-faktor Vasicek-Modell Wir wollen in diesem Kapitel Formeln für verschiedene Derivatanfangspreise im n-faktor Vasicek-Modell herleiten. Dazu zeigen wir zunächst einmal, dass das zuvor aufgestellte Vasicek-Modell gaußsch ist, also, dass die Short-Rate normalverteilt ist. Dies hilft uns später bei der Berechnung von Derivatpreisen. 5. Verteilung der Short-Rate In diesem Abschnitt wollen wir also zeigen, dass Rt = ν 0 +ν Y + +ν n Y n normalverteilt ist bezüglich P, indem wir zeigen, dass die Y i gaußverteilt sind. Dazu benötigen wir folgende Begebenheit: Lemma. Sei λ 0 M n =.... und e Mnt = m! M nt m m=0 λ n... λ nn das Matrix-Exponential mit M n t 0 = I n, n 2. Weiter sei λ ii λ jj i j. Dann gilt: d dt emnt = e Mnt M n n mit d dt als komponentenweises Differential. Beweis. Per Doppelinduktion I Induktion nach n: IAI: n=2: Beh.: M 2 = λ 0 λ 2 λ 22 M 2 t m λ t m 0 = λ 2 t m λ m λm 22 λ λ 22 λ 22 t m 35

36 5.. Verteilung der Short-Rate Beweis. per Induktion II nach m: 0 IAII: M 2 t 0 = 0 ISII: M 2 t m+ = M 2 t m M 2 t λ t m λ 0 t 0 = λ 2 t m λ m λm 22 λ λ 22 λ 22 t m λ 2 t λ 22 t λ t m+ 0 = λ 2 t m+ λ m λm 22 λ λ 22 λ + λ m 22 λ 22 t m+ λ t m+ 0 = m+ λm+ λ λ 2 t m+ 22 λ λ 22 λ 22 t m+ Dann gilt e M2t = m! M 2t m m=0 m=0 = m! λ t m 0 λ 2 λ λ 22 m=0 m! λ t m m=0 m! λ 22t m m=0 m! λ 22t m e λt 0 = λ 2 λ λ 22 e λ t e λ 22t e λ 22t und weiter d dt em 2t λ e λ t 0 = λ 2 λ λ λ 22 e λt λ 22 e λ22t λ 22 e λ22t λ e λ t 0 = λ 2 e λt λ + λ 2 22 λ λ 22 e λ t e λ22t λ 22 e λ22t ISI: Beh.: mit = e M2t M 2 M n+ t m Mn t = m 0 χ n+ m λ n+ n+ t m χ n+ m = χ n+ m M n t + λ n+ n+ t m λ n+ t und λ n+ = λ n+ λ n Mn 0 λ n+ n also Mn+ = λ n+ λ n+ n+ Beweis. per InduktionIII nach m: IAIII M n+ t 0 In 0 = 0 ISIII M n+ t m+ = M n+ tmm n+ t Mn t = m 0 Mn t 0 χ n+ m λ n+ n+ t m λ n+ t λ n+ n+ t 36

37 5.. Verteilung der Short-Rate M = n t m+ 0 χ n+ mm n t + λ n+ n+ t m λ n+ t λ n+ n+ t m+ Daraus folgt: e Mn+t = m! M n+t m = m=0 m! M nt m 0 m=0 m=0 m! χ n+m m=0 m! λ n+ n+t m e = Mnt 0 m=0 m! χ n+m e λ n+ n+t und somit d dt em n+t = d dt em nt 0 d dt m=0 m! χ d n+m dt eλ n+ n+t M n e Mnt 0 = d dt m=0 m+! χ n+m + λ n+ n+ e λ n+ n+t = e M n+t Mn 0 λ n+ = e Mn+t M λ n+, n+ n+ da d dt m +! χ n+m + m=0 = d dt m=0 = M n m=0 χ n+ mm n t + λ n+ n+ t m λ n+ t m +! m! χ n+m + e λ n+ n+t λ n+ Als Dreiecksmatrix ist e M nt invertierbar. Wir nutzen dies und das obige Lemma für: d e Mnt Y t = e Mnt M n Y t + e Mnt dy t e M nt Y t = Y 0 + t 0 em ns d W s = e Mnt M n Y t + dy t = e Mnt d W t Y t = e M nt Y 0 + e M n t t 0 e M ns d W s = e M nt t Y 0 + e Mns t d W s Da M n nicht-zufällig ist, sind die Y i gaußverteilt. Die Short-Rate Rt = ν 0 + n i= ν iy i t ist also normalverteilt. Da wir nun wissen, dass die short-rate in unserem n-faktor Vasicek-Modell normalverteilt ist, können wir Preise von Derivaten berechnen. 0 37

