Lösungen zur 1. Klausur Diskrete Stochastische Finanzmathematik ( , SoSe 2014) am , Zeit: 10-12, Raum: W

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1 Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik Lösungen zur. Klausur Diskrete Stochastische Finanzmathematik (5..862, SoSe 24 am , Zeit: - 2, Raum: W--6 Name:... Matr.-Nr.:... Geb.-Datum:... Studiengang:... Bewertungsmodalitäten: Die Klausur ist mit 5 Punkten und mehr bestanden. Es wird nur gewertet, was auf den angehefteten Blättern geschrieben wurde (kein Bleistift, kein Rotstift!. Erlaubte Hilfsmittel: Skript, Aufgaben und Lösungen, aschenrechner. In den Aufgaben geforderte eil-ergebnisse können auch ohne Beweis, aber dann mit Punktabzug weitererwendet werden.... Unterschrift KlausurteilnehmerIn Aufgabe x 2 x 3 x 4 x Summe Note gez. Punktzahl erreichte Punkte Notenskala: Punkte Note 5, 4, 3,7 3,3 3, 2,7 2,3 2,,7,3,

2 Aufgabe : (2 P. In einem Arbitrage-freien einperiodigen CRR-Modell werden folgende Optionen auf eine Aktie angeboten: Call-Option zum Ausübungspreis, Preis: C = 7,44 Call-Option zum Ausübungspreis, Preis: C 2 = 3,72 Put-Option zum Ausübungspreis, Preis: P = 23,59 Put-Option zum Ausübungspreis, Preis: P 2 = 29,49. Zeigen Sie, dass durch diese Angaben das Modell ollständig spezifiziert ist, und geben Sie explizit an: + Den Anfangskurs der Aktie, den risikolosen Zinssatz i, sowie die Volatilitäten k und k -. S Hinweis: Die Kurswerte der Aktien sind (ursprünglich ganze Zahlen; die Rechenergebnisse sind also geeignet zu runden. Verwenden Sie in geeigneter Weise die Put-Call-Parity- Relation. Lösung: Nach der Put-Call-Parity-Relation gilt für j Î {,2 } : P - C = X -S j j j, also gilt: Speziell hier: ( P -C -( P -C X ( P -C -X ( P -C =, S =, X -X X -X S 2 2 XC -XC XP -X P =, S = C2-C P2-P ( P -C -( P -C X ( P -C -X ( P -C = =,962, S = = 8, X -X X -X S 2 2 XC -XC XP -X P = = 2, S = = C2 -C P2 -P Damit folgt noch i = - =,4, k = - =,5, k = - =-,

3 Aufgabe 2: (5 P. Es sei X eine beliebige Zufallsariable in dem diskreten Wahrscheinlichkeitsmodell ( W,P ohne nicht-triiale Nullmengen und { ÆW, } Í Í Í ÍP( W eine Filtration. Zeigen Sie: durch M : = E( X für n=,, wird ein Martingal definiert. n n Lösung: Nach Konstruktion ist jedes Mn n -messbar, also ist die Folge { Mn} = n,, der Filtration adaptiert. Weiter gilt nach den bekannten Eigenschaften bedingter Erwartungen: ( n+ n = ( ( n + n = ( n E M E E X E X = Mn für n=,, -. Damit ist alles gezeigt. 2

4 Aufgabe 3: (3 P. Es wird das zweiperiodige CRR-Modell betrachtet, in dem die Auf- /Abwärtsbewegungen des Aktienkurses durch die (stochastisch abhängigen binomialer- I2 teilten Zufallsariablen I und = - I gesteuert werden. Zeigen Sie, dass die diskontierten Aktienkurse unter keiner nicht-triialen Wahrscheinlichkeitserteilung P ein Martingal bilden. Bestimmen Sie eine Arbitrage-Strategie mit Aktien und zeigen Sie, dass es keine Arbitrage-Strategie nur mit Geld und Call-Optionen zum Ausübungspreis X = 2 zur Fälligkeit 2 zu den Preisen = 4 C, C = 4 für das Eberlein-Beispiel gibt + - ( S =, k =,3, k =-,2, i =,5. Lösung: Nach Voraussetzung ist S2 [ = 4] konstant, da einer Aufwärts- eine Abwärtsbewegung folgt und umgekehrt. Also ist auch sein (das ist zweiwertig mit positier Wahr- konstant und kann daher nicht gleich scheinlichkeit, wenn P nicht-triial ist. Arbitrage-Strategie mit Aktien: S ( 2 = 2 = = ES S [ 4 99,5] f = f = ; f [] =-( - 2I S = 2I - 8, f [] = -2I 2 2 (d.h. bei gestiegenem Kurs Aktien leererkaufen, bei gefallenem Kurs Aktien kaufen. Dann ist V ( f = V( f =, V ( f = ( 2I - 8 r+ ( -2I 4 = 2,5I + 2 ³ 2 >. 2 Eine Arbitrage-Möglichkeit nur mit Geld und Call-Optionen besteht dagegen nicht, weil die Option zur Fälligkeit 2 deterministisch und damit bei den gegebenen Preisen zu einer risikofreien Geldanlage äquialent ist (mit sicherer Auszahlung on 4. 3

5 Aufgabe 4: (35 P. In einem einperiodigen Markt werden zwei Aktien gehandelt, deren Anfangskurs jeweils 95 beträgt und die sich gegenläufig entwickeln. Zur Zeit kann die erste Aktie die Werte 2, 9 oder 6 erreichen, die andere Aktie entsprechend die Werte 7, oder 45. Zeigen Sie, dass bei einem risikolosen Zins on 3% der Markt arbitragefrei und ollständig ist, und geben Sie das äquialente Martingalmaß P explizit an. In * welchem Bereich muss der risikolose Zins liegen, damit der Markt ollständig bleibt? Lösung: Es ist zunächst das Gleichungssystem 2p + 9p + 6p = 95r 7p + p + 45p = 95r p + p + p = zu lösen mit dem Ergebnis p= r, p2 = r, p3 = r Wegen p, p, p > muss also gelten: 76 ì ï258 38ü,2924 = < r < min í, ï ý=,376, d.h. 7 ïî ïþ der risikolose Zins muss zwischen 2,924% und 3,76% liegen. In der gegebenen Situation existiert also eine eindeutige Lösung für das äquialente Martingalmaß mit p= r = 359, p2 = r = 39, p3 = r =