Handy, Börse und Kristalle

Transkript

1 Handy, Börse und Kristalle Neues aus der Welt der Analysis Seite 1

2 Handy, Börse und Kristalle Neues aus der Welt der Analysis Was empfängt ein Handy? Eine mathematische Lupe Ein Blick in die Börse... und noch mehr Nochmal die Lupe Seite 2

3 Was empfängt ein Handy? Ein Beispiel Ein UMTS-Signal bei 12 km/h.2.15 gesendet wurde der konstanter Wert +1.1 empfangenes Signal Seite Zeit in ms

4 Was empfängt ein Handy? Der Übertragungsweg Seite 4 Unterschiedlich lange Ausbreitungswege (Echos) Überlagerung vieler Signalpfade Übertragungsweg ändert sich mit der Zeit (zeitvariant)

5 Was empfängt ein Handy? Kanalmessungen Richard-Strauß-Ring in München Seite 5 Unterschiedlich lange Ausbreitungswege (Echos) Überlagerung vieler Signalpfade Übertragungsweg ändert sich mit der Zeit (zeitvariant)

6 Was empfängt ein Handy? Die Antwort der Mathematik Modellierung als zufälliges Signal Man weiß aber statistische Eigenschaften des Kanals Ein Mobilfunksignal ist ein zeitkontinuierlicher stochastischer Prozess empfangenes Signal Seite Zeit in ms

7 Eine mathematische Lupe Das Spektrum Das Spektrum eines Signals verdeutlicht seine Eigenschaften Information empfangenes Signal Signalstärke Rauschen Zeit in ms Seite 7 Zeitbereich Frequenz Frequenzbereich

8 Eine mathematische Lupe Das Spektrum Das Spektrum beschreibt die Zerlegung in Schwingungen Eine Schwingung Signalstärke Seite Zeit Signalstärke Frequenz

9 Eine mathematische Lupe Das Spektrum Das Spektrum beschreibt die Zerlegung in Schwingungen Mehrere Schwingungen Signalstärke Signalstärke Seite Zeit Frequenz

10 Eine mathematische Lupe Kanalschätzung in Mobilfunksystemen Schätzung des Signals durch Abschneiden im Frequenzbereich 1.) Ursprüngliches Signal im Zeitbereich empfangenes Signal Seite Zeit in ms

11 Eine mathematische Lupe Kanalschätzung in Mobilfunksystemen Schätzung des Signals durch Abschneiden im Frequenzbereich 2.) Ursprüngliches Signal im Frequenzbereich Signalstärke Seite Frequenz

12 Eine mathematische Lupe Kanalschätzung in Mobilfunksystemen Schätzung des Signals durch Abschneiden im Frequenzbereich 3.) Abschneiden im Frequenzbereich Signalstärke Seite Frequenz

13 Eine mathematische Lupe Kanalschätzung in Mobilfunksystemen Schätzung des Signals durch Abschneiden im Frequenzbereich 4.) Rücktransformation in den Zeitbereich.1.5 empfangenes Signal Seite Zeit in ms

14 Eine mathematische Lupe Kanalschätzung in Mobilfunksystemen empfangenes Signal Zeit in ms.1.5 Signalstärke Frequenz empfangenes Signal -.5 Signalstärke Seite Zeit in ms Frequenz

15 Eine mathematische Lupe Kanalschätzung in Mobilfunksystemen Schätzung des Signals durch Abschneiden im Frequenzbereich.1.5 geglättetes Signal empfangenes Signal Signal Seite Zeit in ms

16 Eine mathematische Lupe Die Fourier-Transformation Eigenschaften der Frequenzdarstellung: Eigenschaften des Signals besser sichtbar Verbesserungen des Signals leicht beschreibbar kann wieder rückgängig gemacht werden (Rücktransformation) Was ist diese Methode mathematisch? Die Fourier-Transformation Seite 16

17 Noch ein Signal Welches Signal ist das? Signalstärke Seite Zeitbereich Der Deutsche Aktienindex! Frequenz Frequenzbereich

18 Ein Blick in die Börse Seite 18

19 Ein Blick in die Börse Kurse von Aktien und Optionen aus mathematischer Sicht wieder ein stochastischer Prozess Modellierung durch eine Gleichung Dax-Wert in Euro Seite Zeit in Tagen

20 Ein Blick in die Börse Der Preis von Aktien Der Preis von Aktien Modellierung durch eine stochastische Differentialgleichung Kurs eines Basiswertes: relative Änderung des Kurses in der Zeit deterministischer Anteil mit Drift µ zufälliger Anteil mit Volatilität σ Seite 2

21 Ein Blick in die Börse Optionspreise Der Preis von Optionen Option: Recht, eine Aktie zu einem Zeitpunkt zu kaufen / verkaufen Modellierung durch eine partielle Differentialgleichung Gleichung von Black-Scholes Seite 21 V: Optionspreis S: Preis des Basiswerts σ: Volatilität r: Zinssatz

22 Ein Blick in die Börse Optionspreise Die Black-Scholes-Formel Durch Transformation erhält man eine einfachere Gestalt der Gleichung: Dies ist eine parabolische Differentialgleichung Wert der Option zum Endzeitpunkt bekannt amerikanische Option: Ausübungszeitpunkt frei wählbar komplexere Modelle: z. B. Transaktionskosten freies Randwertproblem Seite 22 nichtlineare Gleichungen

23 ... und noch mehr Schmelzvorgänge Abschmelzen von Eis Der Wärmefluss genügt der Wärmeleitungsgleichung u: Temperatur freies Randwertproblem Der Rand des Eises ändert sich mit der Zeit (freier Rand) Am Phasenübergang nichtlineare Kopplung Seite 23 nichtlineare Gleichungen

24 ... und noch mehr Kristallwachstum Wachsen von Kristallen nichtlineare parabolische Differentialgleichungen freie Randwertprobleme Seite 24 Quelle: N. Provatas, Ontario

25 Nochmal die Lupe Parabolische Differentialgleichungen Wie löst man diese Gleichungen? Zauberwerkzeug Fourier-Transformation macht alles viel leichter Fourier- Transformation Lösen Seite 25

26 Ausblick Offene Fragen und aktuelle Forschungsthemen Mehrantennensysteme (MIMO: multiple input multiple output) Blinde Signalschätzung Modellierung von Transaktionskosten Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen Dax-Wert in Euro Zeit in Tagen Eindeutige Lösbarkeit (Wohlgestelltheit) parabolischer Differentialgleichungen Seite 26

27 Was haben Sie gelernt? In der Welt der Analysis gibt es Modellierung durch mathematische Objekte: stochastische Prozesse partielle Differentialgleichungen Methoden: Fourier-Transformation (mathematische Lupe) unendliche viele Anwendungen: Mobilfunksignale Börsenkurse Kristallwachstum Seite 27

28 Was haben Sie gelernt? Seite 28

29 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Seite 29