38 5.2. Call-Option 5.2 Call-Option Bestimmen wir nun den Preis einer Call-Option mit Maturity T und strike K auf einen Zero-Coupon-Bond mit Maturity S. Aus Abschnitt 5. wissen wir: RT N bzgl. P T Für den Callpreis zum Zeitpunkt t gilt: ln BT, S N bzgl. P T Ct, T, S, K = Bt, T E T [maxbt, S K, 0 F t ] Wir können nun ausnutzen, dass BT, S = F T, T ; S := F T den Forwardpreis darstellt, und formulieren gilt, wobei F Ct, T, S, K = Bt, T E T [maxf T K, 0 F t ] Aus Lemma 7.3 folgt, dass = Bt, T E T [F T K {FT >K} F t ] = Bt, T E T [F T {FT >K} F t ] K P T F T > K F t E T [F T {FT >K} F t ] = E T [Y F t ] Φ Für den hinteren Teil berechnen wir P T F T > K = P T ln F T > ln K lne T [F T F t ]/K V art lnf T F t + V ar 2 T lnf T F t = P T ln F T E[ln F T ] < ln K E[ln F T ] V arft V arft = Φ = Φ E[ln F T ] ln K V arft lne [F T ]/K V arft V arft 2 Außerdem gilt, da F t ein Martingal unter dem Forwardmartingal P T ist, E T [F T F t ] = F t = Zusammen folgt also für den Callpreis: mit Bt, S Bt, T Ct, T, S, K = Bt, S Φd Bt, T K Φd 2 ln Bt,S Bt,T K d = + V 2 V d 2 = d V und V = V ar T F T F t Es bleibt also nur noch, V zu berechnen. Dazu betrachten wir zunächst die Dynamik von F t. Zur Erinnerung: F t = Bt, S Bt, T 38

39 5.2. Call-Option = exp Dann ist n C i S t C i T t Y i t AS t AT t i= df t n = C i S t C i T t F t dy i t + 2 = i= n C i S t C i T t C j S t C j T t F t d Y i t, Y j t i,j= n C i S t C i T t F t dy i t i= Ist dann = F t CS t CT t T dy t W T t = mit x = n i= x2 i, CS t CT t n i= T 0 C i S uc i T u W i udu so ist W T t nach Levy ein eindimensionaler Wiener-Prozess, denn W T t = t t. Weiter ist dann df t = F t CS t CT t T ΛY tdt CS t CT t dw T t und ln F T ln F t T T = df T t F T 2 t FT 2 d F T = CS t CT t T ΛY tdt CS t CT t dw T t 2 CS t CT t 2 dt Für die Varianz gilt somit: V 2 = V ar T ln F T F t = n i= T t C i S u C i T u 2 du 39

