Arbitrage Free Pricing

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1 Beim CAPM wurde gezeigt, dass man Finanztitel basierend auf der Verteilung ihres künftigen Preises bewerten kann. Dabei haben wir [unter der Annahme gewisser Präferenzen des Es] den Preis eines Finanztitels basierend auf der Kovarianz seiner Rendite mit der sog. Marktrendite ermittelt. Nicht bei jedem Finanztitel, der am Markt gehandelt wird, ist aber eine solche Bewertung sinnvoll. Finanztitel, die sichere Auszahlungen zu je bestimmten künftigen Zeitpunkten bzw. Naturzuständen aufweisen (Anleihen, Forward Contracts etc.), sind primär basierend auf dem No-Arbitrage- Prinzip zu bewerten! Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 1

2 Arbitrage ist eine ransaktion, welche in keinem Zeitpunkt bzw. Naturzustand eine negative Auszahlung liefert, und mindestens in einem Zeitpunkt bzw. Naturzustand eine positive Auszahlung bietet. In anderen Worten, eine ransaktion, die einen risikolosen Gewinn ohne jegliche Anfangsinvestition (free lunch) ermöglicht! Das No-Arbitrage-Prinzip verlangt, dass es am Markt keine Arbitrage-Möglichkeiten gibt. Andernfalls wäre es theoretisch möglich, einen unendlich hohen Gewinn ohne jegliche Anfangsinvestition zu erzielen! Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 2

3 Das No-Arbitrage Prinzip basiert grundsätzlich auf dem sog. Gesetz von einem [einheitlichen] Preis (Law of one price). Danach kann ein Finanztitel [bzw. allgemein ein Vermögens- Gegenstand] zu einem Zeitpunkt nur einen einzigen [einheitlichen] Preis haben! Ist dies nicht der Fall, so kann ein Arbitrage-Gewinn erzielt werden; durch den Kauf zum Preis p und Verkauf zum Preis p + c, wobei c > 0, von einem Finanztitel zum gleichen Zeitpunkt t, solange der Verkauf bereits beim Kauf gesichert werden kann. Der Gewinn wird grundsätzlich nur durch die Kapazität des Marktes [möglicher Umfang einer solchen Strategie] eingeschränkt. Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 3

4 Beispiel 1: Anleihe mit Nominale von 100 und Kupon von 10%, fällig in genau in einem Jahr. Aktueller Zinssatz liegt bei 5% p.a. (alternativ Bid/Ask = 4,9%/5,1% p.a. für Einlagen/Kredite). Wie hoch muss der aktuelle Preis von der Anleihe sein, damit Arbitrage ausgeschlossen ist? Angenommen, der Preis von der Anleihe ist 101. Kann ein Arbitragegewinn erzielt werden? Mit welcher Strategie? Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 4

5 Strategie t = 0 t = 1 Kauf der Anleihe - P 110 Kredit 110/(0,05) -110 Summe -P + 110/(0,05) 0 P = 110 0,05 oder allgemein P = A r wobei r der für Perioden angepassten risikolosen Verzinsung entspricht. Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 5

6 No-Arbitrage und Replikation (= Nachbildung) Falls es möglich ist, den Vektor der Auszahlungen von einem Finanztitel genau zu replizieren, also aus anderen am Markt gehandelten Finanztiteln ein Portfolio zu konstruieren, welches die gleichen Auszahlungen wie der Finanztitel selbst aufweist, so muss [laut dem Gesetz von einem Preis] der Preis des Finanztitels dem Preis seines Replikationsportfolios entsprechen. Werden bei der Replikation Finanztitel verwendet, welche sog. Price Spreads aufweisen, so muss man zur Korrektheit immer den entsprechenden Bid bzw. Ask Preis anwenden! Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 6

7 In einem solchen Fall ermittelt man jedoch nicht einen einheitlichen arbitrage-freien Preis für den Finanztitel, sondern ein Intervall, in dem der Preis liegen muss, so dass auf dem Markt keine Arbitragemöglichkeiten entstehen. Entsprechend müsste in dem vorigen Beispiel der Preis der Anleihe folgende Bedingungen erfüllen: A A P oder allgemein P 0,051 0,049 r r ask bid Was wären die entsprechenden Arbitrage-Strategien, wenn der Preis unterhalb bzw. oberhalb des Intervalls liegen würde? Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 7

8 Oft liefert eine Anleihe nicht nur eine sondern mehrere Zahlungen in der Zukunft, wie etwa eine 10-Jahres-Kuponanleihe mit 7 Jahren Restlaufzeit. In einem solchen Fall kann man den arbitrage-freien Preis der Anleihe, bzw. das arbitrage-freie Intervall des Preises, analog ermitteln, indem man alle künftigen Zahlungsströme mit den entsprechenden Zinssätzen (für die entsprechenden Laufzeiten) abzinst und summiert. Formal also t P ask t= 1 rt t= 1 A Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so können durch Anwendung einer geeigneten Strategie Arbitragegewinne erwirtschaftet werden. A r t bid t Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 8

9 Beispiel 2: Forward zum Kauf von 100 Barrel Erdöl zu einem Forward Price F mit Fälligkeitsdatum in sechs Monaten. Aktueller Zinssatz von Bankeinlagen 5% p.a. (bzw. Bid/Ask = 4,9%/5,1% p.a.). Aktueller Preis von 100 Barrel Erdöl beträgt Wie hoch muss der Forward Preis F sein, damit Arbitrage- Möglichkeiten ausgeschlossen sind? Angenommen, der Forward Preis betrage Kann ein Arbitragegewinn erzielt werden? Mit welcher Strategie? Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 9