40 5.3. Basket-Option 5.3 Basket-Option Bei einer sogenannten Basket-Option halten wir eine Option, die nicht ein einzelnes Underlying führt, sondern ein Portfolio aus verschiedenen Underlyings mit verschiedenen Gewichtungen. In diesen Fall betrachten wir eine Call-Option mit strike K auf einen Basket, in dem sich jeweils a i Bt, T i -Bonds befinden. Der Preis des Baskets ist dann m Ut = a i Bt, T i i= Der Callpreis auf diesen Basket errechnet sich dann durch C B t, T, K = Bt, T E T [max UT K, 0 F t ] = Bt, T E T [UT {UT K} F t ] K P T UT K F t Ut ist als Summe von lognormalverteilten Zufallsvariablen nicht lognormalverteilt, was eine exakte Berechnung analog zum Call auf ein einzelnes Underlying extrem verkompliziert bzw. sogar ausschließt. Wir greifen daher auf die Approximation via geometrischem Durchschnitt nach Gentle 993 zurück. Wir approximieren m i= a ibt, T i mit dem geometrischen Durchschnitt ŨT = m BT, T i a i i= und korrigieren K = K E T T [UT ] E [ŨT ] Nun nutzen wir ŨT K + als Approximation für BT K +. Da Ũt lognormalverteilt ist, kann der Preis der Basket-Option nun mit der Black-Scholes-Formel berechnet werden. Analog zur Callpreisberechnung gilt: C B t, T, K = Bt, T [ E T [ŨT F t] Φd K Φd 2 ] mit und d = ln E T [ŨT F t ]/K V V = Für den Erwartungswert gilt dann: E T [ŨT F t ] m = E T [ BT, T i ai F t ] i= m = E T [ F T, T, T i a i F t ] = = i= m F t, T, T i a i i= m i= ai Bt, Ti Bt, T V ar T ln ŨT F t V, d 2 = d V

41 5.4. Caps m = exp i= a i n Y j C j T i t C j T t AT i t AT i t j= Die Dynamik von Ũt bzgl P T für die Varianz zu bestimmen ist an dieser Stelle zu aufwendig. Weitestgehend analog zur Berechnung des Callpreises zuvor erhält man aber eine Lösung für V T ln ŨT F t und hat somit letztendlich den Bondpreis approximiert. 5.4 Caps Leiht man sich einen Betrag N und fürchtet sich vor zu hohen Zinssätzen, so möchte man sich absichern. Ein Finanzinstrument dazu ist der Cap. Geht man einen Cap mit einer cap-rate K und Zahlungszeitpunkten T < < T m mit Frequenz δ ein, so erhält man das Recht, zun jedem Zeitpunkt die eigene dynamische Zinsrate in diesem Fall die Liborrate im nächsten Zeitpunkt gegen die fixe cap-rate K zu tauschen. Ein Cap ist somit ein Portfolio aus einzelnen Caplets, welche selbiges Recht immer für einzelne Zeitintervalle verbriefen. Blacks Formel liefert uns einen Preis für ein Caplet in t mit cap-rate K, einem Nominal N und obiger Tenorstruktur Caplett, T i = NδBt, T i [ L T i T i δ tφ d L T i T i δ t KΦ d 2 L T i T i δ t ] Dabei ist T L i ln d L T i T i δ t = T i δ t K σ i Ti δ t + 2 σ i Ti δ t und d 2 L T i T i δ t = d L T i T i δ t σ i Ti δ t, wobei σ i die implizite Volatilität der Forwardrate L T i T i δ t beschreibt. Wollen wir den Preis eines Caps bestimmen, summieren wir die Preise aller Caplets, aus denen er besteht, auf. Bleibt noch, die Liborrate in unserem Modell näher zu bestimmen: L T i T i δ t = Bt, Ti δ δ Bt, T i = n exp Y j t [C j T i δ t C j T i t] δ j= [AT i δ t AT i t] Der Cappreis ist also alles in Allem eine Funktion der impliziten Forwardratenvolatilitäten und der Modellparameter. Sind Letztere kalibriert und die am realen Markt vorliegenden Cappreise bekannt, können die impliziten Volatilitäten berechnet werden: Man betrachtet dafür die Preise von Caps unterschiedlicher Laufzeiten, aber identischer Tenorstruktur. Zuerst sieht man sich dabei ein einfaches Caplet an, sodass nur eine implizite Volatilität in der Funktion auftaucht, die man dann sofort eindeutig bestimmen kann. Fügt man nun sukzessive weitere Caplets hinzu, so kann eine eindeutige Volatilitätenstruktur σ,..., σ m bestimmt werden. Diese kommt uns bei der Preisberechnung für Swaptions zugute. 4