10 Strategie t = 0 t = ½ Long Forward 0 - F + S 1/2 Erdöl Short selling S 1/2 Bankeinlage * 1,025 Summe 0 - F * 1,025 ( 0,025) oder allgemein F = S ( ) F = r Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 10

11 Würde man den entsprechenden Bid/Ask Spread in Betracht ziehen, so würde man wiederum statt eines einheitlichen Preises ein Intervall ermitteln, in dem der Forward Preis liegen müsste, um Arbitrage auszuschließen. In diesem Fall müsste also gelten: ( 0,0245) F ( 0,0255) S 0 oder ( bid) ( ask r F S r ) allgemein 0 Was wären die entsprechenden Arbitrage-Strategien, wenn der Forward Preis unterhalb bzw. oberhalb des Intervalls liegen würde? Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 11

12 Beispiel 3: Aktueller Kurs EUR/USD beträgt 1,310 (bzw. 1,300/1,320). Aktueller Zinssatz in EUR liegt bei 2% p.a. (bzw. 1,8%/2,2%). Aktueller Zinssatz in USD liegt bei 1% p.a. (bzw. 0,9%/1,1%). Wie hoch muss der EUR/USD Forward Preis F mit Stichtag in genau einem Jahr sein, damit Arbitrage-Möglichkeiten ausgeschlossen sind? Angenommen, der Forward Preis betrage 1,300. Kann ein Arbitragegewinn erzielt werden? Mit welcher Strategie? Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 12

13 Strategie t = 0 t = 1 Kredit in USD + 1,310 USD - 1,310*1,01 USD Kauf von EUR für USD (Spot) - 1,310 USD + 1 EUR - - Bankeinlage in EUR - 1 EUR + 1,02 EUR Verkauf von EUR für USD (Forward) Summe USD 0 EUR -1,02 EUR + 1,02*F USD 1,02*F- 1,310*1,01 USD 0 EUR F 1,01 = 1,310 oder allgemein F = S0 1,02 r r USD EUR Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 13

14 Würde man die entsprechenden Bid/Ask Spreads in Betracht ziehen, so würde man wiederum statt eines einheitlichen Preises ein Intervall ermitteln, in dem der Forward Preis liegen müsste, um Arbitrage auszuschließen. In diesem Fall müsste also gelten: S bid 0 1,009 1,300 1,022 r r USD, bid EUR, ask F F 1,320 oder allgemein USD, ask EUR, bid Was wären die entsprechenden Arbitrage-Strategien, wenn der Forward Preis unterhalb bzw. oberhalb des Intervalls liegen würde? S ask 0 1,011 1,018 r r Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 14

15 Falls auf einem Markt [bzw. auf einem Marktteil] mit n möglichen Auszahlungsperioden bzw. Naturzuständen mind. n Finanztitel mit unabhängigen Auszahlungsvektoren gehandelt werden, so kann jeder beliebige Vektor von Auszahlungen durch eine lineare Kombination der n existierenden unabhängigen Finanztitel repliziert werden. => sog. vollkommener Markt! Bezeichnen wir mit A die nxn Matrix, welche die Auszahlungen von n Finanztiteln (Spalten) in n möglichen Zeitpunkten bzw. Naturzuständen (Zeilen) enthält, wobei alle enthaltenen Auszahlungsvektoren linear unabhängig sind, d.h. Rang(A) = n. Der Auszahlungsvektor des Finanztitels i entspricht der i-ten Spalte der Matrix A. Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 15

16 Ein Finanztitel j, der in A nicht enthalten ist und dessen Auszahlungen durch den Vektor v j charakterisiert sind, lässt sich durch ein Portfolio x j replizieren, wobei x j den Vektor der Mengen (in Stück) aller in A enthaltenen Finanztitel in dem Portfolio bezeichnet. Formal muss also gelten: Α x j = v j Nun, falls A vollen Rang hat, so muss auch eine Inverse der Matrix A existieren, daher lässt sich x j leicht ermitteln als x j = Α 1 v j Entsprechend kann x j als Replikationsportfolio von Finanztitel j bezeichnet werden. Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 16

17 Bezeichnen wir nun mit p den Vektor der aktuellen Preise aller Finanztitel, deren Auszahlungsvektoren in A enthalten sind. Um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen, muss der arbitragefreie Preis von dem Finanztitel j, mit Auszahlungsvektor v j, dem Preis seines Replikationsportfolios, x j, entsprechen. Formal muss also für den Preis von Finanztitel j, P j, Folgendes gelten: P j = x j p Ist der aktuelle Preis von Finanztitel j ungleich P j, so können durch eine geeignete Strategie Arbitragegewinne erwirtschaftet werden. Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 17

18 Man kann Strategien (Investitionsportfolios), welche einen möglichen Arbitragegewinn bieten, leicht finden, indem man folgendes Optimierungsproblem löst: min x { x p} st.. Α x 0 Falls der optimale Wert der Zielfunktion negativ ist, d.h. es existiert ein Portfolio mit einem negativen Preis, welches in Zukunft keine negativen Auszahlungen aufweist, so können am Markt Arbitragegewinne erwirtschaftet werden. Damit der Zielfunktionswert in solchen Fällen nicht gegen unendlich strömt, kann man realistischerweise Schranken für die Werte von x setzen. Quantitative BWL: Finanzwirtschaft 18