42 5.5. Swaptions 5.5 Swaptions Legen wir unser Augenmerk nun auf die Berechung von Swaptionpreisen. Eine Swaption ist das Recht, zu einem Zeitpunkt T 0 in einen Swap mit fixer Zinsrate K einzusteigen. Dabei bezeichnet der Ausdruck payer receiver swaption das Recht, in einen payer receiver Swap einzusteigen. Steigt man in einen payer receiver Swap ein, so vereinbart man, zu bestimmten Zeitpunkten T < < T m einen fixen variablen Zinssatz zu zahlen und dafür einen variablen fixen Zinssatz bezahlt zu bekommen. Der variable Zinssatz ist dabei oft die Liborrate. Wir wollen nun den Preis für eine payer Swaption im n-faktor Vasicek-Modell bestimmen. Wie bereits beim Cappreis gesehen, nutzen wir Blacks Formel. Diese liefert als Preis für eine payer Swaption mit festem Zinssatz K, Nominal N und obiger Tenorstruktur für t < T 0 : m P St = Nδ Bt, T i [R swap tφ d t, R swap t KΦ d 2 t, R swap t] i= mit Rswapt ln K d t, R swap t = V ar Rswap t F t T 0 t + V ar R swap t F t T 0 t 2 und d 2 t, R swap t = d t, R swap t V ar R swap t F t T 0 t Weiter ist R swap t die Forward-Swaprate, also R swap t = und damit gilt dann m i= α i L T i T i δ t mit α Bt, T i i = m i= Bt, T i V ar R swap t F t = m i= j= m α i α j σ i σ j ρ ij wobei die σ i die impliziten Volatilitäten der Liborraten sind, die wir bei der Cappreisberechnung bereits bestimmt haben und die ρ ij die Korrelationen der einzelnen Liborraten darstellen. Der Swaptionpreis stellt sich also als Funktion der Modellparameter sowie der Korrelationen dar. Diese können also in einem kalibrierten Modell mit bekannten Marktpreisen für Swaptions rechnerisch bestimmt werden. 42

43 Kapitel 6 Kalibrierung eines 3-Faktor Vasicek-Modells 6. Kalibrierung mithilfe von Bondpreiskurven Wir wollen nun die Kalibrierung eines n-faktor Vasicek-Modells am Beispiel n = 3 einmal durchführen. Dafür wollen wir die Parameter unseres Modells so einstellen, dass sich die aus den Zero-Coupon-Bondpreisen in Abhängigkeit zur Restlaufzeit ableitende Kurve möglichst genau der real am Markt beobachtbaren Bondpreiskurve annähert. Wie bereits in Kapitel 4..2 festgestellt wurde, ist der Preis eines Zero-Coupon- Bonds zum Zeitpunkt t mit Restlaufzeit τ = T t durch folgende Formel gegeben: Bt, T = exp Y tc τ Y 2 tc 2 τ Y 3 tc 3 τ Aτ wobei C, C 2, C 3 und aus diesem System von Differentialgleichungen hervorgehen dc τ = λ C τ λ 2 C 2 τ λ 3 C 3 τ + ν dτ dc 2 τ = λ 22 C 2 τ λ 32 C 3 τ + ν 2 dτ 2 dc 3 τ = λ 33 C 3 τ + ν 3 dτ 3 und A sich wie folgt berechnet: daτ dτ = 2 C2 τ 2 C2 2τ 2 C2 3τ + ν 0 Zur Vereinfachung schreiben wir die Differentialgleichungen um: f x = afx + b g x = cgx dfx + e h x = phx qgx rfx + s